KNTTVCS

BÀI 4
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Khái niệm phương trình tương đương
 Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
 Nếu phương trình

tương đương với phương trình

thì ta viết

Chú ý:
a) Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.
b) Để giải phương trình, ta thường biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn
giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là phép biến đổi tương đương.
Ta có các phép biến đổi tương đương thường sử dụng như sau:
 Cộng hay trừ hai vế phương trình với cùng một số hoặc cùng một biểu thức mà không làm thay đổi
điều kiện của phương trình.

 Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác

hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác

mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.

2. Phương trình
 Nếu


Nếu

vô nghiệm (do sin x 1 x   ).

thì phương trình
sẽ

tồn

tại

duy

nhất

thỏa
.

Trang 1

mãn

.

Khi

đó

KNTTVCS

Chú ý:
a) Một số trường hợp đặc biệt
 x k , k   .


 x   k 2 , k  .
2
 x 


 k 2 , k  
2

b)
c)

.

3. Phương trình
 Nếu


Nếu

vô nghiệm (do cos x 1, x   ).

thì phương trình
sẽ

tồn

tại

duy

nhất

thỏa
.

Chú ý:
a) Một số trường hợp đặc biệt

.

b)

.

Trang 2

mãn

.

Khi

đó

KNTTVCS

c)

.

4. Phương trình
 Phương trình
 Với mọi

có nghiệm với mọi
, tồn tại

.

duy nhất

thỏa mãn

. Khi đó

.

Chú ý:
5. Phương trình
 Phương trình


Với

mọi

có nghiệm với mọi
,

tồn

tại

duy

.
nhất

.

Chú ý:

Trang 3

thỏa

mãn

.

Khi

đó

KNTTVCS

6. Kĩ năng biểu diễn và tổng hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác

2 điểm đối xứng qua gốc O

1 điểm trên đường tròn lượng giác

x   k 2 ; k  

3 điểm cách đều: x   k

x   k ; k  

2
;k 
3

4 điểm cách đều: x   k

n điểm cách đều: x   k

Trang 4

2
;k 
n


;k 
2

KNTTVCS

7. Giải trắc nghiệm phương trình lượng giác bằng Casio
1. Bài toán 1: Cho phương trình lượng giác
Cách giải: Dùng lệnh

có nghiệm

(n là hằng số)

để thử từng đáp án

Bước 1: Nhập biểu thức
Bước 2: Nhấn

(phải chuyển phương trình sao cho có dạng

)

. Máy hỏi X ? Nhập

Bước 3: Nhấn dấu
 Nếu biểu thức

nhận giá trị bằng 0 thì

thuộc nghiệm

. Do đó đáp án

được thế có thể là đáp án đúng.
 Nếu biểu thức

nhận giá trị bất kỳ khác 0 thì

thuộc nghiệm

. Do đó đáp

án được thế chắc chắn là đáp án sai.
Lưu ý:
 Kiểm tra các nghiệm sao cho đủ chu kỳ
 Kiểm tra các đáp án có chu kỳ nhỏ trước
2. Bài toán 2: Cho phương trình lượng giác
trên 1 khoảng

. Tìm nghiệm và số nghiệm của phương trình

cho trước.

Cách giải: Dùng lệnh
Bước 1: Nhấn

màn hình xuất hiện như sau:

Bước 2: Nhập biểu thức
Bước 3: Nhấn dấu

vào màn hình.

để nhập: Start = a ; End = b và Step

Thông thường Step ta chọn như sau:
Bước 4: Nhấn dấu

ta có bảng giá trị.

Dựa vào tính chất: “Giá trị hàm số
nghiệm trong khoảng

đổi dấu khi đi qua

” để kết luận số nghiệm của phương trình.

Các em chú ý:

Trang 5

và

thì phương trình có

KNTTVCS

+ Không nên dùng máy tính nhiều, nên làm theo hướng tự luận vì như thế mới giúp các em nắm
vững công thức lượng giác, rèn luyện tính tư duy.
+ Không phải bài nào cũng dùng máy tính là nhanh hơn tính tay. Tuỳ từng bài mà ta vận dụng
máy tính tay cho hợp lý.
+ Có những bài toán, giáo viên biên soạn theo hướng chống máy thì các em tính làm sao ???
DẠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



hoặc

.

hoặc


.

hoặc

.

hoặc

.





PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.
A.

