y

2
O

S

−1

1

x

−2

c6

c5

c1

c4

c2

c3
O

LaTeX hoá sách

ÔN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Môn Toán
THEO CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG 2018

Mục lục
ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ
1

2

3

4

5

6

7

8

1

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

B

MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

B

MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

B

MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

B

MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

B

MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

VECTƠ VÀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . 105
A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

B

MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

B

MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

MỘT SỐ YẾU TỐ XÁC SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
i

ÔN TẬP KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN

I

II

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

B

MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

MỘT SỐ ĐỀ MINH HỌA

169

Đề số 001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Đề số 002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Đề số 003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Đề số 004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Đề số 005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

Đề số 006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

− ii −

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ

1

ÔN TẬP KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN

Phần I

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

CHỦ ĐỀ 1.

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản
(1)

• Với |m| > 1, phương trình (1) vô nghiệm.
h π πi
• Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn − ;
sao cho sin x = m.
2 2

x = α + k2π
Khi đó, ta có sin x = m ⇔ sin x = sin α ⇔ 
(k ∈ Z).
x = π − α + k2π
Chú ý:
- Ta có một số trường hợp đặc biệt của phương trình sin x = m sau:
π
+ k2π (k ∈ Z);
2
π
• sin x = −1 ⇔ x = − + k2π (k ∈ Z);
2
• sin x = 0 ⇔ x = kπ(k ∈ Z).
• sin x = 1 ⇔ x =

- Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
sin x = sin a◦ như sau

x = a◦ + k360◦
◦

sin x = sin a ⇔
(k ∈ Z).
x = 180◦ − a◦ + k360◦
b) Phương trình cos x = m

(2)

• Với |m| > 1, phương trình (2) vô nghiệm.
• Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn [0; π] sao cho cos α = m.

x = α + k2π
Khi đó, ta có cos x = m ⇔ cos x = cos α ⇔ 
(k ∈ Z).
x = −α + k2π
Chú ý:
- Ta có một số trường hợp đặc biệt của phương trình cos x = m sau:
• cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z);
• cos x = −1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z);
π
• cos x = 0 ⇔ x = + k2π (k ∈ Z).
2
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

−3−

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

ÔN TẬP KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN

a) Phương trình sin x = m

- Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
cos x = cos a◦ như sau

x = a◦ + k360◦
◦

cos x = cos a ⇔
(k ∈ Z).
x = −a◦ + k360◦
c) Phương trình tan x = m
 π π
sao cho tan α = m. Khi đó, ta có
Gọi α là số thực thuộc khoảng − ;
2 2
tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z).
Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
tan x = tan a◦ như sau

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

tan x = tan a◦ ⇔ x = a◦ + k180◦ (k ∈ Z).
d) Phương trình cot x = m
Gọi α là số thực thuộc khoảng (0; π) sao cho cot α = m. Khi đó, ta có
cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z).
Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
cot x = cot a◦ như sau
cot x = cot a◦ ⇔ x = a◦ + k180◦ (k ∈ Z).

2. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản

• sin f (x) = sin g(x) ⇔ 

f (x) = g(x) + k2π

(k ∈ Z).
f (x) = π − g(x) + k2π

f (x) = g(x) + k2π
• cos f (x) = cos g(x) ⇔ 
(k ∈ Z).
f (x) = −g(x) + k2π
• Với phương trình sin2 u(x) = sin2 v(x), cos2 u(x) = cos2 v(x), sin2 u(x) = cos2 v(x), ta có thể
dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình dạng cos f (x) = cos g(x).
• Với một phương trình lượng giác, ta có thể dùng các công thức lượng giác và các biến đổi để
đưa về phương trình dạng tích A(x) · B(x) = 0.

II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
1. Phương trình mũ
Với a > 0, a 6= 1 thì
• af (x) = b ⇔ f (x) = loga b với b > 0.
• af (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x).
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

−4−

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

2. Phương trình lôgarit
Với a > 0, a 6= 1 thì
• loga f (x) = b ⇔ f (x) = ab .

f (x) = g(x)
• loga f (x) = loga g(x) ⇔
f (x) > 0 hoặc g(x) > 0.

