MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG VẬT LÝ PHẦN ĐIỆN HỌC
Để có chất lượng khi bồi dưỡng HSG phần điện học thì sau khi đã hệ thống toàn
bộ kiến thức cơ bản cho học sinh thì ta sẽ chia phần điện học thành nhiều chuyên đề
nhỏ, qua đó có điều kiện bồi dưỡng chuyên sâu hơn. Phần điện học có thể chia thành
một số chuyên đề sau đây:
- Chuyên đề 1: Mạch điện tương đương
- Chuyên đề 2: Các quy tắc chuyển mạch
- Chuyên đề 3: Các bài toán chia dòng, phép chia thế
- Chuyên đề 4: Các bài toán về nút mạng, phương trình cộng thế
- Chuyên đề 5: Vai trò của dụng cụ đo (Ampe kế, Vôn kế)
- Chuyên đề 6: Các bài toán về biến trở - Toán biện luận
- Chuyên đề 7: Cực trị của các đại lượng điện
- Chuyên đề 8: Các phương án mắc mạch điện
- Chuyên đề 9: Xác định các đại lượng điện bằng thực nghiệm
- Chuyên đề 10: Nhiệt lượng – Công suất
Chuyên đề 1: MẠCH ĐIỆN TƯƠNG ĐƯƠNG
- Việc chuyển mạch điện đã cho thành mạch điện mới tương đương, sao cho
mạch điện mới dễ dàng xác định được đoạn mạch nào là nối tiếp, song song sẽ giúp
cho việc giải bài toán một cách thuận lợi. Vì vậy trong quá trình giảng dạy phần điện
chúng ta không thể không hướng dẫn HS cách chuyển mạch và một số thủ thuật khi
chuyển mạch.
I. PHƯƠNG PHÁP
Trong thực tế ta thường gặp 2 trường hợp sau:
+ Mạch điện gồm một số điện trở xác định, nhưng khi ta thay đổi hai nút vào
ra của dòng điện mạch chính thì ta được các sơ đồ tương đương khác nhau. Đối với
mạch điện dạng này thi chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:
- Xác định các nút vào ra của nguồn điện
- Xác định các nút điện thế trong mạch điện, nếu các nút có điện thế bằng
nhau thì ta chập chúng lại, rồi biểu diễn các nút đó theo thứ tự hợp lý.
- Xác định các điện trở được nối với các nút điện thế nào trong sơ đồ ban đầu
để mắc vào các nút điện thế tương ứng trong sơ đồ tương đương.
+ Mạch điện có điện trở, nút vào ra xác định, nhưng khi các khoá K thay nhau
đóng mở, ta cũng được các sơ đồ tưưong đương khác nhau. Cách làm đối với đoan
mạch loại này như sau:
- Nếu khoá K nào hở thì bỏ hẵn tất cả các thứ nối tiếp với K về cả 2 phía.
- Nếu K đóng ta chập hai nút hai bên khoá K với nhau thành 1 điểm.
- Xác định xem trong mạch có mấy điểm điện thế.
- Tìm các điện trở song song nhau, các phần nối tiếp nhau và vẽ sơ đồ.
II. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ;

Dạng 1: Mạch điện gồm một số điện trở xác định, nhưng khi ta thay đổi
hai nút vào ra của dòng điện mạch chính thì ta được các sơ đồ tương đương
khác nhau.
1

Ví dụ 1: Cho sơ đồ mạch điện (hình 1) Hãy vẽ sơ đồ tương đương để tính:
a) RAB;
R2
R1
A
B
C
b) RAC;
c) RBC.
R3
R4
D

Giải:


a) Tính RAB: Ta chập C và D, mạch điện
B
A
R1
còn 3 điểm điện thế là A, B và C, nhận
R2
thấy R1 mắc vào hai điểm A,B; R 2 mắc
R3
vào hai điểm B,C; R3 mắc vào hai điểm
C,D
A,D; R4 mắc vào hai điểm B,D ta có sơ
R4
đồ sau:
b) Tính RAC. Ta chập C với D mạch cũng còn 3 điểm như câu a nhưng A là điểm
vào, C là điểm ra, ta có sơ đồ sau:
R2
R1
C
B
R4
D
A


R3
R3
c) Tính RBC Chập C và D Khi đó
mạch gồm 3 nhánh song song R 4,
R2 và bộ nối tiếp gồm R1, R3
R2
C,D 
 B
R4
R3
R1
A
•
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ 2. Hãy vẽ sơ đồ tương đương để tính các điện
trở sau:
B
C
D
A
a) RAB;
R1
R2
R3
b) RAC;
R6
R5
R4
c) RAD;
d) RCB;
M
Giải:
a) Tính RAB
Chập A, M, N với nhau



A,M
,N

N

R1
R6

R3

D R4

R5


C

B



R2

2

R1
b) Tính RAC

R6


c) Tính RAD

B


A,M,
N
R1



A N
•M • •

R4

D


C
•

R2

B•

R6

C 

R5

R3

R2

D
•

R3



R5
R4
d) Tính RCB (tương tự)
Dạng2: Cho mạch điên có các nút vào ra xác định nhưng khi cáckhóa K
thay nhau đóng mở thì ta được một mạch điện mới tương đương
Vi dụ 3: Vẽ sơ đồ tương đương để tính
R2
R1
A
C
B 
RMN khi:

a) K1 đóng, K2 mở
R7
b) K1 hở, K2 đóng
R6
K1
K2
R3
c) K1, K2 đều đóng
D

R5
Giải:

a) Khi K1 đóng, chập A va D.
Bỏ nhánh CE vì K2 hở, bỏ R5, R6 ra,
mạch còn lại hai nhánh song song
Nhánh 1 gồm R1//R7 nối tiếp R2.
Nhánh 2 gồm 2 điện trở R 3, R4 nối
tiếp nhau
b) Bỏ đường AD vì K1 hở,
K2 đóng ta chập C với E, mạch
gồm 2 cụm nối tiếp nhau

R1
A
D•



R4
R1


R6

R5

•B



R3

E
•

R2
C

R7

A

R2

•C

R7

E

R4

B

•

E



R3

D

R4
R1
c) Chập A và D, C và E, mạch chỉ
còn lại 3 điểm điện thế A(và D), C
(và E), B

R2
A
D •

R7

C
E•

R3

•B 

R4

3

Ví dụ 4: Cho mạch điện như hình vẽ. Vẽ sơ đồ
tính điện trở tương đương của đoạn mạch AB,
khi khoá K ngắt và khi K đóng

Giải:
a) Khi K đóng điện trở nằm ngang bị nối tắt
ba điện trở còn lại có một đầu cùng nối với D ,
đầu kia cung nối với B, tức là cùng mắc song
song với nhau. Điện trở của đoạn mạch AB khi
đó là R/3.

