Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

BÀI 2
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định nghĩa
Đường thẳng
thẳng

được gọi là vuông góc với một mặt phẳng

nằm trên mặt phẳng

Định lý 1: Nếu đường thẳng
phẳng

thì

, kí hiệu

nếu nó vuông góc với mọi đường

.

vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

và

cùng nằm trong mặt

.

Định lý 2:
 Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
 Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt thẳng cho trước.
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Định lý 3

Trang 1

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông
góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Định lý 4

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc
với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Định lý 5

a) Cho đường thẳng
thì cũng vuông góc với

b) Nếu đường thẳng
đường thẳng

và mặt phẳng

song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với

.

và mặt phẳng

(không chứa đường thẳng

thì chúng song song với nhau.

Trang 2

) cùng vuông góc với một

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

3. Phép chiếu vuông góc
a. Định nghĩa
Cho mặt phẳng
lên mặt phẳng

đường thẳng

vuông góc với

. Phép chiếu song song theo phương của

được gọi là phép chiếu vuông góc lên

.

Chú ý:
 Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có
đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.
 Người ta còn dùng “phép chiếu lên
hình chiếu của

trên

thay cho

” thay cho “phép chiếu vuông góc lên

” và dùng

là hình chiếu vuông góc của

.

trên

là

b. Định lí ba đường vuông góc
Định lý 6

Cho đường thẳng

nằm trong mặt phẳng

và không vuông góc với
. Khi đó

vuông góc với

. Gọi

và đường thẳng

là đường thẳng không nằm trong

là hình chiếu vuông góc của đường thẳng

khi và chỉ khi vuông góc với

Trang 3

.

trên mặt phẳng

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

DẠNG 1
TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT

Câu 1.

Cho hai đường thẳng phân biệt

và mặt phẳng

, trong đó

. Mệnh đề nào sau đây

là sai?
A. Nếu

thì

C. Nếu

thì

.

B. Nếu

.

D. Nếu

thì
thì

.
.

Lời giải
Chọn D.
Câu 2.

Cho hai đường thẳng

A. Nếu

và

thì

C. Nếu

và

thì

và

. Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
.

B. Nếu
.

D. Nếu

và
và

thì
thì

.
.

Lời giải
Chọn B.
Câu A sai vì b có thể vuông góc với a .
Câu B đúng bởi a //  P   a   P  sao cho a //a , b   P   b  a . Khi đó  a  b .
Câu C sai vì b có thể nằm trong  P  .
Câu D sai vì b có thể nằm trong  P  .
Câu 3.

Cho

là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A. Nếu

và

B. Nếu

thì

vuông góc với mặt phẳng

C. Nếu

và

D. Nếu

,

và

thì

thì
và

cắt

thì

vuông góc với mặt phẳng
Lời giải

Chọn A.
Nếu
Câu 4.

thì

và

có thể trùng nhau nên đáp án A sai.

Trong không gian cho đường thẳng

và điểm

. Qua

có mấy đường thẳng vuông góc với

 cho trước?
A. .

B.

.

C.
Lời giải

Chọn D.
Trang 4

.

D. Vô số.

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Qua điểm

có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng vuông góc với
Câu 5.

, các đường thẳng đó cùng nằm trong một

.

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu đường thẳng

thì

vuông góc với hai đường thẳng trong

B. Nếu đường thẳng

vuông góc với hai đường thẳng nằm trong

C. Nếu đường thẳng

vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong

bất kì đường thẳng nào nằm trong
D. Nếu

.

thì

.
thì

vuông góc với

.

và đường thẳng

thì

.
Lời giải

Chọn B.
Đường thẳng

vuông góc với hai đường thẳng nằm trong

thì

chỉ đúng khi hai đường

thẳng đó cắt nhau.
Câu 6.

Mệnh đề nào sau đây có thể sai?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một
đường thẳng thì song song nhau.
Lời giải
Chọn C.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song chỉ đúng khi ba
đường thẳng đó đồng phẳng.
Câu 7.

Trong không gian tập hợp các điểm

A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
C. Mặt phẳng vuông góc với

tại

.

cách đều hai điểm cố định
.

và

là

B. Đường trung trực của đoạn thẳng
D. Đường thẳng qua

.

và vuông góc với

Lời giải
Chọn A.
Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực.
Câu 8.

Qua điểm

A.

cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
B. Vô số

C.

cho trước?

D.

