SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm có 01 trang)
Câu 1. (5.0 điểm).

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2023-2024
Môn : Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 09/03/2024

 2x + 4
  x x +8

x
1. Cho biểu thức: P =
−
− x.

 .
 x x −8 x + 2 x + 4   4+ 2 x

a) Rút gọn biểu thức P .

b) Tính giá trị của P khi x= 7 + 4 3 .

(

)(

)

2024 .
2. Tính giá trị của a + b biết a + a 2 + 2024 b + b 2 + 2024 =
Câu 2. (5.0 điểm).
1. Một công ty vận tải dự định chở 54 tấn hàng để hưởng ứng phong trào “Hướng về Miền Trung
thân yêu”. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. Vì vậy
công ty phải bổ sung thêm 3 xe, lúc này mỗi xe chở ít hơn dự định 1 tấn hàng. Hỏi ban đầu công ty
dự định dùng bao nhiêu chiếc xe để chở hàng, biết các xe chở số tấn hàng bằng nhau.
3 y 2 + 2 xy=
+ 3 4 y x2 + 3
2. Giải hệ phương trình : 
.
y
y
−
x
=
3
−
3
y
)
 (

y mx + 4 (với m là tham số).
3. Cho Parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng (d ) :=
a) Chứng minh đường thẳng (d ) luôn cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi x1 , x2 là hoành độ giao điểm của ( P ) và (d ) . Tìm m để T =

2mx1 − x1 x2 + 2mx2 + 3
x12 + x2 2

nhận giá trị nguyên.
Câu 3. (5.0 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Trên cùng nữa mặt phẳng bờ AB , vẽ
các tiếp tuyến Ax, By của ( O ) và lấy điểm C sao cho CA < CB . Trên đoạn OA lấy điểm D ( D
khác O, A ). Đường thẳng vuông góc với CD tại C cắt Ax, By lần lượt tại E , F . Đoạn thẳng AC
cắt DE tại G , BC cắt DF tại H , OC cắt GH tại I . Gọi J , K lần lượt là trung điểm của DE , DF .
a) Chứng minh ∆AGE đồng dạng ∆FHC .
b) Chứng minh I là trung điểm của GH và I , J , K thẳng hàng.
c) Gọi M là giao điểm của JO và DK . Chứng minh ∆JOK vuông và DE , IM , KO đồng quy.
Câu 4. (2.0 điểm). Cho nữa đường tròn ( O; R ) đường kính AB . M là điểm di động trên nữa đường
tròn ( M không trùng với A, B ). Qua M kẻ tiếp tuyến với nữa đường tròn. Gọi D, C lần lượt là
hình chiếu của A, B trên tiếp tuyến ấy. Tìm vị trí của M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất.
Câu 5. (3.0 điểm).
1. Cho các số a, b, c ∈ [ 0;1] . Chứng minh:

4a 2 − 4a 2b 2 + 16b 2 − 12b 2c 2 + 6c 2 − 3c 2 a 2 ≤ 5 .

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn phương trình: 3 ( x 2 + 2 y 2 − 1) − 4( xy + 2 y ) =
0.
-----------------------HẾT----------------------• Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
• Giám thị không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2023-2024
Môn : Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 09/03/2024
(Hướng dẫn chấm có 7 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu

ĐÁP ÁN

Thang
điểm

Câu 1
(5.0 đ).

 2x + 4
  x x +8

x
1. Cho biểu thức: P =
−
− x.

 .
 x x −8 x + 2 x + 4   4+ 2 x

a) Rút gọn biểu thức P .

x ≥ 0
x ≥ 0
a) Điều kiện: 
⇔
.
≠
x
4
−
≠
x
x
8
0




2.25đ
0.5


 2x + 4
  x 3 + 23
x
Khi đó ta có : P =
−
− x

 3

3


 x − 2 x + 2 x + 4  4 + 2 x


(
=

(

2x + 4 − x

)(

(

) .  (
x + 4) 


x −2

x −2 x+2

x +2 x−2 x +4

)−



x



 x−2 x +4

.
− x
2
x −2 x+2 x +4 

x+2 x +4

)(

)

x−4 x +4
1
.
=
2
x −2

=

)(
2(2 + x )

0.5

1
.
x −2

(

x −2

)

2

2

=

0.25
x −2
2

(2 + 3)

7+4 3 −2
=
2

2

−2

2

=

2+ 3−2
=
2

3
2

(

a 2 + 2024 + a

)(

Kết hợp với giả thiết ta suy ra

0.25
2đ

a 2 + 2024 − a =
a 2 + 2024 − a 2 =
2024 .

