Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

MỤC LỤC

⬥CHƯƠNG 5. GIỚI HẠN – DÃY SỐ LIÊN TỤC
▶BÀI ❶. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức
Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản
⬩Dạng ❶: Xác định giới hạn của dãy số bằng định nghĩa
⬩Dạng ❷: Tính giới hạn hữu hạn của dãy số bằng định lí

⬩Dạng ❸: Tính giới hạn của dãy số có dạng
⬩Dạng ❹: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
⬩Dạng ❺: Ứng dụng thực tế
Ⓒ. Dạng toán rèn luyện
⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
⬩Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai
⬩Dạng ❸: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
▶BÀI ➋. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức
Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản
⬩Dạng ❶: Xác định giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
⬩Dạng ❷: Tính giới hạn của hàm số bằng một số kết quả giới hạn cơ bản
⬩Dạng ❸: Tính giới hạn của hàm số có dạng
⬩Dạng ❹: Xác định giới hạn của hàm số dựa vào đồ thị
⬩Dạng ❺: Ứng dụng
Ⓒ. Dạng toán rèn luyện
⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
⬩Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai
⬩Dạng ❸: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
▶BÀI ❸. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức
Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản
⬩Dạng ❶: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
⬩Dạng ❷: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, đoạn
⬩Dạng ❸: Tìm giá trị tham số để hàm số liên tục
⬩Dạng ❹: Ứng dụng
Ⓒ. Dạng toán rèn luyện
⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
⬩Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai
⬩Dạng ❸: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Ⓐ. Tóm tắt kiến thức

CHƯƠNG 5. GIỚI HẠN – DÃY SỐ LIÊN TỤC
▶BÀI ❶. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

❶. Giới hạn hữu hạn của dãy số
Giới hạn 0 của dãy số
Dãy số

có giới hạn 0 khi

dần tới dương vô cực, nếu

trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu

nhỏ hơn một số dương bất kì cho
Ta còn viết là

.
Ta thừa nhận một số giới hạn cơ bản sau đây:
1

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

, với

nguyên dương bất kì.

, với là số thực thỏa mãn
Giới hạn hữu hạn của dãy số
Dãy số

có giới hạn hữu hạn là số a ( hay

dần tới

) khi

dần tiến tới dương vô cực, nếu

Khi đó, ta viết
Chú ý: Nếu

( là hằng số) thì

.

❷. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
Cho

là hằng số. Khi đó:

Nếu
❸. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn
có công bội
Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là

thỏa mãn

được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

❹. Giới hạn vô cực
Ta nói dãy số

có giới hạn là nếu

lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở

đi, kí hiệu
Ta nói dãy số

có giới hạn là

nếu
.

Chú ý: Ta có các kết quả sau:
2

, kí hiệu

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a)

khi và chỉ khi

b) Nếu

;

hoặc

thì

c) Nếu
Nhận xét:

;

với mọi n thì

.

Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản
⬩Dạng ❶: Xác định giới hạn của dãy số bằng định nghĩa
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Chứng minh rằng

n

.

( 1)
0
n2
Câu 2: Chứng minh rằng
.
⬩Dạng ❷: Tính giới hạn hữu hạn của dãy số bằng định lí
☞Các ví dụ minh họa
lim

Câu 1: Tính các giới hạn sau: a)
Câu 2: Tính các giới hạn sau:
3n  4
lim
2
 5
n
a)
b)

2
1

lim  4    5  n 
n 
3 

b)
5 

lim  6  n 
4 

d)
2n  3
lim
n
b) n  1  3 .

c)

Câu 3: Tính các giới hạn sau: a)
⬩Dạng ❸: Tính giới hạn của dãy số có dạng
☞Các ví dụ minh họa
1
2
lim n n
2
Câu 1: Tính các giới hạn sau: a)
Câu 2: Cho hai dãy số

b)

un , vn  với

. Tính:

lim un , lim vn
a)
;
b)
⬩Dạng ❹: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
☞Các ví dụ minh họa
2 2
2
M 2   2  n 
5 5
5
Câu 1: Tính các tổng sau:a)
Câu 2: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn:
n
1 1 1
 1
1   2  3     
5 5 5
 5
a)
⬩Dạng ❺: Ứng dụng thực tế
☞Các ví dụ minh họa

3

b)

b)

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

210
Po
Câu 1: Một mẫu chất phóng xạ 84
có khối lượng ban đầu
, nhưng cứ sau một khoảng thời
T

138
gian
ngày thì khối lượng chất đó giảm đi một nửa ( được gọi là chu kì bán rã).
u
Gọi n là khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ sau chu kì bán rã..
u 
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số n .

b) Tính giới hạn của dãy số
và cho biết ý nghĩa của giới hạn đó.
Câu 2: Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử
dụng. Với
ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi
mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?
Câu 3: Từ độ cao 100 m , người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả
độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi hn là độ cao quả bóng đạt

bóng nảy lên một độ cao bằng
được ở lần nảy thứ .

