Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỌ XUÂN
ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1.

(4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:

Với
2) Tìm tất cả các giá trị của
Câu 2.

Câu 3.

sao cho biểu thức

(4,0 điểm)
1)

Giải phương trình:

.

2)

Giải hệ phương trình:

.

(4,0 điểm).
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên
2) Chứng minh rằng nếu
phương.

Câu 4.

có giá trị nguyên.

thỏa mãn:

là số nguyên tố thì

(6,0 điểm) Cho đường tròn
kẻ các tiếp tuyến
tiếp điểm.
điểm của

,

,

và điểm
và cát tuyến

thuộc đường tròn

,

,

,

cố định ở bên ngoài đường tròn. Từ
đến đường tròn

sao cho

,

, với

,

. Gọi

là các
là trung

là giao điểm của

3) Gọi

là điểm thay đổi trên cung nhỏ

tròn
lần lượt cắt
,
đổi. Xác định vị trí của điểm
word

và

cùng nằm trên một đường tròn.

2) Gọi

liệu

không phải là số chính

.

1) Chứng minh bốn điểm

Liên
hệ
tài
039.373.2038

.

. Chứng minh

của đường tròn

tại các điển ,
trên cung nhỏ
môn

toán:

là tiếp tuyến của đường tròn
. Tiếp tuyến qua

.

của đường

. Chứng minh chu vi tam giác
không
sao cho tam giác
có diện tích lớn nhất.
Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Câu 5.

(2 điểm) Cho các số

là các số thực không âm thỏa mãn

Chứng minh rằng:

.
.

HẾT

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 HUYỆN THỌ XUÂN
Năm học: 2020-2021

Câu 1.

(4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:

Với
2) Tìm tất cả các giá trị của

sao cho biểu thức

có giá trị nguyên.

Lời giải
1) Rút gọn biểu thức:

.
2) Tìm tất cả các giá trị của

sao cho biểu thức

có giá trị nguyên.

Với

Ta có:
Ta có:

(1)

Lại có:

(2)

Từ (1) và (2) ta có
Mà
Liên
hệ
tài
039.373.2038

nguyên nên
liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
·
·
·
Vậy
Câu 2.

thì

nhận giá trị nguyên.

(4,0 điểm)
1)

Giải phương trình:

.

2)

Giải hệ phương trình:

.
Lời giải

1)

Giải phương trình:

.

ĐKXĐ:

Ta thấy

không phải là nghiệm của PT, chia cả 2 vế của PT cho

Đặt

ta có

thay vào PT (*) ta có:

Với
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Với

Kết hợp ĐKXĐ suy ra tập nghiệm của PT là

2)

.

Giải hệ phương trình:

ĐK:
Xét PT (1) ta có

mà
Thay

vào PT (2) ta có

Mặt khác

Suy ra

Câu 3.

(thỏa mãn ĐK)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là
(4,0 điểm).
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên
2) Chứng minh rằng nếu
phương.

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

.

thỏa mãn:

là số nguyên tố thì

toán:

.
không phải là số chính

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Lời giải
Ta có:

1

2

2

1

0
1
Vì

nên

.

2) Chứng minh rằng nếu
phương.
Giả sử

là số nguyên tố thì

không phải là số chính

là số chính phương, đặt

Ta có:

Trong hai số

và

có một số chia hết cho số nguyên tố

Mặt khác,
Do đó,
Cả hai số

và

Vậy
Câu 4.

đều nhỏ hơn

.

không phải là số chính phương.

(6,0 điểm)
Cho đường tròn
tuyến

Liên
hệ
tài
039.373.2038

,
liệu

và điểm
và cát tuyến

word

môn

cố định ở bên ngoài đường tròn. Từ
đến đường tròn

toán:

, với

,

kẻ các tiếp

là các tiếp điểm.
Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
,

thuộc đường tròn

sao cho

,

. Gọi

là trung điểm của

.
1) Chứng minh bốn điểm
2) Gọi

,

,

là giao điểm của

,

cùng nằm trên một đường tròn.

và

. Chứng minh

là tiếp tuyến của đường tròn

.
3) Gọi

là điểm thay đổi trên cung nhỏ

của đường tròn

. Tiếp tuyến qua

của

đường tròn
lần lượt cắt
,
tại các điển , . Chứng minh chu vi tam giác
không đổi. Xác định vị trí của điểm trên cung nhỏ
sao cho tam giác
có diện tích lớn nhất.
Lời giải
F

A1
A
I

D

E
C

G
H

M

O

T

K
B
B1

1) Chứng minh bốn điểm
Xét tứ giác

Tứ giác
Vì

,

,

(vì

là tiếp tuyến của đường tròn tâm

)

(vì

là tiếp tuyến của đường tròn tâm

)

nội tiếp đường tròn đường kính

vuông tại

liệu

cùng nằm trên một đường tròn.

có:

là trung điểm của đoạn thẳng

Xét

Liên
hệ
tài
039.373.2038

,

word

nên

môn

(1)

nên
nội tiếp đường tròn đường kính

toán:

(2)

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Từ

và

suy ra 5 điểm

Vậy bốn điểm
2) Gọi

,

,

,

,

,

,

,

cùng nằm trên đường tròn đường kính

cùng nằm trên một đường tròn.

là giao điểm của

và

. Chứng minh

là tiếp tuyến của đường tròn

.
Gọi

;

Ta có:

.

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra:

là đường trung trực của đoạn thẳng

Xét tam giác

vuông tại

có đường cao

Ta chứng minh được

vuông góc

tại

.

, ta có:

(g.g)

Suy ra:
Khi đó

(c.g.c)

Tứ giác

nội tiếp đường tròn
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

mà
hay

(g.g)

hay
Xét

và

(3)
, có:

(hai góc đối đỉnh)

suy ra:
Từ

hay
và

tứ giác
mà tứ giác
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

(4)

suy ra:
nội tiếp đường tròn đường kính
nội tiếp đường tròn (cmt)
word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Suy ra

điểm

,

,

,

,

cùng nằm trên đường tròn đướng kính

hay
là tiếp tuyến của đường tròn

(đpcm).

Cách 2:
Có

.
, có

.
, có

tiếp xúc với đường tròn
3) Gọi

tại

.

.

là điểm thay đổi trên cung nhỏ

của đường tròn

. Tiếp tuyến qua

của đường tròn
lần lượt cắt
,
tại các điển , . Chứng minh chu vi tam
giác
không đổi. Xác định vị trí của điểm trên cung nhỏ
sao cho tam giác
có diện tích lớn nhất.
Do

là tiếp tuyến của đường tròn tâm

tại

nên

và

Ta có:
mà điểm
Qua

và

cố định nên

không đổi. Do đó

kẻ đường thẳng song song

cắt

tại

, cắt

không đổi (đpcm)
tại

.

Ta có:
Từ đó suy ra

(g.g)
hay

(không đổi)

Ta có:
mà

Liên
hệ
tài
039.373.2038

(chứng minh trên)

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
.
Dấu “=” xảy ra
Câu 5.

.

(2 điểm) Cho các số

là các số thực không âm thỏa mãn

Chứng minh rằng:

.
.

Lời giải
Cộng thêm hai vế của

cho

ta được:

Do vậy ta có:
Ta sẽ đi chứng minh mệnh đề sau:

Thật vậy theo bđt Cô si ta có:
Như vậy mệnh đề được chứng minh
Tương tự ta thu được:

và

Cộng lại ta có:

(đpcm )
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
HẾT

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học