BÀI 1. GÓC LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. Góc lượng giác
Khái niệm góc lượng giác
Cho hai tia
- Nếu một tia
dừng ở vị trí tia
hiệu

.
quay quanh gốc
thì ta nói tia

của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia
quét một góc lượng giác có tia đầu
, tia cuối

và
, kí

.

- Khi tia

quay một góc

, ta nói số đo của góc lượng giác

bằng

, kí hiệu

.

Chú ý: Với hai tia

và

Ta dùng chung kí hiệu

cho trước, có vô số góc lượng giác tia đầu

và tia cuối

.

cho tất cả các góc lượng giác này.

Ví dụ 1. Xác định số đo của các góc lượng giác

trong Hình 5.

Hình 5
Giải
Số đo của góc lượng giác

trong Hình 5a là

Số đo của góc lượng giác

trong Hình 5b là

Số đo của góc lượng giác

trong Hình 5c là

Số đo của góc lượng giác
trong Hình d là
Nhận xét: Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu
bội nguyên của
nên có công thức tổng quát là:
với

, thường viết là
là số đo của một góc lượng giác bất kì có tia đầu

.
.
.
.
và tia cuối

sai khác nhau một

và tia cuối

. Chẳng hạn, trong

Hình 5a,
.
Hệ thức Chasles (Sa-lơ)
Ta thừa nhận hệ thức sau về số đo của góc lượng giác, gọi là hệ thức Chasles:
Với ba tia

và

bất kì, ta có
Trang 1

2. Đơn vị radian
Trên đường tròn bán kính
tuỳ ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng
được gọi
là một góc có số đo 1 radian (đọc là 1 ra-đi-an, viết tắt là 1 rad).
Trên đường tròn bán kính , một góc ở tâm có số đo
rad thì chắn một cung có độ dài
(Hình 10).

Hình 10
Vì góc bẹt
chắn nữa đường tròn với độ dài là
radian là . Khi đó ta viết

, nên góc bẹt có số đo theo đơn vị

Suy ra, với
, ta có
rad
rad và
rad
(hay
).
Do đó ta có công thức chuyển đổi số đo góc từ đơn vị radian sang độ và ngược lại như sau:

Ví dụ 2. Đổi các số đo góc sau đây từ radian sang độ hoặc ngược lại:
a)
,
b)
c)
Giải

.

a)

;

b)

;

c)
.
Chú ý:
a) Khi ghi số đo của một góc theo đơn vị radian, người ta thường bỏ đi chữ rad sau số đo.
Vi dụ,

rad được viết là

rad được viết là 2.

b) Với đơn vị radian, công thức số đo tổng quát của góc lượng giác
trong đó
là số đo theo radian của một góc lượng giác bất kì có tia đầu
và tia cuối
Lưu ý không được viết
hay
(vì không cùng đơn vị đo).
3. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng toạ độ

, cho đường tròn tâm

là
.

bán kính bằng 1. Trên đường tròn này,

chọn điểm
làm gốc, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ và chiều âm là
chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường tròn cùng với gốc và chiều như trên được gọi là đường
tròn lượng giác.
Trang 2

Hình 11
Cho số đo góc

bất kì. Trên đường tròn lượng giác, ta xác định được duy nhất một điểm

sao cho số đo góc lượng giác
) bằng
(Hình 12 . Khi đó điểm
biểu diễn của góc có số đo
trên đường tròn lượng giác.

được gọi là điểm

Hình 12
Ví dụ 3. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là:
a)
b)
,
Giải
a) Ta có

. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo

trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho
b) Ta có

là điểm
(Hình

. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo

trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho

).

là điểm
Hình

).

Hình 13
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
Dạng 1. Đơn vị đo góc
Câu 1.

Cho

. Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong Hình 6 và viết

công thức tổng quát của số đo góc lượng giác

.

Trang 3

Câu 2.
Câu 3.

Hình 6
Trong các khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác là
bao nhiêu độ?
Trong Hình 8, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau. Viết công thức tổng quát số đo
của góc lượng giác

và

.

Câu 4.

Hình 8
Hoàn thành bảng chuyển đổi đơn vị đo của các góc sau đây:

Câu 5.

Hoàn thành bảng sau:

Câu 6.

a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau:

Câu 7.

b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau:
Đổi số đo cung tròn sang số đo độ:

Số đo độ
Số đo rađian

a)

Câu 8.
Câu 9.

b)

;
.

c)

d)
e)
Đổi số đo cung tròn sang số đo radian:
a)
b)
Đổi số đo của các góc sau đây sang radian:
a)
;
b)
;

f)
c)

d)

c)
.
Câu 10. Đổi số đo của các góc sau đây sang độ:
a)
b)

;
;

c)
.
Dạng 2. Độ dài cung tròn
Câu 11. Một đường tròn có bán kính

. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a)
;
b) 1,5 ;
c)
;
d)
.
Câu 12. Một đường tròn có bán kính
. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là
Trang 4

a)
b)
c)
Câu 13. Bánh xe máy có đường kính kể cả lốp xe
cm. Nếu xe chạy với vận tốc
km/h thì trong
một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng?
Câu 14. Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là
, bánh xe trước có đường
kính là
, xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận
tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/phút.

a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút.
b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị km/giờ).
c) Tính vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/phút).
Câu 15. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của
bánh xe đạp là
.
Câu 16. Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một cung chắn một góc
của đường kinh tuyến (Hình 17). Đổi số đo
sang radian và cho biết 1 hải lí bằng
khoảng bao nhiêu kilômét, biết bán kính trung bình của Trái Đất là
. Làm tròn kết quả
đến hàng phần trăm.