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số
b) Tính giới hạn của dãy số

.

và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số

.

c) Gọi

là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng
chạm đất lần thứ n . Tính , nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di
chuyển được là bao nhiêu?
Ⓒ. Dạng toán rèn luyện
⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1: Giá trị của giới hạn

lim

- 3
4n - 2n +1
2

A.
Câu 2: Giá trị của giới hạn

lim

B.

- ¥.

3n - 2n +1
4n4 + 2n +1

A.

C. 0.
là

B. 0.

Câu 3: Cho hai dãy số
A. 1.
Câu 4: Cho dãy số
Để dãy số
A.

3

là

và

có
B. 2.

với

có giới hạn bằng

C.
và

trong đó
, giá trị của
B.

D.

2
.
7

Khi đó
C. 0.

D.
có giá trị bằng
D. 3.

là tham số thực.
là
C.

D.

Câu 5: Tính giới hạn
A.

B.

C.

Câu 6: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn
Câu 7: Kết quả của giới hạn
A.
Câu 8: Chứng tỏ rằng

D.

dưới dạng phân số.

là
B.

C.
.
4

D.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 9: Giá trị của giới hạn

bằng

A.

B.

Câu 10: Giá trị của giới hạn

C. 0.

D.

C.

D.

là

A.

B.

Câu 12: Giá trị của giới hạn

là

A.

Câu 14: Cho dãy số
giá trị của là:
A.

D.

là

Câu 11: Giá trị của giới hạn

B. 0.

Câu 13: Cho hai dãy số
A. 1.

C.

và

có
B. 2.

với

và
trong đó

C. 0.

Khi đó

có giá trị bằng:
D. 3.

là tham số thực. Để dãy số

B.

C.

B.

C.

có giới hạn bằng

D.

Câu 15: Tính giới hạn
A.
Câu 16: Kết quả của giới hạn
A.

là:
B.

Câu 17: Giá trị của giới hạn
A.

là
B.

với

D.
D. 3.

C.

D.

là:
B.

Câu 22: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
A.
B. 2.

Câu 24: Cho dãy số

D.

là
B.

Câu 23: Giá trị của giới hạn
A.

C.

C.

Câu 20: Giá trị của giới hạn

Câu 21: Giá trị của giới hạn
A.

D.

C.

Câu 19: Có bao nhiêu giá trị của để
A.
B. 2.

A.

C.
bằng:

B.

Câu 18: Giá trị của giới hạn
A.

D.

B.

C.
thỏa
C. 1.
là
C.
, trong đó
5

D.
.
D. Vô số.
D.
là tham số thực.

,

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tìm
A.

để
B.

Câu 25: Giá trị của giới hạn
A.
Câu 26: Giá trị của giới hạn
A.
Câu 27: Giá trị của giới hạn
A.

C.
bằng

B.

C.

B.

C.

D.

là
B.

C.

D.

là:
B.

Câu 29: Kết quả của giới hạn
A.

D.

là:

Câu 28: Kết quả của giới hạn
A.

D.

C.

D.

là:
B.

C.

D.

⬩Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai
Câu 1.Biết giới hạn
Mệnh đề
a) Giá trị lớn hơn 0.

. Khi đó:Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Đúng Sai

b)
c)
d)

Ba số

tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng

Trên khoảng

phương trình lượng giác

Cho cấp số nhân

với công bội

có 3 nghiệm

và

, thì

Câu 2.Biết giới hạn
. Khi đó:Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a) Giá trị nhỏ hơn 0.
b)
là trục đối xứng của parabol
c) Phương trình lượng giác
vô nghiệm
d)

Cho cấp số cộng

với công sai

Câu 3.Biết giới hạn
Mệnh đề
a) Giá trị nhỏ hơn 0.
b) Giá trị lớn hơn 0.

và

Đúng Sai

, thì

và

. Khi đó:Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Đúng Sai

c)

d)

Phương trình lượng giác
Cho cấp số cộng

Câu 4.

Biết giới hạn

với công sai

có một nghiệm là
và

, thì

và

. Khi đó:Các mệnh đề sau đúng hay sai?
6

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Mệnh đề
a) Tích

Đúng Sai

b)

Hàm số
có tập xác định là
c) Giá trị là số lớn hơn
d) Phương trình lượng giác
vô nghiệm
Câu 5. Biết giới hạn
Mệnh đề
a)
b)
c)

và

. Khi đó:Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Đúng Sai

là hoành độ giao điểm của đường thẳng

với trục hoành

d)
Cho cấp số cộng
với công sai
Câu 6. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)

và

, thì
Đúng Sai

b)
c)
d)
Câu 7. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)

Đúng Sai

b)
c)
d)
Câu 8.

