TÓM TẮT LÝ THUYẾT

BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
5.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba
5.1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước
Bài toán tổng quát:
Cho hàm số

Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực

tiểu tại
thỏa mãn điều kiện
Phương pháp:
 Bước 1:
 Tập xác định:

cho trước?

 Đạo hàm:
 Bước 2:
Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực
tiểu)
có hai nghiệm phân biệt và
phương trình



đổi dấu qua 2 nghiệm đó

có hai nghiệm phân biệt

Bước 3:
Gọi

là hai nghiệm của phương trình



Khi đó:
Bước 4:



Biến đổi điều kiện
Bước 5:

về dạng tổng

và tích

. Từ đó giải ra tìm được

Kết luận các giá trị m thỏa mãn:
* Chú ý: Hàm số bậc ba:
Ta có:
Điều kiện

Kết luận
Hàm số không có cực trị.
Hàm số có hai điểm cực trị.

5.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
5.2.1. Một số kết quả cần nhớ
 Hàm số có một cực trị
 Hàm số có ba cực trị

1

 Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu

.

 Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại

.

 Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại

.

 Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại
5.2.2. Một số công thức tính nhanh

.

Giả sử hàm số
tạo thành tam giác

có cực trị:
thỏa mãn dữ kiện:

Đặt:
y

Tổng quát:

A
x

O

B

Dữ kiện

C

Công thức
thỏa mãn

Tam giác

vuông cân tại

Tam giác

đều

Tam giác

có diện tích

Tam giác

có diện tích

Tam giác

có bán kính đường tròn nội tiếp

Tam giác

có bán kính đường tròn ngoại tiếp

Tam giác

có độ dài cạnh

Tam giác

có độ dài

2

Tam giác
Tam giác

có cực trị
có góc nhọn

Tam giác

có trọng tâm

Tam giác

có trực tâm

Tam giác

cùng điểm

Tam giác

có

Tam giác
tiếp
Tam giác

tạo thành hình thoi

là tâm đường tròn nội tiếp

có

là tâm đường tròn ngoại

có cạnh

Trục hoành chia tam giác
thành
hai phần có diện tích bằng nhau
Tam giác
có điểm cực trị cách đều trục
hoành
Đồ thị hàm số
cắt trục
tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng
Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
và trục hoành có diện tích
phần trên và phần dưới bằng nhau.
Phương trình đường tròn ngoại tiếp
là:

Vấn đề 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC

3

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
 Bước 2: Tìm các điểm
tục nhưng không có đạo hàm.

mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên

 Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu
hàm số đạt cực trị tại
Định lí 3:
Giả sử

. Nếu

đổi dấu khi đi qua

thì

.

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng

 Nếu

thì hàm số

với

Khi đó:

đạt cực đại tại

 Nếu
thì hàm số đạt cực tiểu tại
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
 Bước 2: Tìm các nghiệm
 Bước 3: Tính

của phương trình

và tính

 Nếu

thì hàm số

đạt cực đại tại điểm

 Nếu

thì hàm số

đạt cực tiểu tại điểm

B. TOÁN MẪU
VD1. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải

Cách 1:

Bảng biến thiên:

x
y'



1
0
0 + 0

1
+
0 +

y
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho có
Cách 2:
Hàm số

điểm cực trị.

là hàm trùng phương có

nên có

điểm cực trị.

4

VD2. Tìm điểm cực đại
A.

của hàm số

.

B.

.
.

C.

.

D.

.

……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

VD3. Hàm số

có bao nhiêu cực trị?

……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………

VD4. Gọi

và

là hai điểm cực trị của hàm số

. Giá trị của

bằng ?

……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
VD5. Hàm số

A.

có điểm cực đại là

.

B.

.

C.

.

D.

.

……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
VD6. Tìm các điểm cực trị của hàm số:
a)
d)

.

b)

.

e)

.

c)

f)

.

.

............................................................................................
............................................................................................
.............................................................................................

5

...........................................................................................
............................................................................................
.............................................................................................
..........................................................................................
.........................................................................................
............................................................................................
.............................................................................................
............................................................................................
..........................................................................................
..

.............................................................................................

............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
.............................................................................................
..

...................................................................................

............................................................................................
.............................................................................................
............................................................................................
...................................................................................
..

.............................................................................................

