Website:tailieumontoan.com
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN CẦU GIẤY NĂM 2019 - 2020
Câu 1:

(5 điểm)

1. Cho biểu thức

.

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức

có nghĩa và rút gọn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

2. Cho 3 số dương

.

thỏa mãn:

a) Tính
Câu 2:

.

.

biết

.

b) Chứng minh rằng nếu
(5 điểm)

thì

.

1. Giải phương trình:
2. Tìm các số nguyên

với

thỏa mãn:
.

Câu 3:

(3 điểm)
1. Cho 3 số thực không âm

thỏa mãn:

. Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức

Câu 4:

2. Tìm số nguyên dương
(6 điểm)

để

Cho tam giác đều

cạnh

sao cho

Đặt

a. Biết

là số chính phương.
, hai điểm

, tính diện tích tam giác

b. Chứng minh rằng

theo

.

.

c. Gọi D là trọng tâm tam giác
Câu 5:

lần lượt di động trên hai đoạn

là trung điểm

Vẽ

chứng

minh rằng:
(1 điểm)
Cho một bảng ô vuông
mỗi ô vuông con có thể tô một trong hai màu xanh
hoặc đỏ. Biết rằng ban đầu tất cả các ô đều được tô màu xanh. Cho phéo mỗi lần ta chọn
một hang hoặc một cột và thay đổi màu của tất cả các ô thuộc hàng hoặc cột đó. Hỏi sau
một số hữu hạn lần đổi màu ta có thể thu được một bảng gồm đúng 2000 ô vuông màu đỏ
hay không?

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN CẦU GIẤY NĂM 2019 – 2020
Câu 1: (5 điểm)

1. Cho biểu thức

.

.

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức

có nghĩa và rút gọn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

2. Cho 3 số dương
a) Tính

.

thỏa mãn:

.

biết

.

b) Chứng minh rằng nếu

thì
Lời giải:

.

1.
a) Để P có nghĩa thì:

Vậy với

thì P có nghĩa.

Ta có:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

.

liệu

word

môn

toán:

với

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

.
Vậy với

thì

.

b) Ta có:
Để

đạt giá trị nhỏ nhất thì

đạt giá trị lớn nhất

phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Lại có

nên

.

Giá trị nhỏ nhất của

khi và chỉ khi

Giá trị nhỏ nhất của
Vậy với

thì

khi và chỉ khi

có giá trị nhỏ nhất bằng 0.

2. Với
a) Xét

Do
Liên
hệ
tài
039.373.2038

nên suy ra
liệu

word

.
môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Vậy

.

b) Ta có:

Do

và

nên
mà

nên

(đpcm).
Câu 2:

(5 điểm)
1. Giải phương trình:
2. Tìm các số nguyên

với

thỏa mãn:
.
Lời giải:

1. ĐKXĐ:

(tm).
Vậy

là nghiệm của phương trình.

2. Với

ta có:

Do 17 là số nguyên tố mà
TH1:

suy ra

và

loại do

nên ta có:

.

TH2:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

loại do
Câu 3:

Vậy không có giá trị nào của
(3 điểm)

.

thỏa mãn yêu cầu.

1. Cho 3 số thực không âm

thỏa mãn:

. Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức
2. Tìm số nguyên dương

để

là số chính phương.
Lời giải:

1. Ta có:

GTLN của T bằng 1 khi và chỉ khi
2. Đặt

.

ta được:

Lại có

là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Thật vậy, giả sử

ta có:

chia hết cho

suy ra

=

chia hết cho

chia hết cho
Suy ra

chia hết cho
chia hết cho
chia hết cho

Mà

nên

. Từ đó suy ra

hay

là 2 số nguyên tố cùng nhau.
Để

là số chính phương thì

Đặt

Liên
hệ
tài
039.373.2038

và
Thay

liệu

word

môn

toán:

đều là số chính phương.
vào

ta được:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Vì

ta có bảng sau:
3

1

-21

-7

21

7

-1

-3

6

8

-16

-2

26

12

4

2

32

20

-12

0

4 (tm)

2,5

-1,5

0

Suy ra

Lại có:

hay:

Ta được

. Trả lại ẩn:
(tm).

Câu 4:

Vậy với x = 2 thì
(6 điểm)

là số chính phương.

Cho tam giác đều

cạnh

sao cho

Đặt

a. Biết

, hai điểm

lần lượt di động trên hai đoạn

, tính diện tích tam giác

b. Chứng minh rằng

theo

.

.

c. Gọi D là trọng tâm tam giác

là trung điểm

Vẽ

chứng

minh rằng:
Lời giải:
A
T
M

I

K
G
B

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

N
R

D
C

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
a) Ta có:

(1)
Lại có:

Diện

. Thay vào (1) ta được:

tích

tam

giác

là:

(đvdt).
b) Do

(2)
Giả sử
Lấy điểm

sao cho

và

ta có:

(3)
Từ (2) và (3) suy ra

(đpcm).

c) Trên tia BA lấy điểm
Do

sao cho
(c.g.c)

(ch – gn)
Câu 5:

.
(c.c.c)
(đpcm).

(1 điểm)
Cho một bảng ô vuông
mỗi ô vuông con có thể tô một trong hai màu xanh
hoặc đỏ. Biết rằng ban đầu tất cả các ô đều được tô màu xanh. Cho phéo mỗi lần ta chọn
một hang hoặc một cột và thay đổi màu của tất cả các ô thuộc hàng hoặc cột đó. Hỏi sau
một số hữu hạn lần đổi màu ta có thể thu được một bảng gồm đúng 2000 ô vuông màu đỏ
hay không?
Lời giải:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Trước hết ta chứng minh với mọi cách chọn 2000 ô trên bảng đã cho luôn tồn tại một
bảng con

chứa đúng 1 trong 2000 ô này.

Thật vậy, vì số hàng lớn hơn số ô được chọn nên tồn tại 2 hàng liền nhau
không chứ ô nào và

có chứa ít nhất một ô đã chọn.

Vì số cột cũng lớn hơn số ô được chọn nên tồn tại 2 ô
chỉ có đúng một ô đã chọn.
Gọi

mà

là 2 ô nằm trên

và cùng cột với

cạnh nhau trên

. Bảng con

mà

gồm 4 ô

chỉ có đúng một ô được chọn.
Giả sử ta có thể thu được bảng gồm đúng 1000 ô màu đỏ sau hữu hạn lần đổi màu.
Khi đó theo chứng minh trên tồn tại một bảng vuông con
ba ô còn lại màu xanh.

chứa đúng một ô màu đỏ,

Vì ở trạng thái ban đầu tất cả các bảng vuông con
đều gồm 4 ô màu xanh nên
mỗi lần đổi màu hàng hoặc cột thì số ô màu đỏ và số ô màu xanh trong bảng vuông con
luôn là số chẵn.
Do đó không thể thu được một bảng vuông con
có 1 ô màu đỏ, 3 ô màu xanh.
Suy ra ta có mâu thuẫn.
Vậy không thể thu được bảng chứa đúng 2000 ô màu đỏ sau hữu hạn lần đổi màu.

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học