Chuyên đề

SỐ HỌC

Diễn đàn Toán học

Chuyên đề

SỐ HỌC
Chế bản

Trần Quốc Nhật Hân [perfectstrong]
Trần Trung Kiên [Ispectorgadget]
Phạm Quang Toàn [Phạm Quang Toàn]
Lê Hữu Điền Khuê [Nesbit]
Đinh Ngọc Thạch [T*genie*]

c 2012 Diễn đàn Toán học


Lời giới thiệu

Bạn đọc thân mến,
Số học là một phân môn quan trọng trong toán học đã gắn bó với
chúng ta xuyên suốt quá trình học Toán từ bậc tiểu học đến trung học
phổ thông. Chúng ta được tiếp xúc với Số học bắt đầu bằng những
khái niệm đơn giản như tính chia hết, ước chung lớn nhất, bội chung
nhỏ nhất... giúp làm quen dễ dàng hơn với sự kì diệu của những con
số cho đến những vấn đề đòi hỏi nhiều tư duy hơn như đồng dư, số
nguyên tố, các phương trình Diophantine mà nổi tiếng nhất là định lý
lớn Fermat..., đâu đâu từ tầm vi mô đến vĩ mô, từ cậu bé lớp một bi
bô 4 chia hết cho 2 đến Giáo sư thiên tài Andrew Wiles (người giải
quyết bài toán Fermat), chúng ta đều có thể thấy được hơi thở của Số
học trong đó.
Số học quan trọng như vậy nhưng lạ thay số chuyên đề viết về nó lại
không nhiều nếu đem so với kho tàng đồ sộ các bài viết về bất đẳng
thức trên các diễn đàn mạng. Xuất phát từ sự thiếu hụt đó cũng như
để kỉ niệm tròn một năm Diễn đàn Toán học khai trương trang
chủ mới (16/01/2012 - 16/01/2013), nhóm biên tập chúng tôi cùng với
nhiều thành viên tích cực của diễn đàn đã chung tay biên soạn một
chuyên đề gửi đến bạn đọc.
Chuyên đề là tập hợp các bài viết riêng lẻ của các tác giả Nguyễn Mạnh
Trùng Dương (duongld) , Nguyễn Trần Huy (yeutoan11), Nguyễn
Trung Hiếu (nguyentrunghieua), Phạm Quang Toàn (Phạm Quang
Toàn), Trần Nguyễn Thiết Quân (L Lawliet), Trần Trung Kiên (Ispectorgadget), Nguyễn Đình Tùng (tungc3sp)... cùng sự góp sức
i

ii
gián tiếp của nhiều thành viên tích cực trên Diễn đàn Toán học như
Nguyen Lam Thinh, nguyenta98, Karl Heinrich Marx, The
Gunner, perfectstrong...
Kiến thức đề cập trong chuyên đề tuy không mới nhưng có thể giúp
các bạn phần nào hiểu sâu hơn một số khái niệm cơ bản trong Số học
cũng như trao đổi cùng các bạn nhiều dạng bài tập hay và khó từ cấp
độ dễ đến các bài toán trong các kì thi Học sinh giỏi quốc gia, quốc tế.
Chuyên đề gồm 7 chương. Chương 1 đề cập đến các khái niệm về Ước
và Bội. Số nguyên tố và một số bài toán về nó được giới thiệu trong
chương 2. Chương 3 nói sâu hơn về Các bài toán chia hết. Phương
trình nghiệm nguyên, Phương trình đồng dư được phác họa trong
các chương 4 và 5. Hệ thặng dư và định lý Thặng dư Trung Hoa
sẽ được gửi đến chúng ta qua chương 6 trước khi kết thúc chuyên đề
bằng Một số bài toán số học hay trên VMF ở chương 7.
Do thời gian chuẩn bị gấp rút nội dung chuyên đề chưa được đầu tư
thật sự tỉ mỉ cũng như có thể còn nhiều sai sót trong các bài viết,
chúng tôi mong bạn đọc thông cảm. Mọi sự ủng hộ, đóng góp, phê
bình của độc giả sẽ là nguồn động viên tinh thần to lớn cho ban biên
tập cũng như cho các tác giả để những phiên bản cập nhật sau của
chuyên đề được tốt hơn, đóng góp nhiều hơn nữa cho kho tàng học
thuật của cộng đồng toán mạng. Chúng tôi hi vọng qua chuyên đề này
sẽ giúp các bạn tìm thêm được cảm hứng trong số học và thêm yêu vẻ
đẹp của những con số. Mọi trao đổi góy ý xin gửi về địa chỉ email :
contact@diendantoanhoc.net.

Trân trọng,
Nhóm biên tập Chuyên đề Số học.