............................................................................................
...................................................................................
............................................................................................
VD7. Tìm các các điểm cực trị của hàm số:

a)

.

b)

.

........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
VD8. Tìm các điểm cực trị của hàm số:
a)

.

b)

.

C)

.

........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................

6

........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
VD9. Tìm các các điểm cực trị của hàm số:
a)

.

b)

c)

.

d)

.

........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................
........................................................................................ ........................................................................................

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Kiểu 1. Tính trực tiếp
Câu 1.
Câu 2.

Câu 3.

3
2
Tìm giá trị cực đại của hàm số y  x  3 x  9 x  1 .
A. 6 .
B. 3 .
C.  26 .
3
Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y =- x + 3x + 4 .
(- 1; 2) .
A.
B. x =- 1 .
C. x = 1 .
3
2
Điểm cực tiểu xCT của hàm số y  x  4 x  3x  7 là

xCT 

Câu 4.

1
3.

A.
B. xCT 1 .
C. xCT  3 .
3
2
Số điểm cực trị của hàm số y  x  3x  4 x  5 là

D.  20 .

D.

D.

(1;6) .
xCT 

1
3.

B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
3
Cho hàm số y  f ( x )  x  3 x  2 . Các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số là
y 0; yCT  4
y 4; yCT  4
A. CĐ
.
B. CĐ
.
C. yCĐ 0; yCT 4 .
D. yCĐ 0; yCT  6 .
A. 1 .

Câu 5.

Câu 6.

3
2
Cho hàm số y x  3x  2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

7

Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.

A. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và cực tiểu tại x  2 .
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 và cực đại tại x 0 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x  2 và cực tiểu tại x 0 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và cực tiểu tại x 0 .
3
2
Hàm số y 2 x  3 x  4 đạt cực tiểu tại điểm nào ?
A. x 3 .

B. x 0 .
C. x 0 và x 1 .
D. x 1 .
3
Cho hàm số y  x  3x  2 . Giá trị cực đại của hàm số là
A.  1 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 0 .
3
2
M 1; 2
Cho hàm số y  x  x  x  3 . Điểm   là
A. Điểm cực đại của hàm số.
B. Điểm cực tiểu của hàm số.
C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số.
D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

3
2
Cho hàm số y x  3x  2, hãy chọn khng định đúng:
A. Hàm số có đúng ba điểm cực trị.
B. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.
C. Hàm số chỉ có một điểm cực trị.
D. Hàm số không có điểm cực trị
3
2
Câu 11. Điểm cực tiểu của hàm số y  x  3x  9 x  2 tương ứng là:
y 7
y  25
A. x  1 .
B. x 3 .
C. CT
.
D. CT
.
3
2
y
Câu 12. Giá trị cực đại CD của hàm số y x  6 x  9 x  2 bằng

Câu 10.

A. 2 .

B. 1 .
C. 4 .
3
2
Câu 13. Hàm số y  x  3 x  2 có giá trị cực tiểu yCT là
A. yCT 2 .
B. yCT 4 .
C. yCT  4 .
3
2
Câu 14. Giá trị cực tiểu của hàm số y x  3 x  9 x  2 là
A. 7 .

B.  25 .

C.  20 .

D. 6 .
D. yCT  2 .
D. 3 .

3
2
Câu 15. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x  3x .

A. 2 2 .
Câu 16:

C. 3 .

B. 1 .

D. 2 5 .

3
2
Điểm cực đại của hàm số y  x  3x  2019 là

A. y 2019 .
B. M (0; 2019) .
C. x 0 .
D. x 2 .
4
2
Câu 17. Hàm số y = x - 3x +1 có
A. một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
B. một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại.
C. một điểm cực đại duy nhất.
D. một điểm cực tiểu duy nhất.
4
3
Câu 20. Chọn khẳng định đúng về hàm số y = x - 3 x + 2

A. Hàm số không có cực trị.
B. Số điểm cực trị của hàm số là 2.
C. Số cực trị của hàm số là 1.
D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng - 27 .
Câu 21. Hàm số nào sau đây có đúng một điểm cực trị?
3
2
4
2
4
2
A. y = x - x - 2 .
B. y = x - 2 x - 2 .
C. y = x + 4 x +1 .
D. y = x - 1 .
Câu 22:

Câu 23:

Hàm số dạng
A. 2.

y = ax 4 + bx 2 + c(a ¹ 0)

B. 3.

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
C. 1.
D. 0.

