CHƯƠNG 1: SỐ HỮU TỈ
Bài 1: TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm số hữu tỉ và biểu diễn số hữu tỉ trên trục số:
a) Khái niệm: Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là

với

.

*) Chú ý: Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối. Số đối của số hữu tỉ

là

*) Nhận xét: Các số thập phân đều viết được dưới dạng phân số thập phân nên chúng đều là các
số hữu tỉ. Số nguyên, hỗn số cũng là các số hữu tỉ
b) Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
+ Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số: Tương tự như đối với số nguyên, ta có thể biểu diễn mọi số hữu
tỉ trên trục số
+ Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ

được gọi là điểm

+ Nhận xét: Trên trục số, hai điểm biểu diễn hai số hữu tỉ đối nhau
nhau só với điểm

và

nằm về hai phía khác

và có cùng khoảng cách đến

2. Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ
+ Ta có thể so sánh hai số hũu tỉ bất kì bằngg cách viết chúng dưới dạng phân số rồi só sánh hai
phân số đó
+ Với hai số hữu tỉ

ta luôn có hoặc

+ Cho ba số hữu tỉ
Nếu

và

+ Trên trục số, nếu

hoặc

hoặc

.

, ta có:
thì

(tính chất bắc cầu)
thì điểm

nằm trước điểm

*) Chú ý:
+ Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;
+ Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm.
+ Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận biết các số hữu tỉ, quan hệ trên tập hợp số

1

Phương pháp giải:
+ Muốn xác định xem một số có là số hữu tỉ hay không, ta hãy biến đổi xem số đó có dạng

với

hay không.

+ Mối quan hệ giữa các tập hợp số đã biết với tập hợp số hữu tỉ:

+ Sử dụng các kí hiệu
các tập hợp với nhau.

.

để biểu diễn mối quan hệ giữa số và tập hợp hoặc giữa
Bài 1:

Cho các số sau:
phải là số hữu tỉ?

, hãy cho biết số nào là số hữu tỉ, số nào không
Lời giải

Ta viết:

. Vậy các số hữu tỉ là

Số không phải số hữu tỉ là

(vì có mẫu số là 0).
Bài 2:

Số nguyên

có là số hữu tỉ không? Vì sao?
Lời giải

Vì các số nguyên đề có thể viết được dưới dạng phân số với mẫu số là 1 nên các số nguyên đều là
số hữu tỉ.
Bài 3:
Điền kí hiệu

thích hợp vào ô trống:

2

Lời giải

Bài 4:
Điền kí hiệu

thích hợp vào ô trống:

Lời giải

Bài 5:
Điền các kí hiệu

vào ô trống cho đúng (điền tất cả các khả năng có thể):

a)

b)

c)

d)
Lời giải

a) Có thể điền
b) Có thể điền
c) Có thể điền
d) Có thể điền
Bài 6:
Điền các kí hiệu thích hợp

vào ô trống:

3

Hướng dẫn giải

Bài 7:
Điền các kí hiệu thích hợp

vào ô trống:

Lời giải

Chú ý:
+ Kí hiệu

là “thuộc”.

+ Kí hiệu

là “không thuộc”.

+ Kí hiệu

là “tập hợp con”.

+ Kí hiệu

là “chứa trong” hoặc “chứa”.

+ Kí hiệu

là “tập hợp các số tự nhiên”.
Bài 8:

Điền kí hiệu

thích hợp và ô trống:

Lời giải

4

Bài 9:
Điền các kí hiệu

thích hợp vào ô trống (điền tất cả các khả năng có thể):

Lời giải

Bài 10:
Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Số 19 là một số tự nhiên.

B. Số

C. Số

D. Số 0 là một số hữu tỉ dương.

là một số hữu tỉ.

là một số nguyên âm.