Diễn đàn Toán học

Chuyên đề Số học

Mục lục

i

Lời giới thiệu

Chương 1

1

Ước và Bội
1.1
1.2
1.3

Chương 2

9

Số Nguyên Tố
2.1
2.2
2.3
2.4

Một số kiến thức cơ bản về số nguyên tố 9
Một số bài toán cơ bản về số nguyên tố 13
Bài tập 19
Phụ lục: Bạn nên biết 24
Chương 3

29

Bài toán chia hết
3.1
3.2

57

Ước số, ước số chung, ước số chung lớn nhất 1
Bội số, bội số chung, bội số chung nhỏ nhất 4
Bài tập đề nghị 6

Lý thuyết cơ bản 29
Phương pháp giải các bài toán chia hết
Chương 4

Phương trình nghiệm nguyên
iii

31

iv

Mục lục
4.1
4.2
4.3

Xét tính chia hết 57
Sử dụng bất đẳng thức 74
Nguyên tắc cực hạn, lùi vô hạn 86
Chương 5

89

Phương trình đồng dư
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7

Phương trình đồng dư tuyến tính 89
Phương trình đồng dư bậc cao 90
Hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn 90
Bậc của phương trình đồng dư 95
Bài tập 95
Ứng dụng định lý Euler để giải phương trình
đồng dư 96
Bài tập 101
Chương 6

103

Hệ thặng dư và định lý Thặng dư Trung Hoa
6.1
6.2
6.3
6.4

Một số kí hiệu sử dụng trong bài viết 103
Hệ thặng dư 104
Định lí thặng dư Trung Hoa 117
Bài tập đề nghị & gợi ý – đáp số 125
Chương 7

129

Một số bài toán số học hay trên VMF
7.1
7.2

141

Diễn đàn Toán học

.
m3 + 17..3n 129
c(ac + 1)2 = (5c + 2)(2c + b) 136
Tài liệu tham khảo

Chuyên đề Số học

Chương

1

Ước và Bội
1.1
1.2
1.3

Ước số, ước số chung, ước số chung
lớn nhất 1
Bội số, bội số chung, bội số chung
nhỏ nhất 4
Bài tập đề nghị 6

Nguyễn Mạnh Trùng Dương (duongld)
Nguyễn Trần Huy (yeutoan11)

Ước và bội là 2 khái niệm quan trọng trong chương trình số học THCS.
Chuyên đề này sẽ giới thiệu những khái niệm và tính chất cơ bản về
ước, ước số chung, ước chung lớn nhất, bội, bội số chung, bội chung
nhỏ nhất. Một số bài tập đề nghị về các vấn đề này cũng sẽ được đề
cập đến ở cuối bài viết.

1.1

Ước số, ước số chung, ước số chung lớn nhất

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm về ước số,
ước số chung và ước số chung lớn nhất kèm theo một vài tính chất của
chúng. Một số bài tập ví dụ cho bạn đọc tham khảo cũng sẽ được đưa
ra.

1.1.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Số tự nhiên d 6= 0 được gọi là một ước số của số tự
nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d. Ta nói d chia hết a, kí hiệu d|a.
Tập hợp các ước của a là: U (a) = {d ∈ N : d|a}.
4
1

2

1.1. Ước số, ước số chung, ước số chung lớn nhất

Tính chất 1.1– Nếu U (a) = {1; a} thì a là số nguyên tố.



Định nghĩa 1.2 Nếu U (a) và U (b) có những phần tử chung thì những
phần tử đó gọi là ước số chung của a và b. Ta kí hiệu:
U SC(a; b) = {d ∈ N : (d|a) ∧ (d|b)}
= {d ∈ N : (d ∈ U (a)) ∧ (d ∈ U (b))}.
Tính chất 1.2– Nếu U SC(a; b) = {1} thì a và b nguyên tố cùng nhau.
Định nghĩa 1.3 Số d ∈ N được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b
(a; b ∈ Z) khi d là phần tử lớn nhất trong tập U SC(a; b). Ký hiệu ước
chung lớn nhất của a và b là U CLN (a; b), (a; b) hay gcd(a; b).
4

1.1.2

Tính chất

Sau đây là một số tính chất của ước chung lớn nhất:
• Nếu (a1 ; a2 ; . . . .; an ) = 1 thì ta nói các số a1 ; a2 ; . . . ; an nguyên
tố cùng nhau.
• Nếu (am ; ak ) = 1, ∀m 6= k, {m; k} ∈ {1; 2; . . . ; n} thì ta nói các
a1 ; a2 ; . . . ; an đôi một nguyên tố cùng nhau.


a b
(a; b)
• c ∈ U SC(a; b) thì
;
=
.
c c
c


a b
• d = (a; b) ⇔
;
= 1.
d d
• (ca; cb) = c(a; b).
• (a; b) = 1 và b|ac thì b|c.
• (a; b) = 1 và (a; c) = 1 thì (a; bc) = 1.
• (a; b; c) = ((a; b); c).
• Cho a > b > 0
– Nếu a = b.q thì (a; b) = b.
– Nếu a = bq + r(r 6= 0) thì (a; b) = (b; r).
Diễn đàn Toán học

Chuyên đề Số học

1.1. Ước số, ước số chung, ước số chung lớn nhất

1.1.3

3

Cách tìm ước chung lớn nhất bằng thuật toán Euclide

Để tìm (a; b) khi a không chia hết cho b ta dùng thuật toán Euclide
sau:
 a = b.q + r1 thì (a; b) = (b; r1 ).
 b = r1 .q1 + r2 thì (b; r1 ) = (r1 ; r2 ).
 ···
 rn−2 = rn−1 .qn−1 + rn thì (rn−2 ; rn−1 ) = (rn−1 ; rn ).
 rn−1 = rn .qn thì (rn−1 ; rn ) = rn .
 (a; b) = rn .
 (a; b) là số dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán Euclide.

