Tài liệu dạy thêm: Toán 8 sách Cánh Diều

CHỦ ĐỀ 1: ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN. ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
I/ Đơn nhất nhiều biến.
1. Khái niệm.
 Đơn thức nhiều biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến hoặc một tích giữa các số và
các biến.
2. Đơn thức thu gọn.
 Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến đã được nâng lên
lũy thừa với số mũ nguyên dương.
 Trong đơn thức thu gọn có hai phần: phần hệ số và phần biến.
 Ta cũng coi một số là một đơn thức thu gọn chỉ có phần hệ số.
 Trong đơn thức thu gọn, mỗi biến chỉ được viết một lần.
3. Đơn thức đồng dạng.
 Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.
 Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng.
4. Cộng trừ đơn thức đồng dạng.
 Để cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.
II/ Đa thức nhiều biến.
1. Định nghĩa.
 Đa thức nhiều biến (hay đa thức) là tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức được coi là một đa
thức.
 Mỗi đơn thức trong tổng gọi là hạng tử của đa thức đó.
2. Đa thức thu gọn.
 Thu gọn đa thức nhiều biến là làm cho trong đa thức đó không còn hai đơn thức nào đồng dạng.
3. Giá trị của đa thức .
 Để tính giá trị của một đa thức tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay những giá trị cho
trước đó vào biểu thức xác định đa thức rồi thực hiện các phép tính .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Nhận biết các đơn thức nhiều biến, đa thức nhiều biến.
Ví dụ 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?
a)

;

b)

;

c)

;

d)

Ví dụ 2. Biểu thức nào dưới đây không phải là đơn thức?
GV: Nguyễn Hùng Minh THCS Trần Quốc Toản

1

;

e)

.

Tài liệu dạy thêm: Toán 8 sách Cánh Diều

a)

;

b)

;

c)

;

d)

;

e)

.

Ví dụ 3. Cho biết phần hệ số, phần biến của mỗi đơn thức sau

a)

;

b)

.

Ví dụ 4. Biểu thức nào là đa thức trong các biểu thức sau?

a)

;

b)

;

c)

;

d)

.

Ví dụ 5. Biểu thức nào không phải là đa thức trong các biểu thức sau?

a)

;

b)

;

c)

;

d)

.

Dạng 2: Nhận biết các đơn thức đồng dạng
Ví dụ 1. Xếp các đơn thức sau thành từng nhóm các đơn thức đồng dạng

Ví dụ 2. Trong các đơn thức sau, đơn thức nào đồng dạng với đơn thức

a)

;

b)

;

c)

;

?

d)

.

Dạng 3: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng
Ví dụ 1. Tính tổng, hiệu các biểu thức sau
a)

;

c)

b)

;

d)

Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức

Thay giá trị của biến vào đa thức rồi thực hiện phép tính.

Ví dụ 1. Tính giá trị của đa thức sau:

GV: Nguyễn Hùng Minh THCS Trần Quốc Toản

.
tại

Dạng 4: Tính giá trị của đa thức


;

2

;

.

Tài liệu dạy thêm: Toán 8 sách Cánh Diều

a)

tại

,

;

b)

tại

,

.

Dạng 5: Thu gọn đa thức
 Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau;
 Bước 2: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm.
Ví dụ 1. Thu gọn các đa thức sau

a)

;

b)

c)

;

; d)

.

Ví dụ 2. Thu gọn các đa thức sau :

a)

;

b)

c)

;

; d)

e)

.

.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

a)

;

;

;

;

.

b)

;

;

;

;

.

Bài 2. Biểu thức nào là đa thức trong các biểu thức sau?

a)

;

b)

;

c)

;

d)

.

Bài 3. Xếp các đơn thức sau thành từng nhóm các đơn thức đồng dạng

Bài 4. Thu gọn mỗi đơn thức sau:

a)

d)

;

b)

;

;

e)

GV: Nguyễn Hùng Minh THCS Trần Quốc Toản

;

3

c)

.