3. Bất phương trình mũ

a) Xét bất phương trình af (x) > b.
• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của f (x).
• Nếu b > 0, a > 1 thì bất phương trình đưa về f (x) > loga b.
• Nếu b > 0, 0 < a < 1 thì bất phương trình đưa về f (x) < loga b.
b) Xét bất phương trình af (x) > ag(x) .
• Nếu a > 1 thì bất phương trình đưa về f (x) > g(x).
• Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình đưa về f (x) < g(x).
Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự.

4. Bất phương trình lôgarit
Với a > 0, a 6= 1 thì
a) Xét bất phương trình loga f (x) > b.
• Nếu a > 1 thì bất phương trình đưa về f (x) > ab .
• Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình đưa về 0 < f (x) < ab .
b) Xét bất phương trình loga f (x) > loga g(x).
• Nếu a > 1 thì bất phương trình đưa về f (x) > g(x) > 0.
• Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình đưa về 0 < f (x) < g(x).
Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải tương tự.

B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ lựa chọn một phương án.
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

−5−

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

ÔN TẬP KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN

Với a > 0, a 6= 1 thì

√
π
3
Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình sin x +
=−
là
3
2
2π
π
A. x = −
+ k2π và x = π + k2π (k ∈ Z).
B. x = − + k2π và x =
3
3
π
C. x = k2π và x = π + k2π (k ∈ Z).
D. x = − + k2π và x =
2
Lời giải.


π
+ k2π (k ∈ Z).
3
5π
+ k2π (k ∈ Z).
3

√
π
3
sin x +
=−
3
2

π
π
= sin −
⇔ sin x +
3
3

π
π
x + = − + k2π

3
3
⇔ 
π
π
x+ =π− −
+ k2π
3
3

2π
x = − 3 + k2π
⇔ 
(k ∈ Z).
x = π + k2π

 NHÓM VN - MATHS & LATEX



Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình 3x

2 −2x

B. −4.

A. 4.

= 81 là

C. −2.

D. 2.

Lời giải.
x2 −2x

Ta có 3

x2 −2x

= 81 ⇔ 3

4

2

= 3 ⇔ x − 2x − 4 = 0.

Phương trình x2 − 2x − 4 = 0 có hệ số a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète, suy ra tổng hai nghiệm bằng 2.
Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Ví dụ 3. Nghiệm của phương trình log16 (x + 5) =
B. −1.

A. 3.

1
là
2
C. −3.

D. 27.

Lời giải.
Ta có x + 5 =

1
16 2

⇔ x + 5 = 4 ⇔ x = −1.

Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ 4. Số nghiệm của phương trình log2 (x − 4) = log2 (x2 − 5x + 4) là
A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Lời giải.


x>4



Điều kiện xác định của phương trình
⇔
x < 1 ⇔ x > 4.
x2 − 5x + 4 > 0





x>4
Ta có

x − 4 > 0


x=2
log2 (x − 4) = log2 (x2 − 5x + 4) ⇔ x − 4 = x2 − 5x + 4 ⇔ x2 − 6x + 8 = 0 ⇔ 
x = 4.
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

−6−

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

So sánh với điều kiện ta thấy không có nghiệm nào thỏa mãn.
Suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy số nghiệm của phương trình là 0.
Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.


π
π
= cos2 x +
.
Ví dụ 5. Cho phương trình sin2 2x +
4
2

π
1 + cos 4x +
2 = 1 − cos (2x + π) .
a) Hạ bậc hai vế ta được phương trình
2
2
b Ta có cos (2x + π) = − cos 2x.