Nghiệm của phương trình
.

là:

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
.
Câu 2.
A.

Phương trình
.

có nghiệm là:
B.

.

C.

.

Lời giải
Chọn B.
Câu 3. Chọn đáp án sai: Nghiệm của phương trình cos x 

Trang 6

3
là:
2

D.

.

KNTTVCS

A. x 


 k 2 , k   .
6

B.

5
C. x   k 2 , k   .
6

.

D. x 150  k 360 , k   .
Lời giải

Chọn A.
Cách 1: Làm tự luận

cos x 

3
2

đáp án B, C, D đúng
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay Casio
Bước 1: Nhập biểu thức
Bước 2: Nhấn

. Máy hỏi X ?

+ Với đáp án A ta Nhập
Bước 3: Nhấn dấu

kết quả bằng

suy ra đáp án A sai

Câu 4. Số nghiệm của phương trình
A.

B.

với
C.
Lời giải

Chọn D.
Cách 1: Làm tự luận

Trang 7

là:
D.

KNTTVCS

Để tìm số nghiệm

thuộc

ta làm 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Biểu diễn nghiệm

trên đường trong lượng giác:

Vậy có

thuộc

họ nghiệm

Cách 2: Để xác định nghiệm thuộc
+ Với

ta có thể tính k theo cách sau

và

+ Với

Vậy có

.

và

họ nghiệm

thuộc

.

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay Casio
Bước 1: Nhấn

màn hình xuất hiện như sau:

Bước 2: Nhập biểu thức

vào màn hình ta được

Bước 3: Nhấn dấu

để nhập: Start = 0 ; End =

Bước 4: Nhấn dấu

ta có bảng giá trị
Trang 8

.
và

KNTTVCS

Dựa vào bảng

ta thấy:

 Ở hàng thứ 1 có

thì

 Ở hàng thứ 16 có

thì

 Ở hàng thứ 21 có
Do

thì

trùng với

nên phương trình có 2 nghiệm thuộc thuộc

Câu 5. Phương trình

có nghiệm là:

A.

và

B.

và

C.

và

D.

và

Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Làm tự luận

Mà

.

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay Casio
Có 2 cách
Cách 1: Dùng lệnh
Bước 1: Nhấn

màn hình xuất hiện như sau:

Bước 2: Nhập biểu thức
Bước 3: Nhấn dấu
Tại sao chọn
Bước 4: Nhấn dấu

vào màn hình ta được

để nhập: Start = 0 ; End = 180 và
như vậy? đến bước 4 sẽ thấy nhé
ta có bảng giá trị
Trang 9

.

.

KNTTVCS

Dựa vào bảng

ta thấy:

 Ở hàng thứ 3 có

thì

 Ở hàng thứ 15 có
Vậy có

thì

và

Chọn Đáp án B.

Cách 2: Dùng lệnh
Bước 1: Nhập biểu thức
Bước 2: Nhấn

. Máy hỏi X ?

 Với đáp án A ta Nhập

. Nhấn dấu

kết quả bằng

 Với đáp án B ta Nhập

. Nhấn dấu

kết quả bằng

Ta nhập lại

. Nhấn dấu

kết quả bằng

suy ra đáp án A sai
.

.

suy ra đáp án B Đúng
Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình:
A.

trên khoảng

B.

là:

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Điiều kiện:

Mà
Do

nghiệm

là

,

,

,

.
Câu 7. Phương trình sin 2 x  sin


có nghiệm dạng x   k và
3

3 
 
x   k k  ,    ;    .
4 
 4

Khi đó tích  . bằng :
A. 

2
.
9

B. 


.
9

C. 
Lời giải

Chọn A.

Trang 10

4 2
.
9

D.

2
.
9

KNTTVCS



2
x

 k 2



3
Ta có sin 2 x  sin  sin 2 x sin(  )  
3
3
 2 x   (  )  k 2

3


 x  6  k
2

  . 
.
9
 x  2  k

3
Câu 8.

Phương trình

A.

(với

.

B.

) có nghiệm là
.

C.

.

D.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

Câu 9.

Phương trình

có nghiệm thỏa mãn

A.

B.

.

là :
C.

.

Lời giải
Chọn B.
Ta có

.

Trường hợp 1:
Vì

. Do

nên ta chọn được

Trường hợp 2:
Vì

nên

.

thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm
. Do

nên

nên ta không chọn được giá trị

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

.

B.

.

thỏa mãn.
.

