Chủ đề 4
CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VỀ TỒNG, TÍCH CỦA DÃY SỐ - PHƯƠNG
PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
1. Một số kiến thức cần nhớ
a) Phương pháp làm trội, làm giảm
Giả sử cần chứng minh
rồi chứng minh

, khi đó ta cần làm trội biểu thức A thành

. Cũng có thể làm giảm B thành

rồi chứng minh

.
Phương pháp làm trội, làm giảm thường được áp dụng cho bất đẳng thức về
tổng hoặc tích của một dãy số. Khi đó dùng các tính chất bất đẳng thức để đưa một
vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
+ Ý tưởng chung cho bất đẳng thức dạng tổng của dãy số là:
Giả sử ta cần chứng minh
thực hiện làm trội

, khi đó ta
để thu được

Sau đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức

.

+ Ý tưởng chung cho bất đẳng thức dạng tích của dãy số là:
Giả sử ta cần chứng minh
hiện làm trội

, khi đó ta thực

để thu được

Sau đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức

.

+ Một số tổng sai phân hay dùng

Chú ý:
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

- Ta cần áp dụng làm trội, làm giảm sao cho bất đẳng thức cuối cùng cần
chứng minh phải càng đơn giản càng tốt.
- Thông thường ta tìm quy luật viết các số hạng của dãy rồi đưa ra cách viết
tổng quát, từ đó ta mới làm trội cho số hạng tổng quát và áp dụng cho các số hạng
cụ thể.
b) Phương pháp quy nạp toán học
+ Nội dung của phương pháp quy nạp
Một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n được xem là đúng nếu
thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Bất đẳng thức đúng với giá trị đầu tiên của n
- Từ giả thiết bất đẳng thức đúng với n = k

suy ra được bất đẳng thức

đúng với
+ Các bước chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức

với

, ta

tiến hành các bước như sau:
- Bước 1: Kiểm tra bất đẳng thức đúng với
- Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với
- Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức đúng với
thức đúng với

và kết luận bất đẳng

.

Chú ý:
- Thông thường khi chứng minh bất đẳng thức có sự phụ thuộc vào số nguyên
dương n, thì ta nên chú ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
- Trong phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức có được từ bước thứ
hai chính là một giả thiết mới được dùng để chứng minh bất đẳng thức trong bước
thứ ba. Do đó cần phải khai thác thật hiệu quả giả thiết quy nạp.
2. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Với mọi số tự nhiên n >1. Chứng minh rằng:
Phân tích và lời giải
Nhận thấy tổng trên có n số hạng, do đó ta làm trội bằng cách thay mẫu
với

bằng

. Tức là ta có:
, với

Khi đó ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ví dụ 2. Với mọi số tự nhiên

. Chứng minh rằng:

Phân tích và lời giải
+ Trước hết ta chứng minh:
Tổng trên có

số hạng và lại thấy

, do đó áp dụng tư

tưởng như ví dụ trên ta làm trội bằng cách thay mỗi số hạng bằng số hạng lớn nhất.
Tức là ta được

+ Bây giờ ta chứng minh:
Tổng trên có

số hạng và số hạng chính giữa là

, ta chuyển bất

đẳng thức cần chứng minh thành

Ở đây ta lại nhận thấy

có chứa số hạng chính giữa,

do đó ý tưởng ở đây là ghép các cặp dạng
được n tổng, rồi chứng minh mỗi tổng đó đều lớn hơn
tổng trên đều lớn hơn

. Để chứng minh các

ta chỉ cần chứng minh được

trong đó k nhận các giá trị từ

Ta có

thì

. Thật vậy:

Đến đây ta có lời giải như sau:

Vậy ta được
Vậy bài toán được chứng minh
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

,

Nhận xét: Bất đẳng thức bên trái là một bất đẳng thức khó, sử dụng cách làm như
bất đẳng thức bên phải không đem lại hiệu quả, cho nên ta phải tìm một phương án
khác. Điểm quan trọng để tìm ra lời giải cho bài toán này chính là phát hiện các
tổng bằng nhau

và ý tưởng

ghép các cặp
một tử số là

sao cho khi quy đồng có cùng
và bước tiếp theo chính là đánh giá mẫu về cùng

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

.

ta có:

Phân tích và lời giải
Đặt
+ Chứng minh

. Tổng P có

số hạng, ta ghép thành n cặp cách đều

hai đầu, còn lại một số hạng đứng giữa là

, mỗi cặp có dạng:

Do đó ta được:
+ Chứng minh

.

Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta cần có bổ đề sau:
Bổ đề: Với mọi

, ta có:

Chứng minh: Từ giả thiết

, ta thấy các mẫu số đều dương và

. Quy đồng mẫu số hai vế ta có

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, nên bổ đề được chứng minh
Viết lại biểu thức P và áp dụng bổ đề ta có

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Hay
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét: Ý tưởng của bài toán trên cũng là ghép theo cặp, với bất đẳng thức bên
trái ta thấy không có vấn đề gì lớn cả. Tuy nhiên với bất đẳng thức bên phía phải, sẽ
thực

sự

gây

ra

nhiều

khó

khăn

nếu

không

phát

hiện

ra

bổ

đề:

Với

, ta có:

Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số nguuyên dương

ta có

Phân tích và lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh là một bất đẳng thức kép nên ta chia thành
hai bất đẳng thức để chứng minh. Nhận thấy tổng trên có

phân số nên nếu

chia theo nhóm tương tự như ví dụ trên không đem lại hiệu quả vì khi quy đồng theo
nhóm thì các tử số không bằng nhau. Để tiện cho việc tìm lời giải ta đặt:

Tức là ta cần chứng minh
Quan sát yêu cầu bài toán, ta thấy có thể làm trội bằng cách chia biểu thức
thành nhiều nhóm, rồi làm trội từng nhóm.
+ Trước hết ta chứng minh
.
Để ý ta thấy
(có n số 1), nên ta có thể chia P thành n nhóm
sao cho mỗi nhóm đều có thể bé hơn hoặc bằng 1. Ta có thể làm như sau:

Như vậy P được chia thành các nhóm có số phân số lần lượt là:
cần kiểm tra xem tổng các phân số có phải là
Ta có

, ta

không?

, điều này có nghĩa là ta nhóm vừa đủ, và có tất

cả n nhóm như vậy, khi này ta có thể giải được như sau:
Ta có:

Làm trội biểu thức bằng cách thay các phân số trong mỗi ngoặc bằng phân
số lớn nhất trong mỗi nhóm ta được

+ Để chứng minh

ta cũng làm tương tự.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ta có
Làm trội biểu thức bằng cách thay phân số trong mỗi ngoặc bằng phân số
nhỏ nhất trong mỗi nhóm ta được.

Kết hợp hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương, ta luôn có:

Phân tích và lời giải
Để chứng minh bất đẳng thức trên ta cần làm trội mỗi phân số bằng các thay
mẫu số bằng một số nhỏ hơn. Để ý đến đánh giá
các đánh giá có dạng

, cho

bất đẳng thức

, khi đó ta thu được
ta thì ta được một
. Bây giờ ta cần

kiểm tra xem

có đúng không. Dễ thấy bất đẳng

thức trên đúng, do đó ta trình bày lại lời giải như sau:
Ta có:
Cho

là số nguyên dương.
ta có:

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:
Suy ra

. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta luôn có:

Lời giải
Ta có
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét: Bất đẳng thức tổng quát của ví dụ trên là:
,
Ta thay k bởi một số tự nhiên khác 0 tuỳ ý sẽ được các bài toán mới,
chẳng hạn với

ta có

Ví dụ 6. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có với mọi

thì

Cho

nên
, ta có:

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Phân tích và lời giải
Dễ thấy vì n là số nguyên dương nên ta có:
Bây giờ ta chứng minh

.

