Kết Nối Trí Thức VCS

BÀI 2
TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ VỀ TẬP HỢP
a. Tập hợp
 Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau:
- Cách liệt kê các phần tử của tập hợp
+ Viết tất cả phần tử của tập hợp vào giữa dấu

, các phần tử cách nhau bởi dấu phẩy

Ví dụ: A = {1,2,3,4,5}
+ Các phần tử có thể viết theo thứ tự tùy ý. Chẳng hạn

hoặc

+ Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần.
+ Nếu quy tắc xác định các phần tử đủ rõ thì người ta dùng '…' mà không nhất thiết viết ra tất cả
các phần tử của tập hợp. Chẳng hạn, tập hợp các số nguyên dương không quá

có thể viết

.
+ Nếu

là tập hợp hữu hạn thì số phần tử của nó được kí hiệu là

.

- Cách nêu tính chất đặc trưng các phần tử của tập hợp
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập đó.
Ví dụ: A = {x  |2x 2 – 5x + 3 = 0}
 Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào. Ký hiệu

.

b. Tập hợp con
 Nếu mọi phần tử của tập hợp
con) của

và viết là

+ Thay cho
+ Kí hiệu

(đọc là:
, ta còn viết

để chỉ

đề là phần tử của tập hợp
chứa trong
(đọc là

không là tập con của

hoặc
chứa

thì ta nói

là tập con của

là một tập hợp con (tập
).

).

.

 Nhận xét:
+ Từ định nghĩa trên,

là tập con của S nếu mệnh đề sau đúng:

+ Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
 Người ta thường minh họa một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín,
gọi là biểu đồ Ven.

Kết Nối Trí Thức VCS

 Minh họa

là một tập con của

như sau:

Ví dụ: Cho các tập hợp: T = {2; 3; 5}, S = {2; 3; 5; 7; 9}, M = {2; 3; 4; 5}.
+ Tập hợp T là tập con của tập hợp S (do mọi phần tử của T đều thuộc S).
+ Tập hợp M không là tập hợp con của tập hợp S (do có phần tử 4 thuộc M nhưng không thuộc S).
c. Hai tập hợp bằng nhau
Hai tập hợp S và
tập hợp

được gọi là hai tập hợp bằng nhau nếu mỗi phần tử của

và ngược lại. Kí hiệu là

Nếu

và

thì

cũng là phần tử của

.
.

Ví dụ: 
Cho 2 tập hợp:

{

Hỏi hai tập hợp S và

là bội chung của 2 và 3;

} và

{

là bội của 6;

}.

có bằng nhau không?
Lời giải

Ta có: 2 = 2, 3 = 3
⇒ BCNN(2; 3) = 2.3 = 6
⇒ BC(2; 3) = B(6) ={0; 6; 12; 18}
⇒ S = {0; 6; 12; 18}
Ta có các bội của 6 và nhỏ hơn 20 là: 0; 6; 12; 18.
T = {0; 6; 12; 18}.
Vậy S = T.
2. CÁC TẬP HỢP SỐ
a. Mối quan hệ giữa các tập hợp số
 Tập hợp các số tự nhiên  = {0,1,2,3,4,5,6,…}, ngoài ra * = \{0}
 Tập hợp các số nguyên  gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm:
 = {…, –3,–2,–1,0,1,2,3,…}
 Tập hợp các các số hữu tỉ  gồm các số viets dưới dạng phân số

với

.

Số hữu tỉ số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn.
 Tập hợp các các số vô tỉ : Tập hợp các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn KHÔNG tuần
hoàn.
 Tập số thực  gồm tất cả các số hữu tỉ và vô tỉ. Tập số thực được biểu diễn bằng trục số.
Mối quan hệ giữa các tập hợp số:

Kết Nối Trí Thức VCS

b. Các tập con thường dùng của
Tên gọi

Kí hiệu tập hợp

Hình biểu diễn trên trục số


Tập số thực

+

0

Đoạn

a
////////////////////// [

b
] //////////////////////

Khoảng

a
////////////////////// (

b
) //////////////////////

a
)//////////////////////

Khoảng

Khoảng

a
////////////////////// (

Nửa khoảng

a
////////////////////// [

b
) //////////////////////

Nửa khoảng

a
////////////////////// (

b
] //////////////////////

a
]//////////////////////

Nửa khoảng

a
////////////////////// [

Nửa khoảng

3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
a. Giao của hai tập hợp
Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc tập hợp
tập hợp

và

, kí hiệu
{

.
và

}

vừa thuộc tập hợp

được gọi là giao của hai

Kết Nối Trí Thức VCS

b. Hợp của hai tập hợp
Tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc tập hợp
hợp

và

, kí hiệu

.