4
2
Hàm số y x  2 x  3 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0 .
B. 3.
C. 1 .

D. 2 .

8

4
2
Hãy xác định tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y 2 x  4 x  1.
1;1
 1;  1 .
1;  1 .
0;1 .
A.
B.   .
C.
D.
4
2
Câu 25. Giá trị cực tiểu của hàm số y = x - 2 x - 3 bằng
A. - 4 .
B. - 3 .
C. - 6 .
D. 0 .

Câu 24:

Câu 26.

Trong các hàm số sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu?
4
2
4
2
A. y  x  x  3 .
B. y  x  x  3 .

4
2
4
2
C. y  x  x  3 .
D. y  x  x  3 .
Câu 27. Hàm số nào trong các hàm số sau có 3 điểm cực trị ?
4
2
4
2
A. y 2 x  4 x  1 .
B. y  x  x  1 .
4
2
4
2
C. y  x  x  1 .
D. y  x  x  1 .
4
2
Câu 28. Hàm số y  x  2 x  3 đạt cực tiểu tại x bằng
A. 1 .
B. 2 .
C. 0 .

2x  5
x  1 có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 29. Hàm số
A. 0 .
B. 2 .
C.
2x - 2
y=
x + 2018 có bao nhiêu điểm cực trị ?
Câu 30. Hàm số
3
B. 1 .
C.
A. .
x 2
y
x 1
Câu 31. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
A. 4 .
B. 1 .
C.
Câu 32. Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị

D. 3 .

y

D. 1 .

0.

D. 2 .

0 .

D. 3 .

A. y  x  2 x  1

1
y  x 3  3x 2  7 x  2
3
B.

4
2
C. y  x  2 x

4
2
D. y  x  2 x

4

Câu 33.

3.

2

Hàm số nào sau đây không có cực trị?
3
3
2
A. y x  1 .
B. y x  3 x  1 .

3
4
2
C. y  x  x .
D. y x  3x  2 .
Câu 38. Trong các hàm số sau, hàm số nào có 3 điểm cực trị?
4
2
2
4
2
3
2
A. y 2 x  3 x  2 .
B. y  x  3 x  2 .
C. y  2 x  3 x  2 . D. y  x  3x  2 .

Câu 39. Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
2x  3
y
4
3
y x2
x2 .
A.
B. y  x .
C. y  x  x .
D.
.
2
3
Câu 40. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và có đạo hàm f '( x ) x ( x  1) ( x  2) . Số điểm cực trị
của hàm số y  f ( x) là:
A. 1 .
B. 2 .

C. 0 .
D. 3 .
2
2
Câu 41. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x ( x  1) (2 x  1) . Khi đó số điểm cực trị của hàm số
đã cho là bao nhiêu?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.

9

Câu 42.

2
3
Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và có đạo hàm f '( x ) x ( x  1) ( x  2) . Số điểm cực trị

của hàm số y  f ( x) là:
A. 1 .

y  f x 

Câu 43. Cho hàm số
của hàm số đã cho là
A. 3 .

C. 0 .

B. 2 .

D. 3 .

f '  x   x  1 x  2   x  3
có đạo hàm trên  và
. Số điểm cực trị
2

B. 1 .

C. 0 .

D. 2 .
2

f ¢( x ) = ( x - 1) ( x - 3)
f ( x)
Câu 44. Cho hàm số
có đạo hàm trên  là
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số không có cực trị.
B. Hàm số có một điểm cực đại.
C. Hàm số có đúng một điểm cực trị.
D. Hàm số có hai điểm cực trị.
f  x  x 2  x  1 x 2  x  2   x  5 
3

y  f x 

Câu 45. Cho hàm số
xác định và liên tục trên  biết
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
Câu 46.

f x 

Cho hàm số
y  f x 
hàm số
.
A. 2 .

Câu 47. Cho hàm số
đã cho là
A. 2 .

f x 

f  x   x  x  1  x  2  , x  R

B. 3 .

4

C. 0 .

B. 1 .

3

C. 0 .

. Tìm số điểm cực tiểu của
D. 1 .

f  x   x  x  1  x  2   x  3
2

có đạo hàm

.

D. 1 .

2

có đạo hàm

4

4

. Số điểm cực trị của hàm số
D. 3 .