π
c Phương trình đã cho đưa về dạng cos 4x +
= cos 2x.
2
π
π
π
+ k (k ∈ Z).
d) Nghiệm của phương trình đã cho là x = − + kπ và x =
4
12
3
Lời giải.
Ta có


π
π
sin2 2x +
= cos2 x +
2
 4 π
1 − cos 4x +
2 = 1 + cos (2x + π)
2
 2 π
− cos 4x +
= cos (2x + π)
2

π
= − cos 2x
− cos 4x +
2


π
cos 4x +
= cos 2x
2

π
4x + = 2x + k2π

2

π
4x + = −2x + k2π
2

π
x = − + kπ

4

π
π (k ∈ Z) .
x=− +k
12
3

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

⇔
a) Sai.

Hạ bậc phương trình, ta được

π
1 − cos 4x +
2 = 1 + cos (2x + π) .
2
2
b) Đúng.
Ta có cos(2x + π) = − cos(−2x) = − cos 2x.
c) Đúng.
π
Sau khi hạ bậc và rút gọn, phương trình đã cho đưa về dạng cos 4x +
= cos 2x.
2


d) Sai.
Nghiệm của phương trình đã cho là x = −
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

π
π
π
+ kπ và x = − + k
4
12
3

−7−

(k ∈ Z).

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

ÔN TẬP KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN

Dạng II. Câu trắc nghiệm đúng sai




Chọn đáp án a sai  b đúng  c đúng  d sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
√
x2 −4x
√
5−2x
Ví dụ 6. Cho bất phương trình 3 − 2 2
> 3+2 2
.
√
√
−1
a Ta có 3 + 2 2 = 3 − 2 2 .
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình x2 − 4x > 2x − 5.
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5.
d Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là 9.
Lời giải.
Ta có
√ x2 −4x 
√ 5−2x
3−2 2
> 3+2 2

√ 5−2x
√ −(x2 −4x) 
> 3+2 2
⇔ 3+2 2


⇔ − x2 − 4x > 5 − 2x

 NHÓM VN - MATHS & LATEX



⇔ x2 − 4x < 2x − 5
⇔ x2 − 6x + 5 < 0 ⇔ 1 < x < 5.
Các nghiệm nguyên của bất phương trình là {2; 3; 4}.
Tổng các nghiệm nguyên là 2 + 3 + 4 = 9.
a) Đúng.

√

√
√

√
2
√
−1
Vì 3 + 2 2 · 3 + 2 2 = 32 − 2 2 = 1 nên 3 + 2 2 = 3 − 2 2 .

b) Sai.
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình x2 − 4x < 2x − 5.
c) Sai.
Phương trình đã cho có tập nghiệm S = (1; 5) nên số nghiệm nguyên là 3.
d) Đúng.
Tổng các nghiệm nguyên của phương trình là 2 + 3 + 4 = 9.



Chọn đáp án a đúng  b sai  c sai  d đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Ví dụ 7. Cho bất phương trình log√2−1 (2x2 − 2) ≥ log√2−1 (5x + 5).
√
a Ta có 0 < 2 − 1 < 1.

2x2 − 2 ≤ 5x + 5
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
5x + 5 > 0.
c Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 2.
d) Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 0.
Lời giải.
Ta có


log√2−1 2x2 − 2 ≥ log√2−1 (5x + 5)
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

−8−

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

⇔
⇔


2x2 − 2 ≤ 5x + 5
2x2 − 2 > 0

2x2 − 5x − 7 ≤ 0

7
⇔ 12


7
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = 1; .
2
a) Đúng.
Vì 1 <

√

2 < 2 nên 0 <

√
2 − 1 < 1.

b) Sai. 

2x2 − 2 ≤ 5x + 5
2x2 − 5x − 7 ≤ 0
7
Ta có
⇔
⇔ −1 < x ≤ .
5x + 5 > 0
x + 1 > 0
2
c) Đúng.
Phương trình có đúng 2 nghiệm nguyên là x = 2 và x = 3.
d) Sai.
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là x = 2.



