PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI SƠ TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
TX HOÀNG MAI Năm học: 2014 – 2015
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
-----------------------

Câu 1: (4,5 điểm)
a) Tìm các số nguyên x sao cho
là số chính phương.
Cho ba số a, b, c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức:

Câu 2: (4,5 điểm)
Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn:

Giải phương trình:


Câu 3: (4,5 điểm)
Cho a, b là các số không âm. Chứng minh:

Cho x, y, z là các số dương và
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu


Câu 4: (4.5 điểm)
Cho ΔABC đều, đường cao AH; M là một điểm thuộc cạnh BC ( M khác B và C). Kẻ
ME vuông góc với AB; MF vuông góc với AC. Gọi I là trung điểm của AM.
Tứ giác HEIF là hình gì ? vì sao ?
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh EF, HI, MG đồng qui.
Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho độ dài EF đạt giá trị bé nhất. Tính giá trị bé nhất
đó khi cho cạnh của tam giác đều bằng a.

Câu 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A bằng 600, phân giác AD, cạnh AB=2cm, AC=4cm. Tính
độ dài đường phân giác AD.

--- Hết ---


Họ tên thí sinh ………………………………….. SBD ………………………………



HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: (4,5 điểm)
a) Đặt
.
Biến đổi thành

Giải ra ta được x=5; x=-6
b) Từ
suy ra

Ta có
, tương tự





Câu 2: (4,5 điểm)
a) Biến đổi




. Giải ra ta được x=1, y=2, z=1
b) ĐKXĐ:

Ta có




Câu 3: (4,5 điểm)
a) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm
. Ta có
. Dấu “=” xảy ra khi a=b.
b) Áp dụng BĐT

Thật vậy


(đúng)
Ta có
Cộng vế theo vế ta có



Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1.
Câu 4: (4.5 điểm)
a) Dễ dàng CM được
HIE đều
(
).
Tương tự,
HIF đều. Vậy HEIF là hình thoi.
b) Gọi O là giao điểm của HI và EF. Cần c/m: M, O, G
thẳng hàng. Gọi N là trung điểm của AH. c/m MO và MG cùng song song với IN.
c) Đặt AM=x,
,
, Ta tính được EO=OI.


EF bé nhất
AM bé nhất. Mà AM bé nhất khi AM=AH=

Vậy khi
thì EF bé nhất và

Câu 5: (2,0 điểm)
Kẻ

Dễ dàng tính được BH=1,CK=2 suy ra AH=
, AK=2
.
Do đó HK=
hay DH+DK=
(1)
Mặt khác
, suy ra
(2)
( Vì
, tính chất phân giác)
Từ (1) và (2) suy ra DH=
. Vậy AD=
+

(cm)