PHÒNG GD&ĐT
ĐOAN HÙNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2021 - 2022
Môn: TOÁN LỚP 7

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Đề thi có 02 trang

I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Hãy chọn các phương án trả lời đúng rồi ghi vào bài làm.
4
Câu 1. Cho các số thực x, y thỏa mãn  x  2   (2 y  1) 2022  0. Khi đó giá trị của biểu
thức M  11x 2 y  4 xy 2 bằng
A. M  20.
B. M  24.
C. M  20.
D. M  24.
Câu 2. Số tự nhiên x lớn nhất thỏa mãn 1  2  3  ...  x  8 là
A. x  3.
B. x  4.
C. x  2.
D. x  5.
3
3
3
3
3
3
Câu 3. Biết 1  2  3  ...  10  3025. Giá trị của biểu thức P  2  4  63  ...  203 là
A. P  22400.
B. P  24000.
C. P  24020.
D. P  24200.
3
Câu 4. Biết đồ thị hàm số y  f ( x)  (m  1) x đi qua điểm A 1; 7  . Khi đó giá trị của m
là
A. 2.
B. 2.
C. 4.
D. 8.
Câu 5. Cho hàm số f ( x) xác định với mọi x . Biết f (a.b)  f (a). f (b), với mọi a, b và
f (2)  10. Ta có f (32) bằng
A. 20000.
B. 1000.
C. 10000.
D. 100000.
Câu 6. Theo dõi thời gian (tính bằng phút) làm một bài toán của các học sinh trong hai
nhóm, thầy giáo ghi lại bảng sau:
10
5
7
9
7
8
7
9
10
15
7
8
9
7
10
8
7
5
9
12
Số học sinh giải toán nhanh nhất chiếm số phần trăm là
A. 20%.
B. 15%.
C. 10%.
D. 25%.
Câu 7. Cho đa thức f ( x)  ax  b , biết f (1)  3; f (2)  7. Khi đó giá trị biểu thức
a  b  2022 là
A. 2019.
B. 2025.
C. 2021.
D. 2022.



c 

a 

b







Câu 8. Cho a, b, c  0 và a  b  c  0 . Giá trị của biểu thức A  1  1  1   là
a
b
c
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 1.
0
Câu 9. Cho góc xOy có số đo bằng 50 . Điểm A nằm trên Oy . Qua A vẽ tia Am . Để
Am song song với Ox thì số đo của góc OAm là
A. 500.
B. 1300.
C. 500 và 1300.
D. 800.
Câu 10. Cho hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c , c vuông góc
với a tại M và vuông góc với b tại N . Một đường thẳng m cắt a, b lần lượt tại A, B.
Biết ABN  MAB  400. Số đo góc BAM là
A. 1080.
B. 800.
C. 700.
D. 750.
Câu 11. Cho tam giác ABC có B  C  200. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D . Số
đo góc ADB bằng
A. 600.
B. 700.
C. 800.
D. 1000.

1

Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  15cm, AC  8cm. Trên cạnh AB lấy
điểm D và E sao cho AD  BE. Qua D và E kẻ các đường thẳng song song với BC ,
chúng cắt AC theo thứ tự tại M và N . Tổng độ dài DM  EN là
A. 17cm.
B. 23cm.
C. 46cm.
D. 28cm.
Câu 13. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM , trọng tâm G. Biết diện tích tam
giác ABC là 120cm2 . Diện tích của tam giác GMC là
A. 40cm2 .
B. 60cm2 .
C. 20cm2 .
D. 80cm2 .
Câu 14. Cho tam giác ABC cân tại A có A  1200 , BC  60cm. Đường thẳng vuông góc
với AB tại A cắt BC ở D . Độ dài đoạn thẳng BD là
A. 30cm.
B. 36cm.
C. 40cm.
D. 48cm.
Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là
hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM . Ta có khẳng định đúng là
A. BD  BE  2 AB.
B. BD  BE  2 AB.
C. BD  BE  AB.
D. BD  BE  AB.
Câu 16. Có sáu túi lần lượt chứa 18;19;21;23;25;34 bóng trong đó có năm túi chứa bóng
xanh và một túi chứa bóng đỏ. Bạn Thành lấy ba túi bóng xanh, bạn Đạt lấy hai túi bóng
xanh. Túi còn lại là bóng đỏ. Biết số bóng của bạn Thành gấp đôi số bóng của bạn Đạt.
Số bóng đỏ là
A. 19.
B. 21.
C. 23.
D. 34.
II. TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng hai số (2n  1) và (3n  1) đồng
thời là số chính phương.
b) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn a 3  b3  2  c3  8d 3  . Chứng minh

rằng a  b  c  d chia hết cho 3.
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn 2 xy  x  y  2.
x  y  3 x  z  2 y  z 1
1



