BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG
GIÁC
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Trên đường tròn lượng giác, gọi
là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo

- Tung độ
- Hoành độ

của

gọi là

của

của

gọi là côsin của

, kí hiệu

. Khi đó:

.

, kí hiệu

- Nếu

thì tỉ số

gọi là tang của

- Nếu

thì tỉ số

gọi là côtang của

.
, kí hiệu
, kí hiệu

.
.

Các giá trị
và
được gọi là các giá trị lượng giác của góc lượng giác
Chú ý:
a) Ta gọi trục hoành là trục côsin, còn trục tung là trục sin.

.

Trục
có gốc ở điểm
và song song với trục sin (Hình
) gọi là trục tang.
Nếu đường thẳng
cắt trục tang thì tung độ của giao điểm đó chính là tan .
Trục
có gốc ở điểm
và song song với trục côsin (Hình
) gọi là trục côtang. Nếu
đường thẳng
cắt trục côtang thì hoành độ của giao điểm đó chính là cot .

Hình 3
b)

và

xác định với mọi

;

;
chỉ xác định với các góc
c) Với mọi góc lượng giác
và số nguyên

chỉ xác định với các góc
.
, ta có

d) Ta đã biết bảng giá trị lượng giác của một số góc
) như sau:
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

đặc biệt với

(hay
Trang 1

Sử dụng bảng trên và Hình 4, ta có thể xác định được giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
khác.
Ví dụ 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc:
a)
b)
Giải
a) Vì

;
.

nên:

b) Vì điểm biểu diễn của góc
và góc
trên đường tròn lượng giác đối xứng nhau qua
trục hoành (Hình 4), nên chúng có cùng hoành độ và tung độ đối nhau. Do đó ta có:

2. Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay
Ta có thể tinh giá trị lượng giác của một góc lượng giác bất kì bằng máy tính cầm tay. Lưu ý
trước khi tính, cần chọn đơn vị đo góc như sau: lên bảng lựa chọn đơn vị đo góc.
- Lần lượt ấn các phím SHIFT, MENU và 2 để màn hình hiện lên bảng lựa chọn đơn vị đo góc

- Tiếp tục ấn phím 1 để chọn đơn vị độ (Degree) hoặc phím 2 để chọn đơn vị radian.
- Ấn các phím MENU 1 để vào chế độ tính toán
Ví dụ 2. Sử dụng máy tính cầm tay đề tính
Giải

và

.

Chọn đơn vị đo góc là độ. Ấn liên tiếp các phím
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 2

ta được

.

Để tính cot
, ta tính
như sau:
Chọn đơn vị đo góc là radian. Ấn liên tiếp các phím

ta được
.
3. Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Ta có các hệ thức sau liên hệ giữa các giá trị lượng giác của cùng một góc lượng giác

:

với
với
Ví dụ 3. Cho
Giải

với
với

Ta có
Do đó

. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc

.

.
hoặc

.

Hình 6
Vì
nên điểm biểu diễn của góc
thứ IV (Hình 6), do đó
.
Suy ra

trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư

.
Trang 3

Do đó
và
.
4. Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt
Hai góc đối nhau:
và
Các điểm biểu diễn của hai góc
và
đối xứng qua trục
(Hình 7), nên ta có:

Hình 7

Hai góc hơn kém nhau

và

Các điểm biểu diễn của hai góc
có:

và

đối xứng nhau qua gốc toạ độ

và

đối xứng nhau qua trục

(Hình 8 , nên ta

Hình 8

Hai góc bù nhau:

và

Các điểm biểu diễn của hai góc

(Hình 9), nên ta có:

Hình 9
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 4

Hai góc phụ nhau:

và

Các điểm biểu diễn của hai góc

và

đối xứng nhau qua đường phân giác

của góc

(Hình 10), nên ta có:

Hình 10

Ví dụ 4. a) Biểu diễn
b) Biểu diễn
Giải

qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến
qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ

đến

a)
.

Câu 1.

PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
Dạng 1. Dấu các giá trị lượng giác của góc
Xác định dấu của các biểu thức sau:

Câu 2.

a)
Cho

.b)
. Xét dấu của các biểu thức sau:
.b)

c)
Câu 3.

Cho
a)

Câu 4.

c)
Cho tam giác

.

;

b)

a)

.

.

.

.d)

.

. Xét dấu của các biểu thức sau:
.b)

.

.d)
.
. Xét dấu của các biểu thức sau:
Trang 5

a)

Câu 5.