0.5

a 2 + 2024 − a = b 2 + 2024 + b

0.5

2024 .
2. Tính a + b biết a + a 2 + 2024 b + b 2 + 2024 =
Ta có :

0.5

)

)(

(

0.5
0.75

b) Tính giá trị của P khi x= 7 + 4 3 .
Khi x= 7 + =
4 3 ta có P

0.5

)

1

b 2 + 2024 − b = a 2 + 2024 + a

Tương tự ta cũng có :

Câu 2
(5.0 đ).

⇒ b 2 + 2024 − b + a 2 + 2024 − a = a 2 + 2024 + a + b 2 + 2024 + b
⇒ a+b =
0
1. Một công ty vận tải dự định chở 54 tấn hàng để hưởng ứng phong trào
“Hướng về Miền Trung thân yêu”. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng
hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. Vì vậy công ty phải bổ sung thêm 3 xe,
lúc này mỗi xe chở ít hơn dự định 1 tấn hàng. Hỏi ban đầu công ty dự định
dùng bao nhiêu chiếc xe để chở hàng, biết các xe chở số tấn hàng bằng nhau.

Gọi x (chiếc) là số xe dự định của công ty ( x ∈ *, x < 54 )
Số xe tham gia vận chuyển là x + 3 (chiếc)
54
Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định
.
x
60
.
Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế
x+3
Theo bài ra ta có phương trình:

0.5

0.5

1.5đ

0.25

0.25

54 60
−
=
1
x x+3

0.5

 x = 9 ( n)
⇔ 54 ( x + 3) − 60 x =x ( x + 3) ⇔ x 2 + 9 x − 162 =0 ⇔ 
.
x
18(
l
)
=
−

Vậy lúc đầu công ty có 9 chiếc xe.

0.5

3 y 2 + 2 xy=
+ 3 4 y x 2 + 3 (1)
2. Giải hệ phương trình : 
(2)
 y ( y − x ) =3 − 3 y

2đ

Phương trình (1) tương đương: 4 y 2 − 4 y x 2 + 3 + x 2 + 3 = x 2 − 2 xy + y 2

(

2

⇔ 2y − x + 3

TH1:

)

2

=( x − y )

2

 x2 + 3 = 3 y − x
⇔
 x 2 + 3 = x + y

0.25

0.25

x2 + 3 = 3 y − x .

Kết hợp với (2) ta có hệ

3 y ≥ x

xy 9 y 2 − 3 .
6=
 xy = y 2 + 3 y − 3


2

0.25

y 1;=
x 1 (TM )
=

⇒ 9 y −=
3 6 ( y + 3 y − 3) ⇔
37
 y 5;=
=
x
(TM )
5

2

TH2:

2

x + y ≥ 0

− y2 + 3
x 2 + 3 = x + y . Kết hợp với (2) ta có : 2 xy =
 xy = y 2 + 3 y − 3


y 1;=
x 1 (TM )
=
⇒ − y2=
+ 3 2 ( y 2 + 3 y − 3) ⇔ 
1( L)
−3; x =
y =

0.5

0.25

0.5

 37 
Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;1) ,  ;5  .
 5 

y mx + 4 (với m là tham
3. Cho Parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng (d ) :=
số).
a) Chứng minh đường thẳng (d ) luôn cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt .
Phương trình hoành độ giao điểm của ( d ) và ( P ) là:

x 2 = mx + 4 ⇔ x 2 − mx − 4 = 0 .
= m 2 + 16 > 0 , với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân
Ta có ∆
biệt, suy ra đường thẳng ( d ) luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt.