Lời giải
Chọn A.
Theo tiên đề qua điểm

cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng 

Trang 5

.

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Câu 9.

Trong không gian cho đường thẳng

vuông góc với mp

không nằm trong mp

, đường thẳng

được gọi là

nếu:

A. vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp
B. vuông góc với đường thẳng

mà

song song với mp

C. vuông góc với đường thẳng

nằm trong mp

D. vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp
Lời giải
Chọn D.
Đường thẳng
mặt phẳng

được gọi là vuông góc với mặt phẳng

nếu

vuông góc với mọi đường thẳng trong

.(ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). Vậy đáp án D đúng.

Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng
cho trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Lời giải
Chọn D.
Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Câu 11. Cho các mệnh đề sau:
1. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mp chứa đường thẳng
này và vuông góc với đường thẳng kia.
2. Qua một điểm

cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng  cho trước.

3. Qua một điểm

cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

4. Qua một điểm

cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 4.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Lời giải
Chọn D.
3. Qua một điểm

cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Câu 12. Mệnh đề đúng trong các mặt phẳng sau:
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
Trang 6

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
Lời giải

Chọn D.
Đáp án A sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Đáp án B sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.
Đáp án C sai vì hai đường thẳng đó có thể trùng nhau.
Chọn đáp án D.
Câu 13. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng
vuông góc với đường thẳng kia.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Cho hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc
với mặt phẳng kia.
D. Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông
góc với đường thẳng kia.
Lời giải
Chọn A.
Câu 14. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu đường thẳng

song song với mặt phẳng

và đường thẳng

vuông góc với

thì

vuông

góc với mặt phẳng
B. Nếu đường thẳng

song song với đường thẳng

và

song song với mặt phẳng

thì

song

song hoặc nằm trên mặt phẳng
C. Nếu đường thẳng
thì

song song với mặt phẳng

và đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng

vuông góc với

D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc
với mặt phẳng đó.
Lời giải
Chọn A.
Giả sử xét hình lập phương

như hình vẽ có

Trang 7

nhưng

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Câu 15. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Cho hai đường thẳng

song song với nhau. Một đường thẳng

vuông góc với

thì

vuông

vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng

vuông

góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
B. Cho ba đường thẳng
góc với

thì

song song với

C. Nếu đường thẳng
thì đường thẳng

.

vuông góc với đường thẳng

vuông góc với đường thẳng

D. Nếu đường thẳng
thì đường thẳng

hoặc

và đường thẳng

vuông góc với đường thẳng

và đường thẳng

song song với đường thẳng

.

vuông góc với đường thẳng

vuông góc với đường thẳng

.

Lời giải
Chọn D.
Câu 16. Tập hợp các điểm cách đều các đỉnh của một tam giác là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
chứa tam giác đó và đi qua:
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

B. Trọng tâm tam giác đó.

C. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó.

D. Trực tâm tam giác đó.
Lời giải

Chọn A.
Câu 17. Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy đó.
B. Tất cả những cạnh của hình chóp đều bằng nhau.
C. Đáy của hình chóp đều là miền đa giác đều.
D. Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân.
Lời giải
Chọn B.
Hình chóp đều có thể có cạnh bên và cạnh đáy KHÔNG bằng nhau nên đáp án B sai.

Trang 8

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

DẠNG 2
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG

Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta dùng các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt
nhau nằm trong mặt phẳng.

Phương pháp 2: Cho hai đường thẳng song song nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì
đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng.

Phương pháp 3: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến
phẳng này vuông góc với giao tuyến

thì đường thẳng

, nếu đường thẳng

nằm trong mặt

cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Phương pháp 4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến
của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

Chú ý: Phương pháp 3 và phương pháp 4, các em học bài hai mặt phẳng vuông góc mới dùng được.
Trang 9

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Hiện tại mình chia sẻ file Word 3 bộ tài liệu cả năm lớp 11 chính chủ gồm: Kết nối trí thức, chân
trời sáng tạo, Cánh diều. Ba bộ này mình soạn Tự luận + Trắc nghiệm từ cơ bản đến nâng cao, phù
hợp với tất cả các trường trên cả nước. Thầy, cô muốn xem full đầy đủ các bộ này thì liên hệ
0978333093 hoặc https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/ (Mình có đăng tài liệu trên face)
Ngoài ra còn có lớp 8, 10 cũng 3 bộ: Kết nối trí thức, chân trời sáng tạo, Cánh diều. Tài liệu toán
9,12 và các chuyên đề luyện thi do mình soạn để phục vụ giảng dạy.
Câu 18. Cho hình chóp

có

và tam giác

vuông tại

. Vẽ

,

. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

trùng với trọng tâm tam giác

C.

trùng với trung điểm của

.
.

