CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. GÓC LƯỢNG GIÁC

I
=

LÝ THUYẾT.

1. GÓC LƯỢNG GIÁC
a. Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác
Trong mặt phẳng cho hai tia Oa, Ob . Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia

Om quay quanh gốc O , theo một chiều nhất định từ vị trí tia Oa và dừng tại vị trí tia Ob , thì
ta nói nó quét một góc lượng giác có tia đầu Oa , tia cuối Ob và kí hiệu là  Oa, Ob  .
Góc lượng giác  Oa, Ob  . chỉ được xác định khi ta biết được chiều chuyển động quay của tia

Om từ tia đầu Oa đến tia cuối Ob . Ta quy ước: chiều quay ngược với chiều quay của kim
đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng với chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm.
Khi tia Om quay góc  thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo  . Số đo của
góc lượng giác với tia đầu Oa , tia cuối Ob được kí hiệu là sd  Oa, Ob    .
Chú ý: Với hai tia Oa, Ob cho trước, có vô số góc lượng giác có tia đầu Oa , tia cuối Ob .
Ta dùng chung kí hiệu là  Ou, Ov  cho tất cả các góc lượng giác này.
Nhận xét: Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Oa và tia cuối Ob sai khác nhau
một bội nguyên của 360 nên có công thức tổng quát là: sd  Oa, Ob      k .360

k  

thường viết là  Oa, Ob      k.360
b. Hệ thức Chasles: với 3 tia Oa, Ob, Oc bất kì ta có:

 Oa, Ob    Ob, Oc    Oa, Oc   k.360  k   
2. ĐƠN VỊ RADIAN
Trên một đường tròn bán kính R tùy ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng bán kính
được gọi là một góc có số đo bằng 1 radian ( đọc là ra-di-an, viết tắt là 1 rad )
Quan hệ giữa độ và radian
1 


180

rad  a 



 180 
  .180 
rad và 1rad  
   rad  

180
  
  

a



3. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn tâm O bán
kính bằng 1. TRên đường tròn này, chọn điểm A 1;0  làm
gốc, chiều dương là chiều ngược với chiều kim đồng hồ và
chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường tròn cùng
với gốc và chiều như trên được gọi là đường tròn lượng
giác.
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A 1;0 

A '  1;0  , B  0;1 , B '  0; 1 .

+

Cho số đo góc  bất kì. Trên đường tròn lượng giác ta xác
định được duy nhất một điểm M sao cho số đo góc lượng
giác  OA, OM    . Khi đó điểm M được gọi là điểm biểu

O

diễn của góc có số đo  trên đường tròn lượng giác.

II
=

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
DẠNG: ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO
1 



rad  a 

180
Câu 1. Đổi số đo radian sang số đo độ

a)  ( rad ) b)


3

( rad )

c)


10



 180 
  .180 
rad và 1rad  
   rad  

180
  
  

a

( rad )

Câu 2. Đổi số đo độ của cung tròn sang radian
a) 170
b) 1000
c) 3100

d)



22
5
( rad ) e)  (rad ) .
3
9

d) 90

e) 240

Câu 3. Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giờ OG chỉ số 3, kim phút OP chỉ số 12. Đến khi kim
phút và kim giờ gặp nhau lần đầu tiên, tính số đo góc lượng giác mà kim phút quét được
DẠNG: ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO
1 



rad  a 

180
Câu 1. Đổi số đo radian sang số đo độ

a)  ( rad ) b)


3

( rad )

c)


10



 180 
  .180 
rad và 1rad  
   rad  

180
  
  

a

( rad )

Câu 2. Đổi số đo độ của cung tròn sang radian
a) 170
b) 1000
c) 3100

d)



22
5
( rad ) e)  (rad ) .
3
9

d) 90

e) 240

Câu 3. Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giờ OG chỉ số 3, kim phút OP chỉ số 12. Đến khi kim
phút và kim giờ gặp nhau lần đầu tiên, tính số đo góc lượng giác mà kim phút quét được
Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 2

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1:

Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho là hai điểm M và N thuộc đường tròn lượng giác. Hai góc
lượng giác  Ox, OM  và  Ox, ON  lệch nhau 1800 . Chọn nhận xét đúng
A. M , N có tung độ và hoành độ đều bằng nhau.
B. M , N có tung độ và hoành độ đều đối nhau.
C. M , N có tung độ bằng nhau và hoành độ đối nhau.
D. M , N có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau.

Câu 2:

Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là A , các đỉnh lấy theo thứ
tự đó và các điểm B , C có tung độ dương. Khi đó góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OC
bằng
A. 240  k 360, k   . B. 120 .
C. 240 .
D.
120  k 360, k   .