Chọn đáp án a đúng  b sai  c đúng  d sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Dạng III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Ví dụ 8. Hằng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu h (m) của
π 
t với
mực nước theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức h = 16 + 7 sin
12
0 ≤ t ≤ 24. Tìm thời điểm mà mực nước tại cảng là cao nhất.
Đáp án: 6
Lời giải.
Ta có
π 
t ≤1
12
π 
⇔ 16 − 7 ≤ 16 + 7 sin
t ≤ 16 + 7
12
⇔ 9 ≤ h ≤ 23.
−1 ≤ sin

Vậy mực nước tại cảng cao nhất bằng 23 m khi
π 
sin
t =1
12
π
π
⇔
t = + 2kπ
12
2
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

−9−

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

ÔN TẬP KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN

2x2 − 2 > 0

7


−
1
≤
x
≤


2

⇔
x < −1





 x>1

⇔ t = 6 + 24k (k ∈ Z) .
Vì 0 ≤ t ≤ 24 nên t = 6.
Vậy thời điểm mà mực nước tại cảng cao nhất là lúc 6 (giờ).
T −S
trong đó t
T0 − S
là số giờ trôi qua, T0 là nhiệt độ lúc đầu, T là nhiệt độ sau t giờ, S là nhiệt độ môi trường (T0 , T ,
Ví dụ 9. Công thức Định luật làm mát của Newton được cho như sau : kt = ln

S theo cùng một đơn vị đo), k là một hằng số. Một cốc trà có nhiệt độ 96◦ C, sau 2 phút nhiệt độ
giảm còn 90◦ C. Biết nhiệt độ phòng là 24◦ C. Tính nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút (làm tròn kết
Đáp án: 70,6

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

quả đến hàng phần mười).
Lời giải.




1
90 − 24
1
giờ , T = 90, T0 = 96, S = 24 ta có
k = ln
.
Thay t = 2 phút =
30
30
96 − 24
11
Do đó k = 30 ln .
12

1


Sau t = 10 phút =
giờ .
6
1
11
T − 24
11
T − 24
Ta có · 30 ln
= ln
⇔ 5 ln
= ln
.
6
12  96 − 24
12
72

5
5
11
11
T − 24
=
⇔ T = 72
+ 24 ≈ 70,6.
Suy ra
72
12
12
Vậy nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút là khoảng 70,6◦ C.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ lựa chọn một phương án.
π

Câu 1. Các nghiệm của phương trình sin
− x = 0 là
5
π
2π
A. x = − + kπ (k ∈ Z).
B. x =
+ kπ (k ∈ Z).
5
5
π
π
C. x = − + k2π (k ∈ Z).
D. x = + kπ (k ∈ Z).
5
5
Lời
giải.
π


π
π
π
Ta có sin
− x = 0 ⇔ sin x −
= 0 ⇔ x − = kπ ⇔ x = + kπ, (k ∈ Z).
5
5
5
5
Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
√
Câu 2. Các nghiệm của phương trình 2 sin 3x + 2 = 0 là
π
2π
3π
2π
π
2π
5π
2π
A. x =
+k
và x =
+ k (k ∈ Z).
B. x = − + k
và x =
+ k (k ∈ Z).
12
3
12
3
12
3
12
3
π
2π
π
2π
π
2π
3π
2π
C. x =
+k
và x = − + k (k ∈ Z).
D. x = − + k
và x =
+ k (k ∈ Z).
12
3
12
3
12
3
12
3
Lời giải.
√
2 sin 3x + √2 = 0
2
⇔ sin 3x = −
2
π
⇔ sin 3x = sin −
4

