Trường THPT Lương Thế Vinh

III.NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG :
* NGUYÊN HÀM :
DẠNG 1: Tìm họ các nguyên sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản

Bài tập tăng tiết lớp 12

x
Câu 1: Gọi F ( x ) là họ nguyên hàm của hàm số f ( x) e  2 thì F ( x) bằng:
x
x
A. F ( x ) e  2  C
B. F ( x) e  2 x  C

1 x 1
e  2x  C
x 1
D.
2
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) 3 x  2 x  1 .
f ( x )dx x 3  x 2  x  C
f ( x)dx x 3  x 2  1  C


A.
B.
3
2
x x
f ( x )dx  
 x C
f ( x )dx  x 4  x 3  x  C


3
2
C.
D.
1
f ( x)  x 2  3 x 
x .
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số
x 1
C. F ( x) e  2 x  C

A.

f ( x)dx x

3

F ( x) 

2

 3 x  ln x  C

B.

3

x 3
1
f ( x) dx   x 2  2  C

3 2
x
C.
Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số
1
f ( x)dx  1  x  C
A.
2
f ( x)dx  1  x  C
C.

f ( x) 

1
1 x

f ( x)dx 

x3 3 2
 x  ln x  C
3 2

x3 3 2
f ( x)dx  3  2 x  ln x  C
D.

dx

B.

f ( x)dx  2

D.

f ( x)dx 2

1 x  C
1 x  C

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) cos 5 x. cos 3 x .
1
1
1
1
f ( x )dx  sin 8 x  sin 2 x  C
f ( x)dx  sin 8 x  sin 2 x  C


16
4
2
2
A.
B.
1
1
1
1
f ( x)dx  sin 8 x  sin 2 x
f ( x )dx  sin 8 x  sin 2 x  C


16
4
16
4
C.
D.
x
x
Câu 6: Hàm số F ( x) e  e  x  C là nguyên hàm của hàm số nào?
x
x
A. f ( x ) e  e  1
f ( x ) e x  e  x  1
C.

x
x
B. f ( x) e  e  x
x
x
D. f ( x ) e  e  x

x
x
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) e (2  e ) .
f ( x )dx 2e x  x  C
f ( x )dx 2e x  1  C
A. 
B. 
f ( x )dx 2 x.e x  x  C
f ( x)dx e x (2 x  e  x )  C


C.
D.

Câu 8: Hàm số f(x) = 2017 có nguyên hàm là
A.

B.

C.

D.
Trang

1

Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập tăng tiết lớp 12

Câu 9: Tìm nguyên hàm của f(x) = xe
A.

B.

C.
D.
Câu 10: Cho số thực C và các hàm số f(x), g(x) liên tục. Khẳng định nào sau đây là sai?

ò f (x)dx = f (x) +C
( f (x) ± g(x))dx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx
C. ò
/

A.

òkf (x)dx = kò f (x)dx (k Î ¡ )
( f (x).g(x))dx = ò f (x)dx.ò g(x)dx
D. ò
B.

Câu 11: Nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 x  sin x là

ò f (x)dx = 2 + cosx +C
f (x)dx = 2- cosx +C
C. ò
A.

ò f (x)dx = x
f (x)dx = x
D. ò

2

- cosx +C

2

+ cosx +C

B.

Câu 12: Trong các hàm số liệt kê dưới đây, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F ( x ) tan x ?
2
2
2
y = - ln cosx
A. y = tan x B. y = tan x + 2
C. y = tan x + 1
D.
2x
Câu 13: F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) e . Khẳng định nào sau đây đúng?

1
F ( x)  e2 x  5
2
A.

2x
x
B. F ( x) 2e  1
C. F ( x) e  C
3
x4   2x
x
Câu 14: Nguyên hàm của hàm số f(x) =
là.
x5
x5
2x
 3ln x  2 x.ln 2  C
 3ln x 
C
ln 2
A. 5
B. 5
x3 1
3

 2x  C
x5   2 x.ln 2  C
3
x
C. 3 x
D.

4x
D. F ( x) e  3

DẠNG 2: Tìm họ các nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số



 thì F ( x) bằng:
x 1  C
F ( x) 

f ( x)  x x 2 1
F
(
x
)
Câu 1: Gọi
là họ nguyên hàm của hàm số
A.

x
F ( x) 
F ( x) 

C.

2

2

 1

3

3

2

3

2

C

B.

3


x x
  x C
2 3


Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số
f ( x )dx ln x  C
A. 
f ( x)dx ln ln x   C
C.
Câu 3: Để tính nguyên hàm

f ( x) 

1
x. ln x .

6

3
x2 2
F ( x)   x 1  C
6
D.

f ( x)dx ln x  C
f ( x)dx ln ln x  C
D. 
B.

theo phương pháp đổi biến số, ta nên đặt biến số phụ

Trang

2

Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập tăng tiết lớp 12
2

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x )  x x  3
A.

f ( x)dx x
f ( x)dx 

2

3C

 x 2  32
4

C

C.
Câu 5: Để tính

 x 2  32

B.

f ( x)dx 

D.

f ( x)dx 

2

C

( x 2  3) x 2  3
C
3

theo phương pháp đổi biến ta được kết quả sau

A.