Câu 3:

Trên đường tròn lượng giác gốc A(1;0) , cho các cung có số đo:
I.


4

II. 

.

7
.
4

III.

Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A. Chỉ I, II và IV.
B. Chỉ I, II và III.
Câu 4:

Trên đường tròn định hướng gốc

 OA; OM   30  k 45 ,

k  ?

A. 10 .

B. 6 .

13
.
4

IV. 

C. Chỉ II, III và IV.

71
.
4
D. Chỉ I và II.

A 1;0  có bao nhiêu điểm

M

thỏa mãn

D. 8 .

C. 4 .

DẠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA RADIAN VÀ ĐỘ
Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

Góc có số đo 108 đổi ra rađian là:
3

A.
.
B.
.
5
10

D.

D.


4

.


180a

.

Đổi số đo của góc 10 rad sang đơn vị độ, phút, giây ta được

Góc có số đo
A. 315o .

Câu 9:

3
.
2

Nếu một cung tròn có số đo là a  thì số đo radian của nó là:
180
a
A. 180 a .
B.
.
C.
.
a
180

A. 572  57 28 .
Câu 8:

C.

B. 1800 .

7
thì góc đó có số đo là
4
B. 630 o .

Số đo theo đơn vị rađian của góc 405 là:
9
7
.
.
A.
B.
4
4

Câu 10: Số đo theo đơn vị rađian của góc 315 là
7
7
A.
.
B.
.
2
4

C.


18

.

C. 1o 45 .

D. 527  57 28 .

D. 135o .

C.

5
.
4

D.

4
.
7

C.

2
.
7

D.

4
.
7

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 3

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Câu 11: Cung tròn có số đo là
A. 5 .

5
. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.
4
B. 15 .
C. 172 .
D. 225 .

Câu 12: Cung tròn có số đo là  . Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.
A. 30 .
B. 45 .
C. 90 .
D. 180 .
Câu 13: Góc 6348 bằng
A. 1,113 rad .
Câu 14: Cho a 



2
A. k  7 .

B. 1,108 rad .

C. 1,107 rad .

D. 1,114 rad .

C. k  4 .

D. k  6 .

 k 2 . Tìm k để 10  a  11

B. k  5 .

Câu 15: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là:
A. 600 .

B. 300 .

C. 400 .

Câu 16: Số đo góc 2230 đổi sang rađian là:


A. .
B. .
5
8

C.

7
.
12

D. 500 .

D.


6

.

DẠNG 3. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 17: Trên đường tròn lượng giác

Số đo của góc lượng giác  OA, OB  là
A. 


4

.

B. 


2

.

Câu 18: Trên đường tròn lượng giác, góc có số đo
A. 1 .

C.

4



k
2

B. 2 .


4

.


4

.

B.



C. 3 .

4

.


2

.

 k   được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm?

Câu 19: Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc
A. 

D.

C.

D. 4 .
7
?
4

3
.
4

D. 

3
.
4

Câu 20: Cho đường tròn lượng giác gốc A như hình vẽ.

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 4

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

5
là điểm nào trong các điểm sau?
2
C. Điểm B .
D. Điểm B .

Điểm biểu diễn của điểm cuối góc lượng giác có số đo

A. Điểm E .
B. Điểm F .
Câu 21: Lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là A , các đỉnh lấy theo thứ tự
đó và các điểm B , C có tung độ dương. Khi đó góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OC
bằng
A. 240  k 360 , k   . B. 120 .
C. 240 .

D. 120  k 360 , k   .

Câu 22: Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc

13
?
4

3
3

3
.
B.
.
C.  .
D.
.
4
4
4
2
Câu 23: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác góc lượng giác nào trong các góc lượng giác có số

đo dưới đây có cùng điểm cuối với góc lượng giác có số đo ?
A. 

4

10
A.
.
3

5
B. 
.
4

25
C.
.
4

Câu 24: Trên đường tròn lượng giác, điểm cuối của góc có số đo
A. IV .

B. III .

Câu 25: Trên đường tròn lượng giác gốc
 

D.

7
.
4

26
nằm ở góc phần tư thứ mấy?
3

C. I .

A , cho góc lượng giác

D. II .

 OA;OM 

có số đo

4
 k 2  k    . Điểm cuối M nằm ở góc phần tư nào trong các phần tư sau?
3

A. thứ tư  IV  .

B. thứ hai  II  .

C. thứ ba  III  .

D. thứ nhất  I  .

Câu 26: Trên đường tròn lượng giác gốc A , biết gốc lương giác  OA, OM  có số đo bằng 4 1 0 0 0 ,
điểm M nằm ở gốc phần tư thứ mấy?
A. I .
B. IV .