π
3x = − + k2π

4
⇔ 
π
3x = π + + k2π
4
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

− 10 −

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025


2π
π
x=− +k

12
3 (k ∈ Z).
⇔ 
2π
5π
+k
x=
12
3

Ta có
π 1
cos x +
=
6 2

π
π
⇔ cos x +
= cos
6
3

π
π
x + = + k2π

6
3
⇔ 
π
π
x + = − + k2π
6
3

π
x = + k2π

6
⇔ 
(k ∈ Z).
π
x = − + k2π
2


Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Câu 4. Các nghiệm của phương trình sin2 2x = 1 là
π
π
π
A. x = + k (k ∈ Z).
B. x = k (k ∈ Z).
4
2
2
π
π
π
C. x = + kπ (k ∈ Z).
D. x = + k (k ∈ Z).
2
8
2
Lời giải.
Ta có
sin2 2x = 1
⇔ cos2 2x = 0
⇔ cos 2x = 0
π
⇔ 2x = + kπ
2
π
π
⇔ x = + k (k ∈ Z).
4
2
Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

π √
Câu 5. Các nghiệm của phương trình tan x −
= 3 là
3
2π
A. x =
+ k2π (k ∈ Z).
B. x = kπ (k ∈ Z).
3
2π
2π
C. x =
+ kπ (k ∈ Z).
D. x = −
+ kπ (k ∈ Z).
3
3
Lời giải.
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

− 11 −

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

ÔN TẬP KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN

Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

π 1
= là
Câu 3. Các nghiệm của phương trình cos x +
6
2
π
π
π
π
A. x = + k2π và x = − + k2π (k ∈ Z).
B. x = − + k2π và x = + k2π (k ∈ Z).
6
2
6
2
π
π
π
C. x = k2π và x = − + k2π (k ∈ Z).
D. x = + kπ và x = − + kπ (k ∈ Z).
3
6
2
Lời giải.

Ta có

π √
tan x −
= 3
3

π
π
⇔ tan x −
= tan
3
3
π
π
⇔ x − = + kπ
3
3
2π
⇔ x=
+ kπ (k ∈ Z).
3

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

π
Câu 6. Các nghiệm của phương trình cot 3x +
= −1 là
4
π
π
π
B. x = − + k (k ∈ Z).
A. x = + kπ (k ∈ Z).
6
6
3
π
π
π
π
C. x = − + k (k ∈ Z).
D. x = + k (k ∈ Z).
6
6
6
2
Lời giải.
Ta có
π
cot 3x +
= −1
4

 π
π
⇔ cot 3x +
= cot −
4
4
π
π
⇔ 3x + = − + kπ
4
4
π
π
⇔ x = − + k (k ∈ Z).
6
3


Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
Câu 7. Các nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 0 là
π
π
A. x = − + kπ (k ∈ Z).
B. x = + kπ (k ∈ Z).
6
3
π
π
C. x = + kπ (k ∈ Z).
D. x = − + kπ (k ∈ Z).
6
3
Lời giải.
Ta có

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

√
sin x + 3√cos x = 0
1
3
sin x +
cos x = 0
2
2
π
π
sin x cos + sin cos x = 0
3
3

π
sin x +
=0
3
π
x + = kπ
3
π
x = − + kπ (k ∈ Z).
3

Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
1
Câu 8. Các góc lượng giác x sao cho cos (x − 15◦ ) = − là
2
◦
◦
◦
◦
A. x = 165 + k360 và x = −135 + k360 (k ∈ Z).
B. x = 165◦ + k180◦ và x = −135◦ + k180◦ (k ∈ Z).

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

− 12 −

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

C. x = 135◦ + k360◦ và x = −105◦ + k360◦ (k ∈ Z).

D. x = 135◦ + k180◦ và x = −105◦ + k180◦ (k ∈ Z).
Lời giải.

Ta có
1
2
⇔ cos (x − 15◦ ) = cos 120◦

x − 15◦ = 120◦ + k360◦
⇔ 
x − 15◦ = −120◦ + k360◦

x = 135◦ + k360◦
⇔ 
(k ∈ Z).
x = −105◦ + k360◦
Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Câu 9. Các góc lượng giác x sao cho tan (2x + 27◦ ) = tan 35◦ là
A. x = 4◦ + k180◦ (k ∈ Z).