{

hoặc

hoặc thuộc tập hợp

được gọi là hợp của hai tập

}

c. Hiệu của hai tập hợp
 Hiệu của hai tập hợp

và

là tập hợp gồm các phần tử thuộc

.
{

 Nếu

thì

gọi là phần bù của

và

trong

, kí hiệu

Chú ý:

PHẦN A
TỰ LUẬN

DẠNG 1

}

.

nhưng không thuộc

, kí hiệu

Kết Nối Trí Thức VCS

XÁC ĐỊNH TẬP HỢP

Bài 1.

Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó.

a)

b)

c)
Lời giải
a)
Ta có:
Vì

nên

.

b)
Ta có
Vì

.
nên

.

c)
Ta có:
Bài 2.

.
Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó.

a)

b)
Lời giải

a)

Ta có

Vậy
b)

.

.

Kết Nối Trí Thức VCS

Ta có

.

Vậy

.

Bài 3.

*Tính tổng tất cả các phần tử của các tập hợp sau:

a)

.

b)
Lời giải

a)

.

Ta có

. Vì

Suy ra

. Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp

nên loại

là

.

.

b)

Ta có

.

Suy ra

.

Vậy tổng các phần tử của tập hợp
Bài 4.

là

.

Xác định số phần tử của tập hợp

.
Lời giải

Tập hợp

gồm các phần tử là những số tự nhiên nhỏ hơn

Từ

đến

cho

. Suy ra có

Vậy có tất cả
Bài 5.

có

số tự nhiên, ta thấy cứ
số tự nhiên chia hết cho

số tự nhiên nhỏ hơn

và chia hết cho .

số tự nhiên liên tiếp sẽ có duy nhất một số chia hết
từ

đến

và chia hết cho

.
.

Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

a)

b)
Lời giải

a)
Ta nhận thấy các phần tử của tập hợp

là các số tự nhiên và nhỏ hơn 5.

Kết Nối Trí Thức VCS

Do đó

.

b)
Ta có

,

,

Do đó ta viết lại tập hợp
Bài 6.

,

và các số

đều là bội của 3.

bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng là

Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp

.

gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 25.
Lời giải

Ta có

.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 7. Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
a) A = {x   | x2  9 = 0}

b) B = {x   | 6x2 – 5x + 1 = 0}

c) C = {x   | (2x  1)(x2  5x + 6) = 0}

c) D = {x   | (2x + x2)(x2 + x – 2)(x2 – x – 12) = 0}

Bài 8. Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
a)

b)

c)

c)

Bài 9. Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau đây
a) A= {(x ; x2) | x  {–1;0;1}}

b) B= {(x ;y)|x2 + y2  2 và x,y  }

Bài 10.Viết các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng của chúng
a)

;

b)

DẠNG 2
TẬP CON CỦA TẬP HỢP SỐ THỰC

;

Kết Nối Trí Thức VCS

1. Tập con
Nếu mọi phần tử của tập hợp
viết là

. Ta còn đọc là

 Tập hợp rỗng

đề là phần tử của tập hợp

chứa trong

thì ta nói

là một tập con của

.

được coi là tập con của mọi tập hợp.

 
  Khi

, ta cũng viết

(đọc là:

chứa

 Nếu

không phải là tập con của

thì kí hiệu



và

.

 Nếu

với mọi tập hợp
và

thì

).

.

.

2. Hai tập hợp bằng nhau
Khi

Bài 1.

và

Cho

a)

thì ta nói hai tập hợp

và

bằng nhau, viết là

.

. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.
.

b)

.

c)

.

Lời giải
a) Sai. Vì

là ký hiệu phần tử, viết đúng phải là :

b) Đúng.
c) Sai. Vì
Bài 2.

là 1 tập hợp. không phải là phần tử của

Cho tập hợp

. Viết đúng phải là :

. Tính số tập con của X .
Lời giải

- Số tập con không có phần tử nào là 1 (tập
- Số tập con có 1 phần tử là 3:

.

- Số tập con có 2 phần tử là 3:
Số tập con có 3 phần tử là 1:
Vậy có

tập con.

)

.
.

.

và

Kết Nối Trí Thức VCS

Bài 3. Hãy xét quan hệ bao hàm của hai tập
a)

và

sau :

.

b)

.

c)

.

d)

.
Lời giải

a)

.
b)

.
c)

d)

.
Bài 4.

Cho tập hợp

và

. Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn:
Lời giải

X là tập hợp phải luôn có mặt 1 và 2.
Vì vậy ta đi tìm số tập con của tập

, sau đó cho hai phần tử 1 và 2 vào các tập con nói trên ta

được tập X.
Vì số tập con của tập
Bài 5.

Cho

là
,

nên có 8 tập X.
,

.Tìm

và

để

.

Lời giải
Các tập hợp bằng nhau nếu các phần tử của tập này cũng là phần tử của tập kia.

?