C. III .

D. II .

?
A. 6 .

C. 8 .

D. 10 .

Câu 27: Trên đường tròn lượng giác, có bao nhiêu điểm M thỏa mãn OA; OM   30  k 45 , k  
B. 4 .

Câu 28: Trên đường tròn lượng giác góc A , biết góc lượng giác  OA , OM  có số đo 4100 , điểm M
nằm ở góc phần tư thứ mấy?
A. I .
B. IV .

C. III .

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

D. II .

Trang 5

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Câu 29: Trên đường tròn lượng giác gốc A , cho cung lượng giác AM có số đo là
4

 k 2  k    . Điểm cuối M nằm ở góc phần tư:
3
A. thứ tư  IV  .
B. thứ hai  II  .
C. thứ ba  III  .
D. thứ nhất  I  .
Câu 30: Trên đường tròn lượng giác gốc A , có bao nhiêu điểm M thỏa mãn số đo góc lượng giác

 OA; OM  bằng


6

k


5

, với k là số nguyên.

A. 12 .

B. 10 .

C. 5.

D. 6.

Câu 31: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho M là điểm nằm trên đường tròn lượng giác. Điểm M có tung
độ và hoành độ đều âm, góc  Ox, OM  có thể là:
A. 90 .

C. 60 .

B. 200 .

D. 180 .

Câu 32: Trên đường tròn lượng giác gốc A , biết góc lượng giác  OA, OM  có số đo bằng 410 0 , điểm
M nằm ở góc phần tư thứ mấy?
A. II .
B. IV .

C. I .

Câu 33: Cho góc lượng giác có số đo  Ox, Oy   
A. Tạo với nhau một góc

D. III .

59
. Khi đó hai tia Ox , Oy .
2

3
.
4

B. Vuông góc.

C. Trùng nhau.

D. Đối nhau.

Câu 34: Cho góc lượng giác  OA, OB  có số đo bằng



. Trong các số sau, số nào là số đo của một góc
3
lượng giác có cùng tia đầu OA và tia cuối OB ?
11
10

5
A.
.
B. 
.
C.
.
D.  .
3
3
3
3
5
Câu 35: Cho
hai
góc
lượng
giác
có
sđ  Ox, Ou   
và
sđ
 m2 , m  
2

 Ox, Ov   



 n 2 , n  . Khẳng định nào sau đây đúng?
2
A. Ou và Ov trùng nhau. B. Ou và Ov đối nhau.

D. Tạo với nhau một góc  .

C. Ou và O v vuông góc.

4

Câu 36: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các góc lượng giác có số đo:
I.


4

. II. 

7
13
71
. III.
. IV. 
.
4
4
4

Hỏi các góc lượng giác nào có điểm cuối trùng nhau?
A. Chỉ I, II và IV.
B. Chỉ II, III và IV.
C. Chỉ I, II và III.
Câu 37: Cho

hai

góc

lượng

giác

có

D. Chỉ I và II.

o
o
sđ  Ox, Ou   45  m360 , m 

và

 Ox, Ov   135o  n360o , n  . Ta có hai tia Ou và O v
A. Tạo với nhau góc 4 5 o .
C. Đối nhau.

B. Trùng nhau.
D. Vuông góc.

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 6

sđ

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
I
=

LÝ THUYẾT.

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
Trên đường tròn lượng giác, gọi M  xM ; yM  là điểm biểu
diễn góc lượng giác có số đo  . Khi đó:

• Tung độ y M của điểm M gọi là sin của  và kí hiệu là
sin  .
sin   yM

• Hoành độ xM của điểm M gọi là côsin của  và kí hiệu
là cos  .

cos   xM

• Nếu cos   xM  0, tỉ số

yM sin 
gọi là tang của  và kí hiệu là tan  (người ta còn

xM cos 

dùng kí hiệu tg  ): tan  

yM sin 

.
xM cos 

• Nếu sin   yM  0, tỉ số

xM cos 
gọi là côtang của  và kí hiệu là cot  (người ta

yM sin 

còn dùng kí hiệu cotg  ) : cot  

xM cos 

.
yM sin 

Các giá trị sin  , cos  , tan  , cot  được gọi là các giá trị lượng giác của góc  .
Chú ý:
a) Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin
b) Từ định nghĩa ta suy ra:
1) sin  và cos  xác định với mọi   .