Mệnh đề
a)
b) Ba số
c)
d)

Câu 9.

Mệnh đề
a)

Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:
;

. Khi đó:Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Đúng Sai

tạo thành một cấp số cộng

Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
Khi đó:Các mệnh đề sau đúng hay sai?

là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội
7

và

Đúng Sai

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

b)

là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội

c)
d)

Câu 10. Cho
. Biết
(với
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
b)
c) Bộ ba số
tạo thành một cấp số cộng có công sai
d) Bộ ba số

tối giản). Khi đó:
Đúng Sai

tạo thành một cấp số nhân có công bội

⬩Dạng ❸: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: a) Tính tồng của cấp số nhân lùi vô hạn
với
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số.
Câu 2: Tìm các giới hạn sau:a)
Câu 3: Tìm các giới hạn sau:

a)

a)

b)

b)

;

Câu 4: Cho hai dãy số
;

và

c)

d)

có

b)

.

. Tìm các giới hạn sau:

;

c)

;

d)

Câu 5: Cho dãy số
thoả mãn
. Tìm giới hạn
Câu 6: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số:
a)

;

.
.

b)

Câu 7: Cho dãy số

có tính chất

Câu 8: Tính

.

Câu 9: Tính
Câu 10: Tính

.

. Tính

.

.
.

Câu 11: Tính tổng
Câu 12: Cho

với

Câu 13: Tính

.

là các số thực thoả mãn

8

. Tính

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 14: Tính tổng
Câu 15: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:a)
Câu 16: Cho dãy số

với

Câu 17: Cho tam giác

. Tính

.

.
bằng cách nối các

. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác

là diện tích của tam giác

Câu 18: Cho dãy số
a) Tính

b)

có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác

trung điểm của các cạnh
Kí hiệu

;

.a) Tính

.

b) Tính tổng

với

. Đặt

theo

.

b) Tính

theo

.

.

c) Tính

.

Câu 19: Cho dãy số
có tính chất
. Tính
.
Câu 20: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(12) = 2,121212... thành phân số.
Câu 21: Tìm các giới hạn sau:
a)
b)
Câu 22: Tìm các giới hạn sau:
a)

;

c)

;d)

b)

Câu 23: Tuỳ theo giá trị của

d)

, đường thẳng

cắt

và cắt đường thẳng

;

tại điểm

a)

;

. Tìm

b)

c)
Câu 26: Tính các giới hạn sau:

d)

.

c)

d)
e)
Câu 27: Tìm các giới hạn sau:

g)

a)
b)
Câu 28: Tìm các giới hạn sau:

c)

Câu 29: Kí hiệu

;

b)
là tổng

.
;

b)

a)

.

.

. Kí hiệu
là diện tích của tam giác
Câu 25: Tính các giới hạn sau:
a)

.

c)
, tìm giới hạn

Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ
trục hoành tại điểm

;

c)
số hạng đầu của cấp số nhân
9

.
có công bội bằng

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Biết rằng

. Tìm giá trị của

Câu 30: Cho tam giác

.

vuông tại

và

đường vuông góc

. Hạ các
Tiếp tục quá trình

này, ta nhận được đường gấp khúc
này theo .
Câu 31: Tìm các giới hạn sau:
a)

Tính độ dài đường gấp khúc

b)

d)

;

e)

Câu 32: Cho tam giác
bằng

c)
;

vuông cân tại

. Bên ngoài tam giác

vuông cân tại

;

g)

.

có cạnh huyền

, vẽ tam giác

. Tiếp theo, bên ngoài tam giác

, vẽ tam

giác
vuông cân tại
. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta
vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2).
Tính độ dài đường gấp khúc
Câu 33: Cho tam giác
Trong tam giác

vuông cân tại
, vẽ hình vuông

,

.
sao cho các đỉnh

lần lượt nằm trên các cạnh
giác

, vẽ hình vuông

. Trong tam
sao cho các đỉnh

lần lượt nằm trên các cạnh
,
. Tiếp tục
quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính
tổng diện tích các hình vuông này.

▶BÀI ➋. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức .
❶. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Cho điểm

thuộc khoảng

Ta nói hàm số

và hàm số

xác định trên

có giới hạn hữu hạn là số
thì

, kí hiệu
10

khi

hoặc

dần tới

.

nếu dãy số

bất kì,

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Nhận xét:

(

là hằng số).