Lời giải
Chọn đáp án D
Vì số 0 không là số hữu tỉ âm, cũng không là số hữu tỉ dương.
Bài 11:
Viết Đ vào ô có khẳng định đúng và S vào ô có khẳng định sai:
1. Số nguyên là số hữu tỉ

 

2. Số nguyên âm không là số hữu tỉ âm
3. Tập hợp

gồm các số hữu tỉ âm và các số hữu tỉ dương

4. Số

là số hữu tỉ

5. Số

không là số hữu tỉ
Lời giải

1. Đ

2. S

4. Đ

5. S

3. S

5

Bài 12:
Các số hữu tỉ sau là âm hay dương?
a)

b)

d)

e)

c)

Lời giải
Số hữu tỉ dương là
Số hữu tỉ âm là

;

;

;
Bài 13:

Các số hữu tỉ sau là âm hay dương?
a)

b)

c)

d)
Lời giải

a)

là số hữu tỉ dương

b)

là số hữu tỉ dương

c)

là số hữu tỉ âm

d)

không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ dương.
Bài 14:

Tìm số đối của các số sau:
Lời giải

6

Số đối của

lần lượt là
Bài 15:

Tìm số đối của các số sau:
Lời giải
Số đối của

lần lượt là
Bài 16:

Dãy số nào dưới đây cùng biểu diễn một số hữu tỉ
a)

b)

c)

d)
Lời giải

a) Ta có:
b) Ta có:
c)
d)

. Dãy số này không biểu diễn một số hữu tỉ
. Dãy số này không biểu diễn một số hữu tỉ
. Dãy số này không biểu diễn một số hữu tỉ
. Dãy số này không biểu diễn một số hữu tỉ
Bài 17:

Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ
các phân số bằng phân số

.

Lời giải
7

, từ đó rút ra dạng tổng quát của

Rút gọn các phân số ta được:
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ

là

Dạng tổng quát của các phân số bằng phân số

là

Bài 18:
a) Tìm 3 phân số bằng cạc phân số
b) Tìm 3 phân số bằng cạc phân số
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 19:
Viết dạng chung của các số hữu tỉ bằng:
a)

b)
Lời giải

a) Ta có:
Vậy dạng chung của số hữu tỉ

là

với

a) Ta có:
Vậy dạng chung của số hữu tỉ

là

với
3
5

-2

-1

1

0

8

2

3

Bài 20:
Cho các số sau:
không phải là số hữu tỉ?

. Hãy cho biết số nào là số hữu tỉ, số nào
Lời giải

Các số hữu tỉ là
Số không phải là số hữu tỉ là
Bài 21:
Các số hữu tỉ sau là âm hay dương?

;

;

;

Lời giải

Số hữu tỉ dương là:
Số hữu tỉ âm là:

;
;
Bài 22:

Tìm số đối của các số:

.
Lời giải

Số đối của

lần lượt là:
Bài 23:

Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ

Lời giải
Ta có

. Rút gọn các phân số đã cho ta được:
9

?

Vậy các phân số biểu diễn số hữu ti

là:

.

Bài 24:
Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên cùng một trục số.
a)

b)

d)

e)

c)

Lời giải

Ta có:

;

;

;

.

-1

-2

1

0

-14
9

-1
4

3
-4

7
4

-3
-4

Bài 25:
Hãy tìm năm phân số bằng phân số

.
Lời giải

Năm phân số bằng phân số

là:
Bài 26:

Tìm số nguyên

để các số sau là số hữu tỉ:

a)

b)

c)
Lời giải

a) Để

là số hữu tỉ thì
10

2

b) Để
c) Để

là số hữu tỉ thì

và

là số hữu tỉ thì

. Suy ra
và

là số nguyên khác

. Suy ra

là số nguyên khác

Bài 27:
Tìm số nguyên

để các số sau là số hữu tỉ:

a)

b)
Lời giải

a) Để
Vậy khi
b) Để
Vậy khi

là số hữu tỉ thì

và

là số nguyên khác

thì

là số hữu tỉ thì
là số nguyên khác

.
là số hữu tỉ
và

thì

.
là số hữu tỉ.
Bài 28:

Tìm tất cả các số nguyên

để các phân số sau có giá trị là số nguyên:

a)

b)
Lời giải

a)

Ư(6)
,
b)

. Làm tương tự câu a ta được
Bài 29:
11

.