Câu 10. Nghiệm của phương trình
A.

.

là
.

C.

Trang 11

.

D.

.

KNTTVCS

Lời giải

Chọn A.
Ta có:
.

Câu 11. Số nghiệm của phương trình
A. .

B.

trong khoảng

.

C.

là

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.

Ta có:

.

 Cách 1: Dựa vào đường tròn lượng giác ta có số nghiệm của phương trình là 6.
Cách 2: Giải lần lượt:
.
.
Mỗi họ nghiệm có

nghiệm thuộc

nên PT có

Câu 12. Số nghiệm của phương trình:
A. 1.

nghiệm thuộc
với

B. 0.

.

là

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Chọn C.
.
Mà

.

Vậy phương trình có 2 nghiệm trong
Câu 13. Phương trình
A. .

.

có bao nhiêu nghiệm thõa
B.

.

C.
Lời giải

Chọn C.
Trang 12

.

.
D.

.

KNTTVCS

Ta có

.

Trường hợp 1:
Vì

. Do

nên ta chọn được

Trường hợp 2:
Vì

nên

.

thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm
. Do

nên ta chọn được

.

nên

.

thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm

.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Câu 14. Số nghiệm của phương trình:
A.

.

B.

với

.

là

C. .

D.

.

Lời giải
Chọn B.

nên từ
Tương tự từ

ta được

, chọn

ta được

Do các nghiệm của họ

, chọn
và họ

không trùng nhau nên phương trình đã cho có hai nghiệm.

Câu 15. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình
A.

B.

C.
Lời giải

Chọn D.
Ta có
Trang 13

?
D.

KNTTVCS

Câu 16. Phương trình
Khi đó

Có các nghiệm dạng

và

bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.

Vậy

.

Câu 17. Phương trình

có bao nhiêu nghiệm thuộc

A.

B.

C.
Lời giải

Chọn B.

(Chú ý gộp nghiệm trên đường tròn lượng giác)

Ta có:
Mà
Vậy có

giá trị

có

nghiệm

.
Trang 14

D.

KNTTVCS

Câu 18. Phương trình
A.

.

có số nghiệm thuộc
B.

.

C.

là:

.

D.

.

Lời giải
Chọn B.
Ta có

Với

thì

Với

thì

.

Vậy có 4 nghiệm thuộc

là 4

Câu 19. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.
với
Vậy nghiệm âm lớn nhất là

.

.

Câu 20. Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Vì

.

Câu 21. Số nghiệm của phương trình
A.

B.

Trên đoạn
C.
Lời giải

Chọn B.

Trang 15

D. 4

KNTTVCS

Vậy phương trình có

nghiệm thuộc

là

và

.

Câu 22. Trong các phương trình sau, phương trình nào có 2 nghiệm thuộc 0;   ?
A.

3 sin x  2 0 .

B. 2 cos x  1 0 .

C.

3 tan x  1 0 .

D.

2 sin x  1 0 .

Lời giải
Chọn D.
A.

2
vô nghiệm (loại phương án A).
3

3 sin x  2 0  sin x 

B. 2 cos x  1 0  cos x 

1
2
 x   k 2 k    Có 1 nghiệm thuộc 0;   .
2
3

1

 x   k k    Có 1 nghiệm thuộc 0;   .
6
3

C.

3 tan x  1 0  tan x 

D.



x   k 2

1
4
2 sin x  1 0  sin x 

k    Có hai nghiệm thuộc 0;   .
2
 x  3  k 2

4

LƯU Ý: Để giải nhanh các bạn có thể biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác rồi so sánh để đưa ra
đáp án một cách dễ dàng.

B. cos x 

1
2

C. tan x 

Câu 23. Phương trình
A.

.

1
3

D. sin x 

1
2

có nghiệm là
B.

.

C.
Lời giải

Chọn B.

Trang 16

.

D. vô nghiệm.

KNTTVCS

Ta có:

Câu 24. Cho
A.

là nghiệm của phương trình nào sau đây:
.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Thay giá trị

vào từng phương trình ở các phương án để thử lại.

Ta có:

nên các phương án A và B sai.
nên C sai, D đúng.

Câu 25. Cho biết
A.

là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.
. Loại A.
. Chọn B.
Câu 26. Cho biết
A.

là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.
Loại A.
Chọn B.
Câu 27. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình
Trang 17

theo thứ tự là:

KNTTVCS

A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Lời giải
Chọn C.