B. x = −4◦ + k180◦ (k ∈ Z).

C. x = −4◦ + k90◦ (k ∈ Z).

D. x = 4◦ + k90◦ (k ∈ Z).
Lời giải.

◦

◦

◦

Ta có tan (2x + 27 ) = tan 35 ⇔ 2x + 27 = 35◦ + k180◦ ⇔ x = 4◦ + k90◦ (k ∈ Z).
Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Câu 10. Các góc lượng giác x sao cho sin 2x = sin(36◦ − x) là
A. x = 12◦ + k120◦ và x = 144◦ + k360◦ (k ∈ Z).
B. x = 12◦ + k120◦ và x = 48◦ + k120◦ (k ∈ Z).

C. x = 12◦ + k360◦ và x = 144◦ + k120◦ (k ∈ Z).

D. x = 36◦ + k360◦ và x = 144◦ + k360◦ (k ∈ Z).
Lời giải.
sin 2x = sin(36◦ − x)

2x = 36◦ − x + k360◦

⇔
2x = 180◦ − (36◦ − x) + k360◦

3x = 36◦ + k360◦

⇔
2x = 180◦ − 36◦ + x + k360◦

x = 12◦ + k120◦
⇔ 
(k ∈ Z).
◦
◦
x = 144 + k360

Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 


3π 9π
Câu 11. Số nghiệm của phương trình cos x = 1 (∗) trên khoảng − ;
là
4 2
A. 1.

B. 2.

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

C. 4.
− 13 −

D. 3.
L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

ÔN TẬP KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN

cos (x − 15◦ ) = −

Lời giải.
Ta có cos
 x = 1 ⇔x = k2π (k ∈ Z).
3π 9π
Vì x ∈ − ;
nên
4 2
3π
9π
4
2
3π
9π
⇔ −
< k2π <
4
2
9
3
⇔ − < k < (k ∈ Z)
8
4
⇒ k ∈ {0; 1; 2}.


3π 9π
.
Vậy phương trình (∗) có 3 nghiệm trên khoảng − ;
4 2
Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 


1
5π 5π
Câu 12. Số nghiệm của phương trình sin x = √ (∗) trên khoảng − ;
là
2 2
3

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

−

A. 2.

B. 5.

C. 4.

D. 3.

Lời giải.
1
Gọi α là góc mà sin α = √ , khi đó α ≈ 0,62.
3

x = α + k2π
1
Ta có sin x = √ ⇔ 
(k ∈ Z).
3
x = π − α + k2π


5π 5π
Vì x ∈ − ;
nên
2 2
• Với x = α + k2π
5π
5π
2
2
5π
5π
⇔ −
< α + k2π <
2
2
5
α
5
α
⇔ − −
(k ∈ Z)
4 2π
4 2π
⇒ k ∈ {−1; 0; 1}.


5π 5π
Suy ra phương trình (∗) có 3 nghiệm trên khoảng − ;
.
2 2
⇒ −

• Với x = π − α + k2π
5π
5π
2
2
5π
5π
⇔ −
< π − α + k2π <
2
2
3
α
7
α
⇔ − −
(k ∈ Z)
4 2π
4 2π
⇒ k ∈ {0; 1}.


5π 5π
Suy ra phương trình (∗) có 2 nghiệm trên khoảng − ;
.
2 2
⇒ −

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

− 14 −

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025



5π 5π
Vậy phương trình (∗) có 5 nghiệm trên khoảng − ;
.
2 2
Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 13. Các nghiệm của phương trình cos2 x − sin2 x = 0 là
π
π
π
B. x = + kπ (k ∈ Z).
A. x = + k (k ∈ Z).
4
2
4
π
π
C. x = + k2π (k ∈ Z).
D. x = − + kπ (k ∈ Z).
4
4
Lời giải.

cos2 x − sin2 x = 0
⇔ cos 2x = 0
π
⇔ 2x = + kπ
2
π
π
⇔ x= +k
(k ∈ Z).
4
2
Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