B.

trùng với trực tâm tam giác

D.

trùng với trung điểm của

.
.

Lời giải
Chọn C.

Do
Mà

nên

. Suy ra

vuông tại

nên

là trung điểm của

Câu 19. Cho hình chóp
chiếu vuông góc của
A.
C.

lên

.

.

thỏa mãn

. Tam giác

vuông tại

. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
.

.

là tâm đường tròn ngoại tiếp

B.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A.

Trang 10

. Gọi

là hình

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải
S

A

C

H

B

Câu 20. Cho hình chóp
của

có các cạnh bên bằng nhau

lên mặt đáy

. Gọi

là hình chiếu

. Khẳng định nào sau đây sai?

A.

.

B. Tứ giác

là hình bình hành.

C. Tứ giác

nội tiếp được trong đường tròn.

D. Các cạnh

,

,

,

hợp với đáy

những góc bằng nhau.
Lời giải

Chọn B.
Vì hình chóp

có các cạnh bên bằng nhau
và

Nên

là hình chiếu của

lên mặt đáy

tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Suy ra

. Nên đáp án B sai.

Câu 21. Cho hình chóp
trên

có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu

của

là:

A. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác

B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

C. Trọng tâm tam giác

D. Giao điểm hai đường thẳng

và

Lời giải
Chọn A.
Gọi

lần lượt là hình chiếu của

Theo định lý ba đường vuông góc ta có

lên các cạnh
lần lượt là hình chiếu của

lên các cạnh

là tâm đường tròn nội tiếp của
Câu 22. Cho hình chóp
trực tâm các tam giác
A. Đồng quy.

có
và

và tam giác
. Các đường thẳng

không vuông, gọi
thỏa mãn:

B. Đôi một song song.
Trang 11

lần lượt là

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

C. Đôi một chéo nhau.

D. Đáp án khác.

Lời giải
Chọn A.
S

A

C

K
H
A'
B

Gọi

là đường cao của tam giác

Câu 23. Cho hình chóp

mà
có đáy

là hình thoi,

nên
là giao điểm của 2 đường chéo và

. Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
S

B

A

O
C

D

Ta có:

là tam giác cân

Mặt khác:

là trung điểm của

(tính chất hình thoi)

Khi đó ta có:

Câu 24. Cho tứ diện

có

và

. Gọi

là hình chiếu vuông góc của

. Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
C.

là trực tâm tam giác
.

.

B.

.

D. Các khẳng định trên đều sai.
Lời giải

Chọn D.
Trang 12

lên

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Ta có
Suy ra

. Tương tự
là trực tâm

Ta có

. Suy ra đáp án A, B đúng.
, suy ra C đúng.

Chọn đáp án D.
Câu 25. Cho tứ diện

có

là tam giác vuông tại

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh
A.

B.

C.

D.

b) Gọi

là đường cao của tam giác

A.

và
.

, thì khẳng định nào sau đây đúng nhất.

B.

C.

D.

Lời giải

D

H

C

A

B
a)
Chọn A.
Ta có

nên

Do đó

.
Chọn A

b)
Chọn B.
Ta có
Vậy
Câu 26. Cho hình chóp

.Chọn B
có

và

giác vuông là:
Trang 13

Số các mặt của tứ diện

là tam

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Có

là tam giác vuông tại

Ta có

là các tam giác vuông tại

Mặt khác

là tam giác vuông tại

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng.
Câu 27. Cho hình chóp

có đáy

là hình thoi tâm

. Biết

và

. Khẳng

định nào sau đây sai?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B.

Tam giác

cân tại

có

là trung tuyến

cũng là đường cao

.

Tam giác

cân tại

có

là trung tuyến

cũng là đường cao

.

Từ đó suy ra
Do

.

là hình thoi nên

không vuông góc với

Câu 28. Cho hình chóp

có đáy

là các đường cao của tam giác
A.

B.

và tam giác

. Do đó

là hình chữ nhật,

không vuông góc với
Gọi

.
lần lượt

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
C.
Lời giải

Chọn D.
Ta có:
Vậy:
Trang 14

D.