.
z
y
x
x yz
Tính giá trị của biểu thức A  2022 x  y 2023  z 2023 .

b) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn

Câu 3 (4,0 điểm).
1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M , trên tia đối của tia
CA lấy điểm N sao cho AM  AN  2 AB.
MN
 AB.
2
b) Gọi I là giao của MN và BC. Chứng minh I là trung điểm của MN .

a) Chứng minh NC  MB và

2. Cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Biết ADB  850 và
4B  5C. Tính số đo các góc của tam giác ABC.
Câu 4 (1,0 điểm). Cho x  y  1; x  0; y  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

a 2 b2
 (với a và b là các hằng số dương cho trước)
x y

-------------------- Hết -------------------Họ và tên thí sinh:.................................................. ; Số báo danh...............
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 - 2022
Môn: TOÁN 7
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang
I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm). Mỗi ý đúng được 0,5 điểm.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
Câu 7
Câu 8
B
A
D
B
D
C
A
B
Câu 9 Câu 10 Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16
C
C
C
A
C
C
A
C
II. TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng hai số (2n  1) và (3n  1) đồng
thời là số chính phương.
b) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn a 3  b3  2  c3  8d 3  . Chứng
minh rằng a  b  c  d chia hết cho 3.
0,75
a) Vì n là số tự nhiên có hai chữ số nên 10  n 99
Do đó 21 2n+ 1 199
Mặt khác 2n + 1 là số chính phương lẻ
 2n1  25;49;81;121;169
0,75
 n 12;24;40;60;84
Do đó 3n+1) 37;73;121;181;253
Trong các số trên chỉ có số 121 là số chính phương.
Vậy số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là 40
b)
0,50

0,75

0,25
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn 2 xy  x  y  2.
x  y  3 x  z  2 y  z 1
1



.
z
y
x
x yz
Tính giá trị của biểu thức A  2022 x  y 2023  z 2023 .

b) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn

3

2 xy  x  y  2  4 xy  2 x  2 y  4  4 xy  2 x  2 y  1  5
 2 x  2 y  1   2 y  1  5   2 y  1 2 x  1  5

Lập bảng
2x-1
2y-1
x
y
Kết luận :

1
5
1
3

5
1
3
1

0,75
-1
-5
0
-2

-5
-1
-2
0

0,75

0,5

 x; y   (1;3);(3;1);(0; 2);(2;0)

b) 2,0 đ
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được
x  y  3 x  z  2 y  z 1


2
z
y
x

0,5

Suy ra

0,5
1
2
x yz
 x y z 

1
2

x y 3
5
2 z 
z
6
xz2
5
2 y 
y
6
y  z 1
1
2 x
x
2
Suy ra A  1011

Kết hợp

0,75

0,25

Câu 3 (4,0 điểm).
1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M , trên tia đối
của tia CA lấy điểm N sao cho AM  AN  2 AB.
MN
 AB.
2
b) Gọi I là giao của MN và BC. Chứng minh I là trung điểm của MN .
2. Cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Biết

a) Chứng minh NC  MB và

ADB  850 và 4B  5C. Tính số đo các góc của tam giác ABC.
1. Hình vẽ:
A

M
I
B

C

E
N

4

a) 1,5 đ
+ Có AM + AN = AM + AC + CN
2AB = AB + AC = AM + MB + AC
Vì AM + AN = 2AB
Nên AM + AC + CN = AM + BM + AC
Suy ra: CN = BM
+ Xét tam giác AMN , theo BĐT trong tam giác ta có
MN < AM + AN
Mà AM + AN = 2AB
Suy ra

0,5

0,5
0,50

MN
 AB.
2

b) 1,5 đ
Kẻ ME song song với BC ( E  BC )
Chứng minh BME cân tại M suy ra ME = MB = NC
Chứng minh IME  INC ( g.c.g )
Suy ra IM = IN.
2. Hình vẽ

0,75
0,75

Xét tam giác ADC có góc ADB là góc ngoài tại D nên

0,5

ADB  C  DAC  850

1

Xét tam giác ADB có góc ADC là góc ngoài tại D nên
ADC  B  BAD  850  1800  850  950

 2

Mà DAC  BAD (do AD là phân giác của góc BAC)
Từ (1) và (2) suy ra B  C  950  850  100
Ta lại có

4B  5C 

B C BC
 
 100
5 4 54

0,5

 B  500 ;C  400 ; A  900

Câu 4 (1,0 điểm). Cho x  y  1; x  0; y  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a 2 b2
P   (với a và b là các hằng số dương cho trước)
x y

5

0,25

0,50

0,25
------------- --------Hết--------------------(Nếu học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

6

7