2) tan  xác định với mọi    k 
2

 k   .

3) cot  xác định với mọi   k  k  .
c) Với mọi góc lượng giác  , ta có

sin   k 2   sin  , k  ;

cos   k 2   cos  , k  .

1  sin   1
1  cos   1.

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 7

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
tan   k    tan  ,  



 k  ,  k  ;
2
cot   k   cot  ,   k , k  .

d) Dấu của các giá trị lượng giác của góc
đường tròn lượng giác.



phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

e. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt



0

sin 

0

cos

1

tan 

0

cot 

Không xác định









6

4

3

2

1
2

2
2

3
2

1

3
2
1

2
2

1
2

0

3

3

1

3

Không xác định

1

1
3

0

2. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 8

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

3. HỆ THỨC CƠ BẢN GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
sin 2   cos 2   1

1  tan 2  

1

,    k , k  
2
cos 
2

1  cot 2  

1
,   k , k  
sin 2 

tan  .cot   1,  

k
, k 
2

4. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 9

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Góc đối nhau

Góc bù nhau

Góc phụ nhau

cos(  )  cos 

sin(   )  sin 



sin      cos 
2


sin(  )   sin 

cos(   )   cos 



cos      sin 
2



tan(  )   tan 

tan(   )   tan 



tan      cot 
2


cot(  )   cot 

cot(   )   cot 



cot      tan 
2


Góc hơn kém

II
=



Góc hơn kém


2

sin(   )   sin 



sin      cos 
2


cos(   )   cos 



cos       sin 
2


tan(   )  tan 



tan       cot 
2


cot(   )  cot 



cot       tan 
2


HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 10

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC HOẶC MỘT BIỂU
THỨC
Sử dụng công thức lượng giác cơ bản trong các bài toán:
2) 1  tan 2  

1) sin 2   cos 2   1
3) 1  cot 2  
5) tan  

sin 
.
cos 

Câu 1:

Cho cos x 

Câu 2:

Cho sin x 

Câu 3:

1
,   k , k  
sin 2 

1

,    k , k  
2
cos 
2

4) tan  .cot   1,  
6) cot  

k
, k 
2

cos 
.
sin 

2  

   x  0  . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
5  2


3 

  x    . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
5 2

3 

Cho tan x     x    . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
4 
2
3 
3
  x 
4 
2


 . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.


Câu 4:

Cho cot x 

Câu 5:

Biết tan   2 và 1800    2700 . Tính giá trị của biểu thức: sin   cos
3sin   cos 
Cho tan   2 . Tính giá trị của biểu thức: A 
sin   cos 
2sin x  cos x
Cho tan x  3 . Tính P 
.
sin x  cos x

Câu 6:
Câu 7:
Câu 8:
Câu 9:
Câu 10:
Câu 11:
Câu 12:
Câu 13:

1
cot a  tan a
. Giá trị của biểu thức A 
bằng
3
tan a  2 cot a
2 sin x  5cos x
Cho tan x  4. Giá trị của biểu thức A 
là
3cos x  sin x
2sin   cos 
Cho tan   3 , khi đó giá trị của biểu thức P 
là
3sin   5cos 

1
1
Cho góc  thỏa mãn     0 và cos   . Giá trị của biểu thức P  sin  
bằng
2
2
cos 
sin 4   3sin 3  cos   cos 2 
Cho tan   2 . Tính giá trị của biểu thức P  2
.
sin   sin 2  cos 2   2cos 2 
tan  8  a   2 cot    a 

Cho 2tan a  cot a  1 với     0 . Tính giá trị biểu thức P 
2
 3

3 tan 
 a
2


Cho sin a 

Câu 14: Cho sin x  cos x  m . Tính giá trị của biểu thức: M  sin x  cos x
Câu 15: Cho

sin 4  cos 4 
1
sin 8  cos8 
Tính giá trị của biểu thức: A 



a
b
ab
a3
b3

DẠNG 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
Câu 16: Tính giá trị của biểu thức: S  3  sin 2 90  2 cos 2 60  3 tan 2 45

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 11

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 5

    cos 13     3sin   5  .
 2


Câu 17: Rút gọn biểu thức D  sin 

Câu 18: Tính giá trị của biểu thức: sin 2 100  sin 2 20 0  sin 2 300  ...  sin 2 700  sin 2 800
Câu 19: Tính giá trị của biểu thức:
M  cos 2 100  cos 2 20 0  cos 2 300  cos 2 400  cos 2 50 0  cos 2 600  cos 2 70 0  cos 2 800  .
 cos 2 900  cos 2 1000  cos 2 1100  cos 2 1200  cos 2 1300  cos 2 1400  cos 2 1500  cos 2 1600 

 cos 2 1700  cos 2 1800

DẠNG 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 20: Rút gọn biểu thức A  1 – sin 2 x  .cot 2 x  1 – cot 2 x 
Câu 21: Rút gọn biểu thức M   sin x  cos x    sin x  cos x  .
2