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Tương tự :
Từ

vậy đáp án D đúng.

Câu 29. Cho tứ diện
với

ta có điểm

thoả mãn

Gọi

là hình chiếu của

lên mp

Đối

là:

A. Trực tâm.

B. Tâm đường tròn nội tiếp.

C. Trọng tâm.

D. Tâm đường tròn ngoại tiếp.
Lời giải

Chọn D.

Xét ba tam giác vuông

có

chính là tâm đường tròn ngoại tiếp
Câu 30. Cho tứ diện
trên

có

đôi một vuông góc với nhau. Gọi

. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:

A.

là trực tâm

.

B.

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

C.
D.

.

.
là đường cao của

.
Lời giải

Chọn B.
Ta có
Tương tự, ta có

và

.

, suy ra đáp án A, D đúng.
Trang 15

là hình chiếu của

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Ta có

, với

, suy ra đáp án C đúng.

Chọn đáp án B.
Câu 31. Cho hình chóp

có

Gọi

lần lượt là trực tâm các tam giác

và

. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
A.

B.

C.

D.

đồng quy.

Lời giải
Chọn C.
S

H

C

A
K

M

B

Ta có
Ta có
Mặt khác có
Gọi

hay

là giao điểm của

và

trùng với đường thẳng
Do đó

. Do

nên

hay đường thẳng

. Hay

đồng quy.

sai

Câu 32. Cho hai hình chữ nhật
đường thẳng
và

, tương tự

và

và

nằm trong hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai

vuông góc với nhau. Gọi

và

lần lượt là đường cao của hai tam giác

.

a) Khẳng định nào sau đây là đúng về 2 tam giác

và

?

A.

và

là các tam giác vuông

B.

và

là các tam giác tù

C.

và

là các tam giác nhọn

D.

và

là các tam giác cân

b) Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

B.

C.
Lời giải

Trang 16

D.

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

K

A
F

D

B
H
E

C
a)
Chọn A.
Ta có
Vậy
,hay

vuông tại

.

Tương tự
vuông tại

.

b)
Chọn C.
Ta có

, mặt khác

.

Tương tự

.

Câu 33. Cho hình chóp

có đáy

là hình thoi tâm

. Biết

.

a)Khẳng định nào sau đây là sai?.
A.

B.

C.

D. Cả A, B, C đều sai

b) Khẳng định nào sau đây là sai?.
A.

B.

C.
Lời giải

Trang 17

D. Cả A, B, C đều sai

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

S

D

A
O
B

C

a)
Chọn D.
Ta có

là trung điểm của

và

.
Tương tự

.

Vậy

.

b)
Chọn D.
Ta có

( do

Lại có

( do

là hình thoi).
)

Suy ra

.

Câu 34. Cho hình chóp
lượt là trung điểm của
A.
C. Góc giữa

có đáy
,

và

B.
có số đo

. Gọi

. Khẳng định nào sau đây sai?

.
và

là hình vuông và

.

D.
Lời giải

Chọn C.

Trang 18

.
.

,

,

lần

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Do

và

Do

nên

và

Do

. Vậy A đúng.

nên

nên D đúng.

và

nên

nên B đúng.

Vậy C sai.
Câu 35. Cho tứ diện
lên

có ba cạnh

đôi một vuông góc. Gọi

là hình chiếu của

Khẳng định nào sau đây sai?

A.

B.

C.

là trực tâm

D.
Lời giải

Chọn D.

đáp án A đúng.
Tương tự chứng minh được
Hạ
Ta có:
Đáp án B đúng.
Ta có:
Từ

Tương tự
và

là trực tâm

Câu 36. Cho hình chóp

Đáp án C đúng.
có

. Gọi

.
a) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trang 19

lần lượt là trực tâm các tam giác

và

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

A. AH và BC chéo nhau

B. AH và SK chéo nhau

C.

D.

và

đồng qui.

và

không đồng qui.

b) Khẳng định nào sau đây là sai?.
A.

B.

C.

D. Cả A, B, C đều sai

C.

D. Cả A, B, C đều sai

c)Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

B.

Lời giải

S

K

A
H

C
I

B
a) Chọn C.
Gọi

, để chứng minh

Ta cần chứng minh

và

đồng qui.

là đường cao của tam giác

, nhưng điều này đúng do

và

.