.

.

Cho số

thỏa mãn

. Hỏi số

có là số hữu tỉ không?
Lời giải

không thể là số hữu tỉ.

Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ
Bài toán 1: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
*) Phương pháp giải:
Để biểu diễn một số hữu tỉ trên trục số, ta thường làm như sau:
Bước 1. Ta viết số đó dưới dạng phân số có mẫu dương. Khi đó mẫu của phân số sẽ cho ta biết
đoạn thẳng đơn vị được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.
Bước 2. Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị.
Bước 3. Số hữu tỉ dương (âm) nằm bên phải (trái) điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng giá trị
tuyệt đối của số hữu tỉ đó.
Bài 1:
Biểu diễn số hữu tỉ

trên trục số.
Lời giải

Chia các đoạn thẳng đơn vị ra làm 4 phần bằng nhau.
Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng

đơn vị cũ).

Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm.

Bài 2:
Biểu diễn số hữu tỉ

trên trục số.

12

Lời giải
Ta có
Chia các đoạn thẳng đơn vị ra làm 5 phần bằng nhau.
Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng

đơn vị cũ).

Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm.

Bài 3:
Điền số thích hợp vào chỗ trống:
-1

-1

1

0

2

1

3

Lời giải
-1

-1
2

-1

0

1
3

-1
3

1
1

4

2

3

Bài 4:
Biểu diễn số hữu tỉ

trên trục số.
Lời giải

Biểu diễn số hữu tỉ
-5
4
-2

-1

0

1

2

13

3

Biểu diễn số hữu tỉ
-2

-1

0

2

1

3

4

Biểu diễn số hữu tỉ
Bài toán 2: Biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng các phân số bằng nhau
*) Phương pháp giải:
Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản
Bài 1
Cho các phân số sau:
Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ

?
Hướng dẫn giải

Ta có

. Rút gọn các phân số đã cho ta được:

Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ

là:

và
Bài 2:

Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số:
Lời giải
Biểu diễn các số hữu tỉ

trên trục số như sau:

14

.

với

.

Bài 3:
Cho các phân số sau

. Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ

?

Lời giải
Ta có:

.

Rút gọn các phân số đã cho ta được:
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ

là:

và

.

Bài 4:
a) Cho các phân số
b) Biểu diễn số hữu tỉ

. Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ
trên trục số.
Lời giải

a) Ta có:
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ
b) Biểu diễn các số hữu tỉ

là:

và

.

trên trục số như sau:

Bài 5:
Trong các phân số sau, phân số nào không bằng phân số
A.

B.

C.

D.

?

Lời giải
Các đáp án B, C, D sau khi rút gọn ta đều được phân số
Bài 6:
15

.

?

Biểu diễn các số:
phân biệt?

bởi các điểm trên cùng một trục số ta được bao nhiêu điểm

A. Một điểm.
C. Ba điểm.

B. Hai điểm.
D. Bốn điểm.
Lời giải

Đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản, ta có:
Vậy các số trên cùng biểu diễn bởi điểm

trên trục số.
Bài 7:

Trong các phân số

có bao nhiêu phân số bằng phân số

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

?

Lời giải

Vậy có hai phân số biểu diễn phân số

.

Dạng 3: So sánh hai số hữu tỉ
*) Phương pháp giải:
+ Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng mẫu dương: So sánh các tử số, phân số nào có tử
nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
+ So sánh các số trung gian (

);

+ So sánh với phần hơn hoặc phần bù;
+ So sánh thương hai số hữu tỉ (khác

) với ;

+ Áp dụng tính chất bắc cầu và các bất đẳng thức đã chứng minh trong bài
Bài 1:
So sánh các số hữu tỉ sau:

và

.
Hướng dẫn giải
16

Ta có
Vì

nên

hay
Bài 2:

So sánh các số sau:
a) 

và

;

b) 

và

;

c) 

và

.