2



Câu 22: Rút gọn biểu thức

C  2 cos 4 x  sin 4 x  cos2 x sin 2 x

Câu 23: Đơn giản biểu thức

 sin x  cos x 
A

2

   cos
2

8

x  sin 8 x



1

tan x  sin x.cos x
Câu 24: Tính giá trị của biểu thức A  sin 6   cos6   3sin 2  cos2  .
Câu 25: Cho 0   


2

. Tính

1  sin 
1  sin 

1  sin 
1  sin 

DẠNG 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 26: Giá trị lớn nhất của Q  sin 6 x  cos 6 x bằng:
Câu 27: Giá trị lớn nhất của biểu thức M  7 cos 2 x  2 sin 2 x là.
Câu 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  cot 4 a  cot 4 b  2 tan 2 a. tan 2 b  2
Câu 29: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc x biết:
3
3
1

a. sin x   với   x 
. b. cos x  với 0  x  .
5
2
4
2
c. cos x 

3
với 0  x  900 .
5

d. cos x  

5
với 180 0  x  270 0 .
13

Câu 30: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc x biết
a) cos x 
c) sin x 

2

4
với   x  0 . b) cos x  với 270  x  360 .
2
5
5
5

1
với  x   d) sin x   với 180  x  270 .
13
2
3

Câu 31: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc x biết
a) tan x  3 với   x 
c) tan x  

3
.
2

1

với  x  
2
2

b) tan x  2 với


x .
2

d) cot x  3 với   x 

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

3
.
2

Trang 12

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Câu 32: Tính giá trị lượng giác của các biểu thức sau:
5 cot x  4 tan x
2sin x  cos x
a) Cho tan x  2. Tính: A1 
, A2 
.
5 cot x  4 tan x
cos x  3sin x
b) Cho cot x  2. Tính: B1 
c) Cho cot x  2. Tính: C1 

3sin x  cos x
sin x  3cos x
, B2 
.
sin x  cos x
sin x  3cos x

2sin x  3cos x
2
, C2 
.
3sin x  2 cos x
cos 2 x  sin x cos x

3

cot x  tan x
d) Cho sin x  , 0  x  . Tính: E 
.
5
2
cot x  tan x
8 tan 2 x  3cot x 1
1
e) Cho sin x  ,900  x  1800. Tính: F 
.
tan x  cot x
5

Câu 33: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos 2 x  sin 2 x  1  2 sin 2 x .

b) 2 cos 2 x 1  1 2 sin 2 x

c) 3  4 sin 2 x  4 cos 2 x 1

d) sin x cot x  cos x tan x  sin x  cos x

Câu 34: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. sin 4 x  cos 4 x  1  2 sin 2 x.cos 2 x
c. 4 cos 2 x  3  1 2sin x 1  2sin x

b. cos 4 x  sin 4 x  cos 2 x  sin 2 x
d.

1  cos xsin 2 x  cos x  cos 2 x  sin 2 x

Câu 35: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. sin 4 x  cos 4 x  1  2 cos 2 x  2 sin 2 x 1
c. tan 2 x  sin 2 x  tan 2 x.sin 2 x
Câu 36: Chứng minh các đẳng thức sau:
1
a. tan x  cot x 
sin x.cos x
c.

1
1

1
1  tan x 1  cot x

b. sin 3 x.cos x  sin x.cos 3 x  sin x.cos x
d. cot 2 x  cos 2 x  cot 2 x.cos 2 x

b.

1 cos x
sin x

sin x
1  cos x


1 
1  1   tan 2 x  0
d. 1
 cos x 
 cos x 

Câu 37: Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến x :
a) A   sin 4 x  cos 4 x  2 sin 2 x .
b) B  sin 4 x  cos 2 x sin 2 x  cos 2 x .
c) B  cos 4 x  cos 2 x sin 2 x  sin 2 x
DẠNG 1: XÉT DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Câu 1:

Cho góc  thoả mãn 90    180 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. sin   0 .
B. cos   0 .
C. tan   0 .
D. cot   0 .

Câu 2:

Cho 2   

5
. Chọn mệnh đề đúng.
2

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 13

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A. tan   0 .
Câu 3:

Câu 4:

B. cot   0 .

3
, tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
2
A. sin x  0.
B. cos x  0.
C. tan x  0.