1.1.4

Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1. Tìm (2k − 1; 9k + 4), k ∈ N∗ .
4
Lời giải. Ta đặt d = (2k − 1; 9k + 4). Theo tính chất về ước số chung
ta có d|2k − 1 và d|9k + 4. Tiếp tục áp dụng tính chất về chia hết ta lại
có d|9(2k − 1) và d|2(9k + 4). Suy ra d|2(9k + 4) − 9(2k − 1) hay d|17.
Vậy (2k − 1; 9k + 4) = 1.

Ví dụ 1.2. Tìm (123456789; 987654321).
4
Lời giải. Đặt b = 123456789; a = 987654321. Ta nhận thấy a và b đều
chia hết cho 9.
Ta lại có :
a + b = 1111111110
1010 − 10
(1.1)
=
.
9
⇔ 9a + 9b = 1010 − 10
Mặt khác :
10b + a = 9999999999
= 1010 − 1.
Chuyên đề Số học

(1.2)
Diễn đàn Toán học

4

1.2. Bội số, bội số chung, bội số chung nhỏ nhất

Trừ (1.2) và (1.1) vế theo vế ta được b−8a = 9. Do đó nếu đặt d = (a; b)
.
thì 9..d.
Mà a và b đều chia hết cho 9, suy ra d = 9.



Dựa vào thuật toán Euclide, ta có lời giải khác cho Ví dụ 1.2 như sau :
Lời giải.
 987654321 = 123456789.8+9 thì (987654321; 123456789) =
(123456789; 9).
 123456789 = 9.1371421.
 (123456789; 987654321) = 9.



1
n(n + 1), n ∈ N∗ chứa
2
những dãy số vô hạn những số đôi một nguyên tố cùng nhau.
4
Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng dãy số An =

Lời giải. Giả sử trong dãy đang xét có k số đôi một nguyên tố cùng
nhau là t1 = 1; t2 = 3; . . . ; tk = m(m ∈ N∗ ). Đặt a = t1 t2 . . . tk . Xét số
hạng t2a+1 trong dãy An :
1
(2a + 1)(2a + 2)
2
= (a + 1)(2a + 1)
≥ tk

t2a+1 =

Mặt khác ta có (a + 1; a) = 1 và (2a + 1; a) = 1 nên (t2a+1 ; a) = 1.
Do đó t2a+1 nguyên tố cùng nhau với tất cả k số {t1 ; t2 ; . . . tk }. Suy ra
dãy số An chứa vô hạn những số đôi một nguyên tố cùng nhau.


1.2

Bội số, bội số chung, bội số chung nhỏ nhất

Tương tự như cấu trúc đã trình bày ở phần trước, trong phần này
chúng tôi cũng sẽ đưa ra những định nghĩa, tính chất cơ bản của bội
số, bội số chung, bội số chung nhỏ nhất và một số bài tập ví dụ minh
họa.
Diễn đàn Toán học

Chuyên đề Số học

1.2. Bội số, bội số chung, bội số chung nhỏ nhất

1.2.1

5

Định nghĩa

Định nghĩa 1.4 Số tự nhiên m được gọi là một bội số của a 6= 0 khi
và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số của m.
4
Nhận xét. Tập hợp các bội số của a 6= 0 là: B(a) = {0; a; 2a; . . . ; ka}, k ∈
Z.
Định nghĩa 1.5 Số tự nhiên m được gọi là một bội số của a 6= 0 khi
và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số của m
4
Định nghĩa 1.6 Nếu 2 tập B(a) và B(b) có phần tử chung thì các phần
tử chung đó gọi là bội số chung của a và b. Ta ký hiệu bội số chung
của a và b: BSC(a; b).
Định nghĩa 1.7 Số m 6= 0 được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và
b khi m là phần tử dương nhỏ nhất trong tập BSC(a; b). Ký hiệu :
BCN N (a; b), [a; b] hay lcm(a; b).
4

1.2.2

Tính chất

Một số tính chất của bội chung lớn nhất:


M M
• Nếu [a; b] = M thì
;
= 1.
a b
• [a; b; c] = [[a; b]; c].
• [a; b].(a; b) = a.b.

1.2.3

Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.4. Tìm [n; n + 1; n + 2].

4

Lời giải. Đặt A = [n; n + 1] và B = [A; n + 2]. Áp dụng tính chất
[a; b; c] = [[a; b]; c], ta có: B = [n; n + 1; n + 2].
Dễ thấy (n; n + 1) = 1, suy ra [n; n + 1] = n(n + 1).
Chuyên đề Số học

Diễn đàn Toán học

6

1.3. Bài tập đề nghị

Lại áp dụng tính chất [a; b] =

a.b
thế thì
(a; b)

[n; n + 1; n + 2] =

n(n + 1)(n + 2)
(n(n + 1); n + 2)

.
Gọi d = (n(n + 1); n + 2). Do (n + 1; n + 2) = 1 nên
d = (n; n + 2)
= (n; 2).
Xét hai trường hợp:
• Nếu n chẵn thì d = 2, suy ra [n; n + 1; n + 2] =

n(n + 1)(n + 2)
.
2

• Nếu n lẻ thì d = 1, suy ra [n; n + 1; n + 2] = n(n + 1)(n + 2) . 
Ví dụ 1.5. Chứng minh rằng [1; 2; . . . 2n] = [n + 1; n + 2; . . . ; 2n].

4

Lời giải. Ta thấy được trong k số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số
chia hết cho k. Do đó bất trong các số {1; 2; . . . ; 2n} đều là ước của một
số nào đó trong các số {n + 1; n + 2; . . . ; 2n}. Do đó [1; 2; . . . n; 2n] =
[n + 1; n + 2; . . . ; 2n].