Kết Nối Trí Thức VCS

Vậy để cho

thì

.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 6. Cho hai tập hợp : A = {n  |n là ước của 6},

B = {n  |n là ước chung của 6 và 18}. Hãy xét

quan hệ bao hàm của hai tập trên.
Bài 7. Hãy xét quan hệ bao hàm của 2 tập hợp A và B dưới đây. Hai tập hợp A và B có bằng nhau
không?
a) A là tập các hình vuông và B là tập các hình thoi
b) A = {n |n là ước của 6}, B ={n|n là ước chung của 24 và 30}
Bài 8.

Cho tập hợp

. Tính số tập con của X có hai phần tử.

Bài 9. Tìm tập hợp X sao cho {a,b}  X  {a,b,c,d}
Bài 10.Cho A = {1,2,3,4} ; B = {2,4,3} ; C = {2,3} ; D = {2,3,5}
a) Tìm tất cả các tập X sao cho C  X  B
b) Tìm tất cả các tập Y sao cho C  Y  A
Bài 11.Hãy xét quan hệ bao hàm của các tập hợp sau:
A là tập hợp các tam giác ;
B là tập hợp các tam giác đều ;
C là tập hợp các tam giác cân.
Bài 12.Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau đây :
A là tập các hình tứ giác ;
B là tập các hình bình hành ;
C là tập các hình vuông ;
D là tập các hình chữ nhật
Bài 13.Cho : Tv = tập hợp tất cả các tam giác vuông
T = tập hợp tất cả các tam giác
Tc = tập hợp tất cả các tam giác cân
Tđ = tập hợp tất cả các tam giác đều
Tvc= tập hợp tất cả các tam giác vuông cân
Xác định tất cả các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trên.

DẠNG 3
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

Kết Nối Trí Thức VCS

1. Giao của hai tập hợp
{

và

} hay

và

2. Hợp của hai tập hợp
{

hoặc

} hay

hoặc

3. Phần bù
Cho tập hợp
của

là tập con của tập hợp

được gọi là phần bù của

trong

. Tập hợp những phần tử của
, kí hiệu

mà không phải là phần tử

.

4. Hiệu của hai tập hợp
Tập hợp các phần tử thuộc
Vậy

Chú ý: Nếu

{

và

nhưng không thuộc

được gọi là hiệu của

và

, kí hiệu

.

}

thì

Bài 1. Cho hai tập hợp

. Xác định các tập hợp

Lời giải

,

,

,

Kết Nối Trí Thức VCS

Ta có :

Bài 2.

Cho tập

và tập

. Xác định phần bù của A trong X .
Lời giải

Vì

nên

Bài 3.

.

Cho

.

a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp
b) Hãy xác định các tập hợp

và
và

.
.
Lời giải

a) Ta có :

.



.



.

Khi đó :

.

b) Ta có :
nên

;

.
Bài 4.

Cho

là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình

giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 4
a) Xác định tập hợp

.

b) Xác định tập hợp

.

c) Xác định tập hợp

.
Lời giải

Ta có

.

;

là tập hợp các số có

Kết Nối Trí Thức VCS

a)

.

b)

.

c)

.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 5. Hãy xác định
Bài 6. Cho A = {1,2,3,4}; B = {2,4,6}; C = {1,3,5}. Xác định các tập hợp:
a) A  B, A  B, A  C, A  C, C  B, C  B.
b) A \ B, C \ A, (B \ A)  (C \ B), (C \ A)  (A \ B).
Bài 7. Cho A = {1,2,3,4,5} và B = {2,4,6,8}. Xác định các tập hợp: A  B, A  B, A \ B, B \ A,
Bài 8. Cho A = {a, e, i, o} và B = {a, b, c, d, i, e, o, f}. Xác định các tập hợp: A  B, A \ B,

.
.

Bài 9. Cho tập E = {a, b, c, d} ; F = {b, c, e, g} ; G = {c, d, e, f}.
Chứng minh rằng
Bài 10.Cho A = {1,3,5,7}; B = {1,2,3,6}; E = {x  |x  8}.
a) Tìm
b) Chứng minh
Bài 11.Cho E = {x  ||x|  5}, F = {x  ||x|  5} và B = {x  |(x – 2)(x + 1)(2x2 – x – 3) = 0}
a) Chứng minh A  E và B  E
b) Tìm