Với nghiệm

ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là

Với nghiệm

ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là

Vậy hai nghiệm theo yêu cầu đề bài là

và
và

và

Câu 28. Tìm tổng các nghiệm của phương trình
A.

trên

B.

C.

Lời giải
Chọn C.
Phương trình

.

Với
. Do
Suy ra các nghiệm:
Với
. Do
Trang 18

D.

KNTTVCS

Suy ra các nghiêm:

.

Vậy tổng các nghiệm là:
Câu 29. Gọi

.

là tập nghiệm của phương trình

A.

.

B.

. Khi đó

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A.
Ta có

Vậy

.

Câu 30. Trong nửa khoảng
A.

.

, phương trình
B.

có tập nghiệm là
.

C.

.

Lời giải
Chọn D.

.

Mà

.

Câu 31. Phương trình
A.
C.

có nghiệm là

.

B.
.

D. Cả
Lời giải

Chọn A.

Trang 19

.
đều đúng.

D.

.

KNTTVCS

ĐK:
(thỏa mãn).
Câu 32. Họ nghiệm của phương trình
A.

là:

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.

Điều kiện:

.

Phương trình
Câu 33. Giải phương trình
A.

.

.

C.

.

B.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Ta có

,

Câu 34. Nghiệm của phương trình

, với

A.

B.

C.

D.

.

là

,

Lời giải
Chọn C
.
Xét

: Vì

nên

Câu 35. Số nghiệm của phương trình
A. 1.

B. 2.

trên khoảng
C. 3.
Lời giải

Chọn B.
Trang 20

D. 4.

KNTTVCS

Ta có

Câu 36. Giải phương trình:
A.

có nghiệm là
B.

C. vô nghiệm.

D.

Lời giải
Chọn B.

Ta có:

Câu 37. Phương trình lượng giác:
A.

.

có nghiệm là

B.

.

C.

.

D. Vô nghiệm.

Lời giải
Chọn B.
.
Câu 38. Nghiệm của phương trình
A.

là

B.

C.

D. Vô nghiệm.

Lời giải
Chọn D.

Điều kiện:

Phương trình

loại do

điều kiện

.

Câu 39. Phương trình nào sau đây vô nghiệm
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn D.
Trang 21

.

D.

.

KNTTVCS

Áp dụng điều kiện nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản, dễ thấy phương trình

vô

nghiệm vì

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
Câu 40. Nhận định nào sau đây đúng hay sai.
a)
b)
c)
Trang 22

KNTTVCS

d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

a)
b)
c)
d)
Câu 41. Nhận định nào sau đây đúng hay sai.
a)
b)

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

a)

nên a) sai.

b)

nên b) đúng.

c)
d)

nên c) sai.
nên d) sai.

Câu 42. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
Trang 23

KNTTVCS

a) Phương trình

có nghiệm là

b) Phương trình

có các nghiệm là

c) Phương trình tan 3x  15   3 có các nghiệm là x 25  k 60
d) Phương trình:

có nghiệm là

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

a)

b)

.

c) Ta có:
tan 3x  15   3  tan 3 x  15  tan 60  3 x  15 60  k180  x 25  k 60 k   .

d)
Câu 43. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
a) Phương trình

có nghiệm là

b) Phương trình

có các nghiệm là

c) Phương trình

có các nghiệm là

d) Phương trình:

có nghiệm là

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG
Trang 24

KNTTVCS

a)

b)

c)

d)
Câu 44. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
a) Phương trình

có nghiệm là

b) Phương trình

có các nghiệm là

c) Phương trình

có các nghiệm là

d) Phương trình:

có nghiệm là

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

a) Điều kiện

.

Ta có
b)

.

c)
d)

.

Câu 45. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
a) Phương trình

có nghiệm là
Trang 25

KNTTVCS

b) Phương trình

có các nghiệm là

c) Phương trình

có các nghiệm là

d) Phương trình:

có nghiệm là

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

a) Ta có
.
b)

.

c) Ta có

.

d) Điều kiện:
Ta có:

luôn đúng

tập nghiệm của phương trình cũng chính là tập các giá trị của

để

phương trình có nghĩa, hay

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Trang 26

KNTTVCS

 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
Câu 46. Tính tổng các nghiệm của phương trình

trên khoảng

Trả lời: ………………..
Lời giải

Vậy tổng các nghiệm trên

là:

.