0.5đ
0.25
0.25

b) Gọi x1 , x2 là hoành độ giao điểm của ( P ) và (d ) . Tìm m để
T=

2mx1 − x1 x2 + 2mx2 + 3
nhận giá trị nguyên.
x12 + x2 2

m
 x1 + x2 =
Theo định lý Viet ta có: 
 x1 .x2 = −4

0.25

2m ( x1 + x2 ) − x1 x2 + 3 2m 2 + 7
Khi đó T =
= 2
x12 + x2 2
m +8

0.25

T= 2 −

9
⇒ T ∈  ⇔ m2 + 8 ∈U ( 9 )
m +8
2

Mà m 2 + 8 ≥ 8, ∀m ⇒ m 2 + 8 =9 ⇔ m =±1.
Câu 3
(5.0 đ).

1.0

0.25
0.25

Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Trên cùng nữa mặt phẳng bờ AB , vẽ
các tiếp tuyến Ax, By của ( O ) và lấy điểm C sao cho CA < CB . Trên đoạn
OA lấy điểm D ( D khác O, A ). Đường thẳng vuông góc với CD tại C cắt

Ax, By lần lượt tại E và F . Đoạn thẳng AC cắt DE tại G , BC cắt DF tại
H , OC cắt GH tại I . Gọi J , K lần lượt là trung điểm của DE , DF .
a) Chứng minh ∆AGE đồng dạng ∆FHC .
3

1.5đ

=
Ta có CAE
ABC (cùng chắn 
AC )

0.25

 ) ⇒ CAE
=
 (cùng chắn CD
 (1)
Tứ giác CDBF nội tiếp ⇒ 
ABC =
CFD
CFD

0.5


AD )
Tứ giác ADCE nội tiếp ⇒ 
AED =
ACD (cùng chắn 

0.25

 (cùng phụ BCD
)
Mà 
ACD = BCF

⇒
AED =
BCF

( 2)

0.25

Từ (1) và ( 2 ) ⇒ ∆AGE ∽ ∆FHC

0.25

b) Chứng minh I là trung điểm của GH và I , J , K thẳng hàng.

2.0đ

4

 ⇒ Tứ giác CGDH nội tiếp ⇒ CGH

=

Ta có CGD
= 
AGE
= CHF
CDH
 = CBF
 (Tứ giác CDBF nội tiếp)
Mà CDH

0.25

=

CBF
⇒ CGH

0.25

OA OB
Vì OA = OB nên IG = IH ⇒ I là trung điểm của GH

0.25

IH
 ⇒ GH / / AB ⇒ GI =
 =CAB
 ⇒ CGH
 =CAB
Mà CBF

Vì I , J lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác CGDH , ADCE
nên IJ ⊥ CD

0.25

0.5

Vì J , K lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác ADCE , BDCF
nên JK ⊥ CD
⇒ I , J, K thẳng hàng

0.5

c) Gọi M là giao điểm của JO và DK . Chứng minh ∆JOK vuông và
DE , IM , KO đồng quy.

1.5đ

Ta có J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADCE ⇒ OJ ⊥ AC ⇒ OJ / / BC
(do BC ⊥ AC )

 JE = JD
⇒ JK / / EF (tính chất đường trung bình)
 KF = KD

 = BCF
Do đó MJK

0.25

Mặt khác 

)
=
 (cùng chắn BF
Mà Tứ giác BDCF nội tiếp ⇒ BCF
BDF
 = BDF
 = ODK
 ⇒ Tứ giác JDOK nội tiếp
⇒ MJK
=

⇒ JOK
JDK

0.25

 = 900 ( do CGDH nội tiếp và GCH
 = 90o )
Mà JDK

⇒ JOK
= 900 ⇒ ∆JOK vuông tại O .

0.25

Gọi N là giao điểm của ED và OK
Ta có M là trực tâm ∆JNK nên NM ⊥ JK

( 3)



 (vì OJ / / BC )


MOI
= JOC
= OCB
= OBC
= CFD
 = IKD

Mà CFD

0.25

( JK / / E F )

 = IKM
 ⇒ Tứ giác IMOK nội tiếp
⇒ MOI
⇒ IM ⊥ JK
( 4)

Từ ( 3) và ( 4 ) ⇒ DE , IM , KO đồng quy

Câu 4
(2.0 đ).