rồi tìm quan hệ giữa hai tập này

c) Chứng minh rằng
Bài 12.Cho Cho ba tập hợp sau: A = {x  |x  6}, B = {x  |x  15}, C = {x  |x  30}. Chứng minh rằng
Bài 13.Cho hai tập hợp sau:
A = {x   | x2 + x – 12 = 0 và 2x2 – 7x + 3 = 0}
B = {x   | 3x2 – 13x + 12 =0 hoặc x2 – 3x = 0}.
Xác định các tập hợp sau đây A  B ; A\B ; B\A ; A  B.
Bài 14.Cho A = {x   | x < 7} và B = {1;2;3;6;7;8}
a) Xác định AB ; AB ; A\B ; B\A
b) Chứng minh rằng (AB)\(AB) = (A\B)(B\A)
Bài 15.Tìm tập hợp X sao cho A  X = B với A = {a,b}, B = {a,b,c,d}
Bài 16.Cho A = {1;2} ; B = {1;2;3;4;5}. Xác định các tập hợp X sao cho A X = B.
Bài 17.Tìm A, B biết A  B = {0;1;2;3;4}; A\B = {–3 ; –2} và B\A = {6 ; 9;10}.
Bài 18.Cho A = {x   | x2 < 4}; B = {x   | (5x – 3x2)(x2 – 2x – 3) = 0}.
a) Liệt kê A ; B
b) Chứng minh rằng: (AB) \ (AB) = (A\B)  (B\A)

Kết Nối Trí Thức VCS

Tên gọi và kí hiệu

Tập hợp

Hình biểu diễn trên trục số


Tập số thực

+

0

Đoạn

a
////////////////////// [

b
] //////////////////////

Khoảng

a
////////////////////// (

b
) //////////////////////

DẠNG 4
Khoảng

Khoảng

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ

a
) //////////////////////

Một số tập con thường dùng của tập hợp sốa thực
////////////////////// (

Nửa khoảng

a
////////////////////// [

b
) //////////////////////

Nửa khoảng

a
////////////////////// (

b
] //////////////////////

a
]//////////////////////

Nửa khoảng

Nửa khoảng

a
////////////////////// [

Kết Nối Trí Thức VCS

+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/

Kết Nối Trí Thức VCS

Bài 1.

Cho

tập hợp

và

,

. Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết

.
Lời giải

Bài 2.

Cho

tập hợp

và

,

. Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết

.
Lời giải

Bài 3.

Cho 2 tập hợp

và

. Tìm
Lời giải

A  B  0, 4
A  B  0,1, 2,3, 4,8,12,16

Bài 4.
a)
c)

Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
.

b)
.

.

d)

.
Lời giải

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

và

?

Kết Nối Trí Thức VCS

Bài 5.

Cho các tập hợp sau:

a) Hãy viết lại các tập hợp

dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

b) Tìm

.

c) Tìm

.
Lời giải

a) Ta có:
.
b)

c) Ta có

và

Suy ra
Bài 6.

Cho

,

,

. Hãy xác định và biểu diễn

các tập hơp sau trên trục số.
a)

.

b)

.
Lời giải

a)

.

;
Biểu diễn trên trục số

b)

.
;

Biểu diễn trên trục số

Kết Nối Trí Thức VCS

Bài 7.

Cho

,

,

. Hãy xác định và biểu diễn

các tập hơp sau trên trục số.
a)

b)
Lời giải

a)
;
Biểu diễn trên trục số

b)
;
Biểu diễn trên trục số

Bài 8.

Cho hai tập hợp

và

a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp
b) Tìm

.

.

.
Lời giải

Cho hai tập hợp

và

a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp

.

.

Ta có:

.
b) Tìm

.

Ta có:
Bài 9.

Cho

,

. Tìm

.
Lời giải

Cho

,

. Tìm

.

Kết Nối Trí Thức VCS

Bài 10. Cho

,

. Tìm điều kiện cần và đủ của

để

là tập con của

?

Lời giải
-∞

Ta có:

2

khi và chỉ khi

Bài 11. Cho hai tập hợp

+∞

B=(m;+∞)

.
và

. Tìm tất cả giá trị của tham số

để

.

Lời giải
Ta có:

. Vậy

Bài 12. Cho các tập hợp
Tìm tất cả các số thực

.
và

để

.

.
Lời giải

Đặt

.
.

Bài 13. Cho các tập hợp

và

với

. Tìm tất cả các số thực

để

là một khoảng có độ dài bằng 16 .
Lời giải
Điều kiện để
Khi đó

là

.

.

Độ dài khoảng

bằng

(do

Bài 14. Cho hai tập hợp

và

hợp

.

là một đoạn có độ dài bằng

).

. Tìm tất cả các giá trị của tham số
Lời giải

Nhận xét: Kí hiệu

là độ dài của khoảng/nửa khoảng/đoạn

* TH1:
* TH2:

, khi đó

;

.
. không có giá trị nào của

thỏa mãn TH2.

.