π
Câu 14. Số nghiệm của phương trình cos 2x −
= cos 6x là
2
π
π
2π
+ k2π và x = π + k2π (k ∈ Z).
B. x = − + k2π và x = + k2π (k ∈ Z).
A. x = −
3
3
3
π
π
π
π
π
C. x = k2π và x = + k2π (k ∈ Z).
D. x = − + k và x =
+ k (k ∈ Z).
3
8
2
16
4
Lời giải.
Ta có

⇔

⇔

⇔

⇔


π
cos 6x = cos 2x −
2

π
6x = 2x − + k2π

2

π
6x = −2x + + k2π
2

π
4x = − + k2π

2

π
8x = + k2π
2

π
π
x=− +k

8
2

π
π (k ∈ Z)
x=
+k
16
4

π
π
x=− +k

8
2

π
π (k ∈ Z).
x=
+k
16
4

Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 x
3
4
Câu 15. Nghiệm của phương trình
= là
2
9
√
√
A. x = −2.
B. x = − 2.
C. x = 2.
D. x = 2.
Lời giải.
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

− 15 −

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

ÔN TẬP KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN

Ta có

Ta có
 x
3
4
=
2
9
 x  −2
3
3
⇔
=
2
2
⇔ x = −2.
Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Câu 16. Nghiệm của phương trình 2x
A. x = −1 và x = 2.

2 −x

= 4 là
C. x = 1 và x = −2.

B. x = 0 và x = 1.

D. x = 0 và x = 2.

Lời giải.

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

Ta có
2x

2 −x

⇔ 2x

2 −x

=4
= 22

2
⇔ x
 −x−2=0
x = −1
⇔ 
x = 2.

Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2 −3x

Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình 5x
A. −3.

B. log5 10.

= 10 là

C. 3.

D. − log5 10.

Lời giải.
Ta có
2 −3x

5x

= 10

⇔ x2 − 3x = log5 10
⇔ x2 − 3x − log5 10 = 0.
3
= 3.
1
Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 3−2x
1
Câu 18. Nghiệm của phương trình
= 5x+3 là
25
Vì phương trình có a · c = 1 · (− log5 10) < 0 nên có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 =

A. x = −3.

C. x = −5.

B. x = 5.

D. x = 3.

Lời giải.
Ta có


1
25

3−2x

= 5x+3

⇔ 54x−6 = 5x+3
⇔ 4x − 6 = x + 3
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

− 16 −

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

⇔ x = 3.
Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
1
Câu 19. Nghiệm của phương trình log27 (x2 − 1) = là
3
√
A. x = ±2.
B. x = ± 10.
C. x = 2.

D. x =

√

10.

Lời giải.

⇔


1
log27 x2 − 1 =
3

x2 − 1 > 0

x2 − 1 = 27 13


x < −1



⇔
x>1



 2
x =4


x < −1






 x>1

⇔


x = −2 (nhận)






x=2
(nhận)
⇔ x = ±2.

Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Câu 20. Tích các nghiệm của phương trình log2 (x2 − 2x) = 3 là
A. 8.

B. 6.

C. −8.

D. −6.

Lời giải.
Ta có


log2 x2 − 2x = 3
⇔ x2 − 2x = 23
⇔ x2 − 2x − 8 = 0.
−8
= −8.
1
Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Vì a · c = 1 · (−8) < 0 nên phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 · x2 =
Câu 21. Số nghiệm của phương trình log7 (x2 − 2x) = log7 (3x − 6) là
A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Lời giải.
Điều kiện


x2 − 2x > 0
3x − 6 > 0

⇔ x > 2.

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

− 17 −

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

ÔN TẬP KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN

Ta có

Phương trình đã cho trở thành

x = 2 (loại)
x2 − 2x = 3x − 6 ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ 
x = 3 (nhận).
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 3.
Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Câu 22. Nghiệm của bất phương trình (0,5)x > 3 là
A. x > log0,5 3.