Hướng dẫn giải
a) Ta có

và

nên

b) Ta có

. Vì

c) Ta có:

và

.
nên
. Do đó
Bài 3:

So sánh các số hữu tỉ sau:
a) 

và

;

b) 

và

;

c) 

và

Hướng dẫn giải
a) Ta thấy

nên ta so sánh hai phân số qua phần bù

Ta có
Vì
b) Ta thấy

nên

hay
nên ta so sánh hai phân số bằng cách cộng thêm 1.

Ta có

17

.

Vì

nên

hay

c) Ta có

.

nên

Lại có

nên

Do đó

.

Chú ý:
Ngoài phương pháp so sánh bằng cách quy đồng mẫu số, ta có thể sử dụng các phương pháp
khác như:
+ So sánh qua một phân số trung gian.
+ So sánh qua phần bù.
+ Đưa về so sánh hai phân số có cùng tử số.
Bài 4:
So sánh các số hữu tỉ sau:
a) 
c) 

và
và

;
;
Lời giải

a) Ta có
Vì

nên

hay

.

b) Ta có
Vì

nên

hay

c) Ta có

18

b) 

và

;

d)

và

.

Vì

nên

hay

d) Ta có
Suy ra

.
Bài 5:

So sánh các số hữu tỉ sau:
a) 

và

c) 

và

;
;

b) 

và

;

d)

và

.

Lời giải
a) Ta có
Vì

nên

hay

b) Ta có
Vì

nên

hay

c) Ta có
Vì

nên

d) Ta có

hay
nên

.
Bài 6:

Sắp xếp các số hữu tỉ

theo thứ tự giảm dần.
Lời giải

Vì

nên

Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần:
19

Bài 7:
Sắp xếp các số hữu tỉ

theo thứ tự tăng dần.
Lời giải

Có

nên

. Suy ra

Lại có

nên

Vậy

.

Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần:
Bài 8:
So sánh các số hữu tỉ sau.
a)

và

c)

và
Lời giải

a)

và

Vì
b)

nên
và

Vì
c)
Ta có:

nên
và
;

20

b)

và

d)

và

Vì
d)

nên
và

Ta có:
Vậy
Bài 9:
So sánh các số hữu tỉ sau:
a)

c)
Lời giải

a) Ta có
b) Ta có
c) Ta có
Bài 10:
Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự giảm dần:
Lời giải
Ta có :
Các số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là:

Bài 11:
Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần.

21

.

Lời giải
Ta có :
Các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là:

Bài 12:
So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh nhất:
a)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
Bài 13:
So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh nhất:
a)
b) b)
c)
Lời giải
a)

22

Ta có:
Vậy
b)
Ta có:
Vậy
c)
Ta có:
Vậy
Bài 14:
So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh nhất:
a)

b)

c)
Lời giải

a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
Bài 15:
So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh nhất:
a)
b)

23

c)

và
Lời giải

a) Ta có

Vậy

. Ta lại có

.

b) Ta có:

c)Ta có:
Mà

Vậy
Bài 16:
So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh nhất:

a)

và

b)

và

c)
Lời giải

a)

và

Ta có :
Vậy

24

và

b)

và

Ta có:

Vậy
c)

.
và

Ta có:

. Vậy
Bài 17:

Quy đồng rồi sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự từ bé đến lớn:
Lời giải
Ta thực hiện quy đồng mẫu số với mẫu số chung là 12:
Do
Bài 18:
Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự từ lớn đến bé:
Lời giải
 Các số hữu tỉ dương:
 Các số hữu tỉ âm:

Sắp xếp theo thứ tự từ lớn đến bé ta được:
Sắp xếp theo thứ tự từ lớn đến bé ta được:

 Vậy sắp xếp theo thứ tự từ lớn đến bé ta được:

Bài 19:
25

Lớp

có

 số học sinh thích học toán,

 số học sinh thích học văn,

anh. Môn học nào được nhiều bạn học sinh lớp

yêu thích nhất?

Lời giải
Ta có:  
Vì
Hay

nên
lớn nhất.

Vậy môn tiếng anh được nhiều bạn học sinh lớp

26

yêu thích nhất.

 số học sinh thích học