1.3

Bài tập đề nghị

Thay cho lời kết, chúng tôi xin gửi đến bạn đọc một số bài tập đề nghị
để luyện tập nhằm giúp các bạn quen hơn với các khái niệm và các
tính chất trình bày trong chuyên đề.
Bài 1.

a. Cho A = 5a + 3b; B = 13a + 8b(a; b ∈ N∗ ) chứng minh
(A; B) = (a; b).
b. Tổng quát A = ma+nb; B = pa+qb thỏa mãn |mq −np| =
1 với a, b, m, n, p, q ∈ N∗ . Chứng minh (A; B) = (a; b).

Bài 2. Tìm (6k + 5; 8k + 3)(k ∈ N).
Diễn đàn Toán học

Chuyên đề Số học

1.3. Bài tập đề nghị

7

Bài 3. Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 thành lập tất cả số có sáu chữ số
(mỗi số chỉ viết một lần). Tìm U CLN của tất cả các số đó.
Bài 4. Cho A = 2n + 1; B =
Bài 5.

n(n + 1)
(n ∈ N∗ ). Tìm (A; B).
2

a. Chứng minh rằng trong 5 số tự nguyên liên tiếp bao giờ
cũng chọn được một số nguyên tố cùng nhau với các số
còn lại.
b. Chứng minh rằng trong 16 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng
chọn được một số nguyên tố cùng nhau với các số còn lại.

Bài 6. Cho 1 ≤ m ≤ n(m; n ∈ N).
n

n

a. Chứng minh rằng (22 − 1; 22 + 1) = 1.
b. Tìm (2m − 1; 2n − 1).
Bài 7. Cho m, n ∈ N với (m, n) = 1. Tìm (m2 + n2 ; m + n).
Bài 8. Cho A = 2n +3; B = 2n+1 +3n+1 (n ∈ N∗ ); C = 2n+2 +3n+2 (n ∈
N∗ ). Tìm (A; B) và (A; C).
Bài 9. Cho sáu số nguyên dương a; b; a0 ; b0 ; d; d0 sao cho (a; b) = d; (a0 ; b0 ) =
d0 . Chứng minh rằng (aa0 ; bb0 ; ab0 ; a0 b) = dd0 .
1
Bài 10. Chứng minh rằng dãy số Bn = n(n + 1)(n + 2)(n ∈ N∗ ) chứa
6
vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.
Bài 11. Chứng minh rằng dãy số 2n − 3 với mọi n ∈ N và n ≥ 2 chứa
dãy số vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.
Bài 12. Chứng minh dãy Mersen Mn = 2n − 1(n ∈ N∗ ) chứa dãy số vô
hạn những số nguyên tố cùng nhau.
n

Bài 13. Chứng minh rằng dãy Fermat Fn = 22 + 1(n ∈ N) là dãy số
nguyên tố cùng nhau.
n

Bài 14. Cho n ∈ N; n > 1 và 2n − 2 chia hết cho n. Tìm (22 ; 2n − 1).
Chuyên đề Số học

Diễn đàn Toán học

8

1.3. Bài tập đề nghị

Bài 15. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N, phân số

21n + 1
tối giản.
14n + 3

Bài 16. Cho ba số tự nhiên a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng
minh rằng (ab + bc + ca; abc) = 1.
Bài 17. Cho a; b ∈ N∗ . Chứng minh rằng tồn tại vô số n ∈ N sao cho
(a + n; b + n) = 1.
Bài 18. Giả sử m; n ∈ N(m ≥ n) thỏa mãn (199k−1; m) = (1993−1; n).
Chứng minh rằng tồn tại t(t ∈ N) sao cho m = 1993t .n.
 m

a −1
Bài 19. Chứng minh rằng nếu a; m ∈ N; a > 1 thì
;a − 1 =
a−1
(m; a − 1).
Bài 20. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:
1
,
+ 1995n + 2
2
b. 1996
,
n
+ 1995n + 3
1994
c. 1996
,
n
+ 1995n + 1995
1995
d. 1996
.
n
+ 1995n + 1996

a.

n1996

Bài 21. Cho 20 số tự nhiên khác 0 là a1 ; a2 ; . . . an có tổng bằng S
và U CLN bằng d. Chứng minh rằng U CLN của S − a1 ; S −
a2 ; . . . ; S − an bằng tích của d với một ước nào đó của n − 1.

Diễn đàn Toán học

Chuyên đề Số học

Chương

2

Số Nguyên Tố
2.1
2.2
2.3
2.4

Một số kiến thức cơ bản về số
nguyên tố 9
Một số bài toán cơ bản về số nguyên
tố 13
Bài tập 19
Phụ lục: Bạn nên biết 24

Nguyễn Trung Hiếu (nguyentrunghieua)
Phạm Quang Toàn (Phạm Quang Toàn)

2.1
2.1.1

Một số kiến thức cơ bản về số nguyên tố
Định nghĩa, định lý cơ bản

Định nghĩa 2.1 Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2
ước số là 1 và chính nó.
4
Định nghĩa 2.2 Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2
ước.
4
Nhận xét. Các số 0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải
là hợp số. Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước
số nguyên tố.
Định lý 2.1– Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn.