2
Cho hàm số y  x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x 0 .
B. Hàm số không có cực trị.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 .
D. Hàm số có hai điểm cực trị.
3
Câu 60. Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x  3x  2 . Phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm A , B là

Câu 53.

A. x  y  1 0 .

B. 4 x  y 0 .
C. 2 x  y  2 0 .
D. x  y  2 0 .
3
2
Câu 63. Đồ thị hàm số y  x  3x  9 x  5 có hai điểm cực trị là A , B . Điểm nào dưới đây thuộc
đường thẳng AB ?
E 2;  14 
F  2;14 
N  2;0 
M 0;  2 
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D.
.
3
2
C
C
Câu 66. Cho hàm số y  x  3x  2 , có đồ thị   . Gọi A, B là các điểm cực trị của   . Tính độ
dài đoạn thẳng AB .
A. 4.

B. 2 5 .

C. 5.

D. 5 2

1
y  x 4  8x2  3
4
Câu 79. Gọi M , N là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
. Độ dài đoạn thẳng MN là
A. 10.
B. 6.
C. 8.
D. 4.
4
2
Câu 83. Cho hàm số y  x  2 x  4. Gọi A,B,C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính diện tích S
của tam giác ABC
A. 4.
B. 2.
C. 10 .
D. 1.

10

Vấn đề 2. XÁC ĐỊNH CỰC TRỊ THÔNG QUA BBT, ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Cho hàm số

f ( x)

có bảng biến thiên như hình vẽ.

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. x = 3 .
B. x = 0 .
C. x =- 1 .
D. x =- 2 .
f x
f x
Cho hàm số   xác định trên  và có bảng xét dấu   như hình bên. Khẳng định nào
sau đây sai?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x  3 .
C. x 1 là điểm cực trị của hàm số.
D. Hàm số có hai điểm cực trị.
y  f x 
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại điểm
A. x 0 .
Câu 4.

B.

0;  3 .

C. y  3 .

4
2
a , b, c   
Cho hàm số y ax  bx  c 
, đồ thị như hình vẽ:

D. x  3 .

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

11

A. 2 .
Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

B. 1 .

C. 0 . D. 3 .

y  f x 
Hàm số
xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Khẳng
định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng  1 .
C. Hàm số có đúng hai cực trị.
D. Hàm số đạt cực đại tại x 0 , x 1 và đạt cực tiểu tại x 2 .
y  f x 
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.
B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.
C. Hàm số có 2 điểm cực tiểu.
D. Hàm số có ba điểm cực trị.
y  f x 
Cho hàm số
liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu
điểm cực trị?

A. 4 .

B. 5 .

C. 2 .

D. 3 .

A. 0 .

B. 3 .

C. 1.

D. 2.

y = f (x)
Cho hàm số
liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có
bao nhiêu điểm cực trị?

12

Câu 9.

Cho hàm số

y  f x

có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
B. Hàm số đã cho không có cực trị.
C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
D. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
y  f x
Câu 10. Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A. y 1 .
Câu 11.

Cho hàm số

B. x 0 .
y  f x 

C. y 0 .

D. x 1 .

có đồ thị

Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. x  1 .
B. x 2 .
C. x 1 .
y  f x 
Câu 12. Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau?

x
Hàm số đạt cực đại tại điểm 0 bằng
A. 0 .
B.  4 .

C. 1 .

D. x  2 .

D.  3 .

13

Câu 13.

 2; 2
xác định và liên tục trên đoạn 
và có đồ thị là đường cong trong
f x
hình vẽ bên. Hàm số   đạt cực đại tại điểm nào dưới đây ?

Cho hàm số

A. x  1 .
Câu 14. Cho hàm số

A. Hàm số
C. Hàm số
Câu 15.

y  f x 

y  f x 

f x 
f x 

Cho hàm số

B. x  2 .

C. x 1 .

có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng?

có điểm cực tiểu là x 2 .

B. Hàm số

có điểm cực đại là x 4 .

D. Hàm số

y  f x 

D. x 2 .

f x
f x 

có giá trị cực đại là  1 .
có giá trị cực tiểu là 0 .

có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số không có cực trị.
B. Hàm số đạt cực đại tại x 0 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x 5 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 .
Câu 16. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số bằng

14

A.  1 .
Câu 17.

Cho hàm số

y  f x 

B.  2 .

C. 1 .

D. 0 .

có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.
B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.
C. Hàm số có ba điểm cực trị.
D. Hàm số có hai điểm cực tiểu.
y
=
f
(
x
)
Câu 18. Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x =- 2.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4.
Câu 19.