K
• •
R

C
A

D
R

R

B

R

E
R
R


A


B

R
R

b) Khi K ngắt thì ta có sơ đồ tương đương
sau:
RAB = 3/5R

R

•

R

•

R


•



BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài tập 1: Cho mạch điện như hình vẽ.
K
Biết UAB = 90V, R1 = 40  ; R2 = 90  ; R4 = 20 
R1
; R3 là một biến trở. Bỏ qua điện trở của ampe kế,
A
C R4
khóa K và dây nối.
R2
D R
a.Cho R3 = 30  tính điện trở tương đương
3
của đoạn mạch AB và số chỉ của ampe kế trong
_
+
hai trường hợp :
+ Khóa K mở.
A B
+ Khóa K đóng.
b.Tính R3 để số chỉ của ampe kế khi K đóng cũng như khi K ngắt là bằng nhau.
Giải
a) + Khi K mở đoạn mạch được vẽ lại :
I4

+ IAB
A

R .R

R1

R4
R2

A
R3
D

_
B

U

14
2
AB
RAB = RAD + R3 = R  R  R3 = 66; IAB = R = 1,36A; UAD = IAB . RAD = 48,96V
14
2
AB

U

AD
Số chỉ của ampe kế : Ia = I4 = R 0,816A
14

4

+ Khi K đóng đoạn mạch được vẽ lại :
R3 R4

R1 R234

U AB

R234 = R2 + R34 = R2 + R + R = 102 ; RAB = R + R = 28,7
3
4
1
234
U34 = I234 .R34 = 10,56 V
b)
+ K mở :

I234 = R = 0,88A
234

U34

=> Ia = R = 0,528A
4

R .R

U

54

14
2
AD
RAB = R  R  R3 = 36 +R3 Ia = I1 = I4 = R 36  R (1)
14
2
14
3
+ K đóng :

R .R

20 R

3
4
3
R34 = R  R  20  R ; R234 = R2 + R34 =
3
4
3

180 R3

90(20  R3 )  20 R3
9 20  R3 
;
I
2 = I34 =
20  R3
180  11R3

9 R3

U34 = I34 . R34 = 180 11R ; Ia = I4 = 180  11R (2)
3
3
2
Từ (1) và (2) => R3 - 30R3 – 1080 = 0
Giải phương trình ta có : R3 = 51,1 ( Chọn )
R3 = - 21,1( Loại vì R3 < 0)
Bài tập 2
Cho mạch điện như hình 3. Biết : R1 = 8 ;
R2 = R3 = 4 ; R4 = 6 ; UAB = 6V không đổi .
Điện trở của ampe kế , khóa K và các dây nối
không đáng kể .
1. Hãy tính điện trở tương đương của đoạn mạch AB
và số chỉ của ampe kế trong hai trường hợp :
A
a. Khóa K mở .
b. Khóa K đóng .
2. Xét trường hợp khi K đóng :
Thay khóa K bằng điện trở R5 . Tính R5 để cường
độ dòng điện chạy qua điện trở R2 bằng không ?
1. a
R4
Khi K mở mạch điện như hình vẽ sau :
Điện trở tương đương của mạch
điện là :
R1
R2
A
RAB
=
Số chỉ của ampe kế là :
IA =

R1

C

R2

D

K

A

R3

B

Hình 3

D

A

R3
B

C

( R1  R2 ) R4
(8  4)6
 R3 
 4 8 (  )
R1  R2  R4
846
U AB 6
 0,75( A)
R AB 8

R4

R4
A

b Khi K đóng điện như hình vẽ sau :
Do R2 = R3 = 4 , nên RDC = 2 (  )
RADC =R4 + RDC = 6 + 2 = 8 (  ) = R1
Vậy điện trở tương đương của mạch điện là :

R2
D
A

R3

C
B

R1
5

R1
8
= 4 (  )
2
2
RDC
2
U AB 
.6 1,5(V )
R4  RDC
62

RAB =
UDC =

Số chỉ của ampe kế là :
IA =

U DC 1,5
 0,375( A)
R3
4

2. Khi thay khóa K bằng điện trở R5
sơ đồ mạch điện như hình vẽ sau :
Dễ dàng thấy khi dòng điện
qua R2 bằng không thì mạch điện
là mạch cầu cân bằng nên ta có :

R4
R1

R2

C

D

R5

R4 R1

R3 R5

A

A

R3

B

6 8
16
  R5  5,33()
4 R5
3

Chuyên đề 2: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ VỀ NÚT VÀ PHƯƠNG
TRÌNH CỘNG THẾ

1- Khái niệm về nút
Nút mạch là điểm nối của ít nhất ba đoạn mạch điện
2 - Định lí về nút mạng:
Tổng đại số các dòng điện đi đến nút bằng tổng đại số các dòng dòng điện đi ra khỏi
nút
3 - Phương trình cộng thế:
Nếu A, B, C là các điểm điện thế bất kì trong mạch điện, ta có UAC = UAB + UBC
I. PHƯƠNG PHÁP
- Đối với các mạch điện phức tạp, hoặc mạch điện có các khóa K đóng (ngắt)
khác nhau thì ta thực hiện như sau:
+ Vẽ lại mạch điện tương đương
+ Tính dòng điện qua các điện trở hoặc qua các đoạn mạch
+ Sử dụng định lý về nút mạng để tính cường độ dòng điện hoặc viết phương
trình dòng điện.
- Đối với những mạch điện mà sau khi vẽ mạch điện tương đương các ampe kế
đã bị chập các điểm ở hai đầu thi ta dựa vào các nút ở hai đầu trong sơ đồ gốc và sử
dụng định lý về nút mạng để tính cường độ dòng điện chạy qua ampe kế.
- Đối với những bài toán yêu cầu tính hiệu điện thế giữa hai điểm trong mạch
điện thì ta có thể sử dụng công thức cộng thế để tính. Trong trường hợp này thì
chú ý đến chiều dòng điện.
II. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ:

Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ:
a) Cho R1 = R3 = 2 ; R2 = 3 
R4 = 6; RA 0 ; UAB = 5V
Tìm I1; I2; I3; I4 và số chỉ của ampe kế

M
A


R1

R2

A

B


R4

R3
N

6

b) Nếu R1 = R2 = 1 ; R3 = 3 
R4 = 4; RA 0. Ampe kế chỉ 1A
Tìm I1; I2; I3; I4 và UAB
Giải:
R1
Vì RA 0 nên chập nút M và N khi đó ta

có sơ đồ tương đương sau:
A
M N
R3
a) Ta có RAB = 3 
I = 5/3A; I1 = I 3 = I/2 = 5/6A;
I2 = 10/9A; I4 = 5/9A
Để tìm số chỉ của ampe kế ta phải quay trở lại sơ đồ chính
Vì I2 > I1 nên cường đọ dòng điện qua ampe kế chạy từ N đến M

R2
B

R4

10 5 5
  A
9 6 18
R3
R4
3
4
b) I 1  R  R I  4 I ; I 2  R  R I  5 I ;
1
3
2
4
4
3
I
I
1  I 20 A
Từ nút M ta có IA = I2 – I1 = I  I  
5
4
20
20

suy ra IA = I2 – I1 =

Từ đó ta tính được I1 = 15A; I2 = 16A; I3 = 5A; I4 = 4A; UAB = 31V
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ, ampe kế A1
chỉ I1. Hỏi ampe kế A2 chỉ bao nhiêu.
Kí hiệu dòng điện qua các đoạn mạch như hình vẽ
Xét dòng điện tại các nút A và B ta có
I3 + I1 = I2 + I4 (1)
Mặt khác
UAB = I3R + I2R = (I3+I2)R
UAB = I33R + I4R =(3I1 + I4)R
Suy ra I3 + I2 = 3I1 + I4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra I2 = 2I1
Vậy A2 chỉ 2I1
Ví dụ 3 Cho mạch điện như hình vẽ. Bỏ qua điện

I3
A I1

A1

I 1 R1
20
I 1 30 3I 1

I1R3 = I5R5 suy ra I5 =
50
5
I 1 R1 3I 1

Tại nút P: I4 = I2 – I5 suy ra I 4 =
20
5
3I
8I
I1  1  1
5
5

I2 =

I6 =I1 + I5

suy ra

P

R

B

R2


R1

R4
R5

A



R1 N

Ta có I2R2 = I1R1 suy ra

I4

R2 M

Giải:

Tại nút Q:

3R

R

A2

 

trở của ampe kế và dây nối. R2 = 20;

R3 = 30; R4 = 40 ; R5 = 50; R6 = 10. Khi
ampe kế chỉ số 0. Hãy tính R1

R

I2
R

R3 Q



R6
R4

R3

R5



R6

I6 =

Viết phương trình hiệu điện thế;
7

I4R4 = I5R5+ I6R6 hay [

3I
3I
8I
I 1 R1
- 1 ].40 = 1 .50 + 1 .10
5
5
5
20

Suy ra 2R1 – 24 = 30 + 16  R1 = 35

Chuyên đề 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ DỤNG CỤ ĐO (AMPE KẾ, VÔN KẾ)

I. PHƯƠNG PHÁP
1) Đối với ampe kế:
a) Nếu ampe kế là lí tưởng (RA = 0) thì trong sơ đồ nó có vai trò như dây nối
nên;
- Khi mắc nối tiếp vào mạch nào thì nó chỉ dòng điện mạch đó
- Khi mắc song song với 1 điện trở thì điện trở đó bị nối tắt, được bỏ ra khỏi sơ
đồ
- Khi nó gắn riêng một mạch, thì dòng điện qua nó được tính thông qua các
dòng điện liên quan ở hai nút ta mắc ampe kế.
b) Nếu ampe kế có điện trở đáng kể thì trong sơ đồ được coi như 1 điện trở.
2) Đối với vôn kế:
a) Nếu vôn kế có điện trở lớn vô cùng (lí tưởng) thì:
+ Bỏ qua vôn kế khi vẽ sơ đồ tương đương khi tính điện trở của mạch điện.
+ Những điện trở bất kì khi ghép nối tiếp với vôn kế thì coi như dây nối của
vôn kế.
+ Số chỉ của vôn kế loại này trong trường hợp mạch phức tạp được tính thông
qua công thức cộng thế.
b) Nếu vôn kế có điện trở không quá lớn thì trong sơ đồ nó có vai trò như một
điện trở. Số chỉ của vôn kế là U = IV.RV.
M
N
II – CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ





A – Các ví dụ về ampe kế
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ.
Trong đó điện trở các ampe kế và các dây
nối đều không đáng kể R1 = R2 = R3 = R4 =
2, R5 = 1; R6= = 4, UMN = 3V. Tìm
số chỉ của các ampe kế.
Giải:
Ta có sơ đồ tương đương sau:
Từ sơ đồ ta suy ra:

RAD

A1

R1

R3 C R4

A2

A3

R2 A

B

R5 D R6
M

2.1 2

 ;
2 1 3

2.4
8 4
  ;
24 6 3
U
3
2 4
 RMN 2   4 I = MN  A
RMN 4
3 3
RCB 



R3

R4
C
D

R1 A

N

R6

B

R5

Trở lại sơ đồ ban đầu thì A1 và A2 cùng
chỉ

3
A
4

I3 

R5
I 1
I  A
R3  R5
3 4

8

R

4

2

1

6
I4 = R  R I  4  2 I  3 I  2 A
4
6

Từ
I A3

sơ đồ ban đầu thì A 3 chỉ

1
I 4  I 3  A
4

Ví dụ 2: Trong hình vẽ các điện trở r
giống nhau, các ampe kế đều có điện
trở không đáng kể, A1 chỉ 1A. Hỏi A
2, A3 chỉ bao nhiêu?

