TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Điện thoại: 0946798489

• CHƯƠNG 4. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng.
Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( ) . Nếu d và ( ) không có điểm chung thì ta nói d song
song với ( ) hay ( ) song song với d và kí hiệu là d / /( ) hay ( ) / /d .
Ngoài ra:
- Nếu d và ( ) có một điểm chung duy nhất M thì ta nói d và ( ) cắt nhau tại điểm M và kí
hiệu d  ( )  {M } hay d  ( )  M .
- Nếu d và ( ) có nhiều hơn một điểm chung thì ta nói d nằm trong ( ) hay ( ) chứa d và kí
hiệu d  ( ) hay ( )  d .

Ví dụ 1. Cho hình tứ diện ABCD ( H .4.35) .

Trong các mặt phẳng chứa các mặt của hình tứ diện, hãy cho biết:
a) Đường thẳng AB cắt các mặt phẳng nào;
b) Đường thẳng AB nằm trong các mặt phẳng nào.
Giải
a) Đường thẳng AB cắt các mặt phẳng ( ACD) và ( BCD ) .
b) Đường thẳng AB nằm trong các mặt phẳng ( ABC ) và ( ABD)
2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng ( P) và song song với một đường thẳng nằm
trong ( P) thì a song song với ( P) .
Ví dụ 2. Cho ba đường thẳng a, b, c đôi một song song với nhau và không cùng nằm trong một
mặt phẳng ( H .4.37) .

Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Chứng minh rằng đường thẳng a song song với mp(b, c) .
Giải
Ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng nên đường thẳng a không nằm
trong mp (b, c) . Vì đường thẳng a song song với đường thẳng b và đường thẳng b nằm trong
mp(b, c) nên đường thẳng a song song với mặt phẳng mp(b, c) .
Ví dụ 3. Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Chứng minh rằng có một mặt
phẳng chứa a và song song với b .
Giải (H.4.38)

Lấy điểm M bất kì thuộc a . Qua M kẻ đường thẳng b song song với b và đặt ( P )  mp a , b .
Vì a và b chéo nhau nên đường thẳng b không nằm trong mặt phẳng ( P) . Vì b song song với

b nằm trong mặt phẳng ( P) nên b song song với ( P) . Vậy ( P) là mặt phẳng chứa a và song
song với b .
Chú ý. Ta có thể chứng minh rằng mặt phẳng ( P) trong Ví dụ 3 là mặt phẳng duy nhất chứa
đường thẳng a và song song với đường thẳng b . Như vậy, cho trước hai đường thẳng chéo nhau,
có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( P) . Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt ( P) theo
giao tuyến b thì b song song với a .
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD , điểm E nằm giữa hai điểm A và C . Gọi ( P) là mặt phẳng qua E
và song song với hai đường thẳng AB, CD ( H .4.39) .

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Xác định các giao tuyến của ( P) và các mặt của tứ diện. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Giải
Mặt phẳng ( ABC ) chứa đường thẳng AB song song với mặt phẳng ( P) nên mặt phẳng ( ABC )
cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến song song với AB . Vẽ EF / / AB ( F thuộc BC ) thì EF là
giao tuyến của ( P) và ( ABC ) .
Hai mặt phẳng ( ACD) và ( BCD) cùng chứa đường thẳng CD song song với mặt phẳng ( P) nên
chúng cắt mặt phẳng ( P) theo giao tuyến song song với CD . Vẽ EH , FG song song với CD ( H
thuộc AD, G thuộc BD ) thì EH , FG lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng ( P) với hai mặt phẳng
( ACD), ( BCD) . Khi đó GH là giao tuyến của ( P) và ( ABD) .
Mặt phẳng ( ABD) chứa đường thẳng AB song song với mặt phẳng ( P) nên giao tuyến GH của
( ABD) và ( P) song song với AB . Tứ giác EFGH có EF / / GH (vì cùng song song với AB )
và EH / / FG (vì cùng song song với CD ) nên nó là hình bình hành.
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
DẠNG 1. BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
 d //Δ

.
 d //
d 

Δ 

Câu 1.

(SGK-KNTT 11- Tập 1) Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng

( P) . Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu
b) Nếu
c) Nếu
d) Nếu

a và ( P) có điểm chung thì a không song song với ( P ) .
a và ( P ) có điểm chung thì a và ( P) cắt nhau.
a song song với b và b nằm trong ( P) thì a song song với ( P) .
a và b song song với ( P) thì a song song với b .

Câu 2. (SGK-KNTT 11- Tập 1) Bạn Nam quan sát thấy dù cửa ra vào được mở ở vị trí nào thì mép trên
của cửa luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy cho biết đó là mặt phẳng nào và giải thích tại sao.

Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Câu 3.