B.

C.
D.
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) s in x.cosx .
1 3
1 4
f
(
x
)
dx

cos
x

C
f
(
x
)
dx

sin x  C


3
4
A.
B.
1
f ( x )dx  cos 2 x  C
f ( x)dx  s inx.cos3 x  C

2
C.
D. 
3

DẠNG 3: Tìm họ các nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
x
Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  x.e .
A.

f ( x)dx x.e

x

 ex  C

B.

1

f ( x)dx  2 e  1
D.

f ( x)dx 1

C.
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) x.s inx .
f ( x )dx s inx  x cos x  C
A. 
B.
2
x
f ( x)dx  2 cos x  C
D.
C.

Câu 4: Kết quả của

f ( x)dx e  1

f ( x)dx  s inx+x cos x  C
x2
f ( x)dx  2 cos x  C

là:

Câu 5:Nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x + 3)sinx giải bằng phương pháp nguyên hàm từng phần là:

DẠNG 4: Tìm một nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước
Trang

3

Trường THPT Lương Thế Vinh
Bài tập tăng tiết lớp 12
2x
f
(
x
)

e

cos
2
x
F
(
x
)

C
Câu 1: Giả sử hàm số
có họ nguyên hàm là
Tìm số C, biết F (0)  1

A.

C

1
2

B. C 0

C.

1
2 D.

C 

C 1

F(0) = 2016
Câu 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) 1  s inx thỏa mãn
A. F ( x ) cos x  2015
B. F ( x)  x  cos x  2015
C. F ( x) x  cos x  2017
D. F ( x) x  cos x  2017
x3  1
f ( x)  2
x
Câu 3: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
thỏa mãn F(1) = 0
A.

F ( x) 
F ( x) 

x2 1 1
 
2 x 2

B.

2

x 1 1
 
2 x 2

D.

C.

F ( x) 

x2 1 3
 
2 x 2

F (x) 

x2 1 3
 
2 x 2


1
F ( ) 0
2
4
sin x , biết
Câu 4: Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số
.
F
(
x
)

cot
x

1
F
(
x
)

cot
x

1
F
(
x
)

cot
x

1
A.
B.
C.
D. F ( x)  cot x  1
2 x2  1
f ( x) 
x , biết F (2) ln 2 . Tính F (1) .
Câu 5: F ( x) là một nguyên hàm của hàm số
f ( x) 

A. F (1)  3

B. F (1)  3

C. F (1)  3

D. F (1)  3

NGUYÊN HÀM
1) Tìm
A.

B.

C.

D.

2) Tìm

A.

B.

C.

D.

3) Tìm
A.

B.

C.

D.

4) Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

B.

C.

D.

5) Tìm
Trang

4

Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập tăng tiết lớp 12

A.

B.

C.

D.

6) Tìm

A.

7) Tìm

A.

B.

B.

8) Nguyên hàm của

C.

D.

B.

C.

B.

C.

D.

là:
A.

10)
11)

D.

là:

A.
9)

C.

là: A.

A. -12

12) Cho

D.

B.

=

B.9

C.

Khi đó a+b bằng

B.

13) ) Biết

và

B.

và

D.
. Tìm F(x).

C.

C. -1

.

. Tính

C.

14) Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số

15) Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số
A. 0
B. 2

. Tìm
D.

là một nguyên hàm của của hàm số

B.

D. 6

thỏa mãn
C.

A.

A.

C.

là một nguyên hàm của hàm số

A.

D.

D.

và

. Tìm

D. 1

.
Trang

5

Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập tăng tiết lớp 12

16) Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số
A.
B.
17) Cho hàm số
thì

. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), biết rằng F(1) = 4

A.

B.

C.

D.

18) Cho hàm số
A. ln2

có đạo hàm là
B. ln3

19) Nguyên hàm

và
C. ln2 + 1

của hàm số
B.

C.

D.
và
B.

A.

.

C.

. D.

để hàm số
.
B.

.

D.

là:

. B.

22/ Tìm số thực

C.

.

D.

là một nguyên hàm của

A.

.

24/ Cho

B.

.

C.

B.

.

.
thì giá trị của

.

là nguyên hàm của hàm số
.

.

là một nguyên hàm của hàm số

.

23/ Để

là:

C.

thì

A.

bằng:
D. ln3 + 1

. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng:

A.
21/ Nếu

thì

thỏa mãn

A.

20) Cho

A.

thỏa mãn F(3/2)=0. Khi đó F(3) bằng
C.
D.

D.

là:

.

. Tính
C.

.

D.

.

25/ Một loại vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết
vi trùng. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu?

và lúc đầu có 250000 con

26/ Một vật chuyển động với vận tốc v(t) m/s, có gia tốc
Hỏi vận tốc sau 10 giây? ( làm tròn đền hàng đơn vị ) ;

. Vận tốc ban đầu 6 m/s.
13m/s.

Trang

6

Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập tăng tiết lớp 12

27/ Cho

. Tính
B. 2020

A.2018 .

C.2025.