để

Kết Nối Trí Thức VCS

Vậy
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 15. Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
a)
b)
c)
Bài 16. Cho

. Sử dụng các kí hiệu

khoảng, đoạn để viết tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
Bài 17.Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng lên trục số.
a) [–3;1)  (0;4]

b) [–3;1)  (0;4]

c) (–;1)  (2;+)

d) (–;1)  (2;+)

Bài 18.Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng lên trục số
a) \ ((0;1)  (2;3))

b) \ ((3;5)  (4;6))

c) (–2;7)\ [1;3]

d) ((–1;2)  (3;5))\ (1;4)

Bài 19.Cho tập hợp A = (–2;3) và B = [1;5). Xác định các tập hợp: A  B, A  B, A\B, B\A.
Bài 20.Cho hai tập hợp A = {2,7} và B = (–3;5]. Xác định các tập hợp: A  B, A  B, A\B, B\A.
Bài 21.Cho A = {x  |– 3  x  5} và B = {x  | –1 < x  5}. Xác định các tập hợp A  B, A  B, A\B, B\A.
Bài 22.Cho hai tập hợp A = {x  | x > 2} và B = {x  | –1 < x  5}. Xác định các tập hợp A  B, A  B, A\
B, B\A.
Bài 23.Cho A = {x   | |x |  4} ; B = {x   | –5 < x – 1  8}. Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng –
đoạn – nửa khoảng: A  B ; A\B ; B\A ; \(A B).
Bài 24.Cho A = {x   | x2  4} ; B = {x   | –2  x + 1 < 3}. Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng –
đoạn – nửa khoảng: AB ; A\B ; B\A ; \(AB).
Bài 25.Cho A = {x  |1  x  5}, B = {x  |4  x  7} và C = {x  |2  x < 6}
a) Hãy xác định A B, A C, B C, A C, A\(B C).
b) Gọi D = {x  |a  x  b}. Hãy xác định a,b để D  A B C.
Bài 26.Viết phần bù trong  của các tập hợp: A = {x   | – 2  x < 10}; B = {x   | |x | > 2}

;

C = {x   |–4 < x + 2  5}
Bài 27. Cho nửa khoảng

và đoạn

Bài 28.

và

Cho hai tập hợp

. Tìm tất cả các số thực

. Tìm tất cả các giá trị của số thực

tập rỗng và A \ B  .









2
Bài 29. Cho A  x   mx  3 mx  3 , B  x   x  4 0 . Tìm m để B \ A B .

để

để

khác

Kết Nối Trí Thức VCS

Bài 30. Cho hai tập hợp
để

,

khác rỗng. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của

.

DẠNG 5
SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN

Phương pháp giải toán bằng sơ đồ Ven:
Gồm 3 bước:
 Bước 1: Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp.
 Bước 2: Sử dụng sơ đồ Ven để minh họa các tập hợp.
 Bước 3: Dựa vào sơ đồ Ven ta thiết lập được đẳng thức hoặc phương trình, hệ phương trình, từ
đó tìm được kết quả bài toán.
Chú ý:
 Nếu

và

là hai tập hợp hữu hạn thì

 Nếu

và

không có phần chung, tức là

Bài 1.

thì

Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động

người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có

người phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hãy

trả lời các câu hỏi sau:
a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?
b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?
c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa

người phiên dịch tiếng Anh,

Kết Nối Trí Thức VCS

a) Số người phiên dịch mà ban tổ chức huy động là :
b) Số người chỉ phiên dịch được tiếng anh là :

người.
người.

c) Số người chỉ phiên dịch được ttiếng Pháp là :
Bài 2.

người.

Đội tuyển thi đá cầu và đấu cờ vua của Trường Nguyễn Văn Trỗi có 22 em, trong đó có 15 em

thi đá cầu và 12 em thi đấu cờ vua. Hỏi có bao nhiêu em trong đội tuyển thi đấu cả hai môn ?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa

Dựa vào hình vẽ, ta thấy số em chỉ thi đá cầu là: 
22 – 12 = 10 (em)
Số em trong đội tuyển thi đấu cả hai môn là:
15 – 10 = 5 (em)
Vậy có 5 em trong đội tuyển thi đấu cả hai môn
Cách 2: số phần tử
Bài 3.

Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá

cầu, 30 em biết chơi cầu lông, 15 em biết chơi cả hai. Hỏi lớp 10A 1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? Bao
nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa

Dựa vào biểu đồ Ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là
Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là
Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là

.
.

.

Kết Nối Trí Thức VCS

Bài 4.

Lớp 10A có 15 bạn thích môn tiếng Việt, 20 bạn thích môn Toán. Trong số các bạn thích Tiếng

Việt hoặc thích Toán có 8 bạn thích cả hai môn Tiếng Việt và Toán. Trong lớp vẫn còn có 10 bạn không
thích môn nào (trong hai môn Tiếng Việt và Toán). Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn tất cả?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa

Số bạn thích Toán nhưng không thích Tiếng việt: 20 – 8 = 12 (bạn)
Số bạn thích Tiếng việt nhưng không thích Toán: 15 – 8 = 7 (bạn)
Số học sinh của cả lớp là: 12 + 7+ 8 + 10 = 37 (bạn)
Vậy lớp 10A có 37 bạn
Bài 5.

