HH8 C10 B1: HÌNH CHÓP TAM GIÁC ĐỀU, TỨ GIÁC ĐỀU
TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, THỂ TÍCH
I. TÓM TẮT LÍ THYẾT
A. Hình chóp tam giác đều
1. Các yếu tố của hình chóp tam giác đều
- Hình chóp tam giác đều có đáy là một tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau,
chung một đỉnh. ĐỈnh chung này được gọi là đỉnh của chóp đều.
- Đoạn thẳng nối từ đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác được gọi là đường cao của hình
chóp tam giác đều.
- Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tam giác đều.

+ Hình chóp tam giác đều như hình vẽ bên có 4 mặt, 6 cạnh.
+ Hình chóp tam giác đều
+ Mặt đáy
+ Các mặt bên
+ Các cạnh đáy
+ Các cạnh bên
+

là một tam giác đều
là những tam giác cân tại
bằng nhau.
bằng nhau

gọi là đỉnh của hình chóp tam giác đều

+

là đường cao của hình chóp tam giác đều

+

là một trung đoạn của hình chóp tam giác đều

2. Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều

1

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng nửa tích chi vi đáy với độ dài trung đoạn.
Công thức tổng quát:
+

trong đó

: Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều

+

: nửa chu vi đáy

+

độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều

3. Thể tích của hình chóp tam giác đều

Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao.
Công thức tổng quát:
+

Trong đó

: Thể tích hình chóp tam giác đều.

+ : Diện tích đáy.
+ : Chiều cao của hình chóp tam giác đều.
II. Hình chóp tứ giác đều
1. Các yếu tố của hình chóp tứ giác đều

2

+ Hình chóp tứ giác đều

(như hình vẽ bên)

+ Hình chóp tứ giác có 5 mặt, 8 cạnh
+ Mặt đáy

là hình vuông

+ Các mặt bên
+ Các cạnh đáy
+ Các cạnh bên
+
+

là những tam giác cân tại

.

bằng nhau
bằng nhau

gọi là đỉnh của hình chóp tứ giác đều
là một trung đoạn của hình chóp tứ giác đều

.

2. Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều

- Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều bằng nửa tích chu vi đáy với độ dài trung đoạn.
- Công thức tổng quát:
+

trong đó

: Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều
3

+

: nửa chu vi đáy

+

độ dài trung đoạn của hình chóp tứ giác đều

3. Thể tích hình chóp tứ giác đều

- Thể tích của hình chóp tứ giác đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao.
- Công thức tổng quát:
+

Trong đó

: Thể tích hình chóp tứ giác đều.

+ : Diện tích đáy.
+ : Chiều cao của hình chóp tứ giác đều.

- Công thức tính diện tích tam giác đều cạnh
II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Nhận biết các yếu tố của hình chóp tam giác đều. Tính diện tích xung quanh, thể
tích của hình chóp tam giác đều.
I. Phương pháp giải
+ Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều
+ Sử dụng công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đều
II. Bài toán
Bài 1:
a) Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu đỉnh?
b) Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu cạnh?
c) Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu mặt?
4

Lời giải
a) 4.

b) 6

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều

c) 4.
có đường cao

.

a) Nêu tên các đỉnh, các cạnh của hình chóp tam giác đều
b) Nêu tên các mặt bên; mặt đáy của hình chóp tam giác đều
c) Nêu các trung đoạn của hình chóp tam giác đều
Lời giải
a) Các đỉnh:
b) Các cạnh:
c) Các mặt bên:
Mặt đáy:
d) Các trung đoạn:
Bài 3: Hình ảnh bên là khối

có bốn mặt, các mặt bên, mặt đáy là tam giác đều.

5

a) Khối

có dạng như hình bên thường được gọi là hình gì?

b) Cho biết số mặt, cố cạnh, số đỉnh của hình khối bên?
c) Hình vẽ bên là hình ảnh một chiếc
- 4 mặt, mỗi mặt đều được ghép bởi những
tam giác đều nhỏ bằng nhau. Hãy cho biết có bao nhiêu tam giác đều có trên một mặt của
chiếc

này?

Lời giải
a) Khối

có dạng như hình bên thường được gọi là hình chóp tam giác đều.

b) Số mặt là 4, số cạnh là 6, số đỉnh là 1.
c) Có 13 tam giác đều có trên mặt của một chiếc
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều
cho biết:

có cạnh bên

này.
cm và cạnh đáy

cm. Hãy

a) Độ dài các cạnh bên và cạnh đáy còn lại của hình chóp tam giác đều
b) Số đo mỗi góc của mặt đáy
c) Chu vi đáy là bao nhiêu.
Lời giải

a) Vì các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau nên

cm.

Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều nên các cạnh đáy bằng nhau. Do đó
cm
b) Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều nên các góc của đáy bằng nhau và bằng

c) Chu vi của đáy là:

cm
6

Bài 5: Một giỏ hoa gỗ mini có dạng hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 10 cm và độ
dài trung đoạn bằng 20 cm.

a) Tính chu vi đáy của hình chóp
b) Tính diện tích xung quanh của giõ hoa gỗ mini đó
Lời giải
a) Chu vi đáy của hình chóp tam giác đều là:
b) Nửa chu vi đáy là:

(cm)

(cm)

Diện tích xùng quanh của giỏ hoa gỗ mini là:

(

)

Bài 6:
a) Một khối chóp inox đặt trên đỉnh núi Fansipan (Việt Nam) có dạng hình chóp tam giác
đều với diện tích đáy khoảng
inox trên đỉnh núi Fansipan.

và chiều cao khoảng

b) Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là
cm. Tính thể tích của hình chóp/
7

cm. Tính thể tích của chóp

cm, chiều cao của hình chóp là

Lời giải
a) Thể tích của chóp inox trên đỉnh núi Fansipan (Việt Nam) là:
(
b) Cạnh của tam giác đáy là

)

cm.

Diện tích đáy của tam giác đều là:

(

Thể tích của hình chóp là:

)
(

)

Bài 7:
a) Một khối Rubik có dạng hình chóp tam giác đều. Biết chiều cao của khối Rubik là
cm, thể tích của khối Rubik là

. Tính diện tích đáy của khối Rubik

b) Một hối hình chóp tam giác đều có thể tích là
Tính chiều cao của hình chóp tam giác đều đó

, diện tích đáy là

Lời giải
a) Ta có

Suy ra

Diện tích đáy của khối Rubik là:
b) Ta có:

Suy ra

Chiều cao của hình chóp tam giác đều đó là:
Bài 8: Cho hình chóp tam giác đều

(cm)

với các kích thước như hình vẽ sau:

8

.

a) Cho biết độ dài trung đoạn của hình chóp
b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần ( tức tổng diện tích các mặt) của hình
chóp
c) Tính thể tích của hình chóp

biết chiều cao của hình chóp khoảng

cm.

Lời giải
a) Độ dài trung đoạn của hình chóp

là:

b) Diện tích xung quanh của hình chóp

là:

Tổng diện tích các mặt của hình chóp

là:

c) Thể tích của hình chóp tam giác đều
Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều

cm

là:

có đường cao

bằng 3 cm.
a) Tính cạnh của tam giác
b) Tính tổng diện tích các mặt của hình chóp
c) Tính thể tích của hình chóp
Lời giải:

9

cm, đường cao trong tam giác

a) Gọi
Vì

là trung điểm của

là trọng tâm của
vuông tại

b)

vuông tại

nên

nên theo định lí Pythagore ta có

nên theo định lí Pythagore ta có:

Diện tích của đáy là:
Diện tích xung quanh của hình chóp là:
Tổng diện tích các mặt của hình chóp

là:

c) Thể tích của hình chóp là:
10

Bài 10: Cho hình chóp đều

, đáy là tam giác đều có cạnh bằng

đường tròn ngoại tiếp

cm. Gọi

.

a) Chứng minh
b) Tính thể tích của hình chóp, biết
Lời giải

a) Chứng minh
Xét

đều có

Ta có:

là tâm đường tròn ngoại tiếp
( do

Xét

và

là hình chóp đều).

có:

(c-c-c)

(hai góc tương ứng)
Tương tự chứng minh được

(c-c-c)

(hai góc tương ứng)
Từ

và

ta có

b) Tính thể tích của hình chóp, biết
Gọi

.

là trung điểm của
11

là tâm của

Xét

đều có

là trung điểm của

ÁP dụng định lí Pyhtagore vào

vuông tại
(Do

có:
cm)

cm

Ta có
Xét

cm
vuông tại

ta có

suy ra

vuông tân tại

cm

Thể tích của hình chóp là:
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều
cho đủ nghĩa

như hình vẽ. Hãy điền vào chỗ trống (…) các ý sao

a) Tên mặt đáy là…………………., đáy là hình…………………….
b)

gọi là…………………của hình chóp tam giác đều.

c) Tên các mặt bên:………………………….
12

Các mặt bên là hình……………….bằng nhau
d)

gọi là…………………………của hình chóp tam giác đều

Các đoạn

……………………………

Lời giải:
a) Tên mặt đáy là
b)

, đáy là hình tam giác đều

gọi là đỉnh của hình chóp tam giác đều.

c) Tên các mặt bên:
Các mặt bên là hình tam giác cân bằng nhau
d)
Các đoạn

gọi là cạnh bên của hình chóp tam giác đều
bằng nhau

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều
nghĩa

như hình vẽ. Hãy điền vào chỗ trống (…) các ý cho đủ

a) Chiều cao của hình chóp tam giác đều là đoạn…………………………..
b) Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là đoạn………………………….
c) Công thức tổng quát diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là………….
d) Công thức tổng quát thể tích của hình chóp tam giác đều là………………..
Lời giải:
a) Chiều cao của hình chóp tam giác đều là đoạn
13

b) Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là đoạn
c) Công thức tổng quát diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là

d) Công thức tổng quát thể tích của hình chóp tam giác đều là
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ

Bài 3: Cho hình chóp đều

có đường cao

a) Xác định vị trí chân đường cao

của hình chóp

b) Kể tên đỉnh của hình chóp
c) Kể tên các cạnh bên
d) Kể tên mặt đáy và các mặt bên của hình chóp

Lời giải:
a) Ta có

lần lượt là hình chiếu vuông góc của
nên

lên

là tâm đường tròn ngoại tiếp

b) Đỉnh cảu hình chóp:
c) Các cạnh bên:
d) Mặt đáy:
Bài 4: Cho hình chóp đều

. Mặt bên:
có cạnh đáy bằng

a) Tính chiều cao của hình chóp đều
b) Tính diện tích của một mặt bên
Lời giải:
14

cm, cạnh bên bằng

cm

. Mà

a) Gọi

là tâm

là đường cao của hình chóp

là tam giác đều

(cm)

vuông tại

b) Gọi

(cm)

là trung điểm của

(cm)

vuông tại

(cm)
(

)

Bài 5:
a) Một chiếc đèn thả trần có dạng hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều khoảng 20
cm. Độ dài trung đoạn khoảng 17,32 cm. Tính diện tích xung quanh cảu chiếc đàn thả trần
đó.
b) Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng 4cm và chiều cao tam giác đáy là
3,5cm, trung đoạn bằng 5cm. Tính diện tích xung quang và tổng diện tíc các mặt của hình
chóp
Lời giải:
a) Nửa chu vi đáy của chiếc đèn thả trần là:
Diện dích xung quanh của chiếc đèn thả trần đó là:
15

(cm)

b) Diện tích xung quanh của hình chóp là:
Tổng diện tích các mặt của hình chóp là:
Bài 6: Cho hình chóp tam giác đều

có

, chiều cao

của
a) Tính

b) Tính thể tích hình chóp

Lời giải:

a) Tính
Xét

đều có

là trung điểm của

Áp dụng định lý Pythagore vào

vuông tại
( do

có:
(cm))

b) Tính thể tích hình chóp
Ta có:

Thể tích hình chóp là:
16

,

là trung điểm

Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ

Bài 7: Cho hình chóp tam giác đều có các mặt bên cũng là các tam giác đều. Gọi
cao của hình chóp đều, biết

là đường

. Tính độ dài cạnh của hình chóp

Lời giải:
Vì

là hình chóp tam giác đều, có các mặt bên là tam giác đều

Gọi

là giáo điểm của
là chiều cao của hình chóp đều
,

là trọng tâm

là trung điểm của

Ta có:

Vì

đều,

là trung điểm của

Bài 8: Cho hình chóp tam giác đều

vuông tại

có chiều cao bằng

a) Độ dài đáy của hình chóp là bao nhiêu?
17

và thể tích bằng

b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp
c) Tính tổng diện tích các mặt của hình chóp
Lời giải:

a) Ta có:
Gọi độ dài cạnh đáy là

b) Vì
Vậy

Vì
Trong

thì diện tích đáy là:

nên
là tâm của tam giác đều

đều nên:
vuông tại

, theo định lý Pythagore ta có:

Diện tích xung quanh hình chóp:

c) Diện tích đáy tam giác đều :
18

Tổng diện tích các mặt của hình chóp:
Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao là 2a
a) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp theo a
b) Tính tổng diện tích các mặt của hình chóp theo a
Lời giải:

Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ

a) Xét hình chóp
Gọi

là trung điểm của

có:

và
thì

đường phân giác của tam giác đều

vừa là đường trung tuyến , vừa là đường cao, vừa là
nên

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông

và
vuông tại

ta được:

Do đó
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông

19

vuông tại

, ta có:

b)Ta có:

Tổng diện tích các mặt của hình chóp là:
Bài 10: Cho hình chóp
(

, chân đường cao hạ từ

là giao điểm ba đường trung trực

xuống mặt phẳng

trùng với điểm

)

a) Chứng minh:
b) Trong trường hợp
là tam giác đều có cạnh là
và
thì diện tích
xung quang, tổng diện tích các mặt của hình chóp là bao nhiêu? (làm tròn hai chữ số thập
phân)
Lời giải:

Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ

a) Chứng minh được các tam giác vuông

b) Tam giác
nhau:

đều

bằng nhau (c.g.c)

là hình chóp đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng
(SH là đường cao của tam giác SBC)

20

( : là cạnh

đều, tính

theo

dựa váo định lý Pythagore trong tam giác vuông

)

Do
Tam giác vuông SOH , theo định lý Pythagore ta có:

Tổng diện tích các mặt của hình chóp là

.

Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ

21

22