D. cos   0 .

Cho    

Cho góc



D. cot x  0.

thỏa  3     . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
2

A. cos   0 .
Câu 5:

C. sin   0 .

B. cot   0 .

C. sin   0 .

D. tan   0 .

2021
2023
. Khẳng định nào sau đây đúng?
x
4
4
A. sin x  0, cos 2 x  0 . B. sin x  0, cos 2 x  0 . C. sin x  0, cos 2 x  0 . D.

Cho

sin x  0, cos 2 x  0 .

Câu 6:

Câu 7:

Ở góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả
sau đây.
A. sin   0 .
B. cos   0 .
C. tan   0 .
D. cot   0 .
Cho 2    5 . Kết quả đúng là:
2

A. tan   0; cot   0 . B. tan   0; cot   0 . C. tan   0; cot   0 . D.
tan   0; cot   0 .
Câu 8:

Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu sin  , cos  cùng dấu?
A. Thứ II.

Câu 9:

B. Thứ IV.

C. Thứ II hoặc IV.

D. Thứ I hoặc III.

Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu cos   1  sin 2  .
A. Thứ II.
B. Thứ I hoặc II.
C. Thứ II hoặc III.
D. Thứ I hoặc IV.

Câu 10: Cho      . Kết quả đúng là:

2
A. sin   0; cos   0 . B. sin   0; cos   0 . C. sin   0; cos   0 . D.
sin   0; cos   0 .

Câu 11: Ở góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau
đây.
A. tan   0 .
B. sin   0 .
C. cos   0 .
D. cot   0 .
Câu 12: Cho  thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong
các kết quả sau đây.
A. sin   0.
B. cos   0.
C. tan   0.
D. cot   0.
Câu 13: Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu sin  , tan trái dấu?
A. Thứ I.

B. Thứ II hoặc IV.

C. Thứ II hoặc III.

D. Thứ I hoặc IV.

Câu 14: Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu sin 2   sin  .
A. Thứ III.
B. Thứ I hoặc III.
C. Thứ I hoặc II.
D. Thứ III hoặc IV.
Câu 15: Cho a  15000 .Xét câu nào sau đây đúng?
I. sin  

3
1
. II. cos   . III. tan   3 .
2
2

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 14

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A. Chỉ I và II.

B. Chỉ II và III.

C. Cả I, II và III.

D. Chỉ I và III.

C. tan   0 .

D. cot   0 .

Câu 16: Cho 3    10 .Xét câu nào sau đây đúng?
3

A. cos   0 .
Câu 17: Cho

B. sin   0 .

7
   2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
4

A. cos   0 .
Câu 18: Cho


2

B. sin   0 .

C. tan   0 .

D. cot   0 .

    . Xét các mệnh đề sau:







    0 . II. sin      0 . III. tan      0 .
2

2

2


I. cos 

Mệnh đề nào sai?
A. Chỉ I.

B. Chỉ II.

C. Chỉ II và III.

D. Cả I, II và III.

Câu 19: Cho      . Xét các mệnh đề sau đây:
2




I. cos   







  0 . II. sin      0 . III. cot      0 .
2
2
2



Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I.

B. Chỉ I và II.

C. Chỉ II và III.

D. Cả I, II và III.

Câu 20: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. sin 90  sin150 . B. sin 9015'  sin 9030' .
C. cos9030'  cos100 . D. cos150  cos120 .
Câu 21: Cho hai góc nhọn  và  phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?
A. sin    cos  .

B. cos   sin  .

C. cos   sin  .

D. cot   tan  .

C. sin     0.

D. sin     0.

C. tan      0.

D. tan      0.



Câu 22: Cho 0    . Khẳng định nào sau đây đúng?

2

A. sin     0.
Câu 23: Cho 0   


2

B. sin     0.

. Khẳng định nào sau đây đúng?



A. cot      0.
2




B. cot      0.
2


Câu 24: Cho      . Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương?
2

A. sin     .



  .
2


B. cos 

C. cos   .

3
. Khẳng định nào sau đây đúng?
2
 3

 3

 3

A. tan 
B. tan 
    0.
    0. C. tan 
    0.
 2

 2

 2


D. tan    .

Câu 25: Cho    

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

D.
Trang 15

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 3

tan 
    0.
2


 

    . Xác định dấu của biểu thức M  cos      .tan     .
2
2


A. M  0.
B. M  0.
C. M  0.
D. M  0.

Câu 26: Cho



Câu 27: Cho    
A. M  0.