Câu 47. Số nghiệm của phương trình

với

là bao nhiêu?

Trả lời: ………………..
Lời giải

Xét

: Vì

nên

Xét

: Vì

nên

Vậy tập nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện là
Câu 48. Số nghiệm của phương trình

Có
thuộc khoảng

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có

.

Trang 27

nghiệm.

là bao nhiêu?

KNTTVCS

Vì

nên

.

Câu 49. Nghiệm của phương trình

trong nửa khoảng

bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………..
Lời giải
.
Mà

.

Câu 50. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Câu 51. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Câu 52. Tìm nghiệm của phương trình:

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

.

Câu 53. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Trang 28

KNTTVCS

Câu 54. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có

.

.

Câu 55. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có:

.

Câu 56. Tìm tổng các nghiệm của phương trình:

trên

Trả lời: ………………..
Lời giải
Phương trình
Vì

nên:

* Với

ta chỉ chọn được

* Với

ta chỉ chọn được

Vậy tổng các nghiệm bằng

.
.

.

Trang 29

KNTTVCS

Câu 57. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Ta có

.

Câu 58. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

.

Câu 59. Số nghiệm của phương trình

trong đoạn

là bao nhiêu?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Do

phương trình có 2 nghiệm trong đoạn

.
Câu 60. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
.
Câu 61. Tìm nghiệm của phương trình

.
Trang 30

KNTTVCS

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có

.

Câu 62. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Điều kiện

,

. (*)

Ta có

So với điều kiện (*) ta được

.

Câu 63. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Điều kiện:

loại do điều kiện

Câu 64. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có :

Trang 31

KNTTVCS

DẠNG 2
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUY VỀ DẠNG CƠ BẢN




với

là nghiệm của phương trình

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.

Giải phương trình

.

A.

.

C.

B.
.

.

D.
Lời giải

Chọn C.

Ta có

Câu 2.
A.

.

Nghiệm của phương trình
.

B.

là:
.

C.
Lời giải

Chọn B.
Ta có
Câu 3.

Giải phương trình

Trang 32

.

D.

.

KNTTVCS

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
.
Câu 4.
A.

Nghiệm của phương trình
.

là:

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.

.
Câu 5.

Phương trình

A.

có nghiệm là

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.

Câu 6.
A.

Trong

, phương trình
.

B.

có tập nghiệm là
.

C.
Lời giải

Chọn C.

Trang 33

.

D.

.

KNTTVCS

.

Mà

.

Câu 7.

Nghiệm của phương trình

A.

.

B.

trong khoảng
.

C.

.

là :
D.

.

Lời giải
Chọn B.

.

Theo đề ra

.

Câu 8. Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình:
A.

B.

C.

là:
D.

Lời giải
Chọn A.

.

Vậy tổng
Câu 9.

nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất là:

.

Nghiệm của phương trình

thỏa điều kiện:
Trang 34

.

KNTTVCS

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A.

Vì

nên nghiệm của phương trình là

.

Câu 10. Cho phương trình
I.

.

,

II.

và các tập hợp số thực:

,

.

III.

,

.

IV.

,

.

Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình
A. Chỉ I.

B. Chỉ II.

C. I, III.

D. I, IV.

Lời giải
Chọn C

Câu 11. Phương trình nào tương đương với phương trình
A.

.

B.

.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn B.
Ta có

.

Câu 12. Giải phương trình :
A.
C.

,

.
,

B.
.

D.
Trang 35

,
,

.
.

.

KNTTVCS

Lời giải

Chọn D.

7
6
6
Câu 13. Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình sin x  cos x  là:
16

A.

5
.
6

B.


.
2

C.

7
.
6

D.


.
6

Lời giải
Chọn B.
6
6
2
2
4
2
2
4
Ta có: sin x  cos x sin x  cos x sin x  sin x cos x  cos x 

sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x cos 2 x 1 


3 2
3 1  cos 4 x 5  3cos 4 x
sin 2 x 1  .

4
4
2
8

5  3cos 4 x 7
1
2
  cos 4 x   cos 4 x cos
8
16
2
3

2




 4 x  3  k 2
x 6 k 2


k  
 4 x  2  k 2
 x    k 


3
6
2
Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương nhỏ nhất là x1 
Vậy x1  x2 


2

Câu 14. Các nghiệm thuộc khoảng
A.



và x2 
6
3

.

B.

của phương trình:
.