C

A1

r
M

R1



D

A2

r R2

r

R4 A

r

r

A3

R3

R5 B

r



R6

N

Giải; Vì các ampe kế có điện trở bằng 0 nên trong sơ đồ tương đường ta chập 3 điểm
C, D, N vào một. Đồng thời vẽ chiều
R3
dòng điện trong cả hai sơ đồ.. Qua
R4 A R5
M
đó mới biết mỗi ampe kế chỉ dòng
C D N
B R6

điện nào trong sơ đồ tương đương.
Ta có: I5 = 2I3, (vì I3 = I4) . từ mạch
song
song
R2


I 2 1,5r

1,5  I 2 1,5 I 5 3I 3 ;
I5
r

R1

I 4 I 2  I 5 5I 3
8
r
I
Tương tự: 1  5  8  I  8 I 8I
4
3
I4
r
5
5

Từ giả thiết: IA1 = I1 = 1A
Ta suy ra I3 = 1/8A; I2 3I3 = 3/8A
Kết quả là IA2 = I1 + I2 = 1+3/8 = 11/8A
IA3 = IA2 + I3 = 11/8 + 1/8 = 1,5A
Ví dụ 3: Mạch điện mắc theo sơ đồ sau. Các ampe
kế giống hệt nhau, các điện trở bằng nhau là r. Biết
rằng A2 chỉ 1A, A3 chỉ 0,5A. hỏi A1 chỉ bao nhiêu?
Giải
Ta thấy các ampe kế có điện trở đáng kể, vì nếu R A
= 0 thì A1 làm đoản mạch. Do đó ta phải đi tìm RA.
I2



r

P

A3

r

A2

A1

r



Q

R A  2r

2  R A 2r
Ta có I  R
3
A
Để có I1 ta so sánh với I4 thông qua 2 mạch song song; đó là mạch A 1 và phần còn
lại:

Ví dụ 4: Cho mạch điện như hình 2 .
Biết R1 = R3 = 30 ; R2 = 10 ; R4 là một
biến trở. Hiệu điện thế giữa hai điểm A và
B là UAB = 18V không đổi . Bỏ qua điện
trở của dây nối và của ampe kế .

R1

C

R2

A

A

R3

D

B

R4

9

a. Cho R4 = 10 . Tính điện trở tương đương của đoạn mạch AB và cường độ
dòng điện mạch chính khi đó ?
b. Phải điều chỉnh biến trở có điện trở bằng bao nhiêu để ampe kế chỉ 0,2A và
dòng điện chạy qua ampe kế có chiều từ C đến D ?
Giải
a. Do ampe kế có điện trở không đáng kể nên ta chập C với D
Mạch điện được mắc như sau : ( R1 // R3 ) nt ( R2 // R4 )
Vì R1 = R3 = 30  nên R13 = 15
R2
I1 R1 C
Vì R2 = R4 = 10  nên R24 = 5
I1 I2
Vậy điện trở tương đương của mạch điện là
IA
RAB = R13 + R24 = 15 + 5 = 20 (  )
A
Cường độ dòng điện mạch chính là :
A I
U
18
I  AB  0,9( A)
R AB 20

I3

R3 D I4

b. Gọi I là cường độ dòng điện chạy trong mạch
Do ampe kế có điện trở không đáng kể nên ta chập C với D
Mạch điện được mắc như sau : ( R1 // R3 ) nt ( R2 // R4 )
Do R1 = R3 nên I1 = I3 =

R4

:
B

chính

R4
I
I2 = R  R I
2
2
4

Cường độ dòng điện qua ampe kế là :

I ( R2  R4 ) I (10  R4 )

= 0,2 ( A )
(1)
2( R2  R4 ) 2(10  R4 )
R1
R2 .R4
10.R4
Điện trở của mạch điện là : RAB = 2  R  R 15  10  R
2
4
4
18(10  R4 )
U
18


Cường độ dòng điện mạch chính là : I = R AB 15  10.R4 150  25R4
(2)
10  R4
30
Thay ( 2 ) vào ( 1 ) rồi rút gọn ta được : 14R4 = 60 => R4 =
()  4,3()
7
I

R

4
=> IA = I1 – I2 = 2  R  R I ; => IA =
2
4

B – Các ví dụ về vôn kế

R3
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ. V có điện trở
 
RV rất lớn, A và K có điện trở rất nhỏ.
a. Khi K mở, V chỉ 6V
K
A
V
b. Khi K đóng, V chỉ 5,75V và A chỉ
0,5A.
R1
R2
Tính hiệu điện thế U hai đầu mạch và điện trở R3.
Gợi ý giải:
Khi K mở thì R3 coi như dây nối nên Vôn kế mắc
song song với nguồn điện nên số chỉ của vôn kế la hiệu điện thế của nguồn U = U V
=6V
R2
Khi K đóng ta có số chỉ của vôn kế là hiệu điện thế
R3
P
hai đâu đoạn mạch R1 nối tiếp R2 nên U = UV + U3 =
UV + I.R3 suy ra R3 = 0,5
V
R4
R5
N
M
Q
10
R1
 U

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ U = 60V; R 1 = 10; R2 = R5 = 20; R3 = R4 =
40; Vôn kế là lí tưởng. Bỏ qua điện trở của các dây nối. Hãy tìm số chỉ của vôn kế
Giải:
Khi vôn kế mắc vào P và Q ta có: R23  R2  R3 ;
Điện trở tương đương của mạch MN là

RMN 

R45  R4  R5 60
R23
30
2

Điện trở toàn mạch là R1 + RMN = 40; cường độ dong điện trong mạch chính:
I

U
60
 1,5 A
R1  RMN 40

Do đó dòng điện qua R2 và R4 là: I2 = I4 =

I
0,75 A
2

UV = UPQ = R4I4 – R2I2 = 0,75.20 = 15V

Ví du 3: Các vôn kế giống nhau được mắc vào
mạch điện như hình vẽ. Vôn kế V1 chỉ 10V; V3 chỉ
8V.
a) Vôn kế V2 chỉ bao nhiêu
b) Giả sử điện trở của vôn kế lớn vô cùng,
UAB vẫn không đổi. Hãy cho biết độ chỉ của
vôn kế
Giải:
a) Ta có; I1 = I2 + I3 

