GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN

CHUYÊN ĐỀ :
HÀM SỐ BẬC NHẤT
A. Lý thuyết:
ĐN: Hàm số bậc nhất được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số cho trước và
+ a>0: Hàm số đồng biến trên R
+ a<0: Hàm số nghịch biến trên R

y
A 0; b 

2. Vẽ đồ thị hàm số y = ax+b
 Điểm cắt trục tung Oy
+ Cho x=0  y b  A( 0;b)


Điểm cắt trục hoành Ox

+ Cho y = 0  x 

B
(d)

x

 b 
  ;0 
 a 

b
b
 A(  ;0 )
a
a

* Chú ý:
- Đường thẳng y = ax + b luôn cắt trục tung Oy tại điểm B có hoành độ bằng 0 và cắt trục
hoành Ox tại điểm A có tung độ bằng 0
- Ta hiểu đường thẳng y = ax + b cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng m tức đường
thẳng đi qua điểm A(0 ; m ) và trong trường hợp này ta cũng xác định được b = m
- Ta hiểu đường thẳng y = ax + b cắt trục hoành Ox tại điểm có tung độ bằng n tức đường
b
thẳng đi qua điểm B(n ; 0 ) và trong trường hợp này ta cũng hiểu rằng n=
a
➋Vị trí tương đối của hai đường thẳng
- Xét hai đường thẳng :
(d1) : y = a1x + b1
(d2) : y = a2x + b2
1. d1  d 2   a1 a 2

a1 a 2
2. d1 // d 2   
b1 b2

a1 a 2
3. d1  d 2   
b1 b2

4. d1   d 2   a1 .a 2  1
y

a a 2
* Chú ý : d1  d 2  tạ i điểm trên trục tung chỉ khi  1
b1 b2
1

Các cách tìm giao điểm của hai đường thẳng:
- Xét hai đường thẳng :
(d1) : y = a1x + b1
(d2) : y = a2x + b2

1

2

b b

 b1
a1

 b2
a2

x

GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN

Cách 1 :
d1
d2
B1 : Phương trình hoành độ giao điểm ax1 + b = ax2 + b
B2 : Giải phương trình bậc nhất 1 ẩn tìm được x = m
B3 : Thay giá trị của x vào môt trong hai pt đường thẳng (d1) hoặc (d2) để tìm y ta đươc giao điểm
của hai đường thẳng (d1) và (d2) với y = a.m + b = n
 Giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) là : A( m ; n )
Cách 2 :
- Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình :
 y a1 x  b1
a x  y b1
 1
... Giải hệ phương trình ta tìm được x=m ; y = n

 y a 2 x  b2
ax 2  y b2

 Giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) là : A( m ; n )
3. Cách xác định hệ số a, b của đường thẳng y = ax + b
VD1: Xác định các hệ số a, b của đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng đi qua hai điểm
A( x1;y1) và B( x2;y2)
Giải
Thay lần lượt hệ số của hai điểm A và B vào pt y = ax + b ta có hệ phương trình:
 y1 ax1  b
ax  b  y1
... Giải hpt ta tìm được a = m và b = n
  1

y

ax

b
ax

b

y
 2
2
 2
2
Thay a = m và b = n vào phương trình đường thẳng y = ax + b ta có đường thẳngđi qua hai điểm
A( x1;y1) và B( x2;y2 là : y = mx + n
VD2 : Viết pt đường thẳng đi qua hai điểm A( x1;y1) và B( x2;y2)
Giải
Đường thẳng đi qua hai điểm A và B có dạng y = ax + b
Thay lần lượt hệ số của hai điểm A và B vào pt y = ax + b ta có hệ phương trình:
 y1 ax1  b
ax  b  y1
... Giải hpt ta tìm được a = m và b = n
  1

 y 2 ax 2  b
ax2  b  y 2
Thay a = m và b = n vào phương trình đường thẳng y = ax + b ta có đường thẳngđi qua hai điểm
A( x1;y1) và B( x2;y2 là : y = mx + n
B.Bài tập mẫu:
1.Dạng toán xác định xác định hệ số a, b của đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng đi qua hai
điểm A( x1; y1) và B( x2 ; y2)
Bài 1 :
Xác định các hệ số a, b của đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng đi qua hai điểm A( 1 ; 3)
và B( 2;5)
Giải
Thay lần lượt tọa độ của hai điểm A và B vào pt y = ax + b ta có hệ phương trình:
 y1 ax1  b
3 a.1  b
a.1  b 3
a  b 3
a 2
a 2
 
 
 
 
 .

5 a.2  b
a.2  b 5
2a  b 5
2.2  b 5
b 1
 y 2 ax 2  b
Vậy đường thẳngđi qua hai điểm A và B là : y = 2x + 1
Bài 2 :
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( 1 ; 3) và B( 2;5)
Giải
Đường thẳng đi qua hai điểm A và B có dạng y = ax + b
Thay lần lượt tọa độ của hai điểm A và B vào pt y = ax + b ta có hệ phương trình:
 y1 ax1  b
3 a.1  b
a.1  b 3
a  b 3
a 2
a 2
 
 
 
 
 .

