PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
54. Cần nhớ cách giải một số phương trình dạng sau :
A 0 (B 0)
a) A  B  
A B
B 0

d) A B    A B
  A  B


B 0
A B  
2
A B

b)

A 0
c) A  B 0  
B 0

A 0
e) A  B 0  
B 0

f) A2- B2=0 A-B=0 hoặc A+B=0
g) A2+ B2=0
1)PP BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ KHÔNG ÂM(Dành cho 1 hoặc 2 căn thức)
Bài 1:
Đáp số : x = 20.



VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x=0

=

+1

(tho¶ m·n (*))

Bài 3:
HD:Điều kiện : x ≥ - 1. Bình phương hai vế, xuất hiện điều kiện x ≥- 1. Nghiệm là : x = - 1.
Bài:
x=1
x-1=
x4 – 2x3 +2x = 0
x(x3 -3x +2) =0 x(x-1)2(x+2) =0
Bài 4:
Giải phương trình : x  1  5x  1  3x  2 (1)
HD: Điều kiện x ≥ 1 ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3  x ≥ 1.
Chuyển vế, rồi bình phương hai vế : x -1 = 5x - 1 + 3x - 2 + 2 15x 2  13x  2
Rút gọn : 2 - 7x = 2 15x 2  13x  2 (2). Với x ≥ 1, VT x ≥ 0; VP≤ 0 nên PT vô nghiệm
Bài 14:
Bài *:
Tìm x và y sao cho : x  y  2  x  y  2
HD: Biến đổi : x  y  2  2  x  y . Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta đợc :

2(x  y  2)  xy . Lại bình phương hai vế rồi rút gọn : (2 - y)(x - 2) = 0.

Đáp : x = 2 , y = 0 ; x = 0 , y = 2.

.
Bài:
HD: Bình phương hai vế, đưa về : (x2 + 8)(x2 -8x + 8) = 0. Đáp số : x = 4 + 2 2 .
Bài:
 x  1 2  x  1 . Vế phải lớn hơn vế trái. Vô nghiệm.
BẬC 3:
Bài: Giải phương trình :
a) 3 x  1  3 7  x 2
HD: Lập phương hai vế, áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta được :
x  1  7  x  3. 3 (x  1)(7  x).2 8  (x  1)(7  x) 0  x = - 1 ; x = 7 (thỏa mãn)
Bài:

Lập phương hai vế. Đáp số : 0 ;

5
2

2) PP ĐẶT THỪA SỐ CHUNG HOẶC ĐẶT ẨN PHỤ RỒI ĐẶT THỪA SỐ CHUNG
Bài 5; a) x 2  x  2 
a) x=0; x=2
Bài 6;
Bài 7;
Bài 8:

x  2 0

b) x 2  1  1 x 2

b)x=±1; x= ±

c) x 2  x  x 2  x  2 0

c) x=1

Giải phương trình : 2x 2  8x  3 x 2  4x  5 12 .
 x  1

Điều kiện tồn tại của phương trình : x2 - 4x - 5 0  
 x 5

Đặt ẩn phụ x 2  4x  5 y 0 , ta được: 2y2 - 3y - 2 = 0  (y -2)(2y + 1)=0.
Bài 9: Giải phương trình : 3x 2  21x  18  2 x 2  7x  7 2
Điều kiện : x2 + 7x + 7 ≥ 0. Đặt x 2  7x  7 = y 0  x2 + 7x + 7 = y2.
Phương trình đã cho trở thành : 3y2 3 + 2y = 2  3y2 + 2y 5 = 0  (y 1)(3y + 5) = 0
 y = - 5/3 (loại) ; y = 1. Với y = 1 ta có x 2  7x  7 = 1  x2 + 7x + 6 = 0 
 (x + 1)(x + 6) = 0. Các giá trị x = - 1, x = - 6 thỏa mãn x2 + 7x + 7 0 là nghiệm của (1).
VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
Gi¶i:
* 2x2 + 3x +9 +
§Æt y =

2x2 + 3x +

= 33 (*)

- 42 = 0

(y > 0 v× 2x2 + 3x +9 =

Ta cã y2 + y – 42 = 0 (y – 6 ) ( y + 7 ) = 0
y1 = 6 ; y2 = -7 (Lo¹i)

> 0)

Suy ra

= 6 2x2 + 3x – 27 = 0 (x – 3)(x + ) = 0

x1 = 3 ; x2 = VD1:Gi¶i phu¬ng tr×nh:
Gi¶i
C1: §K:
§Æt

(®k

)

Khi ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh:

Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1)
2)
4
1
5
 x  x  2x 
x
x
x

Bài *: Giải phương trình:
Tập xác định
Pt

1

x
0


x
(*)