Thực hiện ý tưởng làm trội như các ví dụ trên với đánh giá
là ta sẽ thu được một bất đẳng thức

. Tức
, tuy nhiên

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

ở đây ta không thể khẳng định được

là đúng. Do đó trong bất đẳng thức

trên ta không thể làm trội theo các đánh giá như trên được. Tất nhiên là với bài toán
này ta vẫn thực hiên ý tưởng làm trội nhưng với một đánh giá tốt hơn, khi đó ta cần
một đánh giá theo kiểu

. Để ý ta viết lại

được bất đẳng thức cần chứng minh là

nên với

chọn các giá trị a, b nguyên dương sao cho
ta chọn được

khi đó ta

, thử một vài trường hợp

. Tức là ta được

. Vấn

đề bây giờ ta cần kiểm tra xem đánh giá được chọn có đủ tốt hay không:

Như vậy đánh giá ta chọn là một đánh giá đủ tốt nên ta chỉ cần trình bày lại
lời giải cho bài toán như sau:
Ta có, với mọi
Cho

, ta có:

ta có:

Cộng vế với vế các đánh giá trên ta được:

Từ (1) và (2) được bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta luôn có:

Phân tích: Để ý ta thấy với mọi
ta có đánh giá
bằng cách cho

ta luôn có

, khi đó

, bây giờ ta làm trội theo đánh giá đó
.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lời giải
Ta có:
Cho

ta có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Mặt khác ta lại có

Như vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét: Bài toán tổng quát là với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

Ta có thể đặc biệt hóa bằng cách
- Chọn n là một số tự nhiên bất kì, chẳng hạn với

ta có bài toán:

Chứng minh rằng:
- Chọn giá trị n là năm thi, chẳng hạn với

ta có bất đẳng thức:

Ví dụ 9. Chứng minh rằng:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức kép nên ta cần một
đánh giá kép là

, bây giờ ta làm trội và làm giảm

theo đánh giá đó bằng cách cho

.
Lời giải

Ta có:

Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được:
Cho

ta có:

Đặt

, cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Ta cần chứng minh:
Và
+ Chứng minh:
Ta có:

+ Chứng minh:
Ta có:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 10. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

, ta luôn có:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Phân tích và lời giải
Để ý ta thấy các mẫu số được viết dưới dạng
giá kiểu

, ta cần một đánh

. Trước hết ta thử với bất đẳng thức Cauchy, khi đó ta được
. Do đó ta có

Bây giờ ta cho

.

thì ta thu được

Bất đẳng thức được chứng minh nếu ta chỉ ra được

, tuy

nhiên đánh giá đó không đúng với giá trị n lớn. Có phải ta đang làm trội với một
đánh giá sai.
Đến đây hoặc ta vẫn sử dụng các đánh giá đó nhưng với k nhận giá trị lớn
hơn 1 hoặc ta tìm một đánh giá khác. Chú ý một tí ta nhận thấy
cần làm trội từ

, do đó ta

và khi đó ta thu được kết quả là

Đến đây, chỉ cần trình bày lại lời giải mà không cần phải tìm đánh giá khác
nữa.
Lời giải
Ta có:
Cho

ta có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Hay
Ví dụ 11. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

, ta có:

Lời giải
Đặt

, thực hiện làm trội mỗi phân số ở vế trái bằng cách làm

giảm mẫu, ta có
Cho

, ta có:

Do đó ta được

hay bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 12. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

, ta có:

Phân tích và lời giải
Gọi vế trái của bất đẳng thức là P, ta cần làm trội P thành Q với điều kiện là
Q phải dễ thu gọn hơn, điều này có nghĩa là Q phải có các tử và mẫu giống nhau. Để
ý rằng các phân số có tử, mẫu hơn kém nhau hai đơn vị, nên ta nghĩ đến bất đẳng
thức
.
Đặt

, lúc này ta có

Nhận thấy Q không thể thu gọn được hết nên rất khó để có đánh giá tiếp
theo. Để ý tiếp ta thấy các tử của biểu thức Q và các mẫu của biểu thức P là
và các mẫu của biểu thức Q và các tử của biểu thức P là
do đó
thì tích PQ có thể thu gọn được. Chú ý là
như sau:

, do đó ta có thể trình bày lời giải

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Từ đây suy ra

. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 13. Chứng minh rằng với mọi số nguuyên dương

ta có

Phân tích: Để ý ta biến đổi được số hạng tổng quát của các số hạng trên như sau:

Bây giờ ta làm trội bất đẳng thức trên bằng cách cho

.