❷. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
lim f ( x ) =L v à lim g ( x )=M . Khi đó:
Cho x→
x
x→ x
0

0

( với
).
f ( x )=L t hì L≥ 0 v à lim √ f ( x )=√ L.
Nếu f ( x ) ≥ 0 v à xlim
→x
x →x
0

( Dấu của
Nhận xét:

0

được xét trên khoảng tìm giới hạn,

a)

).

là số nguyên dương;

b)
❸. Giới hạn một phía
Cho hàm số

, nếu tồn tại

).

xác định trên khoảng

Ta nói hàm số

.

có giới hạn bên phải là số

khi

dần tới

nếu dãy số

bất kì,

dần tới

nếu dãy số

bất kì,

kí hiệu
Cho hàm số

xác định trên khoảng

Ta nói hàm số

1.

.

có giới hạn bên trái là số

khi

kí hiệu
.
Chú ý:
1.
Ta thừa nhận các kết quả sau:
2.

khi và chỉ khi

3.

Nếu

thì không tồn tại

4.

Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay
hoặc

.
11

.
bằng

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

❹. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
1.

Cho hàm số

2.

Ta nói hàm số

xác định trên khoảng

.

có giới hạn hữu hạn là số

khi

nếu dãy số

bất kì,

khi

nếu dãy số

bất kì,

kí hiệu
3.

Cho hàm số

4.

Ta nói hàm số

xác định trên khoảng

.

có giới hạn hữu hạn là số
kí hiệu

5. Chú ý:
1.

a) Với là hằng số và

là số nguyên dương, ta luôn có:

2.

b) Các phép toán trên giới hạn hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi thay

bằng

hoặc

.
3.

Cho hàm số

4.

Ta nói hàm số

xác định trên khoảng

.

có giới hạn hữu hạn là số

khi

nếu dãy số

bất kì,

kí hiệu
❺. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
1.

Cho hàm số

2.

Ta nói hàm số

xác định trên khoảng

.

có giới hạn bên phải là

bất kì,

về bên phải nếu với dãy số

kí hiệu

1.
Ta nới hàm số

có giới hạn bên phải là

về bên phải nếu với dãy số

kí hiệu
1.

Chú ý:
a) Các giới hạn
được định nghĩa tương tự như trên.
12

bất kì,

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

b) Ta thường có các giới hạn thường dùng sau:
với

nguyên dương;

với là số chẵn;
với là số lẻ.
c) Các phép toán trên giới hạn hàm số ở Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có
giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.
Nếu
tắc cho bởi sau:

được tính theo quy

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay

thành

( hoặc

,

).

Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản
⬩Dạng ❶: Xác định giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Xét hàm số

với

. Chứng minh rằng

.

Câu 2: Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:a)
b)
⬩Dạng ❷: Tính giới hạn của hàm số bằng một số kết quả giới hạn cơ bản
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Cho

. Chứng minh rằng:

Câu 2: Khi thực hiện tính

biết

.
, một bạn làm như sau:

a) Theo em, lời giải trên có đúng không? Giải thích.
b) Nếu lời giải trên là sai, em hãy trình bày lời giải đúng.
Câu 3: Tính các giới hạn sau:
a)

b)

c)

.

⬩Dạng ❸: Tính giới hạn của hàm số có dạng
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a)

b)

c)

d)

13

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 2: Cho
. Tìm
.
⬩Dạng ❹: Xác định giới hạn của hàm số dựa vào đồ thị
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 1 và cho biết các giới hạn sau:
;
Câu 2: Cho điểm

nằm trên đường tròn đơn vị

, điểm
là một giao điểm của
với trục hoành. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên trục hoành,
là giao điểm của tiếp tuyến
của
tại
với trục hoành. Khi điểm
dần đến giá trị nào?

Câu 3: Trong mặt phẳng toạ độ

dần đến điểm

thì tỉ số

, cho điểm

, nằm trên

đường parabol
. Đường trung trực của đoạn thẳng
cắt trục tung tại
. Điểm
dần đến điểm nào khi điểm
dần đến điểm
?
⬩Dạng ❺: Ứng dụng
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Số lượng xe ô tô vào một đường hầm được cho bởi công thức
, trong đó

là vận tốc trung bình của các

xe khi đi vào đường hầm. Tính
và cho biết ý nghĩa của kết quả (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Câu 2: Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất đơn vị sản phẩm là
(triệu đồng).
a) Tìm hàm số

biểu thị chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm.

b) Tính
. Giới hạn này có ý nghĩa gì?
Câu 3: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất
hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là
độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm ,
cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.
Ⓒ. Dạng toán rèn luyện
⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1: Giá trị của giới hạn
A.

B.
là:

Câu 3: Giá trị của giới hạn

là:

Câu 4: Giá trị của giới hạn

là

. Tính

C.

D.

là:

Câu 2: Giá trị của giới hạn
A.
B.

A.

(người). Tốc

C.

D.

B.

C.
là:
14

D.

và

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

B.

C.

D.