Tài liệu dạy thêm: Toán 8 sách Cánh Diều

f)

với

,

là hằng số.

Bài 5. Thu gọn các đa thức sau

a)

;

b)

.

c)

.

Bài 6. Tính giá trị mỗi đa thức sau :
a)

; tại x = 2 ; y =

b)

; tại x =0 ; y =

c)

; tại x = 2 ; y = 1

CHỦ ĐỀ 2: CÁC PHÉP TÍNH VỚI ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức:
Muốn nhân 1 đơn thức với 1 đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi
cộng các tích với nhau.
A(B + C) = AB + AC
2. Quy tắc nhân đa thức với đa thức:
Muốn nhân một đa thức với 1 đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng
tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD

BÀI TẬP CHỦ ĐỀ
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
GV: Nguyễn Hùng Minh THCS Trần Quốc Toản

4

Tài liệu dạy thêm: Toán 8 sách Cánh Diều

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :
A = 5x(4x2 - 2x + 1) – 2x(10x2 - 5x - 2) với x = 15.
−1
1
−
B = 5x(x - 4y) - 4y(y - 5x) với x = 5 ; y = 2
1
C = 6xy(xy – y ) - 8x (x - y ) - 5y (x - xy) với x = 2 ; y = 2.
2

2

2

2

2

1
2
D = (y2 + 2)(y - 4) – (2y2 + 1)( 2 y – 2) với y = - 3

Bài 4: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a)
b)
c)

Bài 5: Tìm x biết
1 2 1
1
x −( x−4 ). x=−14 .
2
2
a) 4

b) 3(1 - 4x)(x - 1) + 4(3x - 2)(x + 3) = - 27
c) (x + 3)(x2 - 3x + 9) – x(x - 1)(x+1) = 27.
d) 6x(5x + 3) + 3x(1 – 10x) = 7
e) (3x – 3)(5 – 21x) + (7x + 4)(9x – 5) = 44
f) (x + 1)(x + 2)(x + 5) – x2(x + 8) = 27

CHỦ ĐỀ 3: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
GV: Nguyễn Hùng Minh THCS Trần Quốc Toản

5

Tài liệu dạy thêm: Toán 8 sách Cánh Diều

Cho A và B là các biểu thức. Ta có một số hằng đẳng thức đáng nhớ sau:
HẰNG ĐẲNG THỨC VIẾT DẠNG TỔNG HẰNG ĐẲNG THỨC VIẾT DẠNG TÍCH
* Bình phương của tổng

* Hiệu hai bình phương

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

A2 – B2 = (A + B)(A – B)

* Bình phương của hiệu

* Tổng hai lập phương

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

* Lập phương của tổng

* Hiệu hai lập phương

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

* Lập phương của hiệu
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
*Chú ý: Các hằng đẳng thức mở rộng
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
(A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC
(A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC
(A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC)
(A + B + C)³ = A³ + B³ + C³ + 3(A + B)(A + C)(B + C) 
A4 + B4 = (A + B)(A3 - A2B + AB2 - B3)
A4 - B4 = (A - B)(A3 + A2B + AB2 + B3)
An + Bn = (A + B) (An-1 – An-2 B +  An-3 B2 – An-4 B3 +…….. +(-1)n-1 B n-1)
An - Bn = (A + B) (An-1 + An-2 B +  An-3 B2 + An-4 B3 +…….. + B n-1)
BÀI TẬP CHỦ ĐỀ
DẠNG 1: Khai triển biểu thức. Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức.
Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng.
1) (5x + 3yz)2

2) (y2x – 3ab)2

3) (x2 – 6z)(x2 + 6z)

4) (2x – 3)3

5) (a + 2b)3

6) (5x + 2y)2

7) (-3x + 2)2

8)

9)

10)

11)

12)

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu:

