CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời
gian giao đề
(Đề thi có 03 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Lưu ý:
- Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan chỉ có một lựa chọn đúng.
- Thí sinh làm bài thi (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) trên tờ giấy thi;
không làm bài trên đề thi.
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (8,0 ĐIỂM).
Câu 1: Biết

Giá trị

A.

bằng

B.

Câu 2: Cho

D.

C.

Giá trị

A.

bằng

B.

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ

C.

D.

, cho đường thẳng

. Gọi

là giá trị của

để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d ) là lớn nhất. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A.

B.

C.

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ

, cho hai đường thẳng

Gọi
của

và

D.

là giao điểm của

và

B.

B.

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ
và

A.
Câu 7: Cho phương trình
hai nghiệm phân biệt
Tổng
bằng

D.
phút. Vận tốc của xe đạp

C.

, cho parabol

Diện tích tam giác

bằng

Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc

thêm
so với lúc đi nên thời gian về ít hơn thời gian đi là
khi đi từ A đến B bằng
A.

lần lượt là giao điểm

C.

Câu 5: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau

A.

và

với trục hoành. Giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác

A.

hoành độ là

và

Trên

D.
lấy hai điểm

lần lượt có

bằng

B.

C.

D.

với
là tham số. Biết rằng phương trình đã cho luôn có
1
2
2
khi x1  x2 đạt giá trị lớn nhất thì
,
B.

C.
Trang 1.

D.

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS CẤP TỈNH

Câu 8: Cho phương trình
để phương trình có nghiệm là số hữu tỉ?
A.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

B.

C.

Câu 9: Cho tam giác
vuông tại
có
Điểm
thuộc tia
sao cho

Điểm
thuộc cạnh
Gọi
là giao điểm của

Tổng
A.

sao cho
và

. Biết

bằng

B.

Câu 10: Cho đường tròn

D.

C.

nội tiếp trong hình thang cân

D.
(đáy lớn

). Đường tròn

tiếp xúc với hai cạnh bên của hình thang lần lượt tại hai điểm

Biết

Chu vi của hình thang bằng
A.

B.

Câu 11: Cho hình lập phương
phương

Biết đường chéo

B.

Câu 12: Cho ba đường tròn
lần lượt tại ba điểm

C.

chứa ba đường tròn
bằng

B.
vuông tại

của góc
Giá trị của

C.

đường cao

của tam giác

đường trung tuyến

Biết rằng

B.

và

D.
đường phân giác

và diện tích tam giác

là

bằng

A.
Câu 14: Cho điểm

, đôi một tiếp xúc ngoài

và tiếp xúc với ba đường tròn đó

. Chu vi của tam giác

A.
Câu 13: Cho tam giác

D.

có bán kính bằng nhau và bằng

nhau. Một đường tròn

A.

Thể tích của khối lập

bằng

A.

trong

D.

C.

C.

nằm trong đường tròn
Tích

Dây cung

D.
của

đi qua

Biết

bằng
C.

B.

Câu 15: Cho nửa đường tròn
đường kính
là hình chiếu của điểm
lên
Gọi
Giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác

Trang 2.

D.

Điểm
di động trên nửa đường tròn
và
lần lượt là hình chiếu của
lên
bằng

. Gọi
và

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS CẤP TỈNH

A.

B.

C.

D.

Câu 16: Một nhóm bạn đi câu cá. Bạn câu được ít nhất câu được

tổng số cá mà cả nhóm câu được,

bạn câu được nhiều nhất câu được tổng số cá mà cả nhóm câu được. Biết rằng số cá câu được
của mỗi bạn là khác nhau. Số người của nhóm đi câu cá là
A.
B.
C.
D.
B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương
b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên

thỏa mãn
sao cho

là số nguyên tố.

Câu 2 (4,0 điểm).
a) Giải phương trình:

b) Cho

là các số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:
c) Cho

là đa thức bậc

thỏa mãn

và

.

Xác định đa thức
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác
Gọi
cắt

tại

nhọn

có trực tâm

và nội tiếp trong đường tròn

tương ứng là chân các đường cao của tam giác
gọi

tương ứng là hình chiếu của

a) Chứng minh tam giác

kẻ từ

Tia

trên các cạnh

đồng dạng với tam giác

b) Chứng minh
c) Khi điểm

di động trên

dây cung

cố định sao cho tam giác

thẳng chứa tia phân giác ngoài của góc
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
hai là

cắt

Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực dương

lần lượt tại hai điểm

cắt đường phân giác trong của

Chứng minh rằng đường thẳng

nhọn. Đường
tại điểm thứ

luôn đi qua một điểm cố định.

thỏa mãn

biểu thức
 HẾT 
Trang 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS CẤP TỈNH

🕮☞ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ☜🕮
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: TOÁN
1. Phần trắc nghiệm khách quan: Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

Câu 6

Câu 7

Câu 8

D

B

B

C

D

B

A

B

Câu 9

Câu 10

Câu 11

Câu 12

Câu 13

Câu 14

Câu 15

Câu 16

D

A

A

C

A

B

D

C

2. Phần tự luận
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương
b)

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên

thỏa mãn
sao cho
Lời giải

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương

là số nguyên tố.

thỏa mãn

Ta có
Phương trình

TH1.

với

là ẩn,

là tham số, ta có:

: Phương trình vô nghiệm.