Câu 5: Giá trị của giới hạn
A.

B.

là:
C.

Câu 6: Giá trị của giới hạn
A

D.
là:

B.

C.

Câu 7: Giá trị của giới hạn
A.

là:
B.

Câu 8: Giá trị của giới hạn
A.

D.

Câu 10: Giá trị của giới hạn
A.
Câu 11: Giá trị của giới hạn
A.

B.

B.

B.

C.

D.

.

là:
B.

D. Không xác định.

C.

D.

C.

D. .

C.

D.

là:

Câu 13: Kết quả của giới hạn

là:
B.
là:
B.
D. Không xác định.

Câu 15: Kết quả của giới hạn

Câu 16: Kết quả của giới hạn

D.

là:

C.

A.

D.

C.

B.

Câu 14: Kết quả của giới hạn
A.
C.

C.
là:

Câu 12: Kết quả của giới hạn
A.

A.

D.

là:

Câu 9: Giá trị của giới hạn
A.

C.

là:
B.
là:
15

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

B.

Câu 17: Cho hàm số
A.

C.

Khi đó
C.

Khi đó

Câu 20: Cho hàm số
A.

C.

B.

Khi đó
C.

B.

Tìm
C.

Câu 21: Cho hàm số
B.

C.

D.

D. Không tồn tại.
để tồn tại
D.

hữu hạn. Tính giới hạn
C. .

B.

.
D.

là:
B.

C.

D.

.

là:
B.

Câu 25: Giá trị của giới hạn
A.

là:

= 15

và

Câu 24: Giá trị của giới hạn
A.

D.

Khẳng định nào dưới đây sai?

A.

Câu 23: Giá trị của giới hạn
A.

D.

là:

B.

Câu 19: Cho hàm số
A.

Câu 22: Biết rằng
A.

là:

B.

Câu 18: Cho hàm số
A.

D.

C.

D.

C.

D.

C.

D.

.

là:
B.

Câu 26: Giá trị của giới hạn

là:

A.
B.
⬩Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai
Câu 1. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)

.
Đúng Sai

b
)
c)

16

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

d
)

Câu 2. Cho hàm số
Mệnh đề
a)
Giới hạn
b
.
) Giới hạn
c)
Giới hạn
d Hàm số tồn tại giới hạn khi
)
Câu 3. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)

. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Đúng Sai

Đúng Sai

b
)
c)
d
)

Câu 4. Cho hàm số
Mệnh đề
a)
Giới hạn:
b
) Giới hạn:
c)
Giới hạn:
d
) Giới hạn:
Câu 5. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Đúng Sai

Đúng Sai

b
)
c)
d
)
Câu 6. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)

Đúng Sai

b
)
17

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

c)
d
)

Câu 7. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)

Đúng Sai

b
)
c)
d
)
Câu 8. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)

Đúng Sai

b
)
c)
d
)
Câu 9. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)

Đúng Sai

b
)
c)
d
)
Câu 10. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)

Đúng Sai

b
)
c)
d
)
Dạng ❸: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho hai hàm số
a)

và

có

và

b)

. Tìm các giới hạn:
.

18

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 2: Cho hàm số

Tìm các giới hạn

Câu 3: Cho hàm số
Tìm giá trị của tham số
Câu 4: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a)
;
b)
Câu 5: Tìm các giới hạn sau:

;

và
sao cho tồn tại giới hạn

c)

a)
;
b)
;
c)
;
Câu 6: Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.
a)

;

b)

Câu 7: Tính

.

.

d)

.

.

.

Câu 8: Biết

. Tính

.

Câu 9: Tính giới hạn
Câu 10: Tính
Câu 11: Biết

.

lim g ( x) 1

.
.
lim x 2  1 g ( x)





. Tính x   
.
x  m nÕu x  0,
f (x )  2
x  1 nÕu x 0 với m là tham số.
Câu 12: Cho hàm số
Biết hàm số f ( x ) có giới hạn hữu hạn khi x  0 . Tìm m .
x  

x nÕu x  1

f (x ) 2 nÕu x 1.
1 nÕu x  1

Câu 13: Cho hàm số
Hàm số f ( x ) có giới hạn khi x  1 không ?
x 2  ax nÕu x  3
f (x )  2
3x  1 nÕu x 3 có giới hạn khi x  3 .
Câu 14: Tìm a để hàm số
2 x 2  ax  1
lim 2
b
Câu 15: Tìm các số thực a và b sao cho x  1 x  3 x  2
.

x2  x  2
f ( x) 
lim f ( x)
x
Câu 16: Cho hàm số
. Tính:a) x 
;
2
3
lim (1  x) 1  x 1  x 
Câu 17: Tính giới hạn x  
.

b)

lim f ( x)

x  

.