3


. Xác định dấu của biểu thức M  sin     .cot      .
2
2

B. M  0.
C. M  0.
D. M  0.

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
Câu 28: Cho cos =
A. sin  

1 

;     
6 
2

 35
.
6

Câu 29: Tính sin  , biết
1
A. .
3
Câu 30: Cho cos x 
A.

3
.
5

Câu 31: Cho sin  

A.

4
.
5

5
.
6

D. sin  

35
.
6

2
D.  .
3

B. cos   

15
15
; tan   
.
4
15

D.

1
5

D. cos  

15
15
; tan   
.
4
15

15
15
; tan  
.
4
15

2
 90o    180o  , khi đó tan  bằng:
5
B. 

21
.
2

C. 

21
.
5

3

và     . Giá trị của cos là:
5
2
4
4
B.  .
C.  .
5
5

Câu 34: Cho sin   
4 3
A.  ; .
5 4

C. sin  

5
3
   2
3 và 2
.
1
2
B.  .
C. .
3
3

15
15
; tan  
.
4
15

21
.
5

Câu 33: Cho sin  

35
.
36

1
biết 00    900 . Tính cos  ; tan 
4

Câu 32: Cho cos   
A.

B. sin  

2  

   x  0  thì sin x có giá trị bằng
5  2

3
1
B. 
.
C. 
.
5
5

A. cos   
C. cos  

cos  


 . Tính sin .


D.

D.

21
.
3

16
.
25

3
3
và    
. Khi đó giá trị của cos và tan  lần lượt là
5
2
4 3
4 3
3 4
B.  ;  .
C. ;  .
D. ;  .
5 4
5 4
4 5

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 16

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Câu 35: Cho cos   
A. 10 .
Câu 36: Cho cos  
A. sin   

4

với     . Tính giá trị của biểu thức M  10sin   5 cos  .
5
2
1
B. 2 .
C. 1.
D. .
4

1
7
và
   4 . Khẳng định nào sau đây đúng?
3
2
2 2
.
3

Câu 37: Cho góc  thỏa mãn 
A.

16
.
25

3
.
2

Câu 40: Cho sin a 
A.

1
.
9

4 3
.
2

3
thì sin 2  bằng
4
9
B.
.
25

2sin x  cos x
.
sin x  cos x
5
B. P  .
4

B.

7
.
9

1 3
.
2

D.

1 3
.
2

C.

25
.
16

D.

25
.
9

C.

B. 13 .

B. P 

5
.
4

Câu 43: Cho cot    3 . Giá trị của biểu thức P 
A.  13 .

2
D. sin    .
3

C.

C. P  3 .

B. 13 .

17
.
81

2 sin x  5cos x
là
3cos x  sin x
13
C.
.
11

Câu 42: Cho tan   3 , khi đó giá trị của biểu thức P 

5
A. P   .
2

2
.
3

D. P 

2
.
5

1
cot a  tan a
. Giá trị của biểu thức A 
bằng
3
tan a  2 cot a

Câu 41: Cho tan x  4. Giá trị của biểu thức A 
A. 13 .

C. sin  

1
1
bằng
   0 và cos   . Giá trị của biểu thức P  sin  
2
2
cos 

B.

Câu 39: Cho tan x  3 . Tính P 
A. P 

2 2
.
3



4 3
.
2

Câu 38: Nếu tan  
A.

B. sin  

D.

7
.
17

D. 5 .

2sin   cos 
là
3sin   5cos 
C. P  1 .

3cos   4sin 
bằng
2sin   cos 
C.  3 .

D. P   3 .

D. 3 .

 
Câu 44: Cho cot   4 tan  và    ;   . Khi đó sin  bằng
2 

A. 

5
.
5

B.

1
.
2

C.

2 5
.
5

2
2
Câu 45: Nếu tan   cot   2 thì tan   cot  bằng bao nhiêu?
A. 1 .
B. 4.
C. 2.

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

D.

5
.
5

D. 3.
Trang 17

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Câu 46: Biết sin   cos  

2
. Trong các kết quả sau, kết quả nào sai?
2

1
4

B. sin   cos   

A. sin  cos    .

6
.
2

C. sin 4   cos 4   7 . D. tan 2   cot 2   12 .
8




Câu 47: Nếu cot  x     tan  x 
A.  1 .