0.25

Cho nữa đường tròn ( O; R ) đường kính AB . M là điểm di động trên nữa
đường tròn ( M không trùng với A, B ). Qua M kẻ tiếp tuyến với nữa đường
tròn. Gọi D, C lần lượt là hình chiếu của A, B trên tiếp tuyến ấy. Xác định vị
trí của M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất.

5

0.25

2.0đ

Ta có AD ⊥ DC , BC ⊥ DC ⇒ AD / / BC
ADC = 900 nên ABCD là hình thang vuông.
⇒ ABCD là hình thang mà 
OM ⊥ DC ⇒ OM / / AD mà O là trung điểm AB nên OM =

AD + BC
.
2

0.25

AD + BC
=
=
.DC OM
.DC R.DC
2
2R2
Vì ABCD là hình thang vuông nên DC ≤ AB . Vậy S ABCD ≤ R. AB =

0.25

Dấu bằng xảy ra khi DC = AB .Khi đó ABCD là hình chữ nhật.

0.25

AB .
⇒ CD / / AB . Vậy M nằm chính giũa 

0.25

S ABCD
Do đó=

Câu 5
(3.0 đ).

0.25

1. Cho các số a, b, c ∈ [ 0;1] . Chứng minh :

0.75

4a 2 − 4a 2b 2 + 16b 2 − 12b 2c 2 + 6c 2 − 3c 2 a 2 ≤ 5 .

1.5đ

a 2 + 4 − 4b 2
;
2

0.25

Ta có

a. 4 − 4b 2 ≤
4a 2 − 4a 2b 2 =

4b 2 + 4 − 3c 2
2b 4 − 3c ≤
;
16b − 12b c =
2
2

2 2

2

3c 2 − a 2 ≤
6c 2 − 3c 2 a 2 =

Cộng vế theo vế ta có :

3c 2 + 2 − a 2
.
2

0.25
0.25

a 4 − 4b 2 + b 16 − 12c 2 + c 6 − 3a 2

a 2 + 4 − 4b 2 4b 2 + 4 − 3c 2 3c 2 + 2 − a 2
0.25
≤
+
+
=
5.
2
2
2

6

Dấu bằng xãy ra khi:










2
a = 1
a = 1
a
4 − 4b 2 =
4 − 4b 2 =
a2



3
3


4 − 3c 2 =2b ⇔ 4 − 3c 2 =4b 2 ⇔ b 2 = ⇒ b = .
4 
2
2 − a 2 =

2
c
3
2 − a2 =
3c

 2 1

3
c = 3
c =
3


2. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn phương trình :
3 ( x 2 + 2 y 2 − 1) − 4( xy + 2 y ) =
0.

0.5

1.5đ

Xét phương trình : 3 ( x 2 + 2 y 2 − 1) − 4( xy + 2 y ) =
0

⇔ 3 x 2 + 6 y 2 − 3 − 4 xy − 8 y =
0
⇔ 2 x 2 − 4 xy + 2 y 2 + x 2 + 4 y 2 − 8 y − 3 =
0

0.25

⇔ 2 ( x − y ) + x 2 + 4 ( y − 1) =
7
2

0.25

7
⇒ y ∈ {0,1, 2}
4

0.25

2

⇒ 4 ( y − 1) ≤ 7 ⇒ y − 1 ≤
2

0.25

+ Với y =0 ⇒ 3 x 2 − 3 =0 ⇔ x =±1 .

(

)

+ Với y =1 ⇒ 3 x 2 + 1 − 4 ( x + 2 ) = 0 ⇔ 3 x 2 − 4 x − 5 = 0 . Phương trình này
0.25

không có nghiệm nguyên.

x = 1
+ Với y = 2 ⇒ 3 ( x + 7 ) − 4 ( 2 x + 4 ) = 0 ⇔ 3 x − 8 x + 5 = 0 ⇔ 
 x = 5 (l )
3

Vậy các cặp số nguyên ( x, y ) cần tìm là (1,0 ) ; ( −1,0 ) ; (1; 2 ) .
2

2

Lưu ý : Học sinh làm theo phương án khác nếu đúng cũng đạt điểm tối đa

7

0.25