:
2 x  5 0

x


4
5
  x  2x 

x
x

1
5
4

x
   x   2 x 

x
x
x


1
x
x

4

 x 0


 x  4   x

5

x


 2x 
x



Bài gv: Giải phương trình:
a)

(do

)

( vì
(đặt

>0;
)

>0)
(do

)

1
x
 1
x

 x  2
 
 x 2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm:
4) BẤT ĐẲNG THỨC (ĐẶC BIỆT ĐƯA VỀ DẠNG A2 + B2
Bài 9: Giải các phương trình: 3x2 + 4x + 10 = 2
2) Giải, xác định đúng điều kiện:
=0
(Thỏa mãn)
Bài:
HD: (x  3) 2  ( x  3) 2 0 . Đáp số : x = 3.
Bài : Giải phương trình: + = x2 - 10x + 27
+ = x2 - 10x + 27. Đk : 4  x  6. Áp dụng BĐT Cosi cho 2số không âm , ta được :
+ = +  + =2
Dấu “ = ” xảy ra 
Mặt khác : x2 - 10x + 27 = ( x2 - 10x + 25 ) + 2 = ( x - 5 )2 + 2  2
Dấu “ = ” xảy ra  x - 5 = 0  x = 5. Do đó : + = x2 - 10x + 27  x = 5
Giải phương trình :

ĐK :x >

a>0,b>0 .dấu bằng xẩy ra “=” khi và chỉ khi a=b
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh.
Gi¶i:
VÕ tr¸i :
+
=5

áp dụngBĐT

với

= 4 – 2x – x2

VÕ ph¶i : 4 – 2x –x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5.
VËy pt cã nghiÖm khi: vÕ tr¸i = vÕ ph¶i = 5.
x+ 1 = 0  x = -1.
Bài 10:
Giải phương trình : 3x 2  6x  7  5x 2  10x  21 5  2x  x 2 .
Viết lại phương trình dưới dạng :
3(x  1) 2  4  5(x  1) 2  16 6  (x  1) 2 .
Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ
xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.
Bài: Giải phương trình : 3x 2  6x  7  5x 2  10x  14 4  2x  x 2
HD:Vế trái :

3(x  1)2  4  5(x  1)2  9  4  9 5 .

Vế phải : 4 2x x2 = 5 (x + 1)2 5. Vậy hai vế đều bằng 5, khi đó x = - 1. Với giá trị này cả
hai bất đẳng thức này đều trở thành đẳng thức. Kết luận : x = - 1
Bài **: o) x  1  x  3  2

x  1x 2  3x  5  4 

2x

Do x ≥ 1 nên vế trái lớn hơn hoặc bằng 2, vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 2. Suy ra hai vế bằng
2, khi đó x = 1, thỏa mãn phương trình.
Nhiều biến:
Bài: Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : HD: (2x  y) 2  (y  2) 2  (x  y  z) 2 0
x = 1 ; y = 2 ; z = -3.
Bài 11: Cho x  y  z  xy  yz  zx , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
HD: Từ x  y  z  xy  yz  zx 
Vậy x = y = z.



x

y

 
2

y

z

Bài **:
(1)
Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1)
Với
thì:

 
2

z

x



2

0 .

. Nên PT vô nghiệm với

Với x >1 Thì:
Nên PT vô nghiệm với x >1
Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1
So sánh với điều kiện (*)  x=2 là nghi

4) PP RÚT GỌN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Bài 12; Giải phương trình: x 2  2 x  1  x 2  4 x  4 = 2006
Bài gv 13: Giải phương trình : 4x 2  20x  25  x 2  8x  16  x 2  18x  81
Phương trình đã cho  | 2x + 5 | + | x - 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 - x |
 (2x + 5)(4 - x) ≥ 0  -5/2 ≤ x ≤ 4
Bài 14:
ĐKXĐ: x  -2. ( 0,5 điểm)
Pt

<=>|
|
+|3|=1
áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta có : |
+|3Dấu "=" xảy ra khi : (
)( 3 )02
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =

+|

-3| =
|1
 3  2 x  7

Bài 15:
Đặt

x  2 = y. Đa về dạng y  2  y  3 = 1. Chú ý đến bất đẳng thức :
y  2  3  y  y  2  3  y 1 . Tìm được 2 ≤ y ≤ 3. Đáp số : 6≤ x ≤ 11.