(SGK-KNTT 11- Tập 1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang ( AB / / CD ) . Hai đường

thẳng SD và AB có chéo nhau hay không? Chỉ ra mặt phẳng chứa đường thẳng SD và song song với AB .
Câu 4. (SGK-KNTT 11- Tập 1) Cho hai tam giác ABC và ABD không cùng nằm trong một mặt
phẳng. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , AD .
a) Đường thẳng AM có song song với mặt phẳng ( BCD) hay không? Hãy giải thích tại sao.
b) Đường thẳng MN có song song với mặt phẳng ( BCD) hay không? Hãy giải thích tại sao.
Câu 5.

(SGK-KNTT 11- Tập 1) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh

BC , CD . Chứng minh rằng đường thẳng BD song song với mặt phẳng ( AMN ) .
Câu 6.

Cho hình chóp S. ABCD , ABCD là hình bình hành. M , N là trung điểm của SA, CD .

Chứng minh MN // SBC .
Câu 7.

Lăng trụ ABC. ABC . M , N là trung điểm của AC , BC . Chứng minh MN // ABBA

Câu 8.

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . M , N thuộc hai đoạn A ' B ' và DD ' để A ' M  DN .

Chứng minh song song với một mặt phẳng cố định.
Câu 9. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . G1 , G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác A ' B ' C ' và ABB ' .
Chứng minh rằng G1G2 // BCC ' B ' .
Câu 10. Cho hai hình bình hành ABCD , ABEF không đồng phẳng. M  AC , N  BF để
AM BN 1

 . Chứng minh MN // CDEF .
AC BF 3
Câu 11. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , M  B ' C . Vẽ MN //CC ' , N  B ' C ' . Vẽ NP / / A ' C ' , P  A ' B ' . Vẽ
PQ // AA ' , Q  B ' A . Chứng minh MQ // ABC .

Câu 12. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . M , N là trung điểm của A ' B ' , DD ' . Chứng minh

MN // A ' BD .
Câu 13. Cho hình chóp S. ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC ; G , G lần lượt là
trọng tâm các tam giác SAB và SBC .
a) Chứng minh MN // SAC .
b) Chứng minh GG// SAC .
Câu 14. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt
là O và O .
a) Chứng minh rằng OO song song với các mặt phẳng ADF và BCE .
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

b) Gọi M , N lần lượt là hai điểm trên các cạnh AE , BD sao cho AM 
rằng MN song song với mặt phẳng CDEF .

1
1
AE , BN  BD . Chứng minh
3
3

Câu 15. Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M , N lần
1
1
lượt là các điểm trên AE và BD sao cho AM  AE , BN  BD, x  0 . Tìm x để MN // CDFE .
3
x
Câu 16. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang với AD //BC . Gọi G là trọng tâm của tam giác

SAD ; E là điểm thuộc đoạn AC sao cho EC  xEA, x  0 . Tìm x để GE // SBC .
Câu 17. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là các điểm thuộc
BM
NC
cạnh SB và đoạn AC sao cho
 x và
 y , 0  x, y  1 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để
MS
NA
MN // SAD .
Câu 18. Cho tứ diện ABCD có AB  2 AC  3 AD . Gọi O , O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các
BC
tam giác ABC và ABD . Tính tỉ số k 
khi OO// BCD .
BD
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG
Phương pháp:
Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng, ngoài phương pháp “Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng”, ta sử dụng
định lí về giao tuyến như sau:
Bước 1: Chỉ ra rằng
,
lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b .
Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng.

 Mx //a //b .
Bước 3: Khi đó
Câu 19. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho tứ diện ABCD , điểm E nằm giữa hai điểm A và C , gọi Q là
mặt phẳng qua E và song song với hai đường thẳng AB, AD . Xác định giao tuyến của (Q ) với các mặt của
tứ diện.
Câu 20. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang ( AB / /CD ) . Gọi E là
một điểm nằm giữa S và A . Gọi ( P) là mặt phẳng qua E và song song với hai đường thẳng AB, AD . Xác
định giao tuyến của ( P) và các mặt bên của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Câu 21. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

SAB và SCD .
Câu 22. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD . Gọi I , J lần lượt
là trung điểm của AD và BC , G là trọng tâm của tam giác SAB . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB
và IJG .
Câu 23. Cho tứ diện ABCD . Gọi G1 và G2 theo thứ tự là trọng tâm tam giác ABD và tam giác ACD .
Tìm giao tuyến của mặt phẳng AG1G2 với mặt phẳng ABC .
Câu 24. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Sx là giao tuyến của hai mặt phẳng