R

A

R

+

_

V1

V3

V2

B

10  U 2 U 2
8 U2 8
18



1
R
RV RV RV
R  RV

U2

Mặt khác: R  R .RV 82
V
Từ (1) và (2) suy ra U22 + 8U2 – 144 = 0. Giải phương trình ta chon U2 = 8,65V
b) Khi R V lớn vô cùng, ta coi các các điện trở R như dây nối của các vôn kế.
Vậy 3 vôn kế ghép song song nên chúng chỉ 27,5V
V1
Ví dụ 4; Trong sơ đồ mạch điện dưới đây các
vôn kế có giá trị lớn vô cùng chung đang chỉ

R2
R3
cùng một giá trị. Nếu thay 2 vôn kế bằng 2
R1
V2
ampe kế có điện trở bằng 0 thì số chỉ của chúng
có bằng nhau không
Giải:
Khi chưa thay vôn kế bởi ampe kế thì 3 điện trở ghép nối tiếp
U1 = U1 + U2 ;
UV2= U2 + U3
Vì UV1 = UV2 suy ra U1 = U3 suy ra R1 = R3
Khi thay 2 vôn kế bởi 2 ampe kế thì 3 điện trở ghép song song. Vì R1 = R3 nên I1 =I3
I A1  I 2  I 3 
  I A1  I A2 (Bỏ qua điện trở của ampe kế và dây nối).
I A2  I 1  I 2 
R1

Ví dụ 5: Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ. Biết: U =
10V, R1 2  , R2 = 9  , R3 = 3  , R4 = 7  , điện trở của vôn
là RV = 150  . Tìm số chỉ của vôn kế.

R2

V

R3
+

U

R4
_

kế
11



- Ta có các phương trình:

U AB = U AC + U CD + U DB = 2I1 + 150I 2 + 7(I - I1 + I 2 ) = - 5I1 + 157I 2 + 7I = 10 (1)
U AB = U AC + U CB = 2I1 + 9(I1 - I2 ) = 11I1 - 9I2 = 10 (2)
I1 R 1
U AB = U AD + U DB = 3(I - I1 ) + 7(I - I1 + I 2 )
= - 10I1 + 7I 2 + 10I = 10

C I1 - I 2
I2

(3)

- Giải ba hệ phương trình trên ta có:
I1  0,915A; I2  0,008A; I  1,910A.
- Số chỉ của vôn kế:
U V = I 2 R V = 0,008 150 = 1,2(V) .

R3

A

R4

_
+ U

r

+

V1

U

_

R

R
R

I

Giải

V2

r

+

R( R  RV )
U AB
U AB 3
- Mặt khác: U AB  2 R  RV  R  RV  3  U  U  U  7
CA
AB
V1
U CA
R
2 R  RV 4
- Từ (1) và (2) ta có: U AB 6 (V) và UV2 4 (V)

1
Biết U = 15V, R1= R, R2= R3= R4= R, các
15

vôn kế giống nhau và điện trở của các dây
nối không đáng kể, vôn kế V1 chỉ 14V.
a) Vôn kế có lí tưởng không? Vì sao?
b) Tính số chỉ của vôn kế V2?

R1

+

_

R

B
V2

(2) ; với UV 14(V )
1

R2

D

U

I1

1
C
V1
- Ta có U Ir + I1RV  U  I .r I1RV = 14(V)  I  (A)
I2
r
1 14
14
R
 
2
2
R
(
R

R
)
I

I

I


16
R

165
R
.
r

42
R

0
r
R
Mà
(*) ; R
V
1
2
V
V
V
R
2 R  RV
A
R
16 RV2  11RRV  42 R 2 0 (**)
thay r  vào pt (*) ta có:
15
  121R 2  2688R 2 2809 R 2   53R  RV 2 R (loại nghiệm âm)
UV2
UV
UV2 2
2
2
R
 (1)
Xét đoạn AV2B, ta có: 2  V 2  U  U 1  2  3 
UR
R
U AB 3
V2
R

Ví dụ 7
Cho mạch điện như hình vẽ.

B

D I-I +I
1
2

I - I1

I

Ví dụ 6:
Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ. Biết U =
15V, R = 15r. Các vôn kế giống nhau, bỏ qua điện trở
dây nối. Biết vôn kế V1 chỉ 14V, hỏi vôn kế V2 chỉ bao
nhiêu?

V

R2

C
V2
B

V1

U

R3

R4

_
A

Giải:
a) Vôn kế lí tưởng nên mạch AB gồm:
(R1 nt R2)//(R3 nt Rb).
Hiệu điện thế ở hai đầu R2 là:

R1

R2

C
V

R3

Rb
D
_
+
U
B
A

12

U2 

U AB
12
.R 2 
.50 = 10 (V)
R1  R 2
10  50

Hiệu điện thế ở hai đầu Rb là:
Ub 

U AB
12
.R b 
.30 = 7,2 (V)
R3  R b
20  30

Số chỉ của vôn kế là: UV = U2 – Ub = 10 – 7,2 = 2,8(V)
b) Khi điều chỉnh biến trở thì ta có:
12R b
U AB
U AB
.R 2 = 10 (V) và U b 
.R b 
R1  R 2
R3  R b
20  R b
12R
Khi Rb = R thì U b 
20  R
Vì chốt (+) của vôn kế được nối với C  U V1 U 2  U b
U2 

U V1 U 2  U b 

200  2R
20  R

48R
200  8R
 U V2 U 2  U b 
20  4R
20  4R
200  2R
200  8R
3.
Ta có: U V1 =3 U V2 
 R 2  40R  500 0
20  R
20  4R

Khi Rb = 4R thì U b 

Giải phương trình ta được R = 10 và R = -50 (loại).
a. Vôn không lí tưởng.
Nếu vôn kế lí tưởng thì mạch R1 nt R2 nt R3 .
Số chỉ của vôn kế V1 là U2 + U3 = 14V  U1 = 15 – 14 = 1V, U2 = U3 = 7V
R1 U1 1
1
1
1

  R1= R2 = R mâu thuẫn với đề bài R1= R.
R 2 U2 7
7
7
15

Vậy vôn kế không lí tưởng
b. Vì vôn kế không lí tưởng nên ta có mạch gồm:
R4

M

I

R1

D I2

R2

C

V2
R3

I1

A

N

V1

R1 nt [R2nt{(Rv nt R4)//R3}//Rv] (với Rv là điện trở của vôn kế)
UDA= UV1= 14VUMD = UMN – UDA = 1V.