2
2
lim g ( x) 0
Câu 18: Cho hàm số g ( x)  x  2 x  x  1  2m với m là tham số.Biết x 
, tìm giá trị của
m
lim [( m  x)( mx  1)]  
Câu 19: Cho m là một số thực. Biết x   
. Xác định dấu của m .
sin 2 x
f ( x)  2
lim f ( x) 0
x . Chứng minh rằng x  
Câu 20: Cho hàm số
.
lim f ( x ) 4
Câu 21: Cho x 3
, chứng minh rằng:

19

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

f ( x)
1
lim f ( x) 2
a) x  3
;
b) x  3 4
c) x 3
Câu 22: Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 2 và cho biết các giới hạn sau:
f ( x); lim  f ( x).
lim f ( x) lim f ( x) xlim

x  (  2)
x  
; x  
; (  2)
Câu 23: Tính các giới hạn sau:
 4 x 1
lim 2
lim 3 x 2  5 x  4
lim  4 x 2  3x  1
x  1 x  x  3
x


1
a)
b)
c) x 2
4
 3
3
5
lim 2 x
lim
lim
d) x   2 x  3
e) x  2 x  2
g) x   2 x  2 .
f ( x)  4
lim
2
lim f ( x )
lim 3 f ( x)
Câu 24: Cho x 1 x  1
. Tính:a) x 1
; b) x  1
.
lim

lim 3 f ( x) 12





Câu 25: Cho số thực a và hàm số f ( x ) thoả mãn

lim f ( x)  
x a

. Chứng minh rằng:
(4 x  10) 2
lim
x  2
x2  6x .
b)

lim
x a

f ( x)  3 1
 .
2 f ( x) 1 2

lim  (3 x  1) 2  x 2 
Câu 26: Tìm các giới hạn sau:a) x 3
;
2
x 1
f ( x) 
f ( x), lim f ( x)
lim f ( x )
| x  1| với x 1 . Tìm các giới hạn xlim
1
x 1
Câu 27: Cho hàm số
và x  1
(nếu có).
lim f ( x) 3
lim [ f ( x)  2 g ( x)] 7
Câu 28: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x) có x  
và x  
.
2 f ( x )  g ( x)
lim
x   2 f ( x )  g ( x )
Tìm
.
Câu 29: Tính các giới hạn sau:
x 2  5x  6
x3  x 2  x  3
x2  x  2
4 x 1  3
lim
lim
lim
lim

x 2
( x  2) 2
x3  1
x
x 2
a) x  2
b) x  1
c)
d) x  0
.


 5x  2
lim
Câu 30: Tính các giới hạn sau: a) x    3 x  1 ;

9 x2  3
x 1 ;



 2x  3
lim 2
b) x    3 x  2 x  5

lim

x  

 x 2  2 x  15
2
d) x   
g) x   3 x  4 x  3 .
x2  x
2 x2  5x
lim
lim 2
Câu 31: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:a) x 3 x  1
b) x   x  2 .
x2  4 x  5
x 1 1
lim
lim
Câu 32: Tìm các giới hạn sau:a) x   1 x  1
b) x  2 x  2 .

lim

2 x2  8x  6
x2  1
e) x  1

c)

9x2  3
x 1

lim

lim

x2  x  3
2
Câu 33: Tìm các giới hạn sau:a) x   2 x  4
Câu 34: Tìm các giới hạn sau: a)



lim  x 2  2 x  4

x  

4 x2  x
lim
b) x    x  1 ;
c) x  
x 2  3x  1
lim
b) x    2 x  1 .
lim

lim

;

x 2  ax  b
lim
4
x 1
Câu 35: Tìm giá trị của các tham số a và b biết x  1
.
2
3
x 4
x 1
lim
lim
x  2 x  2
x 1 1  x
Câu 36: Tìm các giới hạn sau:a)
;
b)
;
2
x
x  4x  4
2 x 6
lim
lim
lim
x 0
x

2
x  2
x 1  1 ;
x2 ;
x2  4 .
d)
e)
g)
Câu 37: Tìm các giới hạn sau:
20



x2  6 x  x

x2  4x  3
lim
c) x  3 x  3 ;



Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

2 x 2 1
x
lim
lim
x    (2 x  1) 2
a) x  x  4 b)
Câu 38: Tính các giới hạn sau:

lim

c)

x  

3x  1
x2  2x

x3  2 x 2
lim x  2 x  1
2
a) x   
b) x   3 x 1 ;
Câu 39: Tìm giá trị của các tham số a và b , biết rằng:



3

2



ax  b
5
x 2

lim

d)
lim

c)

x  



lim x 

x  

x2  2x

.

x2  2 x  3

a x b
3
x 1
a)
b)
.
MỤC LỤC
▶BÀI ❸. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức
Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản
⬩Dạng ❶: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
⬩Dạng ❷: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, đoạn
⬩Dạng ❸: Tìm giá trị tham số để hàm số liên tục
⬩Dạng ❹: Ứng dụng
Ⓒ. Dạng toán rèn luyện
⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
⬩Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai
⬩Dạng ❸: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

lim
x 2

lim
x 1

▶BÀI ❸. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức .
❶. Hàm số liên tục tại một điểm
1.