9



10

2.1. Một số kiến thức cơ bản về số nguyên tố

Chứng minh. Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p1 ; p2 ; p3 ; ...; pn ;
trong đó pn là số lớn nhất trong các nguyên tố.
Xét số N = p1 p2 ...pn + 1 thì N chia cho mỗi số nguyên tố pi (i = 1, n)
đều dư 1 (*)
Mặt khác N là một hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là pn )
do đó N phải có một ước nguyên tố nào đó, tức là N chia hết cho một
trong các số pi (**).
Ta thấy (**) mâu thuẫn (*). Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố.
Định lý 2.2– Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa
số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số).

Chứng minh. * Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa
số nguyên tố:
Thật vậy: giả sử điều khẳng định trên là đúng với mọi số m thoả mãn:
1 < m < n ta chứng minh điều đó đúng đến n.
Nếu n là nguyên tố, ta có điều phải chứng minh.
Nếu n là hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n)
Theo giả thiết quy nạp: a và b là tích các thừa số nhỏ hơn n nên n là
tích cuả các thừa số nguyên tố.
* Sự phân tích là duy nhất:
Giả sử mọi số m < n đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một
cách duy nhất, ta chứng minh điều đó đúng đến n:
Nếu n là số nguyên tố thì ta được điều phải chứng minh. Nếu n là hợp
số: Giả sử có 2 cách phân tích n ra thừa số nguyên tố khác nhau:
n = p.q.r....
n = p0 .q 0 .r0 ....
Trong đó p, q, r..... và p0 , q 0 , r0 .... là các số nguyên tố và không có số
nguyên tố nào cũng có mặt trong cả hai phân tích đó (vì nếu có số
thoả mãn điều kiện như trên, ta có thể chia n cho số đó lúc đó thường
sẽ nhỏ hơn n, thương này có hai cách phân tích ra thừa số nguyên tố
khác nhau, trái với giả thiết của quy nạp).
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết p và p0 lần lượt là các số
nguyên tố nhỏ nhất trong phân tích thứ nhất và thứ hai.
Vì n là hợp số nên n > p2 và n > p02 . Do p 6= p ⇒ n > p.p0
Diễn đàn Toán học

Chuyên đề Số học

2.1. Một số kiến thức cơ bản về số nguyên tố

11

Xét m = n − pp0 < n được phân tích ra thừa số nguyên tố một cách
duy nhất ta thấy:
p|n ⇒ p|n − pp0 hay p|m
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ta có: m = n − pp0 = p0 p.P.Q... với
P, Q ∈ P ( P là tập các số nguyên tố).
⇒ pp0 |n ⇒ pp0 |p.q.r... ⇒ p|q.r... ⇒ p là ước nguyên tố của q.r...
Mà p không trùng với một thừa số nào trong q, r... (điều này trái với
gỉa thiết quy nạp là mọi số nhỏ hơn n đều phân tích được ra thừa số
nguyên tố một cách duy nhất).
Vậy, điều giả sử không đúng. Định lý được chứng minh.


2.1.2

Cách nhận biết một số nguyên tố

Cách 1
Chia số đó lần lượt cho các nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7...
Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố.
Nếu thực hiện phép chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các
phép chia vẫn có số dư thì số đó là nguyên tố.

Cách 2
Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố.
Cho học sinh lớp 6 học cách nhận biết 1 số nguyên tố bằng phương
pháp thứ nhất (nêu ở trên), là dựa vào định lý cơ bản:
Ước √
số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số A là một số không vượt
quá A.
Với quy tắc trên trong một khoản thời gian ngắn, với các dấu hiệu chia
hết thì ta nhanh chóng trả lời được một số có hai chữ số nào đó là
Chuyên đề Số học

Diễn đàn Toán học

12

2.1. Một số kiến thức cơ bản về số nguyên tố

nguyên tố hay không.
Hệ quả
√ 2.1– Nếu có số A > 1 không có một ước số nguyên tố nào từ
2 đến A thì A là một nguyên tố.


2.1.3

Số các ước số và tổng các ước số của 1 số

Giả sử: A = px1 1 .px2 2 ......pn xn ; trong đó: pi ∈ P; xi ∈ N; i = 1, n
Tính chất 2.1– Số các ước số của A tính bằng công thức:
T (A) = (x1 + 1)(x2 + 1).....(xn + 1)
Ví dụ 2.1. 30 = 2.3.5 thì T (A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8. Kiểm tra:
(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} nên (30) có 8 phân tử.
4
Tính chất 2.2– Tổng các ước một số của A tính bằng công thức:
σ (A) =

n
Y
pxi +1 − 1
i

i=1

2.1.4

pi − 1

Hai số nguyên tố cùng nhau

Định nghĩa 2.3 Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi
và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1.
4
Tính chất 2.3– Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau. 
Tính chất 2.4– Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau.
Tính chất 2.5– Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a, b, c)
= 1.

Định nghĩa 2.4 Nhiều số tự nhiên được gọi là nguyên tố sánh đôi khi
chúng đôi một nguyên tố cùng nhau.
4
Diễn đàn Toán học

Chuyên đề Số học

2.2. Một số bài toán cơ bản về số nguyên tố

2.1.5

13

Một số định lý đặc biệt

Định lý 2.3 (Dirichlet)– Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng:
p = ax + b (x, a, b ∈ N, a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau).

Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trường hợp đặc
biệt, chẳng hạn có vô số số nguyên tố dạng: 2x − 1; 3x − 1; 4x + 3; 6x +
5; . . .
Định lý 2.4 (Tchebycheff-Betrand)– Trong khoảng từ số tự nhiên
n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố (n > 2).

Định lý 2.5 (Vinogradow)– Mọi số lẻ lớn hơn 33 là tổng của 3 số
nguyên tố.


2.2
2.2.1

Một số bài toán cơ bản về số nguyên tố
Có bao nhiêu số nguyên tố dạng ax + b

Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng: có vô số số nguyên tố có dạng 3x − 1.4
Lời giải. Mọi số tự nhiên không nhỏ hơn 2 có 1 trong 3 dạng: 3x; 3x+1
hoặc 3x − 1
• Những số có dạng 3x (với x > 1) là hợp số
• Xét 2 số có dạng 3x + 1: đó là số 3m + 1 và số 3n + 1.
Xét tích (3m + 1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + 1. Tích này có
dạng: 3x + 1
• Lấy một số nguyên tố p bất có dạng 3x − 1, ta lập tích của p
với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn p rồi trừ đi 1 ta có: M =
2.3.5.7....p − 1 = 3(2.5.7....p) − 1 thì M có dạng 3x − 1.
Có 2 khả năng xảy ra:
1. Khả năng 1: M là số nguyên tố, đó là số nguyên tố có dạng
3x − 1 > p, bài toán được chứng minh.
Chuyên đề Số học

Diễn đàn Toán học

14

2.2. Một số bài toán cơ bản về số nguyên tố
2. Khả năng 2: M là hợp số: Ta chia M cho 2, 3, 5, ...., p đều tồn
tại một số dư khác 0 nên các ước nguyên tố của M đều lớn
hơn p, trong các ước này không có số nào có dạng 3x + 1 (đã
chứng minh trên). Do đó ít nhất một trong các ước nguyên
tố của M phải có dạng 3x (hợp số) hoặc 3x + 1
Vì nếu tất cả có dạng 3x + 1 thì M phải có dạng 3x + 1 (đã chứng
minh trên). Do đó, ít nhất một trong các ước nguyên tố của M
phải có dạng 3x − 1, ước này luôn lớn hơn p.

Vậy: Có vô số số nguyên tố dạng 3x − 1.



Ví dụ 2.3. Chứng minh rằng: Có vô số số nguyên tố có dạng 4x + 3.4
Lời giải. Nhận xét. Các số nguyên tố lẻ không thể có dạng 4x hoặc
4x + 2. Vậy chúng chỉ có thể tồn tại dưới 1 trong 2 dạng 4x + 1 hoặc
4x + 3.
Ta sẽ chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 4x + 3.
• Xét tích 2 số có dạng 4x + 1 là: 4m + 1 và 4n + 1.
Ta có: (4m+1)(4n+1) = 16mn+4m+4n+1 = 4(4mn+m+n)+1.
Vậy tích của 2 số có dạng 4x + 1 là một số cũng có dạng 4x + 1.
• Lấy một số nguyên tố p bất kỳ có dạng 4x + 3, ta lập tích của 4p
với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn p rồi trừ đi 1 khi đó ta có:
N = 4(2.3.5.7.....p) − 1. Có 2 khả năng xảy ra
1. N là số nguyên tố ⇒ N = 4(2.3.5.7....p) − 1 có dạng 4x − 1.
Những số nguyên tố có dạng 4x − 1 cũng chính là những số
có dạng 4x + 3 và bài toán được chứng minh.
2. N là hợp số. Chia N cho 2, 3, 5, ...., p đều được các số dư
khác 0. Suy ra các ước nguyên tố của N đều lớn hơn p.
Các ước này không thể có dạng 4x hoặc 4x + 2 (vì đó là hợp số).
Cũng không thể toàn các ước có dạng 4x + 1 vì như thế N phải
có dạng 4x + 1. Như vậy trong các ước nguyên tố của N có ít
nhất 1 ước có dạng 4x − 1 mà ước này hiển nhiên lớn hơn p.
Diễn đàn Toán học

Chuyên đề Số học

2.2. Một số bài toán cơ bản về số nguyên tố

15

Vậy: Có vô số số nguyên tố có dạng 4x − 1 (hay có dạng 4x + 3).



Trên đây là một số bài toán chứng minh đơn giản của định lý Dirichlet:
Có vô số số nguyên tố dạng ax + b trong đó a, b, x ∈ N, (a, b) = 1.

2.2.2

Chứng minh số nguyên tố

Ví dụ 2.4. Chứng minh rằng: (p − 1)! chia hết cho p nếu p là hợp số,
không chia hết cho p nếu p là số nguyên tố.
4
Lời giải.
• Xét trường hợp p là hợp số: Nếu p là hợp số thì p là tích
của các thừa số nguyên tố nhỏ hơn p và số mũ các luỹ thừa này
không thể lớn hơn số mũ của chính các luỹ thừa ấy chứa trong
.
(p − 1)!. Vậy: (p − 1)!..p (đpcm).
• Xét trường hợp p là số nguyên tố: Vì p ∈ P ⇒ p nguyên tố cùng
nhau với mọi thừa số của (p − 1)! (đpcm).