Lời giải
Ta có:
Cho k nhận được giá trị 2, 3 ,…, n rồi cộng lại ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 14. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi

Phân tích và lời giải
Dễ nhận ra các phân số có dạng tổng quát là

đánh giá ta cần biến đổi

, cho nên trước khi

Quan sát chiều bất

đẳng thức ta nhận thấy để đánh giá làm trội thì ta có hai cách
- Thay phân số

bởi số nhỏ hơn.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

- Thay phân số

bởi số lớn hơn.

Trong hai cách trên dù thực hiện theo cách nào thì kết quả thu được càng đơn
giản càng tốt và có thể liên tiếp được.
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

, với cách đánh

giá này ta thu được kết quả

.

Rõ ràng với kết quả đó ta có thể khử được liên tiếp. Bây giờ kiểm tra xem với
đánh giá như vậy ta có chứng minh được bài toán không?
Cho
rồi cộng lại ta được:

Đây là kết quả đúng, ta có thể trình bày lại lời giải như sau:
Sử dụng bất đẳng thức

Cho

, ta có

thì:

rồi cộng lại ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 15. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương, ta luôn có:

Phân tích và lời giải
Để chứng minh bất đẳng thức có chứa căn thức ở mẫu thì điều đầu tiên là
tìm cách trục căn thức mẫu, trong bài toán này khi trục căn thức ở mẫu trực tiếp thì

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

ta thu được kết quả

, để ý thấy trong căn là các số tự nhiên liên tiếp nên ta

cần viết được
về dạng
hoặc
, tuy nhiên các phân số còn
phụ thuộc vào k ở mẫu nên không thể khử liên tiếp được, do đó cách làm này không
đem lại kết quả. Cũng thực hiện theo ý tương này, nhưng ta cần tìm cách cố định
mẫu số, do đó ta cần biến đổi chút ít trước khi trục căn thức.
Để ý ta thấy

, do đó ta làm trội được

,

đến đây ta mới trục căn thức thì thu được kết quả
này chỉ cần cho

. Lúc

là có thể khử được các căn thức ở giữa và kết quả

thu được là

chính là vế phải của bất đẳng thức. Bây giờ ta trình bày lại

lời giải như sau:
Ta có:
Cho

là số nguyên dương.
ta có:

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 16. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Phân tích và lời giải
Để ý cách viết các số hạng của tổng trên có dạng
sao cho có thể khử được liên tiếp. Nhận nhấy ở mẫu có chứa k và
viết 1 thành
thức ta làm trội được

, ta cần làm trội
nên ta cần

, quan sát chiều của bất đẳng
, đến đây ta có

kết quả là:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ta có:

Bây giờ ta có thể trình bày lời giải như sau:

Cho

rồi cộng vế với vế ta có:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét: Bài toán tổng quát là với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

Ta có thể đặc biệt hóa bằng cách
- Chọn n để
là một số chính phương, chẳng hạn với

ta có bài toán:

Chứng minh rằng:
- Chọn giá trị n là năm thi, chẳng hạn với

ta có bất đẳng thức:

Đây là đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Thái Bình năm 2009 – 2010
Ví dụ 17. Với số tự nhiên
.
Đặt

Chứng minh rằng:
Phân tích: Để ý ta biến đổi được số hạng tổng quát của các số hạng trên như sau:

Bây giờ ta làm trội bất đẳng thức trên bằng cách cho
Lời giải
Vì

nên

.
.

Do đó ta được:

Cho

rồi cộng vế với vế ta có
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét: Bài toán tổng quát là với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

Ta có thể đặc biệt hóa bằng cách
- Chọn n để
là một số chính phương, chẳng hạn với
Chứng minh rằng:

- Chọn giá trị n là năm thi, chẳng hạn với

ta có bài toán:

ta có bất đẳng thức:

Đây là đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2001 – 2002
Hoặc
ta có bất đẳng thức:

Đây là đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Ninh Bình năm 2007 – 2008
Ví dụ 18. Chứng minh rằng:

Phân tích: Để ý ta biến đổi được số hạng tổng quát của các số hạng trên như sau:

Bây giờ ta làm trội bất đẳng thức trên bằng cách cho

.

Lời giải
Đặt
Để ý rằng với

, ta có:

Cho

rồi cộng vế với vế ta có:
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Do đó ta được

. Như vậy, ta phải chứng minh:
.