Gọi

là hình

b) Chọn A.
Ta có
thêm nữa ta có
Vậy

.

c) Chọn A.
Theo các chứng minh trên ta có
và
Câu 37. Cho hình chóp
chiếu vuông góc của

do đó

.

có

lên

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A.

là trung điểm

.

B.

là trọng tâm tam giác

C.

là trung điểm

.

D.

là trung điểm

Lời giải
Chọn C.
Trang 20

.

.

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

S

C

B

A
Gọi
Ta có :

đều
vuông cân tại

vuông tại
Gọi

là trung điểm của

giác

thi

đi qua

Mặt khác :

thì

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Gọi

là trục của tam

và
nên

. Vậy

nên

là hình chiếu vuông góc của

lên mặt

phẳng
Câu 38. Cho tứ diện
trên mặt phẳng

có

nên

II. Do

nên

III. Có

và

A.

là hình chiếu của

. Xét các mệnh đề sau :

I. Vì

IV. Từ

đôi một vuông góc với nhau. Gọi

.

nên

và
.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn A.
Ta có:

. Vậy

đúng.

Trang 21

.

D.

.

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

. Vậy

đúng.

. Vậy

đúng.

. Vậy

Vậy chọn đáp án

.

Câu 39. Cho tứ diện

có

a) Khẳng định nào đúng nhất?
A.

đúng.

đôi một vuông góc. Kẻ
là trực tâm của

.

.

là trực tâm của ABC .

B. H là tâm đường tròn nội tiếp của ABC .

C. H là trọng tâm của ABC .

D. H là tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC .

b) ABC là tam giác gì?
A. ABC là tam giác nhọn.

B. ABC là tam giác tù

C. ABC là tam giác vuông

D. ABC là tam giác cân

2
2
2
2
c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? S ABC S OAB  S OBC  S OCA

1 2
1 2
1 2
2
A. S ABC  S OAB  S OBC  S OCA
2
2
2
C.

B.

1 2
S ABC S2OAB  S2OBC  S 2OCA
3

1 2
S ABC S 2OAB  S 2OBC  S 2OCA
2

2
2
2
2
D. S ABC S OAB  S OBC  S OCA

Lời giải

A

H
C

O
I
B
a) Chọn A.
Ta có

OA  OB 
  OA  OBC   OA  BC
OA  OC 

Lại có OH   ABC   OH  BC
Trang 22

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Vậy

BC  OA 
  BC  OAH 
BC  OH 

 BC  AH

Tương tự

1 .

AC  OB 
  AC  OBH   BH  AC
AC  OH 

2  .

Từ 1, 2  suy ra H là trực tâm của tam giác ABC .
b) Chọn A.
Đặt OA a, OB b, OC c
Ta có BC  OB 2  OC 2  b 2  c 2
Tương tự AC  a 2  c 2 , AB  a 2  b 2
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có
2
2
2
2
2
2
AB 2  AC 2  BC 2 a  b   ( a  c )  b  c 
cos A 

2 AB. AC
2 a 2  b2 ( a 2  b2 )



a2

a 2  b 2  ( a 2  b 2 )

 0 suy ra  nhọn.
A

Tương tự các góc B, C nhọn.
c) Chọn C.

1 2 2 1
2
2
2
2
2
Ta có S ABC  AI BC  OI  OA OB  OC
4
4







1
1
1
 OI 2 BC 2  OA2OB 2  OA2OC 2 S 2OAB  S 2OBC  S 2OCA
4
4
4
Câu 40. Trong mặt phẳng   cho đường tròn đường kính cố định BC và M là điểm di động trên
đường tròn này. Trên đường thẳng d vuông góc với   tại B lấy một điểm A .
a) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. các mặt của tứ diện ABMC là tam giác vuông
B. các mặt của tứ diện ABMC là tam giác vuông cân
C. tam giác ACM vuông tại A.
D. tam giác ACM vuông tại M .
b) Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. AC  BHK  .

B. BH  AC

C. A, B đều đúng

c) Tìm tập hợp điểm H khi M di động.
A. H thuộc đường tròn đường kính BK .
B. H thuộc đường tròn đường kính AC.
C. H thuộc đường tròn đường kính BM.
Trang 23

D. A, B đều sai

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

D. H thuộc đường tròn đường kính AB.

d) Tìm vị trí của M để đoạn AM lớn nhất.
A. M C

B. M B

C. M H

D. M K

e) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất.
A. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính
2

BA.BC
2 BA2  BC 2

B. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính
1
BA.BC
2 2 BA2  BC 2

C. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính
3

BA.BC
2 BA2  BC 2

D. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính
BA.BC
2 BA2  BC 2

Lời giải

A
K

H
C

B

M
a) Chọn D.
 AB  BM
Ta có AB     
suy ra các tam giác ABM và ABC vuông tại B .
 AB  BC
 MC  MB
 MC   ABM 
Tiếp theo ta có 
 MC  AB

 MC  AM hay tam giác ACM vuông tại M .
b) Chọn A.