2
o
2
o
  sin  1445   cos 1085  thì sin x bằng.
2

B.  2 .

5

C.  1 .

5

Câu 48: Cho biết sin a  cos a 

D.  2 .

5

5

1
. Kết quả nào sau đây đúng?
2

7
.
4
21
14
C. sin 4 a  cos 4 a 
. D. tan 2 a  cot 2 a  .
32
3
3
A. sin a.cos a  .
8

B. sin a  cos a 

2sin x  3sin x.cos x  4cos x
Câu 49: Biết tan x  1 , giá trị của biểu thức M 
bằng:
5cos2 x  sin2 x
2
A.  8 .
B. 2 .
C.  2 .
D.  8 .
13
19
19
19
2

2



Câu 50: Nếu cot1, 25. tan  4  1, 25   sin  x   .cos  6  x   0 thì tan x bằng
2

A. 1 .
B.  1 .
C. 0 .
D. Giá trị khác.
Câu 51: Biết tan x 
A.

–a

.

Câu 52: Nếu biết
A.

2b
. Giá trị của biểu thức A  a cos 2 x  2b sin x.cosx  c sin 2 x bằng
ac
B. a .
C. –b .
D. b.

sin 4 x co s 4 x
1
sin 3 x co s 3 x
thì biểu thức
bằng:



a
b
ab
a3
b3

1

a  b 

2

.

B.

Câu 53: Nếu biết 3sin 4 x  2 cos 4 x 
A.

101
601
hay
.
81
504

B.

1
.
a  b2
2

C.

1

a  b 

3

.

D.

1
.
a  b3
3

98
thì giá trị biểu thức A  2 sin 4 x  3cos 4 x bằng
81
103
603
hay
.
81
405

C.

105
605
hay
.
81
504

D.

107
607
hay
.
81
405

sin 4  cos 4 
1
sin10  cos10 


M

b
a  b thì biểu thức
a4
b4
Câu 54: Nếu a
bằng.
1
1
A. 15  15 .
B.
.
C. 14  14 .
D.
.
5
4
a
b
a
b
a  b
a  b
Câu 55: Nếu biết

sin 4  cos 4 
1
sin 8  cos8 
thì biểu thức A 
bằng:



a
b
ab
a3
b3

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

Trang 18

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A.

1
.
( a  b) 2

B.

1
.
a  b2

C.

2

1
.
( a  b)3

D.

1
.
a  b3
3

Câu 56: Nếu 3cos x  2sin x  2 và sin x  0 thì giá trị đúng của sin x là:
A.  5 .

B.  7 .

13

C.  9 .

13

Câu 57: Nếu sin x  cos x 

D.  12 .

13

13

1
thì 3sin x  2 cos x bằng:
2

A.

5 7
5 7
5 5
5 5
hay
. B.
hay
.
4
4
7
4

C.

2 3
2 3
3 2
3 2
hay
. D.
hay
.
5
5
5
5

DẠNG 3: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
0
0
0
Câu 58: Tính L  tan 20 tan 45 tan 70
A. 0.
B. 1 .

Câu 59: Tính
A. 0.

G  cos 2


6

 cos 2

C. 1.

D. 2.

2
5
 ...  cos 2
 cos 2 
6
6

B. 1 .

C. 2.

D. 3.

0
0
0
Câu 60: Tính A  sin 390  2 sin1140  3cos1845





A. 1 1  3 2  2 3 .
2











B. 1 1  3 2  2 3 . C. 1 1  2 3  3 2 . D.
2

2



1
1 2 3  3 2 .
2

Câu 61: Giá trị đúng của biểu thức
A.

1
.
3

tan 225  cot 81.cot 69
bằng:
cot 261  tan 201

B. 

1
.
3

C.

3.


2


Câu 62: Với mọi góc  , biểu thức cos   cos      cos   
5
5


trị bằng
A. 10 .
B. 10 .
C. 1 .
Câu 63: Tính
A. 3.

F  sin 2


6

 sin 2

2
5
 ...  sin 2
 sin 2 
6
6
.
B. 2.
C. 1 .

D.

 3.

9 


  ...  cos   
 nhận giá
5 



D. 0.

D. 4.

 5

    cos 13     3sin   5  .
 2

B. 3sin  .
C. 3sin  .
D. 2 cos   3sin  .

Câu 64: Đơn giản biểu thức D  sin 
A. 3sin   2cos  .


 

 x  tan   x  được rút gọn thành A  tan nx khi đó
3
 3

B. 1 .
C. 4.
D. 3.

Câu 65: Giả sử A  tan x tan 
A. 2.

Trần Văn Chung – Điện thoại: 0972.311.481 Sưu tầm và biên soạn

n

bằng

Trang 19

CHUYÊN ĐỀ – TOÁN – 11 – BÀI TẬP – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Câu 66: Nếu si...