Ví dụ 2.5. Cho 2m − 1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng m cũng là
số nguyên tố.
4
Lời giải. Giả sử m là hợp số ⇒ m = p.q (p, q ∈ N; p, q > 1)
Khi đó: 2m −1 = 2pq −1 = (2p )q −1 = (2p −1)((2p )q−1 +(2p )q−2 +.....+1)
vì p > 1 ⇒ 2p − 1 > 1 và (2p )q−1 + (2p )q−2 + ..... + 1 > 1
Dẫn đến 2m − 1 là hợp số :trái với giả thiết 2m ˘1 là số nguyên tố.
Vậy m phải là số nguyên tố (đpcm)

Ví dụ 2.6. Chứng minh rằng: mọi ước nguyên tố của 1994! − 1 đều lớn
hơn 1994.
4
Lời giải. Gọi p là ước số nguyên tố của 1994! − 1
.
.
Giả sử p ≤ 1994 ⇒ 1994.1993.....3.2.1..p ⇒ 1994!..p.
.
.
Mà 1994! − 1..p ⇒ 1..p (vô lý)
Vậy: p > 1994 (đpcm).



Ví dụ 2.7. Chứng minh rằng: n >2 thì giữa n và n! có ít nhất 1 số
nguyên tố (từ đó suy ra có vô số số nguyên tố).
4
Chuyên đề Số học

Diễn đàn Toán học

16

2.2. Một số bài toán cơ bản về số nguyên tố

Lời giải. Vì n > 2 nên k = n! − 1 > 1, do đó k có ít nhất một ước số
nguyên tố p. Tương tự bài tập 3, ta chứng minh được mọi ước nguyên
tố p của k đều lớn hơn k.
Vậy: p > n ⇒ n < p < n! − 1 < n! (đpcm)


2.2.3

Tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 2.8. Tìm tất cả các giá trị của số nguyên tố p để: p + 10 và
p + 14 cũng là số nguyên tố.
4
Lời giải. Nếu p = 3 thì p + 10 = 3 + 10 = 13 và p + 14 = 3 + 14 = 17
đều là các số nguyên tố nên p = 3 là giá trị cần tìm.
Nếu p > 3 ⇒ p có dạng 3k + 1 hoặc dạng 3k − 1
.
• Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5)..3
.
• Nếu p = 3k − 1 thì p + 10 = 3k + 9 = 3(k + 3)..3
Vậy nếu p > 3 thì hoặc p + 10 hoặc p + 14 là hợp số : không thỏa mãn
bài. Vậy p = 3.

Ví dụ 2.9. Tìm k ∈ N để trong 10 số tự nhiên liên tiếp:
k + 1; k + 2; k + 3; ....k + 10
có nhiều số nguyên tố nhất.

4

Lời giải. Nếu k = 0: từ 1 đến 10 có 4 số nguyên tố: 2; 3; 5; 7.
Nếu k = 1: từ 2 đến 11 có 5 số nguyên tố: 2; 3; 5; 7; 11.
Nếu k > 1: từ 3 trở đi không có số chẵn nào là số nguyên tố. Trong 5
số lẻ liên tiếp, ít nhất có 1 số là bội số của 3 do đó, dãy sẽ có ít hơn 5
số nguyên tố.
Vậy với k = 1, dãy tương ứng: k + 1; k + 2, .....k + 10 có chứa nhiều số
nguyên tố nhất (5 số nguyên tố).

Ví dụ 2.10. Tìm tất cả các số nguyên tố p để: 2p +p2 cũng là số nguyên
tố.
4
Lời giải. Xét 3 trường hợp:
Diễn đàn Toán học

Chuyên đề Số học

2.2. Một số bài toán cơ bản về số nguyên tố

17

• p = 2 ⇒ 2p + p2 = 22 + 22 = 8 6∈ P
• p = 3 ⇒ 2p + p2 = 23 + 32 = 17 ∈ P
.
• p > 3 ⇒ p 6 ..3. Ta có 2p + p2 = (p2 − 1) + (2p + 1).
.
.
Vì p lẻ ⇒ 2p + 1..3 và p2 − 1 = (p + 1)(p − 1)..3 ⇒ 2p + p2 6∈ P
Vậy có duy nhất 1 giá trị p = 3 thoả mãn.



Ví dụ 2.11. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: p|2p + 1.
Lời giải. Vì p ∈ P : p|2p + 1 ⇒ p > 2 ⇒ (2; p) = 1
Theo định lý Fermat, ta có: p|2p−1 − 1. Mà

4

p|2p + 1 ⇒ p|2(2p−1 − 1) + 3 ⇒ p|3 ⇒ p = 3
Vậy: p = 3.

2.2.4



Nhận biết số nguyên tố

Ví dụ 2.12. Nếu p là số nguyên tố và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p − 1 là
số nguyên tố thì số còn lại là số nguyên tố hay hợp số?
4
Lời giải.
• Nếu p = 2 ⇒ 8p + 1 = 17 ∈ P; 8p − 1 = 15 6∈ P
• Nếu p = 3 ⇒ 8p − 1 = 23 ∈ P; 8p − 1 = 25 6∈ P
• Nếu p > 3, xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 8p − 1; 8p và 8p + 1. Trong
3 số này ắt có 1 số chia hết cho 3. Nên một trong hai số 8p + 1
và 8p − 1 chia hết cho 3.
Kết luận: Nếu p ∈ P và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p − 1 là số nguyên tố
thì số còn lại phải là hợp số.