15
14
14
U V1


U MD
U DA


Ta có: I = I1 + I2 
 R R  R(R  R v ) R v
R1
R 2  R CA R V
2R  R v
21
 16R 2v  11R.R v  42R 2 0  Rv= 2R và Rv = - R (loại).
16
14  U CA
U CA
U DC U CA

R(R  R v ) UCA= 6V.
Đoạn mạch DCA có: R  R  R
2
CA
2R  R v
U V2 R V 2R


2 UV2= 2UR4. kết hợp với UV2 + UR4=6  UV2= 4V.
UR4 R 4
R

Vậy số chỉ của vôn kế V2 là 4V.

13

Ví dụ 8: Cho mạch điện như hình vẽ. Biết R 1 = R 2 = 3  ,
R 3 = 2  , R 4 là biến trở, ampe kế và vôn kế đều lý tưởng,
A
V
các dây nối và khóa K có điện trở không đáng kể.
1. Điều chỉnh để R 4 = 4  .
a) Đặt UBD = 6V, đóng khóa K. Tìm số chỉ ampe kế và
vôn kế ?
b) Mở khóa K, thay đổi U BD đến giá trị nào thì vôn kế
chỉ 2V ?
2. Giữ UBD = 6V. Đóng khóa K và di chuyển con chạy C của biến trở R 4 từ đầu
bên trái sang đầu bên phải thì số chỉ của ampe kế IA thay đổi như thế nào ?
Giải
1.a. Khi khóa K đóng, tìm số chỉ của ampe kế và vụn kế ?
RR

3.2

6

1 3
 1,2 (  );
R 13 = R  R =
32 5
1
3

R BD = R 13 + R 24 = 1,2 +

R R

3.4

12

2 4
R 24 = R  R  3  4  7 (  )
2
4

12
20,4
=
( )
7
7

6
= 20,4  2,06 (A)
7
21
Hiệu điện thế giữa hai đầu R1 và R3 : U 13 = U 1 = U 3 = I. R 13 = 10,2 .1,2  2,47
U
Cường độ dòng điện mạch chính : I = R
BD

(V)

U1

Cường độ dòng điện qua R1: I 1 = R =
1

2,47
3

 0,82 (A)

Hiệu điện thế giữa hai đầu R2 và R4 : U 24 = U 2 = U 4 = I. R 24 = 2,06.
U2

12
 3,53 (V)
7

3,53

 1,18 (A)
Cường độ dòng điện qua R2: I 2 = R =
3
2
Ta có : I 2 > I 1  I A = I 2 - I 1 = 1,18 - 0,82 = 0,36(A)
Vậy dòng điện qua ampe kế có chiều từ N đến M và có cường độ I A = 0,36(A)
Vôn kế chỉ 0 (V)
b. Khi mở K, vôn kế chỉ 2 (V). Xác định UBD = U?
I12
R 12 = R 1 + R 2 = 6 (  )
R 34 = R 3 + R 4 = 6 (  )

I 12 = I 34 =

U
6

I34

U
U
=
6
2
U
U
U 3 = I 34 .R 3 = 2.
=
6
3
U U
U
 U = 6 U V = 6.2 = 12 (V)

UV = U1- U3 =
=
2 3
6
I1
2. Đóng khóa K và di chuyển con chạy C của biến
I2

Ta có : U 1 = I 12 .R 1 = 3.

trở R 4 từ đầu bên trái sang đầu bên phải thì số chỉ
của ampe kế I A thay đổi như thế nào ?

A

14

R1 R3

3.2

6

 1,2 (  )
Ta có : R 13 = R  R =
32 5
1
3
R 2 .x

3.x

3.x

Đặt RNC = x => R 24 = R  x =
; R BD = 1,2 +
=
3 x
3 x
2

4,2 x  3,6
3 x

6
U
6(3  x)
6(3  x)
7,2(3  x)
I = R = 4,2 x  3,6 = 4,2 x  3,6 ;
U 13 = I. R 13 = 4,2 x  3,6 .1,2 = 4,2 x  3,6
BD
3 x
7,2(3  x)
U 13
2,4(3  x)
6(3  x)
18.x
3.x
I 1 = R = 4,2 x  3,6 = 4,2 x  3,6 ;
U 24 = I.R 24 = 4,2 x  3,6 .
= 4,2 x  3,6
3 x
1
3
18.x
U 24
6.x
I 2 = R = 4,2 x  3,6 = 4,2 x  3,6
2
3

* Xét hai trường hợp :
- Trường hợp 1 : Dũng điện chạy qua ampe kế có chiều từ M đến N.
2,4(3  x)

6.x

7,2  3,6 x

Khi đó : I A = I 1 - I 2 = 4,2 x  3,6 - 4,2 x  3,6 = 4,2 x  3,6
Biện luận :
Khi x = 0 thì I A = 2 (A)
Khi x tăng thì (7,2 - 3,6.x) giảm ; (4,2.x + 3,6) tăng do đó I A giảm
Khi x = 2 thì I A =

(1)

7,2  3,6.2
= 0.
4,2.2  3,6

- Trường hợp 2 : Dòng điện chạy qua ampe kế có chiều từ N đến M.
Khi đó : I A = I 2 - I 1 =
IA
Biện luận :

6.x
2,4(3  x)
4,2 x  3,6
4,2 x  3,6

=

3,6 x  7,2
4,2 x  3,6

7,2
x
=
3,6
4,2 
x
3,6 

(2)

+ Khi x tăng từ 2 (  ) trở lên thì
đều giảm do đó I A tăng.