Cho hàm số

y  f x 

A. 1
Câu 20. Cho hàm số

có đồ thị như hình bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số

B. 2 .
y  f x 

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.

C. 4 .

y  f x 

.

D. 3 .

có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số không có cực trị.
C. Hàm số đạt cực đại tại x 5 .

B. Hàm số đạt cực đại tại x 0 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 .

15

Câu 23.

Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và có bảng xét dấu

-∞

x
f '(x)

1
0

2
+

f  x 

như sau:

3
+

4
0

+∞
+

Kết luận nào sau đây đúng
A. Hàm số có 4 điểm cực trị.
B. Hàm số có 2 điểm cực đại.
C. Hàm số có 2 điểm cực trị.
D. Hàm số có 2 điểm cực tiểu.
y  f x 
y  f  x 
Câu 25. Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
y  f x 
A. Đồ thị hàm số
có hai điểm cực đại.
y  f x 
B. Đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị.
y  f x 
C. Đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị.
y  f x 
D. Đồ thị hàm số
có một điểm cực trị.

y  x4  2 x2  3

Câu 26.

Hàm số
A. 6 .

Câu 27.

Cho hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 5 .
C. 3 .

y  f x 

D. 4 .

có bảng biến thiên như hình vẽ:

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. Có một điểm.
B. Có ba điểm.
C. Có hai điểm.
y  f x 
y  f  x 
Câu 28. Cho hàm số
có đồ thị đạo hàm
như hình bên.

D. Có bốn điểm.

16

Khẳng định nào sau đây là đúng?
y  f x   x2  x
A. Hàm số
đạt cực đại tại x 0 .

Câu 29.

B. Hàm số

y  f x   x 2  x

đạt cực tiểu tại x 0 .

C. Hàm số

y  f x   x2  x

không đạt cực trị tại x 0 .

D. Hàm số

y  f x   x2  x

không có cực trị.

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên các khoảng ( ;1), (1; ) và có bảng biến thiên như hình dưới

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 2 .
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.
C. Hàm số đạt cực tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 0 .
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Vấn đề 3. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

Phát biểu nào sau đây là sai?

Câu 2.

 f 1 0

f 1  0
f x 
Cho hàm số
có 
. Kết luận nào sau đây đúng?
x

1
A.
là điểm cực đại của hàm số.
B. Giá trị cực đại của hàm số là 1 .
C. x 1 là điểm cực tiểu của hàm số.
D. Giá trị cực tiểu của hàm số là 1 .


x
x
A. Hàm số f ( x ) đạt cực trị tại 0 khi và chỉ khi 0 là nghiệm của phương trình f ( x) 0 .
f ( x0 ) 0
f ( x0 )  0
x
B. Nếu
và
thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 .

x
x
C. Nếu f ( x) đổi dấu khi x đi qua điểm 0 và f ( x) liên tục tại 0 thì hàm số y  f ( x) đạt
x
cực trị tại 0 .
f ( x0 ) 0
f ( x0 )  0
x
D. Nếu
và
thì hàm số đạt cực đại tại 0 .

17

Câu 3.
Câu 4.

Cho hàm số
đúng

Câu 6.

Cho hàm số

Câu 9.

y  f x 

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
y  f x 
f ''  x0   0
f ''  x0   0
x
A. Hàm số
đạt cực trị tại 0 thì
hoặc
.
f ' x 0
B. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại x0 hoặc  0 
.
y  f x 
y  f x 

đạt cực trị tại

x0

thì

f '  x0  0

.

đạt cực trị tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0 .
f x
K  x0  h; x0  h  h  0 
f ' x 0
Cho hàm số   có đạo hàm trong khoảng
,
. Nếu  0 
và
f "  x0   0
thì x0 là
A. Điểm cực tiểu của hàm số.
B. Giá trị cực đại của hàm số.
C. Điểm cực đại của hàm số.
D. Giá trị cực tiểu của hàm số.
D. Hàm số

Câu 8.

x K
có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và 0
.Mệnh đề nào sau đây

x0

C. Hàm số
Câu 7.

y  f x 

B. 3 .

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
C. 1 .
D. 0 .