TH2.
TH3.
Vậy có

cặp số nguyên dương

thỏa mãn là

b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên

Vì

sao cho

,
Trang 4.

là số nguyên tố.

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS CẤP TỈNH

và

là số nguyên tố nên

Thử lại: Với

là số nguyên tố.

Vậy:
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Giải phương trình:

b) Cho

là các số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:
c) Cho

là

đa

thức

bậc

thỏa

. Xác định đa thức
Lời giải

a) Giải phương trình:
+) Điều kiện:

: không là nghiệm của phương trình
: Chia cả hai vế của phương trình cho

Đặt:

.

Ta được phương trình:
: loại do điều kiện

Trang 5.

, ta được:

mãn

và

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS CẤP TỈNH

(thỏa mãn điều kiện).
Vậy

b) Cho

và

là hai nghiệm của phương trình.

là các số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Từ (1) và (2) suy ra
Từ (2) và (3) suy ra
Thế (5) vào (4) ta có
Suy ra

(6)
(do

)

Thế vào (2) suy ra
Thế vào (6) suy ra
Vậy ta có
c) Cho

là đa thức bậc

thỏa mãn

và

. Xác định đa thức

Ta thấy:

(vì

Do
Ta có:

Trang 6.

)

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS CẤP TỈNH

Suy ra
Vậy đa thức
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác
đường tròn

Gọi

Tia

cắt

nhọn

có trực tâm

và nội tiếp trong

tương ứng là chân các đường cao của tam giác
tại

gọi

tương ứng là hình chiếu của

a) Chứng minh rằng tam giác

kẻ từ

trên các cạnh

đồng dạng với tam giác

b) Chứng minh rằng
c) Khi điểm

di động trên

dây cung

cố định sao cho tam giác

Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của góc

cắt

nhọn.

lần lượt tại hai điểm

Đường tròn ngoại tiếp
tam giác
cắt đường phân giác trong của
tại điểm thứ hai là
rằng đường thẳng
luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải
a) Chứng minh rằng giác

Chứng minh

đồng dạng với tam giác

A

E
F
H
P

Q
O

B

Tứ giác

nội tiếp

Tứ giác

nội tiếp

D

Trang 7.

M

C

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS CẤP TỈNH

Suy ra

(1)

Ta có
Tứ giác

nội tiếp

Tứ giác

nội tiếp

Suy ra

(2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác

đồng dạng với tam giác

b) Chứng minh rằng

Ta có
Ta có
Vì tam giác

đồng dạng với tam giác

suy ra

Vậy

c) Khi điểm

di động trên

dây cung

cố định sao cho tam giác

Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của góc
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
điểm thứ hai là

lần lượt tại hai điểm

cắt đường phân giác trong của

Chứng minh rằng đường thẳng

Trang 8.

cắt

nhọn.
tại

luôn đi qua một điểm cố định.

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS CẤP TỈNH

A
E
F
R

N

H
I

G

J
K
O

B

Ta có

D

và

C

L

( tứ giác

nội tiếp).

Do đó
Suy ra tam giác

cân

Lại có,

là phân giác trong

giác

Suy ra

Gọi

là giao điểm của

hình bình hành. Ta có

Lại có,

và

Suy ra

là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam

là giao điểm của

đi qua trung điểm

của

và
(1)

là điểm chính giữa

Do đó,

tam giác

Tương tự
Ta có tam giác

đồng dạng tam giác

Trang 9.

cân tại

Suy ra tứ giác

là

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS CẤP TỈNH

Suy ra
Từ (1) và (2) suy ra

đi qua điểm trung điểm

của đoạn

mà

cố định nên

điểm cố định.
Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực dương

thỏa mãn

Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có:
. Đẳng thức xảy ra khi
. Đẳng thức xảy ra khi
Suy ra
Do đó

Tương tự
;
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta có

Theo bất đẳng thức Cô si ta có
Suy ra

Đẳng thức xảy ra khi

Tương tự ta có
Mặt khác ta có

nên từ giả thiết, ta có

Suy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của

bằng

Dấu “=” xảy ra khi
……….Hết……….

Trang 10.

là

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS CẤP TỈNH

Trang 11.