.b)

.

c)
.d)
Dạng 2. Rút gọn biểu thức lượng giác
(SGK-CTST-11-Tập 1) Rút gọn các biểu thức sau:
a)

.

;

b)

Câu 6.

c)
Rút gọn các biểu thức sau:

.

a)
b)
c)

Câu 7.

Câu 8.

d)
Không dùng bảng số và máy tính, rút gọn các biểu thức:
a)

.

b)
.
Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
b)
c)

Câu 9.

d)
Rút gọn các biểu thức sau:

a)
b)

.
.

c)
d)
e)

.
.
.

Câu 10. Rút gọn biểu thức
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 6

Câu 11. Rút gọn biểu thức

Câu 12. Rút gọn biểu thức
.
Câu 13. Rút gọn biểu thức
Câu 14. Đơn giản biểu thức

Câu 15. Đơn giản biểu thức
Câu 16. Đơn giản biểu thức
Câu 17. Đơn giản biểu thức
Câu 18. Đơn giản biểu thức
Dạng 3. Tính giá trị lượng giác của góc lượng giác
Câu 19. (SGK-CTST-11-Tập 1) Tính

và tan

.

Câu 20. (SGK-CTST-11-Tập 1) Sử dụng máy tính cầm tay đề tính

và

.

Câu 21. (SGK-CTST-11-Tập 1) Cho
với
. Tính
và
.
Câu 22. (SGK-CTST-11-Tập 1) Thanh
quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục
của nó trên
một mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu
của thanh là
. Hỏi độ dài bóng
của
khi thanh quay được
nhiêu, biết độ dài thanh
là
? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Câu 23. (SGK-CTST-11-Tập 1) Khi xe đạp di chuyển, van
chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là

vòng là bao

của bánh xe quay quanh trục
theo
(Hình 13). Ban đầu van nằm ở vị trí
Trang 7

. Hỏi sau một phút di chuyển, khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính
? Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Câu 24. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
a)

.b)

c)

.

.d)

Câu 25. a) Biểu diễn

.

qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ

đến

b) Biểu diễn
qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến
Câu 26. Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
a)

và

b)

và

;

c)

và

.

và

b)

và

c)
d)

.

;

Câu 27. Cho
và
. Tinh
Câu 28. Tính các giá trị lượng giác của góc , nếu:
a)

.

.

;

và

;

và

.

Câu 29. Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến
hoặc từ 0 đến

và tính:

a)
b)
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 8

c)
.
Câu 30. Trong Hình 11, vị trí cabin mà Bình và Cường ngồi trên vòng quay được đánh dấu với điểm
và .

Hình 11
a) Chứng minh rằng chiều cao từ điểm
đến mặt đất bằng
của một góc lượng giác tia đầu
, tia cuối
. Tính độ cao của điểm

mét với
là số đo
so với mặt đất khi

.
b) Khi điểm
cách mặt đất
thì điểm
cách mặt đất bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả
đến hàng phần trăm.
Câu 31. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

e)
.
Câu 32. Tính giá trị lượng giác của góc
nếu
a)

.b)

c)

.d)

Câu 33. a) Cho

. Tính

b) Cho

. Tính

c) Cho
Câu 34. Cho

.
.
.

. Tính
. Tính giá trị các biểu thức sau:

a/
b/
c/
Câu 35.
Trang 9

a) Cho

. Tính

b) Cho

.

. Tính

c) Cho

.

. Tính

.

Câu 36.
Cho

. Tính

Cho
Tính
Dạng 4. Chứng minh đẳng thức
Câu 37. Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a)

;

b)
.
Câu 38. Chứng minh các đẳng thức:
a)

.b)

.

c)
Câu 39. Chứng minh các đẳng thức:
a)

.

.b)

.

c)
.
Câu 40. Giả sử biểu thức sau đây có nghĩa. Chứng minh rằng:
.
Câu 41. Cho

. Chứng minh rằng:
.

Câu 42. Chứng minh các đẳng thức sau :
Câu 43. Chứng minh đẳng thức sau:
Câu 44. Cho

Câu 45. Cho tam giác

và

. Chứng minh rằng

. Chứng minh :

a.

. b.

c.

. d.

.
.

e.
g.

.

. f.
. h.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh
10

.
.
Trang

PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ)
1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá
Câu 1.
Câu 2.

Cho
A.

Trong các giá trị sau,
A.

Câu 3.

. Kết quả đúng là
,
. B.

B.

Câu 5.