y  f x 
f  x0   0.
là điểm cực đại của hàm số
thì
f  x0  0
y  f x 
B. Nếu
thì x0 là điểm cực trị của hàm số
.
y  f x 
f  x0  0
x
C. Nếu 0 là điểm cực trị của hàm số
thì
.
y  f x 
f  x0  0.
D. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số
thì
y  f x 
Cho hàm số
, chọn khẳng định đúng ?
f  x0  0
f  x0  0
x
A. Nếu
và
thì 0 không phải là cực trị của hàm số.
y  f x 
f  x 0
x
B. Hàm số
đạt cực trị tại 0 khi và chỉ khi  0 
.
y  f  x  
C. Nếu hàm số
có điểm cực đại và điểm cực tiểu thì giá trị cực đại lớn hơn giá trị
cực tiểu.
f x
f x
y  f x 
D. Nếu   đổi dấu khi qua điểm x0 và   liên tục tại x0 thì hàm số
đạt cực
trị tại điểm x0 .
A. Nếu

Câu 5.

y ax 4  bx 2  c a 0 

Cho hàm số
A. 2 .

y  f x 
K  x0  h; x0  h , h  0
f  x0  0
Cho hàm số
có đạo hàm trên khoảng
. Nếu
và
f  x0   0
x
thì 0 là:
A. điểm cực tiểu của hàm số.
B. giá trị cực đại của hàm số.
C. điểm cực đại của hàm số.
D. giá trị cực tiểu của hàm số.

( x  h; x0  h)
Cho hàm số y = f có đạo hàm cấp hai trong khoảng 0
, với h > 0. Mệnh đề nào
dưới đây sai?
A. Nếu f '( x0 ) 0 và f "( x0 )  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
B. Nếu f '( x0 ) 0 và f "( x0 ) 0 thì hàm số f không đạt cực trị tại điểm x .
0

C. Nếu f '( x0 ) 0 và f "( x0 )  0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
D. Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x thì f '( x0 ) 0 .
0

18

Câu 11. Cho hàm số
đúng?

y  f x 

x K
có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và 0
. Mệnh đề nào sau đây

x0 là điểm cực đại của hàm số y  f  x  thì f  x0   0.
f  x0  0
y  f x 
x
B. Nếu
thì 0 là điểm cực trị của hàm số
.
y  f x 
f  x0  0
x
C. Nếu 0 là điểm cực trị của hàm số
thì
.
A. Nếu

x0 là điểm cực trị của hàm số y  f  x  thì f  x0  0.
4
2
(a ¹ 0) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi
Câu 12. Hàm số y = ax + bx + c
D. Nếu

A. a < 0 , b > 0 .

B. a > 0 , b < 0 .

C. a > 0 , b > 0 .

D. a < 0 , b < 0 .

Vấn đề 4. TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM BẬC BA CÓ CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
3
2
2
Cho hàm số: y ax  bx  cx  d có đạo hàm y ' 3ax  2bx  c

a 0

2
 b  3ac  0
Để hàm số có cực đại, cực tiểu  y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt

B. TOÁN MẪU
VD1. Tìm điều kiện cần và đủ của
1
y  x 3  mx 2  4 x  5 
3

m

để hàm số

1
y  x 3  mx 2  4 x  5
3

có hai điểm cực trị.

y ' x 2  2mx  4

Điều kiện cần và đủ của để hàm số có hai điểm cực trị là:

'  0

 m2  4  0
m   2

m  2
Hay

m     2   2;  

VD2. Cho hàm số
có cực trị.

.
Tìm số các giá trị nguyên của tham số

để hàm số đã cho

19

……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Điều kiện cần và đủ của tham số
A.

Câu 2.

Câu 3.
trị.

m

1
3.

B.

m

m

3

2

để hàm số y  x  x  mx  5 có cực trị là:

1
3.

m

C.

1
3.

D.

m

1
3.

1
y  x 3  2mx 2  (4m  1) x  3.
3
Cho hàm số
Mệnh đề nào sau đây sai?
1
m .
2
A. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi
B. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi m  1.
1
m .
2
C. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi
D. Với mọi m , hàm số luôn có cực trị.

Tìm tất cả các giá trị của tham số
A. m 3 .

m

3
2
để hàm số y  x  3x  mx  1 có hai điểm cực

B. m  3 .

C. m   3 .

D. m  3 .

Vấn đề 5. TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM BẬ...