Cho hàm số

xác định trên khoảng

2.

Hàm số

1.

Nhận xét: Để hàm số

1.

1. Hàm số xác định tại
Chú ý:

1.

Khi hàm số

và

được gọi là liên tục tại điểm
liên tục tại

.
nếu

thì phải có cả ba điều kiện sau:

; 2. Tồn tại

;

không liên tục tại điểm

được gọi là điểm gián đoạn của hàm số

thì ta nói
.

21

3.

gián đoạn tại điểm

và

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

❷. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

5.

1.

Cho hàm số

2.

Hàm số
khoảng ấy.

3.

Cho hàm số

4.

Hàm số

xác định trên khoảng

.

được gọi là liên tục trên khoảng

xác định trên khoảng

nếu

liên tục tại mọi điểm trong

.

được gọi là liên tục trên đoạn

nếu

liên tục trên khoảng

và

Nhận xét: Đồ thị của hàm số
liên tục trên đoạn
là một đường liền, có điểm đầu, điểm
cuối (Hình 3).
1.
Nếu hai điểm này nằm về hai phía so với trục hoành thì đường liền nói trên luôn cắt trục hoành
tại ít nhất một điểm. Điều này còn được phát biểu dưới dạng sau:

1.

 Nếu hàm số

liên tục trên đoạn

điểm

và

thì luôn tồn tại ít nhất một

.

❸. Tính liên tục của hàm sơ cấp
1.

Hàm số đa thức

2.

Hàm số phân thức

, các hàm lượng giác

, hàm số căn thức

liên tục trên

.

, các hàm số lượng giác

liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.
3.
Trong đó
là các đa thức.
1.
Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.
❹. Tổng, hiệu, tích thương của hàm số liên tục
1.

Cho hai hàm số

2.

Các hàm số

liên tục tại điểm

. Khi đó:
liên tục tại

22

.

,

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

3.

Hàm số

liên tục tại

nếu

.

Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản
⬩Dạng ❶: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Quan sát đồ thị hàm số
và tìm
Từ đó, cho biết tính liên tục của mỗi hàm số đó tại
sau:
a) Đồ thị trong Hình 3;

.
trong mỗi trường hợp

b) Đồ thị trong Hình 4.

Câu 2: Xét tính liên tục tại
của hàm số
⬩Dạng ❷: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, đoạn
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Cho hàm số
a) Hàm số trên có liên tục tại
hay không?
b) Hàm số trên có liên tục trên
hay không?
Câu 2: Quan sát đồ thị hàm số trong Hình 8 và cho biết hàm số đó có liên
tục:
a) Tại

hay không.

b) Trên khoảng

hay không.

Câu 3: Cho hai hàm số

và

. Xét tính liên tục của các hàm số:

a)
;
b)
;
⬩Dạng ❸: Tìm giá trị tham số để hàm số liên tục
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Cho hàm số

Tìm

Câu 2: Cho hàm số
a) Với
, xét tính liên tục của hàm số tại
b) Tìm để hàm số liên tục trên .
⬩Dạng ❹: Ứng dụng
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Hình 5 biểu thị độ cao
thời gian

, trong đó

a) Dựa vào đồ thị, tìm

c)

để hàm số

.

của một quả bóng được đá lên theo
.

.
23

.

liên tục trên

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

b) Chứng minh rằng hàm số

liên tục trên khoảng

.

c) Với
thuộc
, tính
. Cho biết ý nghĩa của kết quả.
Câu 2: Một bãi đỗ xe tính phí 60000 đồng cho giờ đầu tiên (hoặc một phần của giờ đầu tiên) và thêm 40000
đồng cho mỗi giờ (hoặc một phần của mỗi giờ) tiếp theo, tối đa là 200000 đồng.
a) Vẽ đồ thị hàm số

biểu thị chi phí theo thời gian đỗ xe.

b) Hàm số đó có liên tục trên

không?

c) Giá trị
có tồn tại không? Khi một người có thời gian đỗ xe tăng dần đến 3 giờ và một người có
thời gian đỗ xe giảm dần đến 3 giờ thì chênh lệch chi phí giữa hai người có giảm đi không?
Câu 3: Theo quyết định số 2019/QĐ-BĐVN ngày 01/11/2018 của Tổng công ty Bưu điện Việt Nam, giá
cước dịch vụ Bưu chính phổ cập đối với dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp trong nước có khối lượng đến
như trong bảng sau:

a) Hãy biểu diễn số tiền phải trả khi sử dụng dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp theo khối lượng của thư cơ bản
và bưu thiếp.
b) Hàm số trên có liên tục trên tập xác định hay không?
Ⓒ. Dạng toán rèn luyện
⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1: Tìm giá trị thực của tham số
để hàm số
A.
B.