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên có điều phải chứng minh.
Nhận xét: Thực chất đây là bài toán tính tổng:

Đến đây ta có thể chọn n là một giá trị nào đó rồi có thể làm trội, làm giảm
để tự sáng tạo ra các bất đẳng thức tương ứng.
Ví dụ 19. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Phân tích và lời giải
Nhận thấy số hạng tổng quát được viết dước dạng

. Quan

sát chiều bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy cần phải chứng minh được bất đẳng
thức kiểu

với điều kiện biểu thức A phải chứa k và

đồng

thời phải phân tích được thành tích, do đó biểu thức A có thể là
Bây giờ ta cần chứng minh
ta có thể đặt

.
. Để đơn giản hơn

rồi chứng minh

, bất đẳng thức

này được chứng minh bằng phép biến đổi tương đương. Đến đây ta thu được bất
đẳng thức:
.
Bây giờ ta cần chứng minh được :

Rõ ràng đây là kết quả của bài toán trong ví dụ trên. Ta có thể trình bày lời giải như
sau:
Bổ đề: Với mọi số thực dương x, y ta có:
Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, ta được:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Vậy bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề ta có:

Vì thế ta được:

Mà theo kết quả của ví dụ trên thì

Vậy bài toán đươực chứng minh.
Nhận xét: Quan sát kĩ hai ví dụ 14 và 15 ta nhận thấy, để chứng minh được bất
đẳng thức trong ví dụ 15 thì ta chỉ cần chứng minh được:

Điều này tương đương với chứng minh

.

Tuy nhiên trong tình huống không có ví dụ 14 thì bất đẳng thức trong ví dụ
15 thực sự là khó, để tìm ra được đánh giá
cần phải phân tích thật kĩ mối quan hệ giữa các con số trong bài toán.
Ví dụ 20. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng mọi

:

Lời giải
Bổ đề: Với mọi x, y > 0, ta có
Chứng minh: sử dụng phương pháp biến đổi tương đương ta được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Do x, y > 0 nên bất đẳng thức cuối cùng đúng, bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề với

, ta được:

Từ đây suy ra:

Cho

rồi cộng vế với vế ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 21. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng:

Lời giải
Ta sẽ chứng minh:

Thật vậy, bất đẳng thức bên trái tương đương với

Bất đẳng thức bên phải tương đương với
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Cả hai đánh giá cuối cùng đề đúng, do đó bất đẳng thức (*) được chứng minh.
Bây giờ ta áp dụng bất đẳng thức trên cho
, khi đó ta được:

Cộng các bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta thu ngay được kết quả cần chứng
minh.
Ví dụ 22. Chứng minh rằng với mọi số nguyên

, ta có:

Phân tích: Với bất đẳng thức dạng như bài toán này ta thường dùng phương pháp
quy nạp toán học để chứng minh. Do đó ta thực hiện theo trình tự các bước quy
nạp, vấn đề là khi thực hiện quy nạp ta sử dụng giả thiết quy nạp như thế nào mà
thôi. Trong bài toán này ta có giả thiết quy nạp là
. Để ý là

và cần phải chứng minh

nên ta được

. Do

đó để hoàn tất chứng minh ta cần chỉ ra được

, đây là kết quả đúng theo

giả thiết quy nạp. Đến đây ta trình bày lời giải như sau:
Lời giải
+ Với

, bất đẳng thức trở thành:

(đúng)

Suy ra bất đẳng thức đúng với
+ Giả sử bất đẳng thức đúng đến
+ Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với

, tức là ta được
, hay

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có:
Vì

nên

Suy ra ta được
Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức đúng với

, nên theo nguyên lý quy nạp thì

bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 23. Cho

là một số thực cho trước. Chứng minh rằng với mọi số nguyên

dương n, ta luôn có:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Phân tích: Ta sử dụng phưng pháp quy nạp để chứng minh bài toán này. Ở đây giả
thiết quy nạp là

và ta cần chứng minh

. Nhận

thấy từ giả thiết quy nạp ta có
được

, ta cần chỉ ra
, nhưng đây rõ ràng là một kết quả đúng. Do đó ta

trình bày lại lời giải như sau:
+ Với

Lời giải

, bất đẳng thức trở thành

Suy ra bất đẳng thức đúng với

(đúng).