Trong một hội nghị có 100 đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu nói được một hoặc hai hoặc ba thứ

tiếng: Nga, Anh hoặc Pháp. Biết rằng có 39 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh, 35 đại biểu nói được tiếng
Pháp, 8 đại biểu nói được cả tiếng Anh và tiếng Nga. Hỏi có bao nhiêu đại biểu chỉ nói được tiếng Nga?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa

Số đại biểu nói được tiếng Pháp hoặc tiếng Nga là: 100 – 39 = 61 (đại biểu)
Số đại biểu nói được tiếng Nga nhưng không nói được tiếng Pháp là: 61 – 35 = 26 (đại biểu)
Số đại biểu chỉ nói được tiếng Nga là: 26 – 8 = 18 (đại biểu)
Vậy có 18 đại biểu chỉ nói được tiếng Nga
Bài 6.

Trong một hội nghị có 100 đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu có thể sử dụng ít nhất một trong ba

thứ tiếng: Nga, Trung Quốc và Anh. Biết rằng có 30 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh, 40 đại biểu nói
được tiếng Nga, 45 đại biểu nói được tiếng Trung Quốc và 10 đại biểu chỉ nói được hai thứ tiếng Nga và
Trung Quốc. Hỏi có bao nhiêu đại biểu nói được cả ba thứ tiếng?

Kết Nối Trí Thức VCS

Lời giải

Sơ đồ ven minh họa

Số đại biểu nói được tiếng Nga hoặc tiếng Trung Quốc là: 100 – 30 = 70 (đại biểu)
Số đại biểu nói được tiếng Nga nhưng không nói được tiếng Trung Quốc là: 70 – 45 = 25 (đại biểu)
Số đại biểu nói được tiếng Trung Quốc nhưng không nói được tiếng Nga là: 70 – 40 = 30 (đại biểu)
Số đại biểu nói được tiếng Nga và tiếng Trung Quốc là: 70 – (25 + 30) = 15 (đại biểu)
Số đại biểu nói được cả ba thứ tiếng là: 15 – 10 = 5 (đại biểu)
Vậy có 5 đại biểu nói được cả ba thứ tiếng
Bài 7.

Lớp 10A có

cả Toán và Lý,

học sinh giỏi Toán,

học sinh giỏi cả Hóa và Lý,

học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi hóa, học sinh giỏi

học sinh giỏi cả Toán và Hóa,

học sinh giỏi cả ba môn

Toán, Lý, Hóa. Tính học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa
Lý

6

Toán
3

5

4

Hóa

Dựa vào biểu đồ Ven, ta có học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là
Số học sinh giỏi Toán:
Số học sinh giỏi Lý:

.
.

Số học sinh giỏi Hóa:

.

Ta lại có:
Số học sinh giỏi cả Toán và Lý: .
Số học sinh giỏi cả Toán và Hóa: .

Kết Nối Trí Thức VCS

Số học sinh giỏi cả Hóa và Lý: .
Và số học sinh giỏi cả Toán, Lý và Hóa là .
Số học sinh giỏi hơn một môn là

.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 8.

Lớp 10A có 15 bạn đăng kí học ngoại khoá môn Văn, 12 bạn đăng kí học ngoại khoá môn

Toán, trong đó có 7 bạn đăng kí học cả Văn và Toán. Hỏi:
a) Có bao nhiêu bạn đăng kí học Văn hoặc Toán?
b) Có bao nhiêu bạn chỉ đăng kí học Văn? Bao nhiêu bạn chỉ đăng kí học Toán?
Bài 9.

Một lớp có 25 học sinh khá các môn tự nhiên, 24 học sinh khá các môn xã hội, 10 học sinh khá

cả 2 và 3 học sinh không khá môn nào.
a) Lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá tự nhiên.
b) Lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá xã hội.
c) Lớp có bao nhiêu hoặc khá tự nhiên hoặc khá xã hội.
d) Lớp có bao nhiêu em học sinh.
Bài 10. Trong 45 học sinh lớp 10A có 20 bạn xếp học lực giỏi, 15 bạn đạt hạnh kiểm tốt, trong đó có 7
bạn vừa đạt hạnh kiểm tốt vừa có học lực giỏi.
a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết muốn được khen thưởng thì hoặc học sinh giỏi hoặc
có hạnh kiểm tốt.
b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xét học lực giỏi và hạnh kiểm tốt. 
Bài 11. Trường Nguyễn Văn Trỗi có 40 em học sinh dự thi ba môn: nhảy dây, chạy và đá cầu. Trong đó
có 8 em chỉ thi nhảy dây, 20 em thi chạy và 18 em thi đá cầu. Hỏi có bao nhiêu em vừa thi chạy vừa thi
đá cầu?
Bài 12. Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên dịch tiếng Anh, 25
cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó 12 cán bộ phiên dịch được cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp.
a) Hỏi ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó.
b) Hỏi có bao nhiêu cán bộ chỉ dịch được tiếng Anh, chỉ dịch được tiếng Pháp?
Bài 13. Lớp 10A có 35 học sinh làm bài kiểm tra Toán. Đề bài gồm có 3 bài toán. Sau khi kiểm tra, cô
giáo tổng hợp được kết quả như sau:  Có 20 em giải được bài toán thứ nhất, 14 em giải được bài toán thứ
hai, 10 em giải được bài toán thứ ba, 5 em giải được bài toán thứ hai và thứ ba, 2 em giải được bài toán
thứ nhất và thứ hai, 6 em làm được bài toán thứ nhất và thứ ba, chỉ có 1 học sinh đạt điểm 10 vì đã giải
được cả 3 bài. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh không giải được bài toán nào?
Lớp
Lý,

