thuvienhoclieu.com
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ
I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. Các giới hạn đặc biệt
a.

với

b.

nếu

c. Nếu
d.

(

nguyên dương.
.
là hằng số) thì

với

.

nguyên dương.

e.
nếu
.
2. Tổng của cấp số nhận lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn
Các định lí về giới hạn.

có công bội

a) Nếu

với

:

.

. Khi đó:
.

.
b) Nếu
c)

và

thì

và

và

và

.

Định lí 2
a) Nếu
b) Nếu

thì
;

.
và

với mọi

thì

c) Nếu
thì
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính giới hạn dãy số đa thức hoặc phân thức hữu tỉ
Khi

(trong đó

và

Phương pháp giải: Chia tử và mẫu cho

.
.

là các là các đa thức của
với

là lũy thừa có số mũ cao nhất của

, sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn
làm nhân tử chung, sau đó sử dụng định lí 2 về giới hạn.

Câu 1:

)

là đa thức bậc

Tính
A.

.

B.

.

C. không tồn tại.
Lời giải

D.

.

Chọn A
thuvienhoclieu.com

Trang 1

, ta đặt

và
 

thuvienhoclieu.com

=
Câu 2:

Tính
A.
.

B.

.

.

C.
Lời giải

.

D. không tồn tại.

.

D. -3.

Chọn C
.
Câu 3:

Tính
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn A
Chia cả tử và mẫu cho

ta có:

.

Vì
nên
Dạng 2: Tính giới hạn dãy số có chứa căn.

.

Hướng 1: Đánh giá bậc của tử và mẫu. Sau đó, chia cả tử và mẫu cho
và
(hoặc rút
là lũy thừa lớn nhất của
các định lí về giới hạn để tìm giới hạn.
Hướng 2: Nhân với biểu thức liên hợp.
Câu 4:

và

với k là số mũ lớn nhất của
ra làm nhân tử). Áp dụng

Tìm
A. 0.

B.

.

C.
Lời giải

.

D. 2

Chọn C

=

=
thuvienhoclieu.com

.
Trang 2

thuvienhoclieu.com
Câu 5:

Tính
A.
.

B.

.

C. 1.
Lời giải

D. 0.

Chọn A
=
Vì
và
Chú ý: Có thể kết luận kết quả của các giới hạn sau:
1)
2)
Câu 6:

.

Tính
A.
.

B.

.

C. 0.
Lời giải

D.

Chọn A

=

= - 2.

Câu 7:

bằng bao nhiêu?
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

D.

.

Chọn B
=

=

Vì
Câu 8:

và

Tính
A.

.

.
.

B.

.

C. .
Lời giải

Chọn D

thuvienhoclieu.com

Trang 3

thuvienhoclieu.com

=

không xác định được vì rơi vào giới hạn vô định

dạng
=

=

=
=0
Dạng 3: Tính giới hạn dãy số chứa lũy thừa.
(trong đó

và

là các biểu thức chứa hàm mũ

Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho
Câu 9:

trong đó a là cơ số lớn nhất.

Tìm
A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

D.

.

Chọn D

=

=

.

Câu 10: Tìm:
A. .

B.

.

C.
Lời giải

.

Chọn B

=

thuvienhoclieu.com

Trang 4

thuvienhoclieu.com
Vì

= 1 > 0;

Câu 11:

= 0;

> 0.

bằng
A.

.

B. .

C.
Lời giải

.

D.

Chọn C
Ta có
Vì

và

Câu 12:

.
bằng

A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D. .

C. .
Lời giải

D.

Chọn C
Ta có
Nên

=

Câu 13: Tính tổng của dãy số
A.

.

.

.
B.

.

Chọn C
Ta có:

là cấp số nhân lùi vô hạn với

Nên tổng các số hạng của dãy số là
CHÚ Ý: MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH
Quy ước: Trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n.
Ghi nhớ cách nhập giá trị của x.

thì ta nhập
( số )

thì ta nhập
( số )
 Đề bài yêu cầu tính
thì ta hiểu rằng, biến
Ghi nhớ cách hiển thị kết quả
 Gặp hằng số
(trong đó
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

.

.

là số nguyên âm, thông thường
thuvienhoclieu.com

Trang 5

thuvienhoclieu.com
Ví dụ 1:

là số rất nhỏ và gần bằng 0.
 Gặp hằng số
hơn 10).

Ví dụ 2:

đọc là (dấu của c) nhân vô cực với c là hằng số (chú ý có thể lớn

là âm vô cực, ghi là

là dương vô cực, ghi là

Ví dụ 3. Tính giới hạn sau:
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính biểu thức sau:

.

Lời giải

 Sau đó bấm CALC, màn hình sẽ xuất hiện như hình bên. Ta hiểu rằng “Bạn muốn gán x bằng
bao nhiêu?”

 Nhập:

Kết quả:

, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0. Vậy

Ví dụ 4. Tính giới hạn sau:

.

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Lời giải

 Sau đó bấm CALC.

 Nhập

, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

thuvienhoclieu.com

Trang 6

thuvienhoclieu.com

Kết quả:

là một giá trị rất nhỏ gần bằng 0.