5 a.2  b
a.2  b 5
2a  b 5
2.2  b 5
b 1
 y 2 ax 2  b
Vậy đường thẳngđi qua hai điểm A và B là : y = 2x + 1
Bài 3 :
2

GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN

Xác định các hệ số a, b của đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng cắt trục tung tại điểm có
1
tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 
2
Giải
Cách 1 : Vì đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có
1
1
 đường thẳng đi qua hai điểm A( 0 ; 1) và B ( ;0)
hoành độ bằng 
2
2
Thay lần lượt tọa độ của hai điểm A và B vào pt y = ax + b ta có hệ phương trình:
1 a.0  b
b 1
 y1 ax1  b
b 1
a 2


 
 
 
 0  .

a
 1
 a  2 0
b 1
 y 2 ax 2  b
0  2  1
0 a.  2   b



Vậy đường thẳngđi qua hai điểm A và B là : y = 2x + 1
Cách 2 : Vì đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên b = 1và cắt trục hoành tại
1
1
 đường thẳng đi qua hai điểm A ( ;0)
điểm có hoành độ bằng 
2
2
1
Thay y = 0 ; x = 
và b =1 vào pt y = ax + b ta có:
2
  1
0 = a.    1   a  2 0  a 2
 2 
Vậy đường thẳngđi qua hai điểm A và B là : y = 2x + 1
Cách 3 : Vì đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên b = 1và cắt trục hoành tại
1
b 1
1 1

 
  a 2
điểm có hoành độ bằng 
a
2
a
2
2
Vậy đường thẳngđi qua hai điểm A và B là : y = 2x + 1
2.Dạng toán xác định đường thẳng biết hệ số góc a = m và đi qua điểm
A( x1; y1)
Giải :
- Đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b
- Thay a = m , y = y1 và x = x1 ta tìm được b = n
Vậy đường thẳngđi qua hai điểm A và B là : y = mx + n
Bài 1 : Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm A (1 ;3)
Giải :
- Đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b
+ Thay a = 2 , y = 3 và x = 1 ta có 3 = 2.1+b  3 2  b  b 3  2 1
Vậy đường thẳngđi qua hai điểm A và B là : y = 2x + 1
* Chú ý : - Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc bằng 2 ta hiểu a = 2
3.Dạng toán xác định m để ba đường thẳng sau đồng quy
(d1) : y = a1x + b1
(d2) : y = a2x + b2
(d3) :y = 7x + m
Giải :
Lập hệ phương trinh ( không chứa tham số m ) tìm tọa độ giao điểm của (d1) và ( d2)
 y a1 x  b1
giải hệ pt ta được giao điểm của (d1) và ( d2) là A( x1; y1) và thay tọa độ

 y a 2 x  b2
y = y1 và x = x1 vào (d3) : y = mx + b3 ta tìm được m
Bài 1 : Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy
(d1) : y = 2x + 1
(d2) : y = 5x - 2
(d3) :y = 7x + m
Giải
3

GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN

Giao điểm của (d1) và ( d2) là nghiệm của hệ pt
thay vào (d3)  ta có
=7.1+m
Vậy khi m = - 4 thì ba đường thẳng trên đồng quy tại một điểm
Bài 2 : Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy
(d1) : y = 2x + 1
(d2) : y = 5x - 2
Giải
Giao điểm của (d1) và ( d2) là nghiệm của hệ pt
thay vào (d3)  ta có
=m.1 - 4
Vậy khi m = 7 thì ba đường thẳng trên đồng quy tại một điểm

(d3) :y = mx -4

3.Dạng toán xác định m đường thẳng y = ax +m hoặc đường thẳng
y = mx +b đi qua điểm A( x1; y1) với a hoặc b là các số cho trước
- Thay x =x1 và y = y1 vào thẳng y = ax +m hoặc đường thẳng y = mx +b ta đều tìm được m
Bài 1 : Tìm m đường thẳng y = 2x +m đi qua điểm A( 1; 3)
Giải
Thay x = 1 và y = 3 vào đường thẳng y = 2x +m ta có 3=2.1+m
Vậy khi m = 1 thì đường thẳng y = 2x +m đi qua điểm A( 1; 3)
Bài 2 : Tìm m đường thẳng y = mx +1 đi qua điểm A( 1; 3)
Giải
Thay x = 1 và y = 3 vào đường thẳng y = mx +1 ta có 3=m.1+m
Vậy khi m = 2 thì đường thẳng y = mx +1 đi qua điểm A( 1; 3)
4.Dạng toán xác định đường thẳng (d1) : y = a1x +b1 song song với đường thẳng
( d2) : y = a2x +b2 đi qua điểm A( x0; y0)
a1 a 2
B1 : Để d1 // d 2   
b1 b2
2 