Bài 16: Giải phương trình :
HD: Nhân 2 vế của pt với

x  2  3 2x  5  x  2 
2 , ta được : 2x  5  3 

2x  5 2 2 .
2x  5  1 4  x

5/2

Bài 17: Giải phương trình : x  2 x  1  x  2 x  1 2
HD: Điều kiện x ≥ 1. Phương trình biến đổi thành :
x  1  1  x  1  1 2 

x  1  x  1  1 1

* Nếu x > 2 thì : x  1  x  1  1 1  x  1 1 x 2 , không thuộc khoảng đang xét.
* Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì : x  1  1  x  1  1 2 . Vô số nghiệm 1 ≤ x ≤ 2
Kết luận : 1 ≤ x ≤ 2.
VD2:Gi¶i ph¬ng tr×nh
Gi¶i
Ta cã:
-

=1

VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ:
3)PP DÙNG HĐT
Bài:


=1x=4( bình phương hai vế)

BẬC 3
Bài:

; Rút gọn vế trái đợc :



1
x
2



x 2  4 . Đáp số : x = 4.

4) PP ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài gv: q) 2x 2  9x  4  3 2x  1  2x 2  21x  11
HD: Đặt 2x2 - 9x + 4 = a ≥ 0 ; 2x - 1 = b≥ 0. Phương trình là : a  3 b  a  15b . Bình
phương hai vế rồi rút gọn ta đợc : b = 0 hoặc b = a. Đáp số :

1
;5
2

Bài gv: Giải phương trình:
.
(1), điều kiện
. Đặt
;
Suy ra
Thay vào (1) ta được
(do
nên a+b+1>0)
Với a = b ta có
thỏa mãn điều kiện
Vậy x=1 là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài: 3 x  2  3 25  x 3 ; x1 = - 2 ; x2 = 25.
Bài: 3 x  2  x  1 3 Điều kiện : x - 1 (1). Đặt 3 x  2 y ; x  1 z . Khi đó x - 2 =
y2 ; x + 1 = z2
nên z2 y3 = 3. Phương trình đã cho được đa về hệ :
y  z 3 (2)
 2
3
z  y 3 (3)
z 0 (4)


Rút z từ (2) : z = 3 y. Thay vào (3) : y3 - y2 + 6y - 6 = 0  (y 1)(y2 + 6) = 0  y = 1
Suy ra z = 2, thỏa mãn (4). Từ đó x = 3, thỏa mãn (1). Kết luận : x = 3.
Bài:
Đặt 3 2x  1 = y. Giải hệ : x3 + 1 = 2y , y3 + 1 = 2x, đợc (x - y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0
 x = y. Đáp số : 1 ;
Bài:

 1 5
.
2

3
 u v  6
HD: Đặt u = x - 9 , v = x - 3 , ta được : 
 u=v=-2  x=1
3
 v u  6
3

VD3: Gi¶i ph¬ng tr×nh
Gi¶i
§K:
§Æt

(*)

,

Khi ®ã ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:

Víi u=0, ta cã:
x=2
Víi u=1, ta cã:
Víi u=-2, ta cã:
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã ba nghiÖm lµ:x=1,x=2,x=10
Bài:
Đặt 3 x  1 a ; 3 x  1 b . Ta có : a2 + b2 + ab = 1 (1) ; a3 - b3 = 2 (2).
Từ (1) và (2) : a - b = 2. Thay b = a - 2 vào (1) ta được a = 1. Đáp số : x = 0.

VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh.
Gi¶i :
+ §iÒu kiÖn : x≥ -1
Ta thÊy x = 3 nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh.
Víi x > 3 th×
>1;
>2 nªn vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lín h¬n 3.
Víi -1 ≤ x < 3 th×
<1;
< 2 nªn vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh nhá h¬n 3.
VËy x = 3 lµ nghiÖm duy nhÊt.
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
+
=-16x2-8x+1 (1)
Gi¶i
§K:
(*)
Ta cã

(2)

L¹i cã : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2
Tõ (2) vµ (3) ta cã:

2 (3)

(tho¶ m·n(*))
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
2)
Bài *:
x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x + 2 ≠ 0, chia hai vế cho
Đặt

3

x 1
a ;
x2

3

x 2 .

x3
b . Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - 1. Hệ này vô nghiệm.
x 2

Bài**:

Đặt :

4

x 2  32 y  0 . Kết quả x = 7.

Bài **:
Đặt 1 + x = a , 1 - x = b. Ta có : a + b = 2 (1),
Theo bất đẳng thức Cauchy
3

mn 

m n
, ta có :
2

4

ab  4 a  4 b = 3 (2)

a  b 1 a 1 b



2
2
2
1 a 1 b
ab
 a  b 1 

1 
 2 3 .
2
2
2

a. b  1. a  1. b 

Phải xảy ra dấu đẳng thức, tức là : a = b = 1. Do đó x = 0.
l)
Đặt 4 a  x m 0 ; 4 b  x n 0 thì m4 + n4 = a + b - 2x.