Vậy
Ví dụ 5. Tính giới hạn sau:
 Nếu ta nhập

, sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR.
Lời giải

Vận dụng định lí 1 nếu

với mọi n và

Ta có đánh giá sau:
được.
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính biểu thức sau:

thì

, ta chỉ cần ghi

vào máy tính là sẽ tính

 Sau đó bấm CALC.

 Nhập:

Kết quả:

, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0. Vậy

Ví dụ 6. Tính giới hạn sau
 Nếu ta nhập
, sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR do hàm số mũ tăng
rất nhanh nên sẽ không tính được trên máy tính. Trong trường hợp này ta sẽ xử lý như sau:
thuvienhoclieu.com

Trang 7

thuvienhoclieu.com
Lời giải

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính biểu thức sau:

 Bấm CALC.

 Nhâp:

, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả:

là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0.

Vậy
NHẬN XÉT: Qua 4 ví dụ trên, phần nfao bạn đọc đã hiểu về cách sử dụng máy tính cầm tay
(MTCT) để giải các bài toán về dãy số có giới hạn là 0. Có những bài toán sử dụng máy tính và
nhập lệnh CALC
sẽ ra luôn kết quả, có những bài toán không ra được ngay,
chúng ta cần vận dụng linh hoạt các cách đánh giá cũng như đổi cách bấm máy để ra được kết
quả bài toán. Qua đây, đòi hỏi chúng ta cần có kiến thức khá chắc chắn về định nghĩa giới hạn
dãy số để có thể vận dụng làm các bài tập cho tốt hơn.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1.

bằng
A.

.

B. .

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D
Ta có:
Vì
Câu 2.

.
và

nên theo quy tắc 2,

bằng
A.

B.

C. .
Lời giải

D.

Chọn B
Ta có
thuvienhoclieu.com

Trang 8

thuvienhoclieu.com
Vì
và
nên
Tổng quát: Cho là một số nguyên dương.
a)

nếu

b)

nếu

Chẳng hạn:
Câu 3.

vì

, với
A.

(theo quy tắc 2).

;

vì

.

bằng:
B.

C.
Lời giải

D.

Chọn B
Ta có:
Câu 4.

.
với

A.

bằng
B.

C.
Lời giải

D.

Chọn C
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho

được:

(

là lũy thừa bậc cao nhất của

. Vì

trong phân thức), ta

và

nên

.
Câu 5.

Giới hạn của dãy số
A.

với

bằng

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn B
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho

(

là bậc cao nhất của

trong phân thức), ta được

.
Câu 6.

Giới hạn của dãy số
A.

với
B.

, bằng
C.
Lời giải

D.

Chọn C
thuvienhoclieu.com

Trang 9

thuvienhoclieu.com
Chia cả tử và mẫu cho

(

là lũy thừa bậc cao nhất của

trong mẫu thức), ta được

Vậy
Câu 7.

bằng
A.

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn D
Ta có
Câu 8.

mà

Cho dãy số

nên suy ra

được xác định bởi

với mọi

. Tìm giới hạn của

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
với mọi

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được
Đề bài không cho biết dãy số

có giới hạn hữu hạn hay không, tuy nhiên các đáp án đề bài

cho đều là các giới hạn hữu hạn. Do đó có thể khẳng định được dãy số

có giới hạn hữu

hạn. Đặt

Hay
Vậy
(loại trường hợp
Câu 9.

). Vậy

Tổng
A. .
Chọn B

.

bằng:
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có

và

thuvienhoclieu.com

.
Trang 10

thuvienhoclieu.com

Do đó

.

Câu 10. Tính

bằng:

A. 0.
Chọn C

B. 1.

C.

.

D.

.

Lời giải

Ta có:
Vậy

.

Câu 11. Biết

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn B

1 1

un  1 un un2

3un2  5 3  5
un2 . Vì
Ta có:
Vậy

nên

,

.

.

Câu 12.

bằng bao nhiêu?
B. .

A. .

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn B
Bậc của tử và mẫu thức đều bằng
, hệ số của

nên dãy có giới hạn hữu hạn. Hệ số của

dưới mẫu bằng

nên giới hạn là

Câu 13. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là
A.

.

C.

.

trên tử bằng

.

?
B.
Lời giải

.

D.

Chọn A

thuvienhoclieu.com

Trang 11

.

thuvienhoclieu.com
Phân thức

có bậc của tử thức cao hơn bậc của mẫu thức, đồng thời hệ số của lũy

thừa bậc cao nhất của tử thức và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của mẫu thức đều dương nên
suy ra giới hạn của dãy số tương ứng bằng
(Phân thức
thức

.

có bậc tử bằng bậc mẫu nên giới hạn dãy số tương ứng bằng

. Phân

có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu nên giới hạn dãy số tương ứng bằng

Phân thức

.

có bậc tử lớn hơn bậc mẫu nhưng hệ số của lũy thừa bậc cao nhất trên tử

và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất dưới mẫu trái dấu nhau nên giới hạn dãy số tương ứng bằng
).
Câu 14.

bằng:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

Câu 15.
A.

.

bằng:
B.

.

C. .

D.

.

Lời giải
Chọn A

.

thuvienhoclieu.com

Trang 12