Câu 6.
Câu 7.

,

.D.

,

.

.

C.

.

D.

.

Chọn khẳng định đúng.

A.
Câu 4.

. C.

có thể nhận giá trị nào?

.

Cho

,

B.

C.
D.
.
Ở góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả
sau đây.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Ở góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau
đây.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Cho
.Xét câu nào sau đây đúng?
A.
.
B.
.
Xét câu nào sau đây đúng?
A.
B. Hai câu A và
C. Nếu

C.

D.

.

.

âm thì ít nhất một trong hai số

phải âm.

Câu 8.

D. Nếu dương thì
.

 
Cho 2
. Kết quả đúng là:
cos
  0 . B. sin   0 ; cos   0 .
sin


0
A.
;
C. sin   0 ; cos   0 . D. sin   0 ; cos   0 .

Câu 9.

Xét các mệnh đề sau:

I.
. II.
Mệnh đề nào sai?
A. Chỉ I.
B. Chỉ II.
Câu 10. Xét các mệnh đề sau đây:
I.
. II.
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ II và III.
Câu 11. Cho hai góc nhọn

.

. III.

.
C. Chỉ II và III.

. III.
B. Cả I, II và III.
và

D. Cả I, II và III.

.
C. Chỉ I.

D. Chỉ I và II.

phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?

A.
.
B.
.
C.
Câu 12. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

.

D.

.

Trang 11

A.

.

B.

C.
. D.
Câu 13. Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau
A.

.

. B.

.

C.
. D.
Câu 14. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.

.

.

B.

.

C.
. D.
Câu 15. Khẳng định nào sau đây là sai?

.

A.
. B.
Câu 16. Khẳng định nào sau đây đúng?

. C.

A.

.

. D.

.

B.

C.
D.
Câu 17. Chọn hệ thức sai trong các hệ thức sau.
A.

. B.

C.

. D.

Câu 18.
A.

.

.

bằng kết quả nào sau đây?
B.
.

Câu 19. Giá trị của

B.

Câu 20. Giá trị

.

D.

.

.

C.

.

D.

.

là
.

B.

Câu 21. Giá trị của
A. .

là

Câu 22. Cho biết

. Tính

B.

.

C.

.

C.

A.
.
B.
.
Câu 23. Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A.

C.

là

A.

A.

.

.

C.

B.

C.
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh
12

.

D.

.

.

D. Không xác định.

.

D.

.

.
.

D.

.
Trang

2. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh khá-giỏi
Câu 24. Cho
A.

và
.

B.

Câu 25. Cho

với

A.
Câu 26. Tính

. Giá trị của
.

C.

. Tính

.

là:
.

D.

.

.

B.

.

C.

.

D.

.

biết

A.

.

C.

B.

.

.

Câu 27. Cho

D.

với

A.

.

. Khi đó:

,

.
.

B.

,

D.

,

.
.

C.

Câu 28. Cho

. Giá trị của
B.

A.

Câu 29. Cho
A.

.

B.

.

C.

C.

. Khi đó
B.

B.
.

D.

.

D.

.

bằng:

.

C.

. Tính
.

D.

bằng

.

, với

Câu 31. Cho
A.

C.

. Khi đó

Câu 30. Cho
A.

bằng:

.

D.

.

.
.
.
Trang 13

Câu 32. Trên nửa đường tròn đơn vị cho góc
A.

.

Câu 33. Cho

B.
và

A.

.

. Khi đó

có giá trị là.
.

B.

.

B.

.

Câu 37. Cho sinx =
A.

.

.

B.

.

. Tính giá trị của

D.

C.

.

C.
. Giá trị của
.

D.

B.

Câu 41. Cho tam giác

.

D.
bằng

C.

.

D.

.
bằng

C.

.Giá trị biểu thức

A. .

.

.

B.

Câu 40. Cho

.

.

và cosx nhận giá trị âm, giá trị của biểu thức

A.

.

D.

.

. Tính giá trị của

B.

Câu 39. Cho

D.
bằng:

C.

với
.

D. .

.

C.

B.

Câu 38. Cho

.

bằng

và

A.

.

C.

.

thì

Câu 36. Cho

. Tính

. Khi đó giá trị

.

A.

A.

C.

với

Câu 35. Nếu

và

.

B.

Câu 34. Cho
A.

sao cho

D.
là

.

C.

.

D.

.

đều. Tính giá trị của biểu thức
.

A.

.

B.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh
14

.

C.

.

D.

