PHẦN 1