Ví dụ 2.13. Nếu p ≥ 5 và 2p + 1 là các số nguyên tố thì 4p + 1 là
nguyên tố hay hợp số?
4
Lời giải. Xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 4p; 4p + 1; 4p + 2. Trong 3 số ắt
có một số là bội của 3.
Mà p ≥ 5; p ∈ P nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
.
• Nếu p = 3k + 1 thì 2p + 1 = 6k + 3..3: (trái với giả thiết)
Chuyên đề Số học

Diễn đàn Toán học

18

2.2. Một số bài toán cơ bản về số nguyên tố
.
• Nếu p = 3k +2. Khi đó 4p+1 = 4(3k +2)+1 = 12k +9..3 ⇒ 4p+1
là hợp số


Ví dụ 2.14. Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 1997 số liên tiếp
nhau mà không có số nguyên tố nào hay không ?
4
..
Lời giải. Chọn dãy số: (a ) : a = 1998! + i + 1 (i = 1, 1997) ⇒ a .i +
i

i

i

1 ∀i = 1, 1997
Như vậy: Dãy số a1 ; a2 ; a3 ; .....a1997 gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp
không có số nào là số nguyên tố.

Ví dụ 2.15 (Tổng quát bài tập 2.14). Chứng minh rằng có thể tìm
được 1 dãy số gồm n số tự nhiên liên tiếp (n > 1) không có số nào
là số nguyên tố ?
4
..
Lời giải. Ta chọn dãy số sau: (a ) : a = (n + 1)! + i + 1 ⇒ a .i + 1 ∀i =
i

i

i

1, n.
Bạn đọc hãy tự chứng minh dãy (ai ) ở trên sẽ gồm có n số tự nhiên
liên tiếp trong đó không có số nào là số nguyên tố cả.


2.2.5

Các dạng khác

Ví dụ 2.16. Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng
của chúng.
4
Lời giải. Gọi 3 số nguyên tố phải tìm là a, b, c. Ta có: abc = 5(a + b +
.
c) ⇒ abc..5
Vì a, b, c có vai trò bình đẳng nên không mất tính tổng quát, giả sử:
.
a..5 ⇒ a = 5
Khi đó: 5bc
 5 + b + c = bc ⇔ (c − 1)(b − 1) = 6
 = 5(5 + b + c) ⇔
b−1=1
b=2
⇔
chọn

 c−1=6
 c=7
Do vậy: 

b=3
b−1=2
⇔
loại
c−1=3
c=4
Vậy bộ số (a; b; c) cần tìm là hoán vị của (2; 5; 7).



Ví dụ 2.17. Tìm p, q ∈ P sao cho p2 = 8q + 1.

4

Diễn đàn Toán học

Chuyên đề Số học

2.3. Bài tập

19

Lời giải. Ta có:
p2 = 8q + 1 ⇒ 8q = p2 − 1 = (p + 1)(p − 1)

(2.1)

Do p2 = 8q + 1 : lẻ ⇒ p2 : lẻ ⇒ p : lẻ. Đặt p = 2k + 1.
Thay vào (2.1) ta có:
8q = 2k(2k + 2) ⇒ 2q = k(k + 1)

(2.2)

Nếu q = 2 ⇒ 4 = k(k + 1) ⇒ không tìm được k ∈ N
Vậy q > 2. Vì q ∈ P ⇒ (2, q) = 1.
Từ (2.2) ta có:
a) k = 2 và q = k + 1 ⇒ k = 2; q = 3. Thay kết quả trên vào (2.2)
ta có: p = 2.2 + 1 = 5
b) q = k và 2 = k + 1 ⇒ q = 1 :loại.
Vậy (q; p) = (5; 3).

2.3
2.3.1



Bài tập
Bài tập có hướng dẫn

Bài 1. Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số
nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn hay số lẻ?
HD :Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên
tố chẵn duy nhất là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ. Do
đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn.
Bài 2. Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất
trong ba số nguyên tố đó.
HD: Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số
nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số
nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy
số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2.
Chuyên đề Số học

Diễn đàn Toán học

20

2.3. Bài tập

Bài 3. Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Vì sao?
HD: Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số
nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố
chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 2001. Do
2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phải là số
nguyên tố.
Bài 4. Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2; p + 4 cũng là các số nguyên
tố.
Bài 5. Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng
p + 8 là hợp số.
HD: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1
trong 2 dạng:
.
• Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) ⇒ p + 4..3 và
p + 4 > 3. Do đó p + 4 là hợp số: trái đề bài.
.
• Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) ⇒ p + 8..3 và
p + 8 > 3. Do đó p + 8 là hợp số.
Bài 6. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n+1
hoặc 4n − 1.
Bài 7. Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên
tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố.
HD: Giả sử a, b, c, d, e là các số nguyên tố và d > e. Theo đề
bài:
a = b + c = d − e (∗)
Từ (*) ⇒ a > 2 nên a là số nguyên tố lẻ ⇒ b + c; d − e là số lẻ.
Do b, d là các số nguyên tố ⇒ b, d là số lẻ ⇒ c, e là số chẵn.
⇒ c = e = 2 (do c, elà số nguyên tố) ⇒ a = b + 2 = d − 2 ⇒
d = b + 4.
Vậy ta cần tìm số nguyên tố b sao cho b + 2 và b + 4 cũng là
các số nguyên tố.
Diễn đàn Toán học

Chuyên đề Số học

2.3. Bài tập

21

Bài 8. Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x2 − 6y 2 = 1.
Bài 9. Cho p và p + 2 là các số ...