GV: Nguyễn Hùng Minh THCS Trần Quốc Toản

6

Tài liệu dạy thêm: Toán 8 sách Cánh Diều

1) x + 2x + 1

25
2) x + 5x + 4

3) 16x2 – 8x + 1

4) 4x2 + 12xy + 9y2

5) x2 + x +

6) x2 - 3x +

7)

8)

2

2

+x+1

-

Bài 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hay một hiệu:
a) x3 + 3x2 + 3x + 1

1
b) 27y3 – 9y2 + y - 27

c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3

d) (x + y)3(x – y)3

Bài 4: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích
a)

b)

c)

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
a) A = (x + y)2 – (x – y)2
b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2
c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3
Bài 2: Rút gọn biểu thức
a) E = (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2
b) F = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1)
c) G = (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2
d) H = (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2
Bài 3: Rút gọn biểu thức.
a) A = (x + y)2 - (x - y)2
b) B = (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3
c) C = 98.28 - (184 - 1)(184 + 1)
DẠNG 3: Tính nhanh:
Bài 1: Tính nhanh
1) 1532 + 94 .153 + 472
2) 1262 – 152.126 + 5776
3) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1)
4) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + 1
Bài 2: Dựa vào các hằng đẳng thức để tính nhanh
GV: Nguyễn Hùng Minh THCS Trần Quốc Toản

7

d)

x+

Tài liệu dạy thêm: Toán 8 sách Cánh Diều

a. 252 - 152

b. 2055 - 952

d. 9502 - 8502

e.

c. 362 - 142

Bài 3: Tính:
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
Bài 4: So sánh
a)

và

b)

c)

và

d)

và
và

DẠNG 4: Chứng minh biểu thức dương hoặc âm với mọi giá trị của biến x.
Bài 1: Chứng minh rằng
a) – x2 + 4x – 5 < 0 với mọi x
b) x4 + 3x2 + 3 > 0 với mọi x
c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 > 0 với mọi x
Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến:
a) A = x2 – x + 1
b) B = (x – 2)(x – 4) + 3
c) C = 2x2 – 4xy + 4y2 + 2x + 5
DẠNG 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất.
Bài 1: Tìm GTNN hoặc GTLN của các biểu thức sau:
a/ A = x2 – 4x + 7

b/ B = x2 + 8x

c/ C = - 2x2 + 8x – 15

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) M = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = (x – 2)2 + 3
b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức A = (x2 + 1)2 + 4 nếu có.
1
Bài 4: Cho x và y là các số hữu tỉ và x ≠ y .Tìm GTNN của biểu thức B = 2 (x – y)2 + 2

nếu có.
Bài 5: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) A = x2 – 4x + 9
d)

b) B = x2 – x + 1
e)

GV: Nguyễn Hùng Minh THCS Trần Quốc Toản

8

c) C = 2x2 – 6x

Tài liệu dạy thêm: Toán 8 sách Cánh Diều

f)

g)

Bài 4: Tìm GTLN của các đa thức:
a) M = 4x – x2 + 3

b) N = x – x2

c) P = 2x – 2x2 – 5

CHUYÊN ĐỀ 4
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 3

b) 2xy + 2xyz

c)

d) 27

e)

f) (3x – 6y)x + y(x – 2y)

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 3(x – y) – 5x(y – x)

b)

c) x(x – 1) – y(1 – x)
d) 7x(5x – y) + 2(5x – y) – 3y(y – 5x)
e) 2y(3 – x) + 3xy(x – 3)
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 5: Tính giá trị biểu thức

GV: Nguyễn Hùng Minh THCS Trần Quốc Toản

9

Tài liệu dạy thêm: Toán 8 sách Cánh Diều

a)
b)
c)

với

d)
Bài 6: Tìm x biết:

với

a)
b)
c)
Bài 7: Tìm x biết:
a)

b)

c)
Bài 8: Chứng minh rằng:
a)
b)

chia hết cho 73
chia hết cho 9.

GV: Nguyễn Hùng Minh THCS Trần Quốc Toản 10

d)