1

2

1

0

1

0

1

1

B : Thay a =a ; x = x và y =y vào dường thảng (d ) ta xác định được b
3 

1

1

B : Đối chiếu b với điều kiện và kết luận đường thảng (d ) cụ thể
Bài 1 :
Xác định a, b của đường thẳng y = ax + b biêt nó song song với đường thẳng y = 2x + 1 và đi
qua điểm A( 1 ; 5 )
Giải
- Xét hai đường thẳng (d1) : y = ax + b và (d2 ) : y = 2x + 1
-Để
Vì ( d1)  đi qua điểm A( 1 ; 5 ) nên thay a=2 ; x = 1 và y = 5 vào pt đường thẳng (d1): y = ax + b
ta có : 5 = 2.1 + b
Vậy đường thẳng cần tìm có dạng y = 2x + 3
Bài 2 :
Xác định a, b của đường thẳng y = ax + b biêt nó song song với đường thẳng y = 2x + 1 và cắt
trục tung tại điểm có tung độ băng 3
Giải
Cach 1 :
- Xét hai đường thẳng (d1) : y = ax + b và (d2 ) : y = 2x + 1
-Để
Vì ( d1)  cắt trục tung điểm có tung độ bằng 3 nên ( d1)  đi qua A( 0 ; 3 ) nên thay a=2 ; x = 0
và y = 3 vào pt đường thẳng (d1): y = ax + b ta có : 3 = 2.0 + b
4

GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN

Vậy đường thẳng cần tìm có dạng y = 2x + 3
Cach 2 :
- Xét hai đường thẳng (d1) : y = ax + b và (d2 ) : y = 2x + 1
-Để
Vì ( d1) // (d2) và ( d1)  cắt trục tung điểm có tung độ bằng 3 nên
Vậy đường thẳng cần tìm có dạng y = 2x + 3
Bài 3 :
Xác định a, b của đường thẳng y = ax + b biêt nó song song với đường thẳng y = 2x + 1 và cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ băng -1,5
Cach 1 :
- Xét hai đường thẳng (d1) : y = ax + b và (d2 ) : y = 2x + 1
-Để
Vì ( d1) // (d2) và ( d1)  trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -1,5 nên ( d1)  đi qua
A( -1,5 ; 0 ) nên thay a=2 ; x = -1,5 và y = 0 vào pt đường thẳng (d1): y = ax + b ta có :
0 = 2.(-1,5) + b
Vậy đường thẳng cần tìm có dạng y = 2x + 3
Cach 2 :
- Xét hai đường thẳng (d1) : y = ax + b và (d2 ) : y = 2x + 1
-Để
Vì ( d1) // (d2) và ( d1) cắt  ctrục hoành tại điểm có hoành độ bằng -1,5 nên
Vậy đường thẳng cần tìm có dạng y = 2x + 3
C.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 : Tìm a, b của đường thẳng y= ax + b song song với đường thẳng y = 3x + 2
và đi qua điểm B( 1 ;4)
Bài 2 : Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x + 2
và đi qua điểm B( 1 ;7)
Bài 3: Tìm a, b của đường thẳng y= ax + b song song với đường thẳng y = 3x + 2
và căt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5
RBài 4: Tìm a, b của đường thẳng y= ax + b song song với đường thẳng y = 3x + 2
và căt trục hoàn htại điểm có hoành độ bằng -2
Bài 5 : Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x + 2
và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4
Bài 6 : Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x + 2
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3
Bài 7 : Tìm a, b của đường thẳng y= ax + b với hệ số góc bằng -3 và đi qua điểm
và đi qua điểm B( 1 ;-2)
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng 5 và đi qua điểm
B( -1 ;-4)
Bài 9: Tìm a, b của đường thẳng y= ax + b với hệ số góc bằng 3 và căt trục tung tại điểm có
tung độ bằng 5
Bài 10: Tìm a, b của đường thẳng y= ax + b có hệ số góc bằng 2 và căt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng -2
B11 : Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc a = 3và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
4
Bài 12 : Viết phương trình đường thẳng với hệ số góc k = 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ bằng -3
5

GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN

Bài 13 :Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( 1 ; -1) và B( 2;-3)
Bài 14 : Tìm đường thẳng đi qua hai điểm A( 1 ; -1) và cát trục tung tại điểm có tung độ bằng 1
Bài 15 : Tìm đường thẳng đi qua hai điểm A( 1 ; - 4 ) và cát trục hoàn tại điểm có thoành độ
bằng 3
Bµi 16: Cho hµm sè : y = (m - 2)x + m
a) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng - 3
b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 4.
Bµi 17: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®å thÞ hµm sè y = -3x + (m + 2) vµ
y = 4x - 5 - 2m c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung
HD :
a) Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 3 nên đồ thị đi qua điểm
( -3 ; 0 ) thay x = -3 và và y = 0 vào hs : y = (m - 2)x + m ta tìm được m và thay giá trị m vừa
tìm được vào hàm số đã cho để tìm hàm số cần tìm
b) Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 nên đồ thị đi qua điểm ( 0 ;4 ) thay
x = 0 và y = 4 vào hs : : y = (m - 2)x + m ta tìm được m thay giá trị m = 4 vừa tìm được vào hàm
số đã cho để tìm hàm số cần tìm
hoặc : Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 nên b = 4 tức m = 4
Bµi1 8 : Cho ba hµm sè : Cách giải HD ở phần lý thuyết trên
y = 2x + 3 (d1)
y = x + 5 (d2)
y = 2kx - 5 (d3)
T×m c¸c gi¸ trÞ cña k ®Ó (d1), (d2), (d3) ®ång quy t¹i mét ®iÓm trong mÆt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 19 : Cho ba ®êng th¼ng : y = 2x + 1 (d1)
y = 3x - 1 (d2)
y = x +3 (d3)
a) Chøng minh r»ng 3 ®êng th¼ng trªn ®ång quy
.
Bµi 20: Cho ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh: ax + (2a - 1)y +3 = 0
a. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña a ®Ó ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(1; -1). T×m hÖ sè gãc cña ®êng th¼ng.
HD: Thay x = 1 và y = -1 vào pt : ax + (2a - 1)y +3 = 0 ta có :a.1+ (2a -1).(-1)+3 = 0
Vậy gi¸ trÞ cña a = 4 thì ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(1; -1) thay a=4 vào hàn số ta có 4x + (2.4
- 1 ).y +3 = 0

Vậy hệ số góc của đường

thẳng ®i qua ®iÓm A(1; -1) là
Bµi 21: Cho 3 ®iÓm A(0; 3), B(2; 2), C(4; 1).
a. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB.
b. Chøng minh A, B, C th¼ng hµng.
Giải :
a) Đường thẳng AB có dạng: y = ax + b
- Thay lần lượt tọa đọ các điểm vào hs y = ax + b ta có hệ phương trình:
Vậy phương ytrinhf đường thẳng cần tìm là:

b) Thay tọa độ điểm C vào pt đường thẳng ta có
Vậy ba điểm A, B, C th¼ng hµng.
Bài 22: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau .
HD:( d1) (d2)
6

(tm)

GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN

2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai
đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính.
HD: Thay m sau đó lập hệ hoặc lập phương trình hoành độ giao điểm - Xem cách làm ở tr
Bài 23: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số
đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao?
- Thay x , y tìm được a, rồi lại thay a vào hsố
+ Nếu hệ số của x >0
hàm đồng biến
+ Nếu hệ số của x < 0
hàm nghịch biến
VD: Hs y = 3x - 5 là hàm đồng biến vì a=3>0
Hs y = - 3x + 5 là hàm nghich biến vì a=-3< 0
Bài 24: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch
biến ? Vì sao?
HD: Thay x , y timg được hs cụ thể rồi xét hệ số của x
Bài 25: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m 0) và y = (2 - m)x + 4 ; (m  2) . Tìm điều kiện của
m để hai đường thẳng trên:
a)Song song; :( d1)//(d2)
b)Cắt nhau .:( d1) (d2)
Bài 26: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại
a a 2
một điểm trên trục tung .* Chú ý : d1  d 2  tạ i điểm trên trục tung chỉ khi  1
b1 b2
Bài 27: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d') : y = - 2x và đi qua điểm
A(2;7). HD : Như các bài làm mẫu trên
Bài 28: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).
HD: Lập hệ như bài tập mẫu trên
Bài 29:Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0
(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)
a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2) HD ( d1)//(d2)
b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
HD: Thay m song giải hệ 2 pt hoặc lập pt hoành độ giao điểm để tìm giao điểm như bài tgaapj
mẫu trên
Bài 30 Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
HD : Làm như bài tập mẫu
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox ?
HD: Xem VD phần hàm số SGK Tập 1
c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ?
giải hệ 2 pt hoặc lập pt hoành độ giao điểm để tìm giao điểm như bài tgaapj mẫu trên
d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2HD
( d1)//(d2)
Bài 31 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc
hoành
nhất
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ
HD: là hàm số bậc nhất
thị hàm số y = 2x -1
g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
điểm cố định với mọi m.
c) Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3)
d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng 9.
7

GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN

Bài 32: Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) . Xác định m để:
a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ
c) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại
Thay x =0 và y = 0 suy ra m
một điểm có hoành độ là 2
b) Đường thẳng d song song với đ/thẳng
d) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại
một điểm có tung độ y = 4
2y- x =5
e) Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai
đường thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1
Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2
Bài 33: Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5
a) Vẽ đồ thị với m=6
b) Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
điểm cố định khi m thay đổi
y = 3x-4 tại một điểm trên 0y
c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
y = -x-3 tại một điểm trên 0x
Bài 34 Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3
a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến .
b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy.
d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2