7,2
3,6
và
x
x

7,2
3,6
 0. Do đó I A 
+ Khi x rất lớn ( x   ) thì
và
x

x

0,86 (A) và cường độ dũng chạy qua điện trở R 4 rất nhỏ ;
Sơ đồ mạch có thể vẽ như hình bên.
Ví dụ 9:
Cho mạch điện như hình vẽ 1:
Biết UAB = 24,64V không đổi, R1 = 18, R2 = 12,
biến trở có điện trở toàn phần là R b = 60, điện trở
của dây nối và các ampe kế nhỏ không đáng kể.
1) Khi K mở, tìm số chỉ của các ampe kế ?
2) Khi K đóng, xác định vị trí con chạy C sao
cho:
a) Ampe kế A3 chỉ số 0 ?
b) Hai ampe kế A1, A2 chỉ cùng giá trị ?

A

R1

A1

D

B

R2

K
A3

A2

C
E

F

15

Hãy tính giá trị đó?
c) Hai ampe kế A1, A3 chỉ cùng giá trị ?
Hãy tìm giá trị đó?
Giải:

A
A1

R1

D

R2

B

K

1) K mở
A3
- Ampe kế 1 chỉ : I1 = U/(R1 +R2) = 0,82 A
- Ampe kế 2 chỉ : I2 = U/Rb = 0,41 A
C
Ampe kế 3 chỉ 0
A2
2) K đóng
E
F
a) Ampe kế 3 chỉ 0, ta có mạch cầu cân bằng:
R1/ REC =R2 /RCF = (R1 + R2) /Rb => REC = R1. Rb / ( R1 + R2) = 36.
 REC / Rb = 3/5
Vậy con chạy C nằm ở vị trí cách E là 3/5 EF
b) Hai ampe kế A1 và A2 chỉ cùng giá trị
UAC = I1 .R1 = I2 .REC vì I1 = I2 nên R1 = REC = 18 , RFC = 42
Vậy con chạy C ở vị trí sao cho EC/EF = 3/10
RAB = RAC + RCB = R1 . REC/ (R1 + REC) + R2 . RFC/ (R2 + RFC) = 55/3
Số chỉ của ampe kế A1 và A2 là I1 = I2 = I/2 = U/2RAB = 0,672A
c) Hai ampe kế A1 và A3 chỉ cùng giá trị
Trường hợp 1: Dòng qua A3 chạy từ D đến C
I1 = I3 => I R2 = I1 – I3 = 0 => UCB = 0
Điều này chỉ xảy ra khi con chạy C trùng F
Khi đó I1 = I3 = 1,369A
Trường hợp 2: Dòng qua A3 chạy từ C đến D
I R2 = IR1 + I3 = 2 IR1 = 2I1
UAC = I1. R1 = I2 . REC => I1/I2 = REC/ 18 (1)
UCB = IR2. R2 = ICF . RCF với RCF = 60 - REC
I R2 =2 I1 và ICF = I2 - I3 = I2 - I1
=> 2I1/( 60 - REC) = (I2 - I1)/ 12 = 2I2/ (84- REC)
=> I1/ I2 = ( 60 - REC)/ (84- REC)
(2)
2
Từ (1) và (2) ta có : R EC - 102REC + 1080 = 0
Giải phương trình ta được REC = 12
 Khi đó UAB = I1. R1 + IR2 . R2 = I1. R1 + 2I1 . R2
 I1 = U/ 42 = 0,587 A
Vậy khi con chạy ở vị trí sao cho R EC / Rb = 1/5 thì ampe kế A 1 và A3 chỉ cùng giá trị
0,587A
Chuyên đề 4:

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠCH CÓ BIẾN TRỞ TOÁN BIỆN LUẬ N
PHƯƠNG PHÁP:
- Vẽ lại mạch điện
- Chọn một phần của biến trở làm biến số, sau đó biểu diễn phần còn lại qua
biến số đó
16

- Biểu diễn các đại lượng trong bài toán thông qua biến số, từ đó lập các phương
trình để tính hoặc biện luận.
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ 1. Cho biết UAB = 7 V; R1
A B
R1
R2
= 3Ω; R2 = 6Ω; MN là một dây dẫn điện đồng chất, chiều
D
r
r
2
dài l = 1,5 m, có tiết diện đều S = 0,1 mm và điện trở suất 
A
= 4.10-7Ωm; điện trở của các dây nối và ampe kế nhỏ không
đáng kể.
M
N
C
1) Tính điện trở của dây dẫn MN.
Hình 1
2) Xác định vị trí của con chạy C để ampe kế chỉ
Giải
1)
R 

l 4.10  7 m.1,5m

6
S
0,1.10 6 m 2

R1
r



A

B
D

R2
r

A

-Đặt RMC=x đk: 0  x 6
 RCN=6-x
-Mạch gồm:(R1//RMC)nt(R2//RCN)
Điện trở toàn mạch là:
Rm 

1
A.
3

M

C

N

Hình 1

R1RMC
RR
3x
6(6  x) 3x (12  x )  (36  6 x )( x  3)
 2 CN 


R1  RMC R2  RCN x  3 12  x
( x  3)(12  x)

 9 x 2  54 x  108
( x  3)(12  x )

Cường

độ

dòng

U
7( x  3)(12  x )
I C  AB 
Rm
 9 x 2  54 x  108

điện

mạch

chính

là:

x
7 x(12  x)
84 x  7 x 2
I1  I C


x  3  9 x 2  54 x  108  9 x 2  54 x  108
I 2 I C

6 x
7( x  3)(6  x)
21x  7 x 2  126


12  x  9 x 2  54 x  108  9 x 2  54 x  108

Trường hợp 1: Nếu cực dương của Ampekế gắn vào D: I1- I2 = Ia
84 x  7 x 2  21x  7 x 2  126 1

  3(63 x  126)  9 x 2  54 x  108
2
3
 9 x  54 x  108
2
 189 x  378  9 x  54 x  108  9 x 2  135 x  486 0  x 2  15 x  54 0  x 3
Và x=-18  (loại)
1
Vậy: Con chạy C ở chính giữa biến trở thì Ampekế chỉ A
3