.
Trang

Câu 42. Cho

. Tính giá trị biểu thức

A.

.

B.

.

Câu 43. Cho cung lượng giác có số đo

.
C.

thỏa mãn

.

D.

.

.Giá trị của biểu thức

bằng
A.

.

B.

Câu 44. Cho

và

A.

.

.

C.

B.

.

Câu 46. Cho

.

B.

.

C.

.

.

C.

B.

.

.

.

.

.

D.

.

D.

.

D.

.

bằng

.

B. .

.

C.

.

, ta có
B.

.

C. .

bằng

có kết quả rút gọn bằng

.

B. .

Câu 51. Biết
A.

D.

D.

Câu 50. Biểu thức
A.

.

là:
.

C.

Câu 49. Rút gọn biểu thức
A.

D.

là:

Câu 48. Giá trị của
A.

.

C.

. Giá trị của

A. .

bằng

. Giá trị của biểu thức
B.

Câu 47. Cho

.

bằng

và

A.

D.

nhận giá trị âm, giá trị của biểu thức

Câu 45. Giá trị của biểu thức
A.

.

và
.

C.
. Giá trị

B.

.

.

D.

.

bằng
C.

.

D.

.

Trang 15

Câu 52. Cho biết
A. 6.

. Giá trị biểu thức
B. 8.

C. 10.

Câu 53. Biểu thức rút gọn của A =
A.

.

bằng
D. 12.

bằng:

B.

.

C.

.

Câu 54. Biểu thức

D.

không phụ thuộc

A. 2.

B.

.

C. 3.

và bằng

D.

Câu 55. Biểu thức
A.

.

.

rút gọn bằng:

.

B. .

C.

Câu 56. Biểu thức

.

D.

.

có kết quả rút gọn bằng

A.

.

B.

.

Câu 57. Đơn giản biểu thức
A.

C.

.

D.

.

ta có
.

B.

Câu 58. Biết

.

C.

.

D.

.

. Trong các kết quả sau, kết quả nào sai?

A.

.

C.

B.

.

. D.

.

Câu 59. Biểu thức:
có
kết quả thu gọn bằng:
A.

.

B.

.

C.

Câu 60. Đơn giản biểu thức
A.

.

.

D.

ta có
B.

.

C.

.

D.

Câu 61. Đơn giản biểu thức
A.

.

.

.
, ta có:

B.

Câu 62. Biểu thức
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh
16

.

C.

.

D.

.

có biểu thức rút gọn là
Trang

A.

.

B.

Câu 63. Cho tam giác
A.

.

C.

.

D.

.

. Đẳng thức nào sau đây sai?
.

B.

. C.

Câu 64. Đơn giản biểu thức
A.

. D.

.

, ta có
.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 65. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác không vuông. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 66. Tính giá trị của biểu thức
A.

.

.

B.

.

C.

Câu 67. Biểu thức
B.

.

C.

Câu 68. Biểu thức

D.

không phụ thuộc vào

.

B.

.

.

và bằng

.

.

và bằng

C. .

D.

Câu 69. Biểu thức
A.

D.

không phụ thuộc vào

A. .

A.

.

.

có giá trị không đổi và bằng

.

B.

.

C. .

D.

.

Câu 70. Hệ thức nào sai trong bốn hệ thức sau:

A.

.

B.

C.

.

Câu 71. Nếu biết
A.
Câu 72. Nếu

hay

.

D.

.

thì giá trị biểu thức
.

B.
thì

hay

.

C.

bằng
hay

.

D.

hay

.

bằng
Trang 17

A.

hay

. B.

hay

.

C.

hay

. D.

hay

.

Câu 73. Biết

. Giá trị của biểu thức

A.

.

B.

bằng

.

C.

Câu 74. Nếu biết

.

D.

thì biểu thức

A.

.

B.

.

bằng
C.

.

D.

Câu 75. Với mọi , biểu thức:
A.

.

nhận giá trị bằng:
B.

.

C.

.

D. .

Câu 76. Giá trị của biểu thức
A.

.

bằng
B.

.

C. .

Câu 77. Giá trị của biểu thức A =
A. .

.

D.

.

D.

.

bằng:
B.

.

C.

.

Câu 78. Cho tam giác ABC và các mệnh đề:

Mệnh đề đúng là:
A. Chỉ

.

B.

và

.

C.

và

.

D. Chỉ

Câu 79. Rút gọn biểu thức
A.

.

.

ta được
B.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh
18

.

C.

.

D.

.

Trang