có

học sinh giỏi Toán,

học sinh giỏi cả Toán và Hoá,

học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi Hoá,

học sinh giỏi cả Lý và Hoá,

Hoá. Số học sinh giỏi hai môn (Toán, Lý, Hoá ) của lớp

học sinh giỏi cả Toán và

học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý,

là bao nhiêu?

Kết Nối Trí Thức VCS

Lớp 10B có
Lý,

học sinh giỏi Toán,

học sinh giỏi cả Hóa và Lý,

học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi hóa,

học sinh giỏi cả Toán và Hóa,

học sinh giỏi cả Toán và

học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý,

Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10B là bao nhiêu?

PHẦN B
TRẮC NGHIỆM GỒM BA PHẦN

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.

Ký hiệu nào sau đây để chỉ

A.

không phải là một số hữu tỉ?

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Vì

chỉ là một phần tử còn

Câu 2.

là một tập hợp nên các đáp án A, B, D đều sai.

Ký hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề: “3 là một số tự nhiên”?

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.
- Đáp án A sai vì kí hiệu “

” chỉ dùng cho hai tập hợp mà ở đây “3” là một số

- Hai đáp án C và D đều sai vì ta không muốn so sánh một số với tập hợp.
Câu 3.
A.

Liệt kê các phần tử của phần tử tập hợp
B.

.
C.

Lời giải
Chọn D.

D.

Kết Nối Trí Thức VCS

Vì phương trình
Câu 4.

có nghiệm

Cho tập hợp

nên

.

. Tập hợp A là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Vì

nên

Câu 5.

.

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp

A.

B.

.
C.

D.

Lời giải
Chọn B.
Vì phương trình
Vậy
Câu 6.

có nghiệm

nhưng vì

nên

.

.
Cho tập hợp

. Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải
Chọn C.
Vì

nên x, y thuộc vào tập

Vậy cặp

là

Câu 7.

Cho tập hợp

thỏa mãn

Có 2 cặp hay M có 2 phần tử.
. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn B.
Ta có
Vì

.
nên
.

Câu 8.

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp:

.

Kết Nối Trí Thức VCS

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn D.
Giải phương trình
.
Câu 9.

Trong các tập sau, tập nào là tập rỗng?

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn C.
Xét các đáp án:
- Đáp án A:

.

- Đáp án B: Giải phương trình:
- Đáp án C:

. Vì
. Vì

.

Đây là tập rỗng.

Câu 10. Cho tập hợp

. Khi đó tập hợp M có bao nhiêu phần tử?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Lời giải
Chọn B.
Vì
nên

.

Khi đó tập hợp M có 1 phần tử duy nhất là

.

Câu 11. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp
A.

.

B.

:

.

C.

.

Lời giải
Chọn C
Phương trình

vô nghiệm nên

Câu 12. Số phần tử của tập hợp

.
là:

D.

.

Kết Nối Trí Thức VCS

A. .

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
. Ta có
Câu 13. Cho tập hợp
A.

. Các phần tử của tập
B.

là:

C.

D.

Lời giải
Chọn A
.
Ta có
Câu 14. Số phần tử của tập hợp:
A. 0

là:

B. 2

C. 4

D. 3

Lời giải
Chọn C.
Giải phương trình

.

Vậy A có 4 phần tử.
Câu 15. Cho
A.

có

. Chọn khẳng định đúng.
phần tử.

B.

có

phần tử.

C.

có

phần tử.

D.

Lời giải
Chọn B.
Ta có

có

phần tử.

Câu 16. Tính chất đặc trưng của tập hợp
A.

B.

C.
Lời giải

D.

có

phần tử.

Kết Nối Trí Thức VCS

Chọn A.

Ta liệt kê các phần tử từng đáp án, đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán ta sẽ chọn.
Câu 17. Tính chất đặc trưng của tập hợp
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.
Ta liệt kê các phần tử từng đáp án, đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán ta sẽ chọn.
Câu 18. Cho tập hợp
A. 12

. Số tập hợp con gồm hai phần tử của A là:
B. 8

C. 10

D. 6

Lời giải
Chọn D.
Mỗi tập con gồm hai phần tử của A là:
.
Câu 19. Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào có đúng một tập hợp con?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.
Vì tập

có tập hợp con là chính nó.