Trường hợp 2: Nếu cực dương của Ampekế gắn vào C: I2- I1 = Ia
21x  7 x 2  126  84 x  7 x 2 1

  x 2  27 x  30 0  x 1,16 và x 25,8 (loại)
2
3
 9 x  54 x  108
MC RMC
MC 1,16



 MC 0,29m
MN RMN
MN
6

17

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ 3. Cho U MN = U = 6V không
đổi; r = 2; R1 = R2 = 3; điện trở dây nối, ampe kế và
khoá K nhỏ không đáng kể.
1) Khoá K mở, di chuyển con chạy C người ta nhận thấy: khi
điện trở phần AC của biến trở AB có giá trị 5,5  thì dòng
điện qua điện trở R2 có giá trị nhỏ nhất. Tính điện trở toàn
phần của biến trở.
2) Đóng khoá K, công suất tiêu thụ trên R 1 là 0,75W. Xác
định vị trí con chạy C và tính số chỉ ampe kế?

K

A

r M N
r
R1

R2

C
B

A

Hình 3

1. Cấu tạo mạch: RCA ntR2 // R1 ntRBC ntr
Đặt RCA=x  RBC=RAB-x
U
6

IC= Rm R  x  2  3( x  3)
AB
x6
R1
6
3
18
I 2 I C .

 2
3( x  3) x  6  x  ( R AB  1) x  6 R AB  21
R1  R2  RCA
R AB  x  2 
x 6
18

2
 2
R AB  1  R AB  1   
( R AB  1) 2

  x  2x

   6 R AB  21 
2
4
 2   
 
18

R 1
( R AB  1) 2 ;
 ( x  AB ) 2  6 R AB  21 
2
4
R 1
I2min  x= AB  R AB 2 x 1 2.5,5  1 12
2
3( x  3)
Rm=RAB-x+2+
x6

2. Cấu tạo mạch: R AC // RBC ntR1  // R2 ntr

P1
0,75

0,5 A
R1
3

I1=

Đặt RAC =y  RBC 12  y điều kiện: 0  y 12
U AN I1 (

R AC RBC
 y 2  12 y  36
 R1 ) 
R AC  RBC
24

U
 y 2  12 y  36
I 2  AN 
R2
72

 y 2  12 y  72
IC=I2+I1=
72

(*)

U MA U  U AN y 2  12 y  108


r
r
48

Mặt khác: I C 

(1)

(2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình

y 2  12 y  108  y 2  12 y  72

 y 2  12 y  36 0  y 6 (thoả mãn)
48
72

 con chạy C ở chính giữa biến trở

Số chỉ ampe kế là :Ia=I2+IAC=1A+0,25A=1,25A
I
2

*Tính IAC? Vì RAC=RBC  I AC  1 

0,5
0,25 A
2

*Tính I2? Thay y=6  vào * ta được I2=1A

18

r

U
Ví dụ 3: Cho mạch điện như hình vẽ 2. Cho biết U AD = U; RX là
A
D
một biến trở; vôn kế có điện trở vô cùng lớn; điện trở của
R1
B
các khoá K và dây nối nhỏ không đáng kể. Biết rằng:
V
- Khi các khoá K1, K2, K3 đều đóng thì vôn kế chỉ 18V, khi K1
R2
đó biến trở có giá trị RX = R4 = 4,8Ω và công suất tiêu thụ
R3
K2
của toàn mạch AD là 270W.
C
- Khi các khoá K1, K2 đóng; khoá K3 mở thì vôn kế chỉ 24V. K3
M RX N
- Khi khoá K1 đóng; các khoá K2, K3 mở thì vôn kế chỉ 27V.
Hình 2
- Khi các khoá K1, K2, K3 đều mở thì vôn kế chỉ 30V.
1) Tính giá trị của hiệu điện thế UAD = U và các điện trở r, R1, R2, R3.
2) Khi các khoá K1, K2, K3 đều đóng và con chạy C ở vị trí sao cho R X = R4 = 4,8Ω,
muốn cho công suất của đoạn mạch AB (không chứa nguồn U, r) giảm thì con chạy C
phải dịch chuyển về phía nào?

Giải: Khi K1,K2,K3 đóng: Cường độ dòng điện mạch chính được tính theor 2 công
U
thức sau :
A
D
I1 


R1

U  18 18 18 18 18
 


r
R1 R2 R3 R4

U
1 1
1
1
1
1
  


18r r R1 R2 R3 R4

K1

V
R2

K2

R3

B

U 18
K3
C
) 270*
r r
M RX N
U  24 24 24 24
U
1 1
1
1
K1,K2đóng,K3 mở : I 2  r  R  R  R  24r  r  R  R  R 2
1
2
3
1
2
3

Công suất của đoạn mạch AD là: P U .I1 U .( 
-

U

1

1

1

1

1

- K1đóngK2,K3 mở : 27r  r  R  R 3
1
2
U

- K1,K2,K3 mở : 30r  r  R 4
1
U

1

U

1

1

U

1

U

1

1

Thay 2 vào 1 ta được: 18r  r  24r  r  4,8  U 15r 5
Thay5 vào * ta được:r=2,4  , thay r=2,4  vào 5 ta được U=36 V
216r

Thay3 vào 2 ta được 24r  r  27r  r  R  R3  U 14,4
3
Thay 4 vào 3 ta được R2 

270r
18
U

Thay U=36V và r=2.4  vào 4 ta được R1=12 
Khi K1,K2,K3 đóng: Cường độ dòng mạch chính là :
U
U  18 36  18
18
I1 

7,5 A  R AB  AB 
2,4  r R AB
r
2,4
I1
7,5

Khi điện trở đoạn AB thay đổi,công suất đoạn mạch AB được tính như sau:
19

U2
U2
U2
R


AB
r 2
r (theo Cauchy)
PAB=I2RAB= ( R AB  r ) 2
( R AB 
)
4 R AB .
R AB
R AB
U2
 max PAB 
4r

đạt được r=RA...