Bµi 35:
Cho hµm sè bËc nhÊt y = (2m - 3)x + 5
a. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè ®ång biÕn
b. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè nghÞch biÕn
Bµi 36: Cho 3 ®iÓm A(0; 3), B(2; 2), C(4; 1).
a. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB.
b. Chøng minh A, B, C th¼ng hµng.
Bµi 37 : Cho hµm sè y = (m + 5)x+ 2m - 10
h).Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× y lµ hµm sè bËc nhÊt
i).Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè ®ång biÕn.
j).T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®iqua ®iÓm A(2; 3)
l).T×m m ®Ó ®å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung
®é b»ng 9.
m).T×m m ®Ó ®å thÞ ®i qua ®iÓm 10 trªn trôc
hoµnh .
t) Chøng minh ®å thÞ hµm sè lu«n ®i qua 1 ®iÓm
cè ®Þnh víi mäi m.
Bµi 40 Cho hµm sè y=( 2m-3).x+m-5
a)T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t ®êng th¼ng y = 3x4 t¹i mét ®iÓm trªn Oy
b)T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t ®êng th¼ng y = -x3 t¹i mét ®iÓm trªn 0x

Bµi 38: Cho hµm sè : y = (m - 2)x + m
a) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t
trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng - 3
b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t
trôc trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 4.
c)VÏ ®å thÞ cña hai hµm sè øng víi c¸c gi¸ trÞ
cña m t×m ®îc ë c©u a, b) trªn cïng hÖ trôc
to¹ ®é Oxy vµ t×m täa ®é giao ®iÓm cña hai
®å thÞ võa vÏ ®îc.
Bµi39: Cho ®êng th¼ng y=2mx +3-m-x (d) .
X¸c ®Þnh m ®Ó:
f) §êng th¼ng d qua gèc to¹ ®é
g) §êng th¼ng d song song víi ®êng th¼ng
2y- x =5
h) §êng th¼ng d c¾t Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh
®é 2
i) §êng th¼ng d c¾t ®å thÞ Hs y= 2x - 3 t¹i
mét ®iÓm cã hoµnh ®é lµ 2
j) §êng th¼ng d c¾t ®å thÞ Hs y= -x +7 t¹i
mét ®iÓm cã tung ®é y = 4
k) §êng th¼ng d ®i qua giao ®iÓm cña hai ®êng th¶ng 2x -3y=-8 vµ y= -x+1

Rót gän biÓu thøc
Bài 1

 2x 1

A= 
x x1

 
x 2 
 :  1 

x  1 
x  x 1
1

a) Rót gän A
Bài 3

Bài 4

b) T×m x ®Ó A=1/3

c) So s¸nh A víi 1


 
1

2 x
5
 :  3  2  a)Rót gän C=

C= 

3 2 x
1 x 
 2x  5 x  3 2 x  3  
E=

 x 1
1
2  x 
: 


x  2 x 1 
x
1  x x  x 
x x

a)Rót gän E=

x
x1

b)T×m x ®Ó E > 1
8

g)T×m x ®Ó E = 9/2

GV: LÊ HỌC VĂN

Bài 5

PTDTBT THCS THANH TÂN

 x 1
x
x   x  1 1  x 


G= 
 :  x  1  x 1
1

x
x

1
x

1

 

a)Rót gän G =

Bài 6 K=

2 x 9
x 5 x 6

a)Rót gän K=
 x 1

Bài 7 M= 
 x1
a)Rót gän M=

Bài 8

x 3



x 2

b)T×m x ®Ó G = 9/8
2 x 1



3

x 1
x 3

x

b)T×m x ®Ó K<1

x  1   1
x
2 
:


x  1   x  1 1  x x  1 
4 x
x  2 x 1

d)Chøng minh M 0

 x 3 x
  9 x
x3
 1 : 


N= 
 x 9
  x x  6 2 x
a)Rót gän N=

Bài 9

2x 1
4 x

3
x 2

x  2

x  3 

b)TÝnh N t¹i x=7- 4 3

 2 x
x
3 x  3   2 x  2


:

P= 
x  3 x  9   x  3
 x 3
a)Rót gän P=

3
x 3

Bài 12

Y =
a) Rót gän Y=

R.Bài 13 P =



x  1 
1

x  x 1

b)So s¸nh R víi 3

x
3x  3 x  3
x x  2


1


c)T×m x  Z ®Ó P  Z

 x2
x 1


Bài 10 R=1: 
 x x  1 x  x 1
a)Rót gän R=

e)So s¸nh M víi 1



x 1
x 2


x 2 1
.
 1
x 1 x




x 2
x 2

b)T×m x ®Ó Y=x

x
3
6 x 4


x 1
x1
x 1

a) Rót gän P=

x1
x 1

b) TÝnh P t¹i x=6-2 5

9

GV: LÊ HỌC VĂN

xBài 14 P =

2x  2
x

a) Rót gän P=

PTDTBT THCS THANH TÂN

x x1



x

a) Rót gän P=

x x
c) TÝnh P t¹i x = 12+ 6 3

x 1  1
x
 




2 
x  1  2 x

1 x

2

c) TÝnh P t¹i x= 3- 2 2

x

x 1
x2
x 1


x  1 x x  1 x  x 1
 x
x  x 1

a) Rót gän P =
RBài 17 P =

x x 1

2x  2 x  2
x

 x1

XBài 15 P = 
 x 1

RBài 16 P =

x



x2 

x

x  x 1



a) Rót gän P = x 

2x  x
x
x 1

b) T×m x ®Ó P = 4 c) TÝnh P t¹i x=6-2 5


2( x  1)
x1

c) T×m x ®Ó P =3

 a 3 a 2
a   1
1

: 

R Bài 18 P = 

a
 a  a  2 a  a   a 1
a 1
2 a

a) Rót gän P =



1

b T×m x ®Ó P = 3

 2x x  x  x x  x 
x 1
x



RBài 20 P = 

x  1  2x  x  1 2 x  1
x x1

a) Rót gän P =
Bài 21

P=

x  x 1

c) T×m x ®Ó P = 2

x2
x 1


x x  1 x  x 1

a) Rót gän P=
Bài 22

x x

x
x  x 1

1
x1
c) T×m x ®Ó P =1/3

 3x  3 x  3

1
1


 2 
P= 
x1
x 2
 x x  2


a) Rót gän P=

x 1
x1

c) T×m x ®Ó P = 4

10

\

GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN

 3 x 3 x
4 x   5
4 x  2 


:

ài 22' P = 
 

 3 x 3 x x  9  3 x 3 x  x 
4x
x 2

a) Rót gän P=

c) T×m x ®Ó P = 3

a 5 a
 
25  a
a5
 1 : 


Bài 23 P = 
 a  25
  a  3 a  10 2  a
5

a) Rót gän P =

a 2

a  5 

d) TÝnh P t¹i a= 4 - 2 3

a 2


x
4 x 
x 3

:
Bài 24 P = 

x 2
 x  2 2 x  x
x 4
x 3

a) Rót gän P=

 x  x 3

Bài 26 P = 
 x 1

  x 1
 :

x  1   x  1

x4

a) Rót gän P =

4 x

b) T×m x ®Ó P = -1

1

8 x

x  1 x  1 
x1



g) So s¸nh P víi 4

 2x  x  1 2x x  x 

Bài 27 P = 1+ 
1

x
1 x x


x  x  x
 2 x  1


a) Rót gän P

c) T×m x ®Ó P = 3


x
3  x  
x 1
x  2 

:

Bài 28 P = 
 

 2 x  2 2x  2   x  x 1 x x  1 
a) Rót gän P=

x 3



b) T×m x ®Ó P = 3



2. x  1

 x x  4
x  1 

Bài 29 P = 
 :  1 
 x  2 x  3 3 x  
a) Rót gän P =

x 2
x 1

e ) T×m x ®Ó P > -1

 1
2 x 2

Bài 30 P = 
 x 1 x x  x  x 
a) Rót gän P =

x1
x 1

x  3

x  2 

  1
2 
 : 



1  x  1 x  1

c) T×m GTNN cña P


x 2
x 3


Bài 31 P = 
 x 5 x 6 2 x

x 2 
 :2
x  3  
11

x 

x  1 

GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN

Rót gän P = x  1
x 4

b) T×m x ®Ó P = 3


x 1
1
x2 



x : 

 x  x 1 1  x x x  1

Bµi 32) P =

a) Rót gän P = x  x  1
Bµi 33) P =



b) T×m x ®Ó P = 6



3x x  3

x 3

x x  2

x 2

Rót gän P =

x 2



x1

3 x 8
x 2

b) TÝnh P t¹i x= 13  4 10


x
Bµi 34 P= 

 x 2

x 1
x 2


2 x 7  3 x
 :
 1


x 4   x  2 



x 5
x 2

a) Rót gän P =

b) TÝnh P biÕt x= 9-4 5

 2 x 2 x
4x   2
x 3 
 :

Bµi 35 P = 



 2 x 2 x  x
x

4
2

x
2

x

 