Phương trình đã cho trở thành : m + n = 4 m 4  n 4 . Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế rồi thu
gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = 0.
Suy ra m = 0 hoặc n = 0, còn nếu m, n > 0 thì 2m2 + 3mn + 2n2 > 0.
Do đó x = a , x = b. Ta phải có x a , x b để các căn thức có nghĩa.
Giả sử a b thì nghiệm của phương trình đã cho là x = a.
Bài : p) 2x  3  x  2  2x  2  x  2 1  2 x  2
Đặt

2x  3  x  2 y ; 2x  2 

x  2 z (1). Ta có :

y 2  z 2 1  2 x  2 ; y  z 1  2 x  2 . Suy ra y z = 1.

Từ đó z  x  2 (2). Từ (1) và (2) tính đợc x. Đáp số : x = 2 (chú ý loại x = - 1).
Bài :

Giải phương trình:

Đặt

Tìm được x = 5 là nghiệm

k) x  3  4 x  1  x  8  6 x  1 1

l) 8x  1  3x  5  7x  4  2x  2

k) Đặt x  1 = y 0, đa phương trình về dạng : | y - 2 | + | y - 3 | = 1 . Xét dấu vế trái.
l) Đặt : 8x  1 u 0 ; 3x  5 v 0 ; 7x  4 z 0 ; 2x  2 t 0 .
u  v z  t

Ta được hệ : 

2
2
2
2
u  v z  t

. Từ đó suy ra : u = z tức là : 8x  1  7x  4  x 3 .

Vì ab + 4 > 0 nên :

a) 1  3 x  16  3 x  3

b)

3

2  x  x  1 1

PP ĐƯA VỀ DẠNG A = B
Bài 18: Giải Phương trình: 4x2 +3x(4 1  x -9) = 27
 4 x 2  12 x 1  x 27(1  x)
đk: x  1 , Pt
2

2



4 x 2  12 x 1  x  9(1  x) 36(1  x)



(2 x  3 1  x ) 2 36(1  x )



 2 x  3 1  x 6 1  x

 2 x  3 1  x  6 1  x

(do

x  1)



  x 0
 2
 4 x  9 x  9 0

  1  x  0

 4 x 2  81x  81 0

 x 3

 x  81  9 97
8


(0,5đ)

GIÁO VIÊN ĐỌC THÊM
Bài: Cho biết x = 2 là một nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 với các hệ số
hữu tỉ. Tìm các nghiệm còn lại.
HD: Thay a = 2 vào phương trình đã cho : 2 2 + 2a + b 2 + c = 0

2 (b + 2) = -(2a + c).
Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + 2 = 0 do đó 2a + c = 0. Thay b = - 2 , c = - 2a vào phương
trình đã cho :
x3 + ax2 2x 2a = 0  x(x2 2) + a(x2 2) = 0  (x2 2)(x + a) = 0.
Các nghiệm phương trình đã cho là:
2 và - a.
 x 1  y  2y

Bài hay: Giải hệ phương trình  y 1  z  2z

 z 1  x  2x

HD: Nếu x = 0 thì y = 0, z = 0. Tương tự đối với y và z. Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > 0
Từ hệ phương trình đã cho ta có :

2y
2y
x

 y.
1 y 2 y

Tơng tự y  z ; z  x . Suy ra x = y = z. Xảy ra dấu = ở các bất đẳng thức trên với
x = y = z = 1. Kết luận : Hai nghiệm (0 ; 0 ; 0) , (1 ; 1 ; 1).
Bài 13: Tính A =
Bài 14:
Bài 15:
Bài 16:
Bài 18: Giải phương trình:
;
3
Đặt
; khi đó x-2= y ; x+1 = z2
Ta có HPT sau:
Giải phương trình :

;
ĐK :x >

áp dụngBĐT

với

a>0,b>0 .dấu bằng xẩy ra “=” khi và chỉ khi a=b .
Bài *gv: Giải PT:
trình tích.

Nhân hai về biểu thức liên hợp đưa về phương

Bài 22: Giải phương trình
Bài 23: Giải PT:x2 +4x +5 = 2

(1);HD ĐK : x

;Biến đổi (1)

Bài : Giải PT
- Câu a nhận xét hai vếm câu b áp dụng bất đẳng thức Bunhicopki
Dấu “=” xẩy ra khi chỉ khi ….x=3
2
VP:=…=(x-3) +2
;Dấu “=” Xẩy ra khi chỉ khi x =3
Bài : Giải PT:
HD:ĐK:
; Đặt t =
;ĐK t
Phương trình có dạng :t2-2t = 0
Bài 19: Giải PT:3x2 +2x =
Đặt :
Giải phương trình

(1);HD:Biến đổi (1)