Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 1
Năm học: 2020-2021.
Môn: TOÁN

Câu 1.

(6,0 điểm). Cho biểu thức

với

và

.

1) Chứng minh rằng
2) Tính giá trị của biểu thức

Câu 2.

biết:

.

(4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
1)
2)

Câu 3.

.

(3,0 điểm).
1) Cho là tích của
số chính phương.

số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng

2) Tìm các số nguyên

Câu 4.

(6,0 điểm)
Cho tam giác
giác
(
.
1) Cho

thỏa mãn điều kiện:

không là

.

vuông tại có
. Kẻ đường cao
(
), phân
). Kẻ
vuông góc với
tại ;
vuông góc với
tại

=9cm,

2) Chứng minh rằng

=12cm. Tính độ dài các đoạn thẳng
.

=

.

và

và

.

là tia phân giác của góc

.

3) Chứng minh rằng

Câu 5.

(1,0 điểm).

1) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng
2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

.
.

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
HẾT

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 1
Năm học: 2020-2021.
Môn: TOÁN

Câu 1.

Cho biểu thức

với

và

.

1) Chứng minh rằng
2) Tính giá trị của biểu thức

biết:

Lời giải

.

1) Chứng minh rằng
Ta có:

(đpcm)
2) Tính giá trị của biểu thức
Xét phương trình:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

biết:

.

. (1)

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Ta có phương trình:
+/ TH2:
Ta có phương trình:
Vậy

.

.

Kết hợp với ĐKXĐ ta thấy:

Thay

Câu 2.

Vậy

vào biểu thức
thì giá tri của biểu thức

(4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
1)
2)

.
Lời giải

1)

ĐKXD:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Vậy

.

2)

.

Vây

.

Câu 3. (3,0 điểm).
1) Cho là tích của
là số chính phương.
2) Tìm các số nguyên

số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng

thỏa mãn điều kiện:

không

.

Lời giải
1) Cho là tích của
là số chính phương.

số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng

Vì trong
số nguyên tố đầu tiên chỉ có là số nguyèn tố chẵn duy nhất nên
và không chia hết cho 4 (1). Suy ra
là số lẻ.
Giả sử

là một số chính phương thì tồn tại số nguyên dương

không
chẵn

sao cho

.
Suy ra

. Điều này trái với (1)
Vậy

2)

không là một số chính phương.

Tìm các số nguyên

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

thỏa mãn điều kiện:
môn

toán:

.
Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Ta thấy:

là số lẻ.

Ta lại có:

. Do dó

Lúc đó:

nên

.

Ta thấy các cặp số
nên là nghiệm của phương trình.

Câu 4.

(6,0 điểm) Cho tam giác
), phân giác
góc với

tại

thỏa mãn (*)

vuông tại
(

). Kẻ

. Kẻ đường cao

vuông góc với

tại

(

;

vuông

.

1) Cho
=9cm,
2) Chứng minh rằng

=12cm. Tính độ dài các đoạn thẳng
và
.
.
=
.
và
là tia phân giác của góc

3) Chứng minh rằng

1) Cho

có

=9cm,

.

Lời giải

=12cm. Tính độ dài các đoạn thẳng

và

.

Ta có:
Xét tam giác

vuông tại

có

Suy ra:

.

Thay vào (*) ta có
2) Chứng minh rằng
Xét
và

.
có:

=

.

.
là tia phân giác của góc

và

.

chung
Suy ra:
Xét

đồng dạng với
và
có:

(

)

.

chung

Suy ra:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

đồng dang với
liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Suy ra:

có

Mà
Suy ra:

là tia phân giác của góc

(đpcm)

3) Chứng minh rằng
Chứng minh:
Suy ra tứ giác
là hình chữ nhật.
Mà
là phân giác của góc
nên tứ giác
Do đó,
.
Xét

có:

là phân giác của góc

Chứng minh tương tự:
Xét

có:

là hình vuông

(

)

là tia phân giác của góc

là phân giác của góc

(1)
.

.

Suy ra
Từ (1), (2) suy ra:
(vì

Câu 5.

(đpcm).

(1,0 điểm).
1) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng
2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

.
. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức
Lời giải
1)

Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng

Ta có:

.

.

(Luôn đúng với mọi a, b dương)
Vậy
2)

.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức

.

Ta có:

(Đã chứng minh ở ý 1) Dấu “=” xảy ra khi

.

Vậy
Chứng minh tương tự:

(2). Dấu “=” xảy ra khi

.

.
(3). Dấu "=" xảy ra khi

.

Dấu "=" xày ra khi
Vậy Max

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học