C.

là:
.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Do

nên nghiệm thuộc khoảng

của phương trình là

Câu 15. Phương trình

có nghiệm là:
Trang 36

.

KNTTVCS

A.

.

B.

.

C.

.

D. Vô nghiệm.

Lời giải
Chọn D
Điều kiện

So sánh điều kiện ta có phương trình vô nghiệm.
Câu 16. Giải phương trình

.

A.

,

C.

.
,

B.
.

,

D.

,

Lời giải
Chọn C.
Ta có:

Câu 17. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt
A.

B.

là:
C.
Lời giải

Chọn A.
Ta có

Trang 37

D.

.
.

KNTTVCS

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là:
Câu 18. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
A.

B.

là:
C.

D.

Lời giải
Chọn A.
Ta có

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của pt là:
Câu 19. Phương trình

tương đương với phương trình

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Điều kiện:

.

Ta có:

Câu 20. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
A.

.

B.

.

là :
C.

Trang 38

.

D.

.

KNTTVCS

Lời giải

Chọn C
Ta có :

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là

.

Câu 21. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

trên đường tròn lượng

giác là:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.

Vậy có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Câu 22. Phương trình 1  cos x  cos 2 x  cos 3 x 0 có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác là:
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn D.
Phương trình 1  cos x  cos 2 x  cos 3 x 0  cos 3 x  cos x   1  cos 2 x  0

Trang 39

D. 5 .

KNTTVCS

 2cos 2 x cos x  2cos 2 x 0  2cosx cos 2 x  cosx  0

 cosx 0

3x
x
3x
 4cosxcos cos 0   cos
0 

2
2
2

x
 cos 0

2



 x  2  k



x   k

2
 3 x   k   
k  
 2 2
 x   k 2
x 

3
3
   k
 2 2

Dựa vào điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác

Vậy ta có 5 điểm.
Câu 23. Cho phương trình cos 3 x  4 cos 2 x  3cos x  4 0 có bao nhiêu nghiệm trên  0;14  ?
A. 3 .

C. 5 .

B. 4 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn B.





3
2
Phương trình  4cos x  3cos x  4 2cos x  1  3cos x  4 0


 4cos 3 x  8cos 2 x 0  cosx 0  x   k k  
2

1
14 1
Mà x   0;14  0   k 14   k    k   0;1; 2;3
2
2
 2
Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc  0;14 .
Câu 24. Phương trình sin x  4 cos x 2  sin 2 x có số nghiệm trên
A. 0.

B. 1.

C. 2.
Lời giải

Chọn C.
Phương trình  sin x  4 cos x 2  2sin x cos x

 sin x 1  2 cos x   2 1  2 cos x  0
 sin x  2 1  2 cos x  0

 sin x 2(VN )
 sin x  2 0



 x   k 2 , (k  )
1
 cos x 
3
 1  2 cos x 0

2


5
Vậy phương trình có 2 nghiệm trên 0; 2  là x  và x  .
3
3
Trang 40

0; 2  là:
D. 4.

KNTTVCS

y

π
3

O

x
5π
3

Câu 25. Phương trình 1  cos x  sin x  cos 2 x  sin 2 x 0 có các nghiệm dạng
x1 a  k 2 , x2 b  k 2 , x3 c  k 2 , x4 d  k 2 . Với 0  a, b, c, d  2 thì a  b  c  d là:
A.

.

B.

7
.
2

C.

5
4

D.

9
.
2

Lời giải
Chọn D.
Phương trình  1  sin 2 x  cos x  sin x  cos 2 x  sin 2 x 0

 cos x  sin x   cos x  sin x   cos x  sin x cos x  sin x  0
2

 cos x  sin x cos x  sin x 1  cos x  sin x  0



2 sin  x   0

 cos x  sin x 0
4





1
 2 cos x 1 0
 cos x  2



 x  4  k
(k  )

 x 2  k 2

3

Nghiệm trên biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta viết lại các nghiệm phương trình là:
x

3
7
2
4
3 7 2 4 9
 k 2 v x   k 2 v x   k 2 v x   k 2  a  b  c  d  


 .
4
4
3
3
4
4
3
3
2

3
Câu 26. Phương trình 2sin x  14 cos 4 x  2sin x   4 cos x 3 nhận các giá trị x arccos m  k

(k  ) làm nghiệm thì giá trị m là:
A. m 

1
.
4

B. 