- Đáp án B có 2 tập con là

và

- Đáp án C có 2 tập con là

và

.
.

- Đáp án D có 4 tập con.
Câu 20. Số các tập hợp con gồm hai phần tử của tập hợp
A. 15

B. 16

là:

C. 22

D. 25

Lời giải
Chọn A.
Số tập con có 2 phần tử trong đó có phần tử a là 5 tập

.

Số tập con có 2 phần tử mà luôn có phần tử b nhưng không có phần tử a là 4 tập:

,

,

.
Tương tự ta có tất cả

tập.

Câu 21. Số các tập hợp con có 3 phần tử có chứa a, b của tập hợp
A. 5

B. 6

C. 7
Lời giải

Chọn A.

là:
D. 8

,

Kết Nối Trí Thức VCS

Tập con có 3 phần tử trong đó a, b luôn có mặt.
Vậy phần tử thứ 3 sẽ thuộc một trong các phần tử c, d, e, f, g (5 phần tử) nên có 5 tập con.
Câu 22. Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.
Vì tập hợp

có hai tập con là

Câu 23. Cho
A.

và chính nó.

. Tập

.

B.

có bao nhiêu tập con có

.

C.

phần tử?

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tính số tập con có
Các tập con có

phần tử của tập hợp

Câu 24. Cho hai tập hợp
A.

và

là:

phần tử của tập hợp

,

,

,

gồm 4 phần tử là:

,

,

Hình nào sau đây minh họa A là tập con của B?

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Hình C là biểu đồ ven, minh họa cho

vì mọi phần tử của A đều là của B.

Câu 25. Cho ba tập hợp E, F, G thỏa mãn:
A.

B.

và
C.

. Khẳng định nào sau đây đúng?
D.

Lời giải
Chọn D.
Dùng biểu đồ minh họa ta thấy

.

Câu 26. Cho tập hợp

và

. Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn:

?
A. 2

B. 4

C. 6
Lời giải

Chọn B.

D. 8

và

Kết Nối Trí Thức VCS

Cách 1: Vì

nên

Mà

Có

.
tập X.

Cách 2: X là một trong các tập sau:

.

Câu 27. Cho tập hợp
A.

. Để
B.

và

thì tất cả các cặp

C.

D.

và

Lời giải
Chọn B.
Ta có:

Cặp

là

.

Câu 28. Cho tập hợp A có 4 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập con khác rỗng?
A. 16

B. 15

C. 12

D. 7

Lời giải
Chọn B.
Vì số tập con của tập 4 phần tử là

Số tập con khác rỗng là

Câu 29. Số các tập con 3 phần tử có chứa
A.

.

B.

.

của

.

là:
C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Các tập con 3 phần tử có chứa
,

,

Câu 30. Cho tập hợp

của
,

là:
,

,

,

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn D.

,

thì X được biểu diễn là hình nào sau đây?

A.

là:

Kết Nối Trí Thức VCS

Giải bất phương trình:
Câu 31. Cho tập hợp

. Tập A là tập nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Theo định nghĩa tập hợp con của tập số thực
Câu 32. Ký hiệu

ở phần trên ta chọn

.

là số phần tử của tập hợp X. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn C.
Kiểm tra các đáp án bằng cách vẽ biểu đồ Ven cho hai trường hợp

và

Câu 33. Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn B.
Ta có thể dùng biểu đồ Ven ta thấy

Câu 34. Cho tập hợp
A.

.

là tập hợp nào sau đây?

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Vì

là tập hợp gồm các phần tử thuộc X hoặc thuộc Y

Câu 35. Cho hai tập hợp
A.

.
B.

là tập hợp sau đây?
C.

D.

Kết Nối Trí Thức VCS

Lời giải

Chọn C.
Vì

nên

Câu 36. Cho hai tập hợp
A. 2

và

. Số tập hợp X thỏa mãn

B. 3

C. 4

là:
D. 5

Lời giải
Chọn B.
Vì

nên bắt buộc X phải chứa các phần tử

Vậy X có 3 tập hợp đó là:

.

.

Câu 37. Cho hai tập hợp
A. 3

và

và

. Số tập hợp X thỏa mãn

B. 5

C. 6

là:
D. 8

Lời giải
Chọn D.
Ta có

có 3 phần tử nên số tập con

có

(tập).

Câu 38. Cho A, B, C là ba tập hợp được minh họa bằng biểu đồ ven như hình vẽ.

Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây?
A.

B.

C.
Lời giải

Chọn B.
Vì với mỗi phần tử x thuộc phần gạch sọc

thì ta thấ...