4x
x 3

a) Rót gän P =

 2x 1
Bµi 36 P = 

x x1

 
x4 
 :  1 

x  1 
x  x 1
1

x
x 3

a) Rót gän P =
Bµi 37 P =

b) T×m x ®Ó P = - 1

b) T×m x ®Ó P = - 2

x x  26 x  19
x2 x  3



2 x
x1



x 3
x 3

a) Rót gän P

b) TÝnh P t¹i x= 7- 4 3
2 x 1

Bµi 38 P =
bBµi 39 P =
Bµi 40 P =

x  7 x  12
x x1
x

x

x
x1

a) Rót gän P =





x 3



x 4

x x 1
x x
3
x 1







2 x 1
3

x

x 1

a) Rót gän P =
a) Rót gän P =

x

d) TÝnh P t¹i x= 11  4 6

 1
x 
x
:
Bµi 41 P = 

x  1  x  x
 x
12

x 4

x  2 x 1
x

6 x 4
x 1

x1
x 1

x 2

GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN

x  x 1
x

a) Rót gän P=

b) T×m x ®Ó P = -1

 2 x
x
3x  3   2 x  2
 :
Bµi 42 P = 


  x 3 
x

9
x

3
x

3

 
a) Rót gän P =


1


3
b) T×m P khi x= 16
x 3

 x 1
x  1 x 1  x  2 x 1
Bµi 43 P = 


 :
x x
 2 x  2 2 x  2 1 x 
b) T×m x ®Ó P = 2
Bµi 45 P =

x

x 3

2
x 9

x  3 9 x

b) T×m x ®Ó P = 5
Bµi 46 P =

a)Rót gän P =

a) Rót gän P =

x
x1

5
x 3

d) TÝnh P t¹i x= 11  6 2

x 3
x 2
x 2


x  2 3 x x  5 x 6

a) Rót gän P =

1
x 2

b) T×m x ®Ó P = -1


Bµi 47: Cho biÓu thøc: P=  1 

a) Rót gän P

x   x  3
x 2
x  2 
:



x  1   x  2 3  x x  5 x  6 
b)T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P<0

 x1
1
8 x   3 x  2
 : 1 

Bµi 48: Cho biÓu thøc: P= 


 

9
x

1
3
x

1
3
x

1
3
x

1

 

a) Rót gän P

b)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P=

Bµi 50 Cho biÓu thøc :
a)Rót gän P
Bµi 51: Cho biÓu thøc:
a) Rót gän P

1
a 2
5


a 3 a  a  6 2 a
b)T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P<1

 x 1
 
2x  x
x 1
P= 

 1 :  1 

2
x

1
2
x

1
2
x

1

 



1
b)TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x  . 3  2 2
2

Bµi 52: Cho biÓu thøc:
a) Rót gän P

P

6
5


2 x
P= 

 x x  x  x 1
b)T×m x ®Ó P 0

1
x



 

 : 1  x 


x  1 
1 

DẠNG THỨ BỐN: Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm:
Bài 1: Cho pt x2 - 6x + m = 0 . Tính giá trị của m biết pt có hai nghiệm x1; x2 thoả:
13

2 x  x 
2 x  1 

GV: LÊ HỌC VĂN
a)

x12 + x22 = 36

d)

x1 - x2 = 4

PTDTBT THCS THANH TÂN
b)

1
1
4
1
1
+ = 3 c)
+
=
2
2
x1 x2
x1
x2
3

Bài 2: Cho pt : x2 - 8x + m = 0 . Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x 1; x2 thoả một trong các hệ thức
sau:
a) x12 + x22 = 50

c) 2x1 + 3x2 = 26

b) x1 = 7x2

d) x1 - x2 = 2

2
Bài 3: Cho pt x - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 . Tìm m để pt có hai nghiệm x 1; x2 thoả x1 = 2x2 . Khi đó tìm cụ

thể hai nghiệm của pt?
Bài 4:
xa) Tìm k để pt: x2 + (k - 2)x + k - 5 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả x12 + x22 = 10
2
Rb) Tìm m để pt: x - 2(m - 2)x - 5 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả x12 + x22 = 18
2
c) Tìm k để pt: (k + 1)x - 2(k + 2)x + k - 3 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả

(4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
d) Tìm m để pt:

5x2 + mx - 28 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả 5x1 + 2x2 = 1
2

Bài 5 Gọi x1; x2 là hai nghiệm khác 0 của pt: mx + (m - 1)x + 3(m - 1) = 0 . Chứng minh:

1
1
1
+ =x1 x2
3
DẠNG THỨ NĂM: Các bài toán tổng hợp.
2

2

Bài 1: Cho pt: x - (2m + 3)x + m + 3m + 2 = 0
a)

Giải pt trên khi m = 1

b) Định m để pt có một nghiệm là 2. Khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm đó?
c)

CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để
e)

x12 + x22 = 1

Định m để pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?
2

Bài 2: Cho pt x - 2(m - 1)x - m = 0
a)

CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m.

b) Với m ≠ 0. Hãy lập pt ẩn y có 2 nghiệm là: y1 = x1 +
c)

Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả

1
1
và y2 = x2 +
x1
x2

x1 + 2x2 = 3

2

RBài 3: Cho pt x - 2(k + 3)x + 2k - 1 = 0
a)

Giải pt khi k =

1
2

b) Tìm k để pt có một nghiệm là 3, khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy?
c)

Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi k.

d) CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?
14

GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN

1
1
3
+ +
=2
x1 x2 x1x2

e)

Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả

f)

Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: Cho pt (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0
a)

CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m ≠ 1.

b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính ổng các nghiệm của pt.
c)

Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc m?

x1 x2 5
d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x + x + 2 = 0
2
1
2
Bài 5: Cho pt x - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0

a)

Giải và biện luận pt trên.

b) Tim giá trị của m để pt có một nghiệm bằng m. khi đó hãy tìm nghiệm còn lại?
c)

Tìm m sao cho hai nghiệm x1; x2 của pt thoả 10x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ
nhất đó?

Bài 6: Cho pt x2 - 2mx + 2m - 1 = 0
a)

Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m.

b) Đặt A = 2(x12 + x22) - 5x1x2
+) Chứng minh A = 8m2 - 18m + 9
+) Tìm m sao cho A = 27.
c)

Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy?
2

Bài 7: Cho pt x - 2(m + 1)x + m - 4 = 0
a)

Giải pt khi m = -5

b) CMR pt luôn có nghiệm x1; x2 với mọi m.
c)

Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.

d) Tìm m để pt có hai nghiệm dương.
e)

CMR biểu thức A = x1(1- x2) + x2(1- x1) không phụ thuộc m.

f)

Tính giá trị của biểu thức

x1 - x2

2
Bài 8: Cho pt x - 2(m + 2)x + m + 1 = 0

a)

Giải pt trên khi m = -

3
2

b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu?
c)

Tìm m để pt có hai nghiệm đều âm?

2
d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để x1(1- 2x2) + x2(1- 2x1) = m

2

2

Bài 9: Cho pt x - 2(m + 1)x + m - 4m - 9 = 0 (x là ẩn)
a)

Giải và biện luận pt.

b) Tìm m để pt nhận 2 là nghiệm. Với giá trị của m vừa tìm được hãy tìm nghiệm còn lại của pt.
c)

Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
15

GV: LÊ HỌC VĂN

PTDTBT THCS THANH TÂN
2

Bài 10: Cho pt (m - 4)x - 2mx + m + 2 = 0
a)

Tìm m để pt có nghiệm x = 2 . Tìm nghiệm kia

b) Tìm m để pt có nghiệm
Tính

x12 + x22

theo m.

d) Tính

x13 + x23

theo m.

c)

e)

Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phương nghịch đảo các nghiệm.

a)

Pt

Bài 11:

b) Pt
c)

x2 - 2px + 5 = 0 có nghiệm x1 = 2 . Tìm p và tính nghiệm kia.

x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm q và tính nghiệm kia.

Biết hiệu hai nghiệm của pt x2 - 7x + q = 0 bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của

d) Tìm q và hai nghiệm của pt x2 - qx + 50 = 0 , biết pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm
kia.
e)

2
2
Tìm giá trị của m để pt x + 2(m + 2)x + 2m + 7 = 0 có nghiệm x1 = 5. khi đó hãy tìm nghiệm

còn lại.
f)

2
Định giá trị của k để pt x + k(k + 1)x + 5k + 20 = 0 có nghiệm x = -5. Tìm nghiệm kia.

g) Cho pt: 5x2 + mx - 28 = 0 . Định m để pt có hai nghiệm thoả 5x1 + 2x2 = 1
h) Tìm tất cả các giá trị của a để pt x2 + ax + a + 7 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn

x12 + x22 = 10
2
Bài 12: Cho pt (m + 1)x - 2(m - 1)x + m - 2 = 0

a)

Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt.

b) Xác định m để pt có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm kia.
c)

Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
1
1
7
+ = ;
x1 x2
4

1
1
+
= 1;
x1 x2

x12 + x22 = 2

d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 3(x1 + x2) = 5x1x2
2
Bài 13: Cho pt x - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0

a)

Tìm m để pt có nghiệm

b) Cho

P = 6x1x2 + x12 + x22 ( x1; x2 là hai nghiệm của pt). Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất,

tìm GTNN ấy.
Bài 14: Tìm các giá trị của m; n để pt
Bài 15: Tìm các giá rị của m để pt

x2 - 2(m + 1)x + n + 2 = 0 có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2 ?

x2 - mx + m + 1 = 0 có nghiệm x1; x2 thoả mãn một trong hai điều:

a) x1x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0
b) x1; x2 đều âm.
Bài 16: Cho pt x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
16

GV: LÊ HỌC VĂN
a)

PTDTBT THCS THANH TÂN

CMR pt luôn có nghiệm với mọi m.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
c)

Xác định m để pt có hai nghiệm bằng nhau về giá trị...