SAD và SBD . M , N lần lượt là trung điểm của AB và DC . Chứng minh MN song song với giao
tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC .
Câu 25. Cho tứ diện ABCD Gọi M , N tương ứng là AB, AC . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng DBC
và DMN .
Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Câu 26. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của SB , N là
điểm trên cạnh BC sao cho BN  2CN .
a/ Chứng minh rằng: OM // ( SCD )
b/ Xác định giao tuyến của ( SCD ) và ( AMN ) .
DẠNG 3. THIẾT DIỆN ĐAI QUA MỘT ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa thiết diện: Thiết diện (mặt cắt) là một đa giác phẳng thu được khi cắt một khối chóp bằng một
mặt phẳng. (Các cạnh của đa giác thu được là các đoạn giao tuyến của mặt phẳng với mặt bên
hoặc mặt đáy của hình chóp).
Phương pháp: Tìm thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng P :
Bước 1: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của P với một mặt của hình chóp (có thể là
mặt phẳng trung gian).
Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung
mới của P với các mặt khác. Từ đó xác định được giao tuyến với các mặt này.
Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.
Chú ý:
+ Thiết diện của một khối chóp là một đa giác bao quanh viền ngoài khối chóp, không có đường thẳng nào
đâm xuyên bên trong khối chóp đó.
+ Có thể tìm thiết diện bằng phương pháp dựng giao điểm.
Câu 27. Cho tứ diện ABCD , điểm M thuộc AC . Xác định thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt
phẳng

đi qua M song song với AB và AD .

Câu 28. Cho tứ diện ABCD . Giả sử M thuộc đoạn thẳng BC . Xác định thiết diện của tứ diện ABCD cắt
bởi mặt phẳng

qua M song song với AB và CD .

Câu 29. Cho tứ diện ABCD , lấy điểm M là một điểm thuộc miền trong của tam giác BCD . Gọi
mặt phẳng qua M và song song với AC và BD . Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng

là

với tứ diện

ABCD . Thiết diện là hình gì ?
Câu 30. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , M là trung điểm của OC . Mặt
phẳng
qua M song song với SA và BD . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
.
Câu 31. Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy trung điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N bất kỳ. Gọi
là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .
a) Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng

với tứ diện ABCD .

b) Xác định vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành.
Câu 32. Cho hình chóp S. ABCD . M , N là hai điểm trên đoạn AB , CD . Mặt phẳng

qua MN và

song song với SA .
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

.

b) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
Câu 33. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Điểm I là giao điểm của hai đường chéo

AC và BD Xác định thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng P đi qua I và song song với
AB, SC .

Câu 34. Chóp S.ABCD có SA  2a , ABCD là hình vuông cạnh AB  a , SA  CD , M  AD để

AM  x 0  x  a . Mặt phẳng P qua M và / / SA, CD . Dựng P . Tìm thiệt diện. Tính STD .
Câu 35. Chóp S . ABC , SA  BC , SA  3a , ABC đều, AB  a . M  AB để AM  x 0  x  a . P
qua M và song song SA, BC . Dựng P . Tìm thiết diện. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Câu 36. Chóp S . ABCD , SA  CD , SA  2a . ABCD là hình thang vuông ở A và D .
AB
AD  DC 
 a , M  AD để AM  x, 0  x  a . P qua M và song song SA, CD . Dựng P . Tìm
2
thiết diện. Tính diện tích thiết diện STD .
Câu 37. Chóp S . ABCD , SA  BD , SA  a , ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . M  AO để


a 2
AM  x  0  x 
 . P qua M và song song với SA , BD . Dựng P . Tìm thiết diện. Tính STD
2 

Câu 38. Chóp S . ABCD , SA  a , ABCD là hình vuông cạnh a . AD  SB . M  AB để
AM  x 0  x  a . P qua M và song song với SB, AD .Dựng P . Tìm thiết diện. Tính STD .
Câu 39. Cho hình hộp ABCD. ABCD . Gọi M là trung điểm AB , mặt phẳng

qua M , song song

PC 
.
CC 
Câu 40. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD . M , P lần lượt là trung điểm
của đoạn AB và SB . Biết SA  SD  2a , AD  2a , BC  a . Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp

với CD , AC và cắt CC  tại P . Tính tỉ số

S.ABCD bị cắt bởi mặt phẳng

qua M , P và song song BC .

PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ)
1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá
Câu 1.

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Nếu a // P thì tồn tại trong P đường thẳng b để b // a .
a // P
C. Nếu 
thì a // b .
b  P
D. Nếu a // P và đường thẳng b cắt mặt phẳng P thì hai đường thẳng a và b cắt nhau.

Câu 2.

và đường thẳng d 

Cho mặt phẳng
A. Nếu d / /

thì trong

B. Nếu d / /

và b 

C. Nếu d 

 A và d 

D. Nếu d / / c ; c 
Câu 3.

. Khẳng định nào sau đây là sai?

tồn tại đường thẳng  sao cho  / / d .
thì b / / d .

thì d / /

thì d và d  hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
.

Cho các mệnh đề sau:
(1). Nếu a // P thì a song song với mọi đường thẳng nằm trong P .
(2). Nếu a // P thì a song song với một đường thẳng nào đó nằm trong P .
(3). Nếu a // P thì có vô số đường thẳng nằm trong P song song với a .
(4). Nếu a // P thì có một đường thẳng d nào đó nằm trong P sao cho a và d đồng phẳng.
Số mệnh đề đúng là
A. 2 .

B. 3 .
Facebook Nguyễn Vương

C. 4 .

D. 1 .

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7