1
.
4

1
C. m 
16

Lời giải
Chọn B.

2sin x 14 cos 4 x  2sin x   4 cos 3 x 3
 2 sin x  14 cos 4 x  2sin x   4 1  sin 2 x   3 0
 2 sin x  14 cos 4 x  2sin x   1  2sin x 1  2sin x  0
 2 sin x  14 cos 4 x  1 0.

Trang 41

D. m 

1
.
16


2

KNTTVCS

Vậy
Câu 27. Phương trình

có bao nhiêu nghiệm trên

A. 1

B. 2

C. 3

?
D. 4

Lời giải
Chọn B.
Điều kiện:

Kết hợp điều kiện (*)=>Nghiệm của phương trình là
Vậy có hai nghiệm thuộc

là

và

Câu 28. Nghiệm của phương trình
A.

.

B.

(với
.

C.

) là
.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Ta có :





3
Câu 29. Phương trình cos 2 x  cos 6 x  4 3sin x  4sin x 1 0 có phương trình tương đương là:

Trang 42

KNTTVCS

A. cos x 0 .

B. sin 3 x 1 0 .

C. cos x(sin 3 x 1) 0 .

D. sin x  1 0 .
Lời giải

Chọn D.
 Phương trình  2 cos 2 x  1  1  2sin 2 3 x   4 sin 3 x  1 0.

 2cos 2 x  2sin 2 3 x  4sin 3 x  2 0
 cos 2 x  2 sin 3 x  1 0
2

  sin x 1
cos x 0


  sin x  1
 sin x 1  sin x  1 0.
sin 3 x  1 0 
3
 4sin x  sin 3 x  1 0

Trang 43

KNTTVCS

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
Câu 30. Cho phương trình

.

a) Phương trình đã cho có nghiệm
b) Phương trình đã cho có nghiệm
c) Phương trình đã cho có nghiệm
d) Phương trình đã cho có nghiệm

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

Trang 44

KNTTVCS

Câu 31. Cho phương trình
a) Để phương trình đã cho xác định thì

,

b) Phương trình đã cho có nghiệm
c) Phương trình đã cho có nghiệm
d) Số nghiệm của phương trình đã cho thuộc đoạn

là 6.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

Điều kiện:

.

Ta có

.

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm
Vì

nên
.

So với điều kiện, ta chỉ còn

.

Câu 32. Cho phương trình
a) Để phương trình đã cho xác định thì

,

b) Phương trình đã cho có nghiệm
c) Phương trình đã cho có nghiệm
d) Số nghiệm của phương trình đã cho thuộc đoạn

là 4.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

SAI

Trang 45

KNTTVCS

Điều kiện
Ta có
Kết hợp điều kiện, suy ra

.

Số nghiệm của phương trình đã cho thuộc đoạn

là 2.

Câu 33. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
a) Phương trình

có nghiệm là

b) Phương trình

tương đương với phương trình

c) Phương trình

có nghiệm là

d) Phương trình

có nghiệm là

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

SAI

a)

.

b)
c)

Với
Phương trình

vô nghiêm.

d)

Câu 34. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
a) Phương trình

tương đương với phương trình
Trang 46

KNTTVCS

b) Phương trình

tương đương với phương trình

c) Nghiệm của phương trình

thỏa điều kiện:

d) Nghiệm của phương trình

thỏa điều kiện:

là
là

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

Đ SAI

a)
b)

c)

Vì

nên nghiệm của phương trình là

.

d)

Vì

nên nghiệm của phương trình là

.

Câu 35. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
a) Nghiệm của phương trình

thỏa điều kiện

b) Nghiệm của phương trình

thỏa điều kiện:

là
là

c) Phương trình

tương đương với phương trình

d) Phương trình

tương đương với phương trình

Lời giải
Trang 47

.

KNTTVCS

a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

a)Ta có

Với

b)

Vì

nên nghiệm của phương trình là

.

c)

( Do

)

d) Ta có :

Trang 48

KNTTVCS

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 36. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Câu 37. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Trang 49

KNTTVCS

Câu 38. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Với
Phương trình

vô nghiêm.

Câu 39. Tìm nghiệm của phương trình

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Với
Phương trình

vô nghiêm.

Câu 40. Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình:

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Với

Phương trình

vô nghiêm.

Câu 41. Tìm nghiệm của phương trình lượng giác:
Trả lời: ………………..
Lời giải
Trang 50

thõa điều kiện