D. 2030 .

* TÍCH PHÂN
DẠNG 1: Vận dụng công thức tích phân cơ bản hoặc dùng máy tính cầm tay
Câu 1: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn [ a ; b ]. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề
sau:
a

A.
C.

f ( x) dx 0
a

b

b

b

a

a

 f ( x)  g ( x) dx f ( x) dx  g ( x) dx
a

Câu 2: Tích phân
2
5
A.
Câu 3: Tích phân
14
A. 3

1

( x

4

B.
D.

a

b

b

a

f ( x) dx  f ( x) dx
b

b

b

a

a

a

 f ( x).g ( x) dx f ( x) dx . g ( x) dx

 1)dx
có giá trị bằng:
4
B. 5

0

6
C. 5

8
D. 5

7
C. 3

5
D. 3

19
C. 3

D. 12

ln 5
C. 5

ln 5
D. 2

3
 2 ln 2
C. 2

D. Kết quả khác


C. 2

D. Kết quả khác

4

 x dx
1

có giá trị bằng:
16
B. 3

5
2

Câu 4: Tích phân
21
A. 2
Câu 5: Tích phân
A. ln5

 2 x  4 dx

có giá trị bằng:
25
B. 3

0

2

1

2 x  1 dx
0

có giá trị bằng:

B. 2ln5
x  x 1
dx

x

1
Câu 6: Tích phân  1
có giá trị bằng:
1

   ln 2 

A.  2
B. 2 – ln2
0



Câu 7: Tích phân
A. 1

2

cos
0

2

x
dx
2

có giá trị bằng:

B. 2

Trang

7

Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập tăng tiết lớp 12


2



Câu 8: Tích phân
4
A. 45

sin 2 x. sin 7 x dx
2

2
B. 45

1

4  x 2 bằng

B. 6

0


A. 8

1

x.e

Câu 10: Giá trị của

Câu 11: Cho
bằng:
A. 16

bằng

f ( x) dx  4
1

5

,

f ( x) dx 6
1

5

x
1

2

,


2

I  1  sin x  dx  1  cos x  dx
2

0

Câu 16: Tích phân
3 1
A. 6

5

. Tích phân

4 f ( x) 

g ( x) dx

1

C. 12

D. 10

C. 2ln6

D. Kết quả khác

 4
B. 2

.Giá trị của I là:
 6
C. 3

D. Kết quả khác

có giá trị

2

ln x
dx
x
1
Câu 14: Tích phân
có giá trị bằng :
1
1
A. 3
B. 4
sin x

1
C. 5

1
D. 6

C. e – 1

D. e – 2

. cos x dx

0


6

e2  1
D. 4

2

0



Câu 15: Tích phân
A. 2e

e2  1
C. 4

1

B. 2ln2 – ln3

e


D. 3

1
dx
x
có giá trị bằng:


2


2


C. 4

g ( x) dx 8

B. 14

2

e

D. Kết quả khác

dx

e2  1
B. 2

2

Câu 12: Tích phân
2
ln
A. 3

Câu 13: Gọi
3  8
A. 2

2x

0

2

e 1
A. 2

1
C. 45

dx



Câu 9: Giá trị của

có giá trị bằng:

B. 3e

có giá trị bằng:

 1  sin x . cos xdx
0

3 31
6
B.

có giá trị bằng:
3
C. 2

D.

3 1
6

Trang

8

Trường THPT Lương Thế Vinh
e1

Câu 17: Tích phân
5e 6  1
A. 36
Câu 18: Tính:

x

5

Bài tập tăng tiết lớp 12

. ln xdx

có giá trị bằng:
2e 6  1
6
B.

1

e6 1
C. 6

6
D. e

1

I 2 x dx
0

A. I ln 2

B. I 1
2

Câu 19: Tính tích phân

C.

I

1
ln 2

D.

I

2
ln 2

I (x 2  x  1)dx
1

19
I
6
B.

A. I 11

C. I 4

1

D.

I

29
6

I (2e x  1)dx

0
Câu 20: Tính tích phân
I 2e  1
B. I 2e  1
C. I 3e  2
A.
Câu 21: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:


2

A.


2

1

x
1
cos dx  cos xdx

2
20
0
2

3

1

0

e

x

.dx 1 

B. 0

2.x. x 2  1.dx   t .dt

D. I e  1

1
e

1

1

D. 0

0

sin(1  x).dx sin x.dx

C.
Câu 22: I  là kết quả của một trong các tích phân sau. Chọn khẳng định đúng.
1
2
3

1
I e  x  2 dx
I  4  x 2 dx
I 
dx
I

sin xdx

9  x2
0
0
0
0
A.
B.
C.
D.
DẠNG 2: Những bài toán hạn chế bấm máy
2

Câu 1: Cho biết

5

f ( x)dx  4 f ( x)dx 6
,

1

5

1

B.

1

C.

và

5

D.

2

6

Câu 2: Cho
6

A.

0

f ( x)dx  17
4

1

4

và

f ( x)dx 7
0

B.

6

thì

f ( x)dx 17
4

. Khẳng định nào sau đây là sai?