B. x < log0,5 3.

C. x < log3 0,5.

D. x > log3 0,5.

Lời giải.
Ta có (0,5)x > 3 ⇔ x < log0,5 3.
Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

 NHÓM VN - MATHS & LATEX

Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình (0,2)x > 1 là
B. R \ {0}.

A. ∅.

C. (0; +∞).

D. R.

Lời giải.
Ta có (0,2)

x2

> 1 ⇔ x2 < log0,2 1 ⇔ x2 < 0 (vô nghiệm).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ∅.
Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
√
x−5
√
2x−1
> 2+ 3
là
Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình 2 − 3
A. (2; +∞).

B. (−4; +∞).

D. (−∞; −4).

C. (−∞; 2).

Lời giải.
√

√

Vì 2 − 3 · 2 + 3 = 1 nên bất phương trình đã cho tương đương với

x−5
√ 2x−1
1
√
2− 3
>
2− 3

√ 2x−1 
√ −x+5
⇔ 2− 3
> 2− 3


⇔ 2x − 1 < −x + 5
⇔ 3x < 6 ⇔ x < 2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (−∞; 2).
Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 (2x − 6) < −2 là
2

A. (3; 5).

B. (−∞; 5).

C. (3; +∞).

D. (5; +∞).

Lời giải.
Điều kiện 2x − 6 > 0 ⇔ x > 3.

 −2
1
Bất phương trình đã cho trở thành 2x − 6 >
⇔ 2x − 6 > 4 ⇔ x > 5.
2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (5; +∞).
Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

− 18 −

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

Câu 26. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log5 (2x − 3) < log25 x2 là
A. 1.

Điều kiện

B. 2.

2x − 3 > 0
x 2 > 0

C. 0.

D. vô số.

Lời giải.

3

x >
2 ⇔ x > 3.
⇔

2
x 6= 0

Bất phương trình đã cho trở thành log5 (2x − 3) 
< log5x ⇔ 2x − 3 < x ⇔ x < 3.
3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
;3 .
2
Do đó nghiệm nguyên thỏa mãn đề bài là x = 2.

Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Dạng II. Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.


π
π
− x = sin2 3x +
.
Câu 27. Cho phương trình cos2
2
4

π
1 − cos 6x +
1 + cos(π − 2x)
2 .
=
a Hạ bậc hai vế, ta được phương trình
2
2
b) Ta có cos(π − 2x) = cos 2x.
c) Phương trình đã cho đưa về dạng cos 2x = cos 6x.
π
d) Nghiệm của phương trình đã cho là x = k (k ∈ Z).
4
Lời giải.
Ta có


π
− x = sin2 3x +
2
4
π
1 − cos 6x +
1 + cos(π − 2x)
2
=
2
2

π
cos(π − 2x) = − cos 6x +
π
2
cos(π − 2x) = cos
− 6x
2

π
π − 2x = − 6x + k2π

2

π
π − 2x = − + 6x + k2π
2

π
π
x=− +k

8
2 (k ∈ Z).

3π
π
x=
−k
16
4
cos2

⇔
⇔
⇔
⇔

⇔

π

a) Đúng.
b) Sai. Vì cos(π − 2x) = − cos 2x.
π

c) Sai. Vì cos(π − 2x) = cos
− 6x ⇔ − cos 2x = sin 6x.
2
d) Sai.
 NHÓM VN - MATHS & LATEX

− 19 −

L Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025

ÔN TẬP KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 1.

 NHÓM VN - MATHS & LATEX




Chọn đáp án a đúng  b sai  c sai  d sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
π

Câu 28. Cho phương trình cos 2x = sin
− x với x ∈ [0; π].
4

π
a Ta có cos 2x = sin
− 2x .
2
π
5π
b) Phương trình đã cho có các nghiệm là x = + k2π và x =
+ k2π (k ∈ Z).
4
4
c Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn [0; π].
5π
d Tổng các nghi...