Hình 17
Dạng 3. Mối liên hệ giữa góc hình học và góc lượng giác
Câu 17. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là:
a)
b)
Câu 18. Xác định các điểm
có số đo bằng

và
và

trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác
.
Trang 5

Câu 19. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm
a)

;

b)

;

biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:
c)

;

d)

.

Câu 20. Cho góc lượng giác
có số đo . Hỏi trong các góc
,
,
,
,
những góc nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.
Câu 21. Hãy tìm số đo
của góc lượng giác
cùng tia đầu và tia cuối với góc đó có số đo là:
a)

b)

với

a)

, biết một góc lượng giác có

c)

Câu 22. Hãy tìm số đo
của góc lượng giác
cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo:
b)

,

d)
biết một góc lượng giác có

c)

d)

Câu 23. Cho góc lượng giác có số đo bằng
.
a) Xác định điểm
trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
Câu 24. Biểu diễn các góc lượng giác sau trên đường tròn lượng giác:
a)
b)
c)

;
;
.

Câu 25. Góc lượng giác
sau đây?

có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào

Câu 26. Viết công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác
Hình 14

và

trong

Hình 14
Câu 27. Trong Hình 15, mâm bánh xe ô tô được chia thành năm phần bằng nhau. Viết công thức số đo
tổng quát của góc lượng giác

Trang 6

.

Hình 15
Câu 28. Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là:
a)
b)

;
.

Câu 29. Vị trí các điểm
trên cánh quạt động cơ máy bay trong Hình 16 có thể được biểu diễn
cho các góc lượng giác nào sau đây?

Hình 16
Câu 30. Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một cung chắn một góc
của đường kinh tuyến (Hình 17). Đổi số đo
sang radian và cho biết 1 hải lí bằng
khoảng bao nhiêu kilômét, biết bán kính trung bình của Trái Đất là
. Làm tròn kết quả
đến hàng phần trăm.

Hình 17

Câu 1.

PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ)
1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá
Số đo theo đơn vị rađian của góc
là
Trang 7

A.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.

Câu 5.

.

B.

Cung tròn có số đo là
A. .
Cung tròn có số đo là
A.
.
Góc
A.

B.

Câu 7.

Góc có số đo

Câu 9.

.

C.

B.
. Tìm
.

A.

để
B.

.

sang rađian.

A.

B.

.

Câu 11. Số đo góc

B.

Câu 12. Một cung tròn có số đo là
đây.
A.

.

.

.

D.

.

D.

.
răng là:

C.

.

D.

.

C.

.

D.

.

C.

.

D.

B.

D.

C.

D.

đổi sang rađian là:

A.
.
B.
.
Câu 15. Trên đường tròn với điểm gốc là
. Gọi
hoặc

C.

đổi sang độ là:

A.
Câu 14. Góc có số đo

.

. Hãy chọn số đo radian của cung tròn đó trong các cung tròn sau

B.

Câu 13. Góc có số đo

Trang 8

D.

đổi sang rađian là:

.

.

.

C.

.

Câu 10. Đổi số đo góc

C.

.

D.

C.

B.

A.

D.

răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển

.

có số đo

.

đổi sang độ là:

Một bánh xe có

A.

C.

C.

B.

Cho
A.

.

đổi ra rađian là:

.

Góc có số đo

D.

đổi sang độ là:

A.
Câu 8.

.

B.

A.

.

)

A.
Câu 6.

C.

. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.
B.
.
C.
.
D.
.
. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.
B.
.
C.
.
D.
.

bằng (với
.

Góc có số đo

.

. Điểm

C. .
D.
.
thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác

là điểm đối xứng với điểm
.

B.
D.

.
.

qua trục

, số đo cung

là

Câu 16. Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):
cung nào có điểm cuối trùng nhau:
A.
Câu 17. Cho

và
,

;
,

B.

.

và

.

,

lần lượt là điểm chính giữa các cung

đầu trùng với
và số đo
A. hoặc .
B.

hoặc

C.

A.

B.

.

B.

Câu 21. Trên hình vẽ hai điểm

A.

.

,

. Cung

D.

hoặc

.

có mút

.
là:

.
thì số đo của

.

là:

C.

.

D.

.

biểu diễn các cung có số đo là:

B.

.

C.

.

D.

.

. Gọi

là điểm đối

. Tìm số đo của cung lượng giác
B. sđ

C. sđ

D. sđ

Câu 23. Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc
.

và

.

A. sđ

A.

;

.

Câu 22. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M xác định bởi sđ
xứng của M qua trục

,

và

.

.
D.
có mút đầu là
và mút cuối là

A.

,

B.

C.
.D.
Câu 19. Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B'?
.

D.

. Giá trị tổng quát của góc
.

A.

.

. Mút cuối của
ở đâu?
.
C.
hoặc .

Câu 18. Biết một số đo của góc

C.
Câu 20. Cung

, Các

B.

.

C.

?
.

D.

.
Trang 9

Câu 24. Có bao nhiêu điểm
A. .

trên đường tròn định hướng gốc
B. .
C. .

Câu 25. Cung tròn bán kính bằng
A.
.
B.
Câu 26. Trên đường tròn bán kính
A.

.

.

B.

có độ dài là
C.
.

.

C.

.

.

D.

.

là:

C.
, độ dài của cung đo

,
D.

, độ dài của cung có số đo

B.

Câu 27. Trên đường tròn bán kính
A.

có số đo
.

thỏa mãn

.

D.

.

là:
.

D. kết quả khác.

Câu 28. Một đường tròn có bán kính
. Độ dài cung
trên đường tròn gần bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh khá-giỏi
Câu 29. Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài
và kim phút dài
.Trong 30 phút mũi
kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 30. Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn
máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng
(lấy
)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Trang 10