C.

Câu 2: Tìm giá trị thực của tham số
để hàm số
A.
B.

C.

Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số
A.

Câu 5: Hàm số
A. mọi điểm trừ

D.

để hàm số

B.

C.

liên tục tại
B.

B. mọi điểm

liên tục tại

liên tục tại

Câu 4: Biết rằng hàm số
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.

liên tục tại
D.

C.

liên tục tại:
C. mọi điểm trừ

24

D.

(với

là tham số).

D.

D. mọi điểm trừ

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 6: Số điểm gián đoạn của hàm số
A.
B.

là:
C.

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
A. 2.
B. 1.
Câu 8: Biết rằng hàm số
A.

để hàm số
C. 0.
tục trên
C.

B.

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị của tham số
A. 1.
B. 2.

để hàm số

Câu 10: Biết rằng
đây về giá trị là đúng?
A. là một số nguyên.

liên tục trên đoạn
B.

là một số vô tỉ.

C.

không liên tục trên

B.

không liên tục trên

C.

gián đoạn tại

D.

liên tục trên

.

Câu 13: Tìm giá trị lớn nhất của
A.

liên tục trên

để hàm số

liên tục trên
D. 3.

(với

là tham số). Khẳng định nào dưới
D.

liên tục tại

B.

C.

để hàm số
B.

C.

Câu 14: Xét tính liên tục của hàm số

.

D.

liên tục tại
D.
Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

liên tục tại

B.

liên tục trên

C.

không liên tục trên

D.

gián đoạn tại

Câu 15: Tìm các khoảng liên tục của hàm số

Mệnh đề nào sau đây là sai?

25

?

Khẳng định nào sau đây đúng?
D.

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

A.

D. 3.

C. 0.

Câu 11: Xét tính liên tục của hàm số

Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của

D.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A. Hàm số liên tục tại

.

B. Hàm số liên tục trên các khoảng
C. Hàm số liên tục tại
.
D. Hàm số liên tục trên khoảng
Câu 16: Hàm số
độ là bao nhiêu?
A.

.

có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành
B.

C.

D.

Câu 17: Cho hàm số
A. mọi điểm thuộc .
C. mọi điểm trừ
.

Hàm số
liên tục tại:
B. mọi điểm trừ
D. mọi điểm trừ

.

Câu 18: Cho hàm số
A. mọi điểm thuộc .
C. mọi điểm trừ
.

. Hàm số
liên tục tại:
B. mọi điểm trừ
D. mọi điểm trừ

.

Câu 19: Số điểm gián đoạn của hàm số
A. 1.
B. 2.

Câu 20: Tính tổng
A.

gồm tất cả các giá trị
B.

Câu 21: Cho hàm số
A.
Câu 22: Cho hàm số

C. 3.

để hàm số

và

.

D. 0.

liên tục tại
D.

C.

sao cho

.

là:

. Số nghiệm của phương trình
B.
C.
liên tục trên đoạn

và

trên
,

D.

.

là:

. Có thể nói gì về số nghiệm

của phương trình
trên đoạn
:
A. Vô nghiệm. B. Có ít nhất một nghiệm. C. Có đúng một nghiệm.

D. Có đúng hai nghiệm.

Câu 23: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

có ba nghiệm phân biệt
A.
B.
Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai

Câu 1.Cho các hàm số
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
Hàm số
liên tục tại điểm
b
) Giới hạn
c)
Hàm số
liên tục tại điểm

và

thuộc khoảng
C.

thỏa mãn

D.

?

. Khi đó:
Đúng Sai

.

.
26

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

d
)

Hàm số

liên tục tại điểm

.

Câu 2.Cho hàm số
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a) Ta có
b
)
c)

Hàm số

liên tục tại điểm

Hàm số

liên tục tại điểm

và

. Khi đó:
Đúng Sai

d
không liên tục tại điểm
) Hàm số
Câu 3. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
là hàm số liên tục trên .
b
)
là hàm số liên tục trên khoảng
c)

Đúng Sai

.

là hàm số liên tục trên các khoảng

d
)

.

là hàm số liên tục trên nửa khoảng

Câu 4. Cho các hàm số sau:
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
Hàm số
liên tục tại điểm
.
b
liên tục tại điểm
.
) Hàm số
c)
Hàm số
không liên tục tại điểm
.
d
không liên tục tại điểm
) Hàm số

Câu 5.Cho các hà...