3 f ( x)dx  12
1

5

f ( x)dx 10
f ( x)dx 10

g ( x)dx 8

2

f ( x) g ( x)dx 48
A.

5

 f ( x) 
1

g ( x)  dx  2

6

f ( x)dx
4

6

C.

bằng

f ( x)dx 3
4

6

D.

f ( x)dx  3
4

Trang

9

Trường THPT Lương Thế Vinh
2

Bài tập tăng tiết lớp 12

dx

x  1 a  ln b

Câu 3: Giả sử 0
A.a =0 và b =81
1

(e

2x

khi đó giá trị của a và b là ?
B.a =1 và b = 9
C.a =0 và b =3

 e x  1)dx a.e 2  b.e  c

Câu 4: Cho biết 0
A. a  b  c 1

D.a =1 và b = 8

. Tính tổng a  b  c .
C. a  b  c 2

B. a  b  c 0
5
(3 x  1) 3dx 

4
Câu 5: Cho biết 0
. Tìm số a
a

1
a

0
A.
B.
C. a 2
D. a 1
a
x 1
dx e

x
0
Câu 6: Cho
.Khi đó giá trị của a bằng
2
e
a
a
1 e
2
B. a e
C.
A.
a

D. a  b  c 3

2
a
1 e
D.

2

f ( x).dx 3

: Cho f ( x) a sin x  b , Tìm a và b biết f '(0) = 4 và
Câu 7
a 4; b=

A.

e

3
2

B.

a 1; b=

3
2

C.

0

a 3; b=

1
2

3e a  1
x ln xdx  b
Câu 8: Cho biết 1
. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. a.b 64
B. a.b 46
C. a  b 12

1
2n

A.

1
2

3


2
I   (1  cos x) n sin xdx
0
Câu 9: Cho
. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

I

D.

a 2; b=

B.

I

1
n 1

C.

Câu 10: Biết f(x) là hàm số liên tục trên R và
B.

I

1
n 1

D. a  b 4

D.

I

1
n

, tính
C.

D.

* DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Câu 1: Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai
đường thẳng x = a, x = b (ab

A.

S f ( x )dx
a

B.

a

b

b

b

S  f ( x) dx

C.

S  f 2 ( x) dx
a

D.

S   f ( x) dx
a

Trang 10

Trường THPT Lương Thế Vinh
Bài tập tăng tiết lớp 12
y

f
(
x
)
y

g
(
x
)
[
a
;
b
]
Câu 2: Cho hai hàm số
và
liên tục trên
. Khi đó, diện tích S của hình phẳng
y

f
(
x
),
y

g
(
x
)
giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
và hai đường thẳng x a, x b được tính theo công

thức:

b

b

A.

S  f ( x)  g ( x) dx

B.

a

b

S   f ( x )  g ( x )  dx
a

b

S   f ( x)  g ( x )  dx

S   f ( x)  g ( x) dx

a
C.
D.
Câu 3: Cho đồ thị hàm số y  g ( x) . Diện tích hình phẳng ( phần gạch trong hình vẽ) bằng:
a

y

3
2
1

x

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

-1

2

3

4

5

6

7

8

-2
-3
-4
-5
-6
-7

`

-8

3

3

A.

g ( x)dx

B.

1

Câu 4: Cho đồ thị hai hàm số
gạch trong hình vẽ) bằng:

3

g ( x) dx

C.

0



 g ( x)dx

D.

1

0

g ( x)dx

8

y  f1 ( x) và y  f 2 ( x ) ( là đường Parabol). Diện tích hình phẳng ( phần

y

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1
-2
-3
-4
-5
-6

`
A.
C.

-7

0

 f1 ( x) 

2
0

 f1 ( x) 

1

1

f 2 ( x)  dx   f 2 ( x)  f1 ( x)  dx
0

f 2 ( x )  dx 

1

 f1 ( x) 
0

f 2 ( x)  dx

0

B.

 f1 ( x) 

2
1

D.

1

f 2 ( x)  dx   f1 ( x)  f 2 ( x)  dx

 f ( x) 
1

2

0

f 2 ( x)  dx

Câu 5: Trong các tích phân sau, tích phân nào là công thúc tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số

y sin x  2cosx trục hoảnh và hai đường thẳng

x 0, x 


2 là

Trang 11

Trường THPT Lương Thế Vinh


2


2

A.

sin x  2cosx dx

B.

0

Bài tập tăng tiết lớp 12


2

sin x  2cosx dx

C.

0

sin x 

2cosx dx
D.

0


2

sin x  2cosx dx
0

2
Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  x  4 x và x  y 0 Có kết quả bằng:
9
2
1
A. S= 2
B. S= 9
C. S=2
D. S= 2
2
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x – 1; y = 0; và hai đường
thẳng x = 0; x = 2. Có kết quả bằng:
1
S
2
A. S  2
B.
C. S 2
D. S  2

3
5
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x và y  x .Có kết quả bằng:

1
A. S= 12

1
B. S= 6

2
C. S= 6

D. S=0
Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = lnx, y = 0, x = e bằng:
A. S= 1
B. S= 2
C. S= e
D. S= 1 + e

* THỂ TÍCH CỦA HÌNH PHẰNG
Câu 1 : Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y sin x , trục hoành và hai đường thẳng x 0, x 
. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục trục Ox:


A.