Trang 24

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

 BH  AM
 BH   ACM 
Ta có 
 BH  MC

 BH  AC .
Vậy

AC  BH 
  AC   BHK  .
AC  BK 

c) Chọn A.

Dễ thấy BK cố định và BHK
900 nên điểm H thuộc đường tròn đường kính BK .Từ đó ta có tập hợp
các điểm H là đường tròn đường kính BK .
d) Chọn A.
MA2  AB 2  BM 2 mà AB không đỏi nên AM lớn nhất khi MB lớn nhất  BM BC  M C .

e) Chọn D.
Ta có S BHK
max S BHK
Ta có

1
BH 2  HK 2 BK 2
không đổi nên
 BH .HK 

2
4
4

BK
BK 2
.

 BH HK , lúc này HBK vuông cân tại H nên BH 
2
4

1
1
1
1
1
1
 2
;
 2
2
2
2
BH
BA BM BK
AB
BC 2

1 
1
1
1
1
2
 1




 2
nên 2 
2
2 
2
2
2
BA
BM
BA BC 2
 BA BC  BM
 MB 

BA.BC
2 BA2  BC 2

Vậy max S BHK 

BA.BC
BK 2
 M là các giao điểm của đường tròn đường kính
  MB 
2 BA2  BC 2
4

BC với đường tròn tâm B bán kính

BA.BC
2 BA2  BC 2

Trang 25

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

DẠNG 3
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau thì ta dùng các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Nếu đường thẳng
trong

vuông góc với mọi đường thẳng nằm

.

Phương pháp 2: Nếu đường thẳng
phẳng

thì đường thẳng

, thì

song song mặt phẳng

vuông góc với đường thẳng

, mà đường thẳng

vuông góc mặt

.

Phương pháp 3:
b

a

c

Phương pháp 4: Sử dụng định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng
và đường thẳng

là đường thẳng không nằm trong

hình chiếu vuông góc của đường thẳng
vuông góc với

trên mặt phẳng

và không vuông góc với
. Khi đó

.

Phương pháp 5: Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
Trang 26

nằm trong mặt phẳng

vuông góc với

. Gọi

là

khi và chỉ khi

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Hiện tại mình chia sẻ file Word 3 bộ tài liệu cả năm lớp 11 chính chủ gồm: Kết nối trí thức, chân
trời sáng tạo, Cánh diều. Ba bộ này mình soạn Tự luận + Trắc nghiệm từ cơ bản đến nâng cao, phù
hợp với tất cả các trường trên cả nước. Thầy, cô muốn xem full đầy đủ các bộ này thì liên hệ
0978333093 hoặc https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/ (Mình có đăng tài liệu trên face)
Ngoài ra còn có lớp 8, 10 cũng 3 bộ: Kết nối trí thức, chân trời sáng tạo, Cánh diều. Tài liệu toán
9,12 và các chuyên đề luyện thi do mình soạn để phục vụ giảng dạy.
Câu 41. Cho tứ diện

. Vẽ

. Biết

là trực tâm tam giác

. Khẳng định nào

sau đây không sai?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.

Do
Mặt khác,

.
là trực tâm

nên

nên

.

Suy ra
Câu 42. Cho tứ diện

.

. Vẽ

. Biết

là trực tâm tam giác

. Khẳng định nào sau

đây đúng?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Chọn đáp án D.
Câu 43. Cho tứ diện
A.

.

có
B.

và
.

. Khẳng định nào sau đây đúng?
C.
Lời giải

Chọn D.

Trang 27

.

D.

.

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Gọi

là trung điểm của

.

Khi đó ta có

.

Câu 44. Cho hình chóp

có

và

vuông ở

,

là đường cao của

. Khẳng định nào sau đây sai?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.

Do

nên câu A đúng.

Do

nên câu B và D đúng.

Câu 45. Cho hình chóp

trong đó

là hình chữ nhật,

. Trong các tam giác

sau tam giác nào không phải là tam giác vuông.
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn D.