.

+ Giả sử bất đẳng thức đúng đến

, tức là ta được

+ Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với
Thật vậy, vì

, hay

nên theo giả thiết quy nạp, ta có

Mà

nên

Hay bất đẳng thức đúng với

, nên theo nguyên lý quy nạp suy ra bất đẳng

thức được chứng minh.
Ví dụ 24. Chứng minh với mọi số thực a, b thỏa mãn

, ta có:

Phân tích: Ta chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp quy nạp, tuy
nhiên để chứng minh được

, ta cần chứng minh được bất đẳng

thức
.
Lời giải
+ Với

, bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

+ Giả sử bất đẳng thức đúng đến
+ Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với
Thật vậy, vì

, tức là ta có:
, hay

, nên theo giả thiết quy nạp ta có:

Bất đẳng thức đúng với

nếu ta chứng minh được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Mà (*) tương đương với

Vì vai trò của a, b như nhau nên ta có thể giả sử
Mặt khác, từ

, khi đó

nên

Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức (**) luôn đúng.
Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 25. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Phân tích: Bất đẳng thức trên có thể chứng minh được theo cách làm trội như ví dụ
12. Tuy nhiên ở đây ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Theo bài toán ta có giả thiết quy nạp là

và cần

chứng minh được

, như vậy để hoàn thành bài toán

ta cần chỉ ra được

. Đây là bất đẳng thức đúng có thể

chứng minh bẳng phép biến đổi tương đương.
Lời giải
+ Kí hiệu bất đẳng thức đã cho là (*) , với

, bất đẳng thức trở thành
(đúng)

Bất đẳng thức đúng với

.

+ Giả sử (*) đúng đến

, tức là ta được

+ Ta cần chứng minh (*) đúng với

, hay

Theo giả thiết quy nạp, ta có

Bất đẳng thức (*) đúng với

khi

(đúng)
Do đó (*) đúng với

, nên theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức đúng với

mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 26. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lời giải
+ Với

bất đẳng thức có dạng:

(đúng)

Nên bất đẳng thức đúng với
+ Giả sử bất đẳng thức đúng đến

, tức là

+ Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với

, hay

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

Hay

. Do đó bất đẳng thức đúng với

, nên theo nguyên lý quy

nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 27. Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất đẳng thức:
Lời giải
Thử trực tiếp với
ta thấy
thì bất đẳng thức đúng.
Ta sẽ chứng minh mọi giá trị cần tìm của n là
minh bất đẳng thức sau đúng với mọi
+ Với

. Tức là chứng

:

thì bất đẳng thức trở thành có dạng

(đúng)

Nên bất đẳng thức đúng với n = 4
+ Giả sử bất đẳng thức đúng đến

tức là:

+ Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với

, hay

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có
Nhưng với mọi

thì

Suy ra bất đẳng thức đúng với

, nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng

thức đúng. Vậy bài toán được hoàn thành.
Ví dụ 28. Cho n số thực dương

có tích bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải
+ Với

, thì

(đúng) nên bất đẳng thức đúng với

.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

+ Giả sử bất đẳng thức đúng đến

, tức là với mọi

thỏa mãn
thì
+ Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với

, nghĩa là với mọi

thỏa mãn
Do

thì

và vai trò các biến số như nhau nên có thể coi
hay

Đặt

thế thì

là k số dương thỏa mãn

, do vậy

theo giả thiết quy nạp ta có:
Từ (1) và (2), ta suy ra
Điều này chứng tỏ bất đẳng thức cũng đúng với

, theo nguyên lý quy

nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n .
Ví dụ 29. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

ta có:

Lời giải
+ Với

, thì bất đẳng thức có dạng:

(đúng),

Nên bất đẳng thức đúng với n = 2
+Giả sử bất đẳng thức đúng đến

, tức là

+ Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với

, hay

Sử dụng giả thiết quy nạp ta được:
Vì

nên

Do đó ta được
Vậy bất đẳng thức đúng với

nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng

thức đúng với mọi số nguyên dương
Ví dụ 30. Chứng minh rằng với mọi

.
, ta có

Phân tích tìm lời giải
Khác với bài toán trước, ở bài này các bạn sẽ gặp “một chút rắc rối” ở bước
chuyển quy nạp, tức là ở đây ta gặp trường hợp “giả sử bất đẳng thức đúng với k
nhưng không chứng minh được sẽ đúng cho k + 1”, thật vậy nếu bất đẳng thức
đúng cho n = k, tức ta có :

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Khi đó nếu sử dụng giả thiết quy nạp này cho

Nhưng

, ta sẽ có :

nên ta chẳng thu được điều gì ở đây!