V  sin xdx



3

V sin xdx



V  sin xdx

V   sin 2 xdx

2

0
0
C.
D.
2
Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y 1  x , y 0 . Thể tích của khối tròn xoay thu được
khi quay hình này quanh trục trục Ox:
0

1

A.

V  1  x 2  dx
1

B.



2

0

1

2

B.

V  1  x 2  dx
1

1

2

C.

V  1  x 2  dx
1

1

D.

V  1  x 4  dx
1

2
Câu 3: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x  x , y 0
quay quanh trục Ox là:
8
16
3
3
A. V= 15
B. V= 15
C. V= 5
D. V= 10

x
Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  e , y 0, x 0 và x 1 quay quanh Ox . Thể
tích vật thể tạo thành là:

C. S=  (e  2)
D. S=  (e  1)
x  f y
Câu 5: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong
, trục tung và hai đường thẳng
y a, y b( a  b) quay quanh trục trục tung tạo thành một khối tròn xoay. Công thức tính thể tích của
khối tròn xoay nói trên:
A. S=  (e  1)

B. S=  (e  2)

Trang 12

Trường THPT Lương Thế Vinh
b

A.
C.

Bài tập tăng tiết lớp 12

b

V  f 2  y  dy

B.

a
b

V  f 3  y  dy

D.

a

V f 2  y  dy
a

b

V   f 2  y  dy
a


Câu 6: : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = cosx, y = 0, x = 0, x = 4 . Thể tích của khối
tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:
 (  2)
2
 2 1
8
A. V= 8
B. V=
C. V= 4

 (  2)
8
D. V=-

Câu 7: . Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm só y = e 2x , y = 0, x = 0 và x = 2. Thể tích của khối
tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:

 4
e  1
A. 2

  4 1
e  
2
B. 2 

  4 1
e  
2
D. 2 

 4
e  1
C. 2

Câu 8: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x , y  x . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu
được khi quay hình này quanh trục trục Ox.

V

23
30 (đvtt)

V

1
6 (đvtt)

V

23
30 (đvtt)

V


6 (đvtt)

A.
B.
C.
D.
Câu 9: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
4 – x2, y = 0 xung quanh trục Ox.
A. V = 2
B.
C.
D.
Câu 10: Kí hiệu V1, V2 lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi
quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = - 2x + 2 và đường thẳng
Ox. Hãy so sánh V1, V2.
A.V1 < V2
B. V1 = V2
C. V1 > V2
* BÀI TOÁN THỰC TẾ
v' (t ) 

y=2

xung quanh trục

D. V1 = 2V2





3
m / s2
t 1
.Vận tốc ban đầu là

Câu 1: Một vật chuyển động với vân tốc v(t) (m/s) có gia tốc
6m/s. Hỏi vận tốc sau 10 giây ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
A. v(10) 16m / s
B. v(10) 60m / s
C. v (10) 13m / s

D. v(10) 54m / s
2
Câu 2: Nam ngồi máy bay đi du lịch với vận tốc chuyển động của máy bay là v (t ) 3t  5 (m/s).
Quãng đường máy bay đi được từu giây thứ 4 đến giây thứ 10 là bao nhiêu?
A. 36m
B. 252m
C. 1134m
D. 966m
1
a (t ) 2t  t 2 (m/s 2 )
3
Câu 3: Một vật đang chuyển động với vận tốc 6m/s thì tăng tốc với gia tốc
.Tính
quãng đường vật đi được trong khảng thời gian 6 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc
A. 36m
B. 24m
C. 432m
D. 596m
Câu 4: Một ô tô đang chạy với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động
chậm dần đều với vận tốc v(t )  5t  12 (m/s) , trong đó t là khảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc
đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn duy chuyển bao nhiêu mét ?

Trang 13

Trường THPT Lương Thế Vinh
14, 4m
B. 1,44m

A.

C. 28,8m

D. 9,8m

Bài tập tăng tiết lớp 12

Câu 5: Một vật di chuyển với gia tốc
. Khi
thì vận tốc của vật là
. Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
IV. SỐ PHỨC :
Cộng, trừ và nhân số phức
* MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu 1.

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Số phức z = a + bi được biểu diễn bằng điểm M(a; b) trong mặt phẳng phức Oxy
B. Số phức z = a + bi có môđun là
C. Số phức z = a + bi = 0 
D. Số phức z = a + bi có số phức đối z' = a - bi

Câu 2.

Cho số phức z = a + bi. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. z +

Câu 3.

= 2bi

D. z' = a - bi

có phần thực là :

B. a2 - b2

C. a + b

D. a - b

B.

C.

D. 2ab

B. (-2; -3)

C. (2; -3)

D. (-2; 3)

B. (6; -7)

C. (-6; 7)

D. (-6; -7)

C. 0

D. 2

Cho số phức z = a + bi . Số z + z' luôn là:
A. Số thực

Câu 9.