Trang 28

.

D.

.

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải
S

B

A

O
C

D

Ta có :

Giả sử

(vô lý)

Hay

không thể là tam giác vuông

Câu 46. Trong không gian cho hai tam giác đều
mặt phẳng khác nhau. Gọi
giác

và

có chung cạnh

lần lượt là trung điểm của các cạnh

và

là hình gì?

A. Hình bình hành.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình vuông.
Lời giải

Chọn B.
C'
Q
P

A
H

M
N

B

Vì
Gọi

và nằm trong hai

nên dễ thấy tứ giác
là trung điểm của

Vì hai tam giác

và

Suy ra

. Do đó

là hình bhình hành.

.
nên
.

Trang 29

C

D. Hình thang.

. Tứ

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Ta có:

.

Vậy tứ giác

là hình chữ nhật.

Câu 47. Cho hình chóp

có đáy

là hình thoi tâm

Các khẳng định

sau, khẳng định nào sai?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
S

A

D

O
C

B

Ta có
Do tứ giác
mà

là hình thoi nên
nên

không vuông góc
Câu 48. Cho hình chóp
góc với mặt đáy. Gọi

có đáy
,

là hình vuông, hai mặt bên

lần lượt là đường cao của tam giác

và

và

vuông

. Mệnh đề nào sau đây là

sai ?
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn A

Trang 30

.

D.

.

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

S

K
H
D

A
B

+ Vì hai mặt bên

C

và

vuông góc với mặt đáy nên

+ Vì

,

+ Vì

(B đúng).

, tương tự ta có

+ Giả sử

mà

Câu 49. Cho tứ diện
A.

.

(D đúng).

nên

(C đúng).

suy ra

vô lý nên A sai.

có hai mặt
B.

và

.

là các tam giác đều. Góc giữa
C.

.

D.

và
.

Lời giải
Chọn C.

C

A

D
I
B

Gọi

là trung điểm của

Vì

và

Nên

là các tam giác đều
.

Suy ra

.

Câu 50. Cho tứ diện đều
A.

.

. Số đo góc giữa hai đường thẳng
B.

.

C.
Lời giải

Chọn C.
Trang 31

.

và

bằng:
D.

.

là?

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

A

D

B
G
C
Gọi

là trọng tâm tam giác

Vì tứ diện

.

đều nên

.

Ta có:

.

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng
Câu 51. Cho hình chóp
đường thẳng
A.

và

và

bằng

có

và

. Hãy xác định góc giữa hai

bằng:

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn D.
S

A

C
G
B

Ta có:

.

Do đó tam giác

đều. Gọi

Vì hình chóp

có

Hay

là trọng tâm của tam giác
nên hình chiếu của

.

Ta có:
Suy ra

.

Vậy góc giữa hai đường thẳng

và

bằng

.
Trang 32

.
trùng với

.

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Câu 52. Trong không gian cho hai tam giác đều
mặt phẳng khác nhau. Gọi

và

có chung cạnh

và nằm trong hai

lần lượt là trung điểm của các cạnh

Hãy xác định góc giữa hai đường thẳng
A. 450

và

và

.

B. 1200

C. 600

D. 900

Lời giải
Chọn D.
I

C

C'

M

Q
A

N

P

B

Gọi

là trung điểm
cân tại
cân tại

Kết luận: góc giữa hai đường thẳng

và

Câu 53. Cho hình chóp tứ giác đều
qua trung điểm
và

. Gọi

,

là
có đáy

là hình vuông,

lần lượt là trung điểm của

và

. Góc giữa hai đường thẳng

bằng
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn A

Gọi

là điểm đối xứng của

là trung điểm

thì

là hình bình hành nên

Trang 33

.

.

.

Hình học 11-Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Trắc nghiệm có lời giải

Ta có
bằng

mà

nên góc giữa hai đường thẳng

.

Câu 54. Cho hình lập phương
A.

và

.

B.

. Góc giữa hai đường thẳng
.

C.

.

và
D.

bằng.
.

Lời giải
Chọn D

Ta có:
Câu 55. Cho hình hộp chữ nhật

, biết đáy

là hình vuông. Tính góc giữa

.
B'

C'
D'

A'

C

B
D

A

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn A
Vì

là hình vuông nên

.

Mặt khác

.

Ta có
Do đó góc giữa

.
và

bằng

.

Trang 34

.

D.

.

và