Như vậy, ta nên làm gì để vượt qua chướng ngại này?
Nếu để nguyên dạng như ban đầu thì khó mà giải quyết thành công bài toán
bằng quy nạp, do đó ta cần biến đổi bất đẳng thức đã cho một chút, ở đây ta chọn
một biểu thức trung gian kiểu

thích hợp sao cho bất đẳng thức sau

đúng:

Số m này phải thỏa mãn hai điều kiện sau:
+ Bước chuyển quy nạp từ k sang k + 1 có thể thực hiện được.
+ Bất đẳng thức trên đúng với một “giá trị đầu” của n (lưu ý “giá trị đầu” ở
đây có thể khác với giá trị đầu của bất đẳng thức cho ở đề bài ). Đây sẽ là khởi điểm
phép quy nạp của ta .
Xét điều kiện đầu tiên ta có:
Do đó m phải thỏa mãn

Bất đẳng thức cuối cùng này đúng với mọi k khi và chỉ khi
Xét điều kiện thứ hai:
+ Với n = 1 bất đẳng thức trở thành:
(không được vì m

)

+ Với n = 2 bất đẳng thức trở thành:
(không được vì m

)

+ Với n = 3 bất đẳng thức trở thành:
(không được vì m

)

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

+ Với n = 4 bất đẳng thức trở thành:

Bất đẳng thức này đúng với m

. Như vậy ta sẽ chọn m =

và điểm xuất phát

quy nạp là n = 4, ta đi đến lời giải cho cả bài toán như sau
Lời giải
Kiểm tra trực tiếp ta thấy bất đẳng thức đã cho đúng với n = 1, 2, 3
Xét trường hợp

+ Với

. khi đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn

bất đẳng thức trở thành
(đúng)

Nên bất đẳng thức đúng với

.

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với

, tức là

+ Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với

, hay

Sử dụng giả thiết quy nạp ta được

Do vậy chỉ cần chứng minh

Đánh giá cuối cùng hiển nhiên đúng. Vậy bất đẳng thức đúng với
nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi

, nên theo

.

Bài toán được chứng minh xong.
Ví dụ 31: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi

Lời giải
Kiểm tra trực tiếp, ta dễ thấy bất đẳng thức đúng với
Xét trường hợp

.

, khi đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

+ Với

bất đẳng thức trở thành
(đúng)

Nên bất đẳng thức đúng với
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với

, tức là

+ Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với

, hay

Sử dụng giả thiết quy nạp ta được

Do đó ta chỉ cần chứng minh

Đánh giá cuối cùng hiển nhiên đúng.
Vậy bất đẳng thức đúng với
thức đúng với mọi

, nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng

.

Vậy bài toán được chứng minh xong.
Ví dụ 32: Cho các số thực dương

thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng:
Lời giải
+ Với

ta có

là một đẳng thức đúng.

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với

+ Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với

, tức là ta có

, tức là

Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta được

Ta cần chứng minh
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

.

Rõ ràng bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Theo nguyên lí quy nạp ta suy
ra bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 33: Cho các số thực

. Chứng minh rằng:

Lời giải
+ Với

bất đẳng thức trở thành

(đúng)

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với

, tức là

+ Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với

, tức là

Theo giả thiết quy nạp ta được

Như vậy ta cần chứng minh được

Rõ ràng bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra
bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 33: Cho x là số thực dương bất kì. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương
ta luôn có:

Lời giải
+ Với

bất đẳng thức trở thành

Như vậy bất đẳng thức trên đúng với
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với

, tức là ta có

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

+ Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với

, tức là

Theo giả thiết quy nạp ta được
Ta cần chứng minh

Rõ ràng bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra bất
đẳng thức được chứng minh.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word