C. z' = -a - bi

Cho số phức z = 6 + 7i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là:
A. (6; 7)

Câu 8.

D.

Số phức z = 2 - 3i có điểm biểu diễn là:
A. (2; 3)

Câu 7.

= a 2 - b2

Cho số phức z = a + bi. Số phức z2 có phần ảo là :
A. ab

Câu 6.

C. z.

B. z' = b - ai

Cho số phức z = a + bi. Số phức
A. a2 + b2

Câu 5.

= 2a

Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số phức:
A. z' = -a + bi

Câu 4.

B. z -

B. Số ảo

Cho số phức z = a + bi với b  0. Số z –
A. Số thực

B. Số ảo

luôn là:
C. 0

D. i

Câu 10. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm biểu diễn của số phức z' = -2
+ 5i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành
Trang 14

Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập tăng tiết lớp 12

B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x

Câu 11. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 3 + 2i và B là điểm biểu diễn của số phức z' = 2
+ 3i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x

Câu 12. Phần thực và phần ảo của số phức:
A. 1 và 2

B. 2 và 1

C. 1 và 2i

D. 1 và i.

C. 1 và -3i

D. -3 và 1.

Câu 13. Phần thực và phần ảo của số phức:
A. 1 và 3

B. 1 và -3

Câu 14. Số phức liên hợp của số phức:
A.

B.

Câu 15. Số phức liên hợp của số phức:
A.

là số phức:
C.

D.

.

D.

.

là số phức:

B.

C.

B.

C. 5

D. 2.

B.

C. 2

D. 1

Câu 16. Mô đun của số phức:
A.

Câu 17. Mô đun của số phức:
A.

Câu 18. Điểm biểu diễn số phức
A.

B.

trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là:
C.

D.

Câu 19. Với giá trị nào của x,y để 2 số phức sau bằng nhau:
A.

B.

C.

D.

C.

D.

Câu 20. Với giá trị nào của x,y thì
A.

Câu 21. Cho số phức
A.

B.

. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
B.

Câu 22. Số phức liên hợp của số phức
A.

B.

C.

D.

là số phức:
C.

D.
Trang 15

Trường THPT Lương Thế Vinh

Câu 23. Cho số phức

Bài tập tăng tiết lớp 12

. Số phức

A.

B.

Câu 24. Cho số phức

A.

A.

C.
. Số phức
C.

có phần thực là:
D.

và

. Số phức

có phần ảo là:

B.

B.

Câu 30. Cho số phức
A. Số thực

Câu 31. Cho số phức
A. Số thực

D.

C.

D.

. Số phức đối của
B.

có điểm biểu diễn là:

C.

Câu 29. Cho số phức
A.

C.

có điểm biểu diễn là:

Câu 28. Cho số phức
A.

D.

và
B.

Câu 26. Cho hai số phức

D.

có phần ảo là:

B.

Câu 25. Cho hai số phức

Câu 27. Số phức

C.

. Số phức

A.

A.

có phần thực là:

. Số phức liên hợp của
B.
. Số
B. Số ảo

luôn là:

với
B.Số ảo

. Số

Câu 32. Cho số phức

D.
có điểm biểu diễn là:

C.

D.

C.

D.

luôn là:
C.

D.

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

.

A. Phần thực bằng

, Phần ảo bằng

B. Phần thực bằng

, Phần ảo bằng

C. Phần thực bằng

và Phần ảo bằng

D. Phần thực bằng

và Phần ảo bằng

Câu 33. Cho số phức

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

A. Phần thực bằng

và Phần ảo bằng

B. Phần thực bằng

C. Phần thực bằng

và Phần ảo bằng

D. Phần thực bằng

Câu 34. Cho số phức
A. Phần thực bằng
C. Phần thực bằng

Câu 36. Số phức
A.

và Phần ảo bằng
và Phần ảo bằng

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
và Phần ảo bằng
và Phần ảo bằng

Câu 35. Thu gọn
A.

.

B. Phần thực bằng

.

và Phần ảo bằng

D. Phần thực bằng

và Phần ảo bằng

C.

D.

C.

D.

ta được:
B.
có môdun bằng:
B.

Trang 16

Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập tăng tiết lớp 12

Câu 37. Cho số phức

. Khi đó số phức

A.

B.

Câu 38. Cho hai số phức
A.
A.

Câu 40. Cho số phức
A. Một số thực

C.
và

B.

Câu 39. Cho hai số phức

bằng:
D.

. Tính môđun của số phức
C.

và

.
D.

. Tính môđun của số phức

.

B.

C.

D. Kết quả khác

. Khi đó số
B.

là:
C. Một số thuần ảo

D.

* MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 1.

Câu 2.

Phần thực và phần ảo số phức:

là:

A. -2 và 1

C. 1 và -2

Cho số phức
A.

Câu 3.

thỏa mãn điều kiện
B.

Cho số phức
A. 2 và -3

B.

C.

D.

.

. Môđun của z bằng:
C.

D.

thỏa mãn điều kiện
B. 2 và 3

D. 2 và 1.

. Số phức z cần tìm là:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
A.

