Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 14/11/2020

Câu 1.

(5 điểm)
1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để

là số nguyên tố.

2. Giải phương trình

Câu 2.

(5 điểm)
1.

Cho ba số thực khác không

thỏa mãn điều kiện:

và

2.

Câu 3.

Tìm tất cả các bộ số nguyên

là các số thực dương thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(7 điểm)
Cho đoạn thẳng

và một điểm

mặt phẳng bờ

, dựng hai hình vuông

thẳng

là điểm

và

nằm bất kỳ trên đoạn thẳng
và

, giao điểm của đường thẳng

và

Chứng minh bốn điểm

cùng thuộc một đường tròn.

b)

Chứng minh rằng

và 3 điểm
trên đoạn thẳng

, một nửa

. Gọi giao điểm của đường

a)

c) Tìm vị trí các điểm
nhất.

Câu 5.

thỏa mãn

(2 điểm)
Cho

Câu 4.

. Tính giá trị của biểu thức:

là

.

thẳng hàng.

để độ dài đoạn thẳng

đạt giá trị lớn

(1 điểm)
Một hình hộp chữ nhật có các kích thước
là các số nguyên dương tính theo đơn vị cm,
có thể tích
.
Biết khi đạt hình hộp chữ nhật đó đặt lên mặt bàn
thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là
(minh họa bằng hình vẽ bên). Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

HẾT
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 QUẬN ĐỐNG ĐA
Năm học: 2020-2021

Câu 1.

(5 điểm)
1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để

là số nguyên tố.

2. Giải phương trình
Lời giải
1.
Ta có

Tìm tất cả các số tự nhiên n để

Với

không phải số nguyên tố

Với

là số nguyên tố

Với

là số nguyên tố.

Với

là số nguyên tố.

Với

thì
và

là số nguyên tố.

và
thì luôn tồn tại một số số chẵn nên khi đó P là hợp số.

Vậy P là số nguyên tố thì
2.

Giải phương trình

(*)

Điều kiện xác định:
Đặt

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Thay vào (*) ta được

Với t=3

hoặc

Câu 2.

(5 điểm)
1.

Cho ba số thực khác không

thỏa mãn điều kiện:

và

. Tính giá trị của biểu thức:

2.

Tìm tất cả các bộ số nguyên

1.

Ta có

thỏa mãn
Lời giải

Khi đó ta có

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

2.
-Nếu
-

không là số nguyên,

Nếu

không thể xảy ra.

.

Trường hợp 1.

Trường hợp 2.

Trường hợp 3.

Trường hợp 4.
-

Nếu

là số chẵn và chia 4 dư 2

Mà

là số chẵn

và

chia hết cho 4, mà

là số chẵn.
là số chẵn.

không chia hết cho 4. Nên

không thể

xảy ra.
Vậy bộ số nguyên

Câu 3.

là

(2 điểm)
Cho

là các số thực dương thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải

Ta có:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Tương tự

Dấu “ =” xảy ra khi
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là

Câu 4.

khi

.

(7 điểm)
Cho đoạn thẳng

và một điểm

mặt phẳng bờ

, dựng hai hình vuông

thẳng

là điểm

và

nằm bất kỳ trên đoạn thẳng
và

. Gọi giao điểm của đường

, giao điểm của đường thẳng

và

a)

Chứng minh bốn điểm

cùng thuộc một đường tròn.

b)

Chứng minh rằng

và 3 điểm

c) Tìm vị trí các điểm
nhất.

trên đoạn thẳng

, một nửa

là

.

thẳng hàng.

để độ dài đoạn thẳng

đạt giá trị lớn

Lời giải

a) Chứng minh bốn điểm

cùng thuộc một đường tròn.

Hình vuông

có đường chéo

Hình vuông

có đường chéo

Suy ra tam giác
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

vuông cân ở
word

môn

toán:

, suy ra
, suy ra

hay
hay

.
.

, suy ra
Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Xét tam giác
suy ra

có

là các đường cao và cắt nhau tại

là trực tâm tam giác

Tứ giác

, suy ra

có

hay

.

nên là tứ giác nội tiếp

Suy ra minh bốn điểm

cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng

và 3 điểm

Xét tứ giác

,

, có

thẳng hàng.

nên nội tiếp, suy ra

Tương tự

(1)

(2)

Từ (1) và (2), suy ra

. Vì

Suy ra

hay

Xét tam giác

thẳng hàng nên

.

.

có

, từ đó theo hệ thức lượng trong tam

giác vuông ta có

.

Ta có tứ giác

nội tiếp vì

, suy ra

hay

.
Mặt khác tứ giác

nội tiếp, suy ra

mà

, suy ra

Do đó bốn điểm
Cách 2
Xét tứ giác

, suy ra

hay

thẳng hàng, lại có

.

thẳng hàng. (đpcm).
, có

nên nội tiếp, suy ra

(1)

Tương tự

(2)

Từ (1) và (2), suy ra

. Vì

Suy ra

hay

Xét tam giác
Ta có tứ giác

.

.

có

, từ đó theo hệ thức lượng trong tam

giác vuông ta có
.

thẳng hàng nên

.
nội tiếp vì

Mặt khác tứ giác

, suy ra

nội tiếp, suy ra

mà

, suy ra

hay

, suy ra
thẳng hàng, lại có

Do đó bốn điểm

thẳng hàng. (đpcm).

c) Tìm vị trí các điểm
lớn nhất.

trên đoạn thẳng

hay
.

để độ dài đoạn thẳng

đạt giá trị

Ta có
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Suy ra

Câu 5.

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là trung điểm AB.

(1 điểm)
Một hình hộp chữ nhật có các kích thước
là các số nguyên dương tính theo đơn vị cm,
có thể tích
.
Biết khi đặt hình hộp chữ nhật đó lên mặt bàn
thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là
(minh họa bằng hình vẽ bên). Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải

.

Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật đó là
Từ giả thiết, ta có

Ta có

Xét hiệu

Suy ra

Dấu “=” xảy ra tại

Vậy
HẾT

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học