Website:tailieumontoan.com

ĐỀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN THI HSG TỈNH THANH HOÁ
NĂM HỌC: 2020 - 2021
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao
đề)
Bài 1

( 4,0 điểm )

1) Rút gọn biểu thức:

với

2) Tính giá trị biểu thức:

Bài 2

với

.

thỏa mãn:

.
( 4,0 điểm)
1) Giải phương trình:

.

2) Giải phương trình:
Bài 3 ( 4,0 điểm)
1) Cho

,

.

là các số nguyên

số nguyên. Chứng minh
2) Tìm số nguyên tố
Bài 4

,

( 6,0 điểm). Cho
nhau tại

. Trên

chia hết cho
,

,

thỏa mãn:

lấy

,

sao cho

là

.
.

nhọn, các đường cao

a) Chứng minh rằng:
b) Gọi

sao cho

,

,

cắt

;

.

.

là giao điểm của đường thẳng

. Chứng minh:

và đường thẳng

.

c) Chứng minh đường thẳng đi qua điểm
vuông góc với
,
đường thẳng đi qua điểm
vuông góc với
và đường
thẳng đi qua điểm
điểm.

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

vuông góc với

toán:

đồng quy tại một

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Bài 5

( 2,0 điểm). Cho

,

,

là các số thực dương thỏa mãn:

.
Chứng

minh

rằng:
.

 HẾT 

Bài 1

ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN THI HSG TỈNH
NĂM HỌC: 2020 – 2021
Môn Toán: Lớp 9
( 4,0 điểm )

1) Rút gọn biểu thức:

với

2) Tính giá trị biểu thức:

với

thỏa mãn:

.
LỜI GIẢI
1) Ta có:

2) Ta có:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

.

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Khi đó:

Suy ra:
.
Vậy với
Bài 2 ( 4,0 điểm)
1) Giải phương trình:

.

2) Giải phương trình:

.
LỜI GIẢI

1) Điều kiện xác đinh:

;

;

;

Vậy tập nghiệm của phương trình là
2) Điều kiện xác định:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Đặt:

Khi đó phương trình trở thành:

+) TH1: Nếu

, ta có:

+) TH2: Nếu

, ta có:

(vô nghiệm, vì

)

Vậy tập nghiệm của phương trình là:
Bài 3 ( 4,0 điểm)
1) Cho

,

là các số nguyên

số nguyên. Chứng minh
2) Tìm số nguyên tố

1) Đặt
 ;
Theo đề bài, ta có:

Mặt khác:

,

sao cho
chia hết cho

,

thỏa mãn:
LỜI GIẢI

 ;

;

nên

hay

,

.
.

và

(với

là

.

là số nguyên)

.

Vậy
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

2) Ta có:
và
lẻ.
Mà

;

khác tính chẵn, lẻ

;

khác tính chẵn,

là các số nguyên tố nên ta xét các trường hợp sau:

+) TH1:

,

ta có:
và

Đặt

là lũy thừa của 2

.

Khi đó:
lẻ)
Suy ra
+) TH 2:
Do

(vì

là số

và
,

, ta có:

là số lẻ nên suy ra

,

(loại)

Vậy
Bài 4

( 6,0 điểm). Cho
nhau tại

. Trên

nhọn, các đường cao
,

lấy

a) Chứng minh rằng:
b) Gọi

,

sao cho

,

,

cắt

;

.

.

là giao điểm của đường thẳng

. Chứng minh:

và đường thẳng

.

c) Chứng minh đường thẳng đi qua điểm
vuông góc với
,
đường thẳng đi qua điểm
vuông góc với
và đường
thẳng đi qua điểm
điểm.

vuông góc với

đồng quy tại một

LỜI GIẢI
a) Chứng minh rằng:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

.

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
A

E
F

H

N

M

Xét

C

D

B

vuông tại

, đường cao

.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có:
(1)
Xét

vuông tại

, đường cao

.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có:
(2)
Xét

và

, có:

chung
(g.g)

(3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra:
b) Chứng minh:

.
A

E
F

O
H

B

G

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

D

C

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Xét

và

, có:

chung
Chứng minh tương tự, ta có:
,
ngoài tại đỉnh

c) Gọi

lần lượt là phân giác trong và phân giác
của

là giao điểm của ba đường trung trực của
(vì

cân tại

(vì

cân tại

);

(vì

cân tại

);

)

Lại có:
Chứng minh tương tự, ta có:

;

.

Vậy đường thẳng đi qua điểm
vuông góc với
, đường
thẳng đi qua điểm
vuông góc với
và đường thẳng đi
qua điểm
Bài 5

vuông góc với

( 2,0 điểm). Cho

,

,

đồng quy tại điểm

.

là các số thực dương thỏa mãn:

.
Chứng

minh

rằng:
.

LỜI GIẢI
Áp dụng bất đẳng thức

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

, ta có:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Mặt khác, ta có:
(1)
Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si, có:

Từ (1) và (2), suy ra:
Chứng minh tương tự, ta có:
;
Do đó:

Dấu

Liên
hệ
tài
039.373.2038

xảy ra khi:

liệu

word

môn

.
 HẾT 

toán:

Tài liệu toán học