Câu 4.

B. 1 và 2

.

. Phần thực và phần ảo của
C. -2 và 3

Câu 5.

Số phức nghịch đảo của số phức

Câu 6.

A.
=
Cho số phức

B.
=
C.
. Tìm mệnh đề đúng:

Câu 7.

A.
Cho số phức

B.
. Số phức

Câu 8.

A.
Cho số phức
A.

B.
và
B.

Câu 9.

Cho số phức

. Số phức

Câu 10.

A.
Cho số phức

B.
C.
có điểm biểu diễn hình học là:

là:

D. -3 và 2.

là:
=1+

C.
có phần thực là:
C.
. Số phức
C.

D.

= -1 +

D.

D.
có phần thực là:
D.

có phần ảo là:
D.
Trang 17

Trường THPT Lương Thế Vinh

Câu 11.
Câu 12.

Câu 13.

Bài tập tăng tiết lớp 12

A.
B.
Cho số phức
có modun là:
A. 3
B. 4
Điểm biểu diễn hình học của số phức

C.

A.

C.

Số phức

B.

Số phức

Câu 16.

A.
Số phức
A.

Câu 17.
Câu 18.
Câu 19.
Câu 20.

B.
. Số phức
B.
thì
B.

có môđun là:

A. 10

B. – 10

Câu 21. Điểm biểu diễn của các số phức
trình là:

D. 0

C.

D.

C. 6

D.

C. 2

D. 2i

C. 7

D. 0

C.

D. –

với

B.

, nằm trên đường thẳng có phương
D.
, nằm trên đường thẳng có phương

C.

Câu 23. Điểm biểu diễn của các số phức
trình là:

Câu 25.
là:

C. 1

C.

Câu 22. Điểm biểu diễn của các số phức
trình là:

Câu 24. Cho số phức
nằm trên:

D.

với

B.

A.

C.

bằng:

Số phức

A.

D.

bằng:

Thu gọn số phức
, ta được:
A.
B.
Số phức
có phần ảo là:
A. – 2
B. – 2i
Số phức
có môđun là:
A. 1
B. 5

A.

C.

bằng:

A.
Câu 15.

D.

, ta được số phức:

A.
Câu 14.

C. 5
D. -1
nằm trên đường thẳng:

B.

Thu gọn số phức

D.

với

B.

D.
, nằm trên đường thẳng có phương

C.
với

D.

. Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp của

A. Đường thẳng

B. Đường thẳng

C. Parabol

D. Parabol

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức
A. Một đường thẳng B. Một đường tròn

thỏa mãn điều kiện

C. Một đoạn thẳng

D. Một hình vuông

Trang 18

Trường THPT Lương Thế Vinh

Câu 26.

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức
là:
A. Một đường thẳng B. Một đường tròn

Câu 27. Cho hai số phức
thực là:
A.

và

`

A.

C.
và

Câu 30. Cho hai số phức
thần ảo là:
A.
B.

và

. Điều kiện giữa

và

hoặc

và

B.

và

hoặc

C.

và

hoặc

và

D.

và

hoặc

. Giá trị của
hoặc

C.

và

hoặc

Câu 33.

Câu 35.
Câu 36.

Câu 37.

và

B.

và

Cho số phức

và

D.

Tìm số phức z, biết:
A.
Tìm số phức z biết

C.

và

D.
.

B.

C.

D.
.

B.

C.

D.

và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị.
B.

,

C.

,

D.

,

,

và

.

,

A.

và

hoặc

A.

Tìm số phức z biết

là một số

và

hoặc

và

B.

Tìm số phức z, biết:
A.

để

là:

. Tìm số phức

A.
Câu 34.

và

là một số

là:

và

và

để

D.

. Giá trị của

A.

là một số

D.

C.

Cho

để

. Điều kiện giữa

A.

Câu 32.

là một số

D.

C.

Cho

để

D.

C.
và

D. Một hình vuông

. Điều kiện giữa

B.

Câu 29. Cho hai số phức
thực là:
A.
B.

thỏa mãn điều kiện

. Điều kiện giữa

B.

Câu 28. Cho hai số phức
thuần ảo là:

Câu 31.

C. Một đoạn thẳng

Bài tập tăng tiết lớp 12

và phần thực gấp đôi phần ảo.
B.

,
Trang 19

Trường THPT Lương Thế Vinh

C.

Bài tập tăng tiết lớp 12

,

D.

,

Câu 38. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện
thực âm là:
A. Trục hoành (trừ gốc tọa độ O)
B. Đường thẳng
(trừ gốc tọa độ O)
C. Trục tung (trừ gốc tọa độ O)
D. Đường thẳng
(trừ gốc tọa độ O)
Câu 39.

Cho số phức z thõa mãn:

A. 0

. Khi đó z có môđun là:

B.

Câu 40.
A. 0

Số phức

Câu 41.
A. 2

Số phức

Câu 42.

Cho x, y là các số thực. Hai số phức

A.
Câu 43.

D. 4

và

Cho hai số phức:

bằng nhau khi:
D.
bằng 0 khi:
D.

có mô đun bằng

B.

Câu 2.

D. – 2

C.

Cho x số thực. Số phức:

Cho số phức:
A. 1

C.

khi:
D.

. Khi đó giá trị
là:
B. 2
`
C. 3
,

A. 5

B.

Cho hai số phức:
B.

`

B. 6

là:

C. 25

D. 0

Khi đó giá trị
`

là:

C. 10

Cho số phức z có phần ảo gấp hai phần thực và
Khi đó mô đun của z là:
A. 4

D. 5

Khi đó giá trị

,

A. 5

Câu 5.

C. 2

C.

B.

Câu 1.

Câu 4.

D. 5

Cho x, y là các số thực. Số phức:

A.
* MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 3.

C.

có môđun là:
C. 1

B. 0
B.

A.
Câu 44.

có môđun là:

B. 1

C.

D. 2
.

D.

Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn:

của số phức:
A.

là một số

.Tính môđun

.
B.

C.

D.

Hướng dẫn: Đặt z = a+bi (a, b thuộc R)

Trang 20

Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập tăng tiết lớp 12

Vậy
Câu 6.

Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn:

môđun của số phức:
A.

. Tính

.
B.

C.

D.

Hướng dẫn: Đặt z = a+bi (a, b thuộc R)

Vậy
Câu 7.

Giá trị của: i105 + i23 + i20 – i34 là:
A.
B.

C.

D.

Hướng dẫn: Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn
vị ảo như sau:
Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1…
Bằng quy nạp dễ dàng cm được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i;  n  N*
Vậy in  {-1;1;-i;i},  n  N.
Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n =
.
Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được:
i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2
Câu 8.
Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tập hợp các điểm M(z)
thoả mãn điều kiện sau đây:
A. Có tâm
C. Có tâm

và bán kính là 2
và bán kính là 2

=2 là một đường tròn:
B. Có tâm

và bán kính là

D. Có tâm

và bán kính là 2

Hướng dẫn: Xét hệ thức:
=2 (1)
Đặt z = x +yi (x, y  R)  z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i.
Trang 21

Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập tăng tiết lớp 12

Khi đó (1) 
 (x-1)2 + (y + 1)2 = 4. Tập hợp các điểm M(z) trên mặt
phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2.
Câu 9.

Tính số phức sau :
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn: Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i
z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.
Câu 10. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tập hợp các điểm M(z)
thoả mãn điều kiện sau đây:
A.

là một đường thẳng có phương trình là:

B.

C.

Hướng dẫn: Xét hệ thức

D.

(2)

(2) 
(*)
Gọi A là điểm biểu diễn số -2, còn B là điểm biểu diễn số phức i
(A(-2;0); B(0;1))
Đẳng thức (*) chứng tỏ M(z)A = M(z)B.
Vậy tập hợp tất cả các điểm M(z) chính là đường trung trực của AB.
Chú ý: Ta có thể giải cách khác như sau:
Giả sử z = x + yi, khi đó:
(2)  |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|  (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2  4x + 2y + 3 = 0.
Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.
Nhận xét: Đường thẳng 4x+2y+3 = 0 chính là phương trình đường trung trực của đoạn AB.
Câu 11. Tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện
sau đây: |z +
A.

+3|=4 là hai đường thẳng:

và

B.

Hướng dẫn: Xét hệ thức: |z +

và

C.

và

D.

và

+3|=4 (1)

Đặt x = x + yi  = x – yi, do đó
(1)  |(x+yi)+(x-yi)+3|=4

 |2x+3|=4 
Vậy tập hợp tất cả các điểm M là hai đường thẳng song song với trục tung x = và x =
Câu 12. Tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện
sau đây: |z +
A.

và

+ 1 - i| = 2 là hai đường thẳng:
B.

và
Trang 22

Trường THPT Lương Thế Vinh

C.

Bài tập tăng tiết lớp 12

và

D. Kết quả khác

Hướng dẫn: Xét hệ thức: |z +
Đặt z = x + yi 

+ 1 - i| = 2.

= x – yi. Khi đó:

(2)  |1+(2y-1)i| = 2  1 + (2y-1)2 = 4  2y2 -2y-1 = 0 
Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng song song với trục hoành y =
Câu 13.
A.
C.

Tìm số phức z thỏa mãn:
hoặc
B.
hoặc
D.

và

.

.

hoặc
hoặc

Hướng dẫn: Đặt z = a+bi (a, b thuộc R)
(1)
(2)
Từ (1), (2), ta được

Giải hệ trên ta thu được

hoặc

Câu 14. Phương trình
có mấy nghiệm trong tập số phức:
A. Có 1 nghiệm
B. Có 2 nghiệm
C. Có 3 nghiệm
D. Có 4 nghiệm
Hướng dẫn: Đặt z = a+bi (a, b thuộc R)

Giải hệ trên ta thu được :

.

* Phép chia số phức , Phương trình bậc hai với hệ số thực
I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT:

Câu 1.
Câu 2.

ọi và
G
A. – 14
Gọi

Câu 3.

B. 14

C. -14i

. Tính

D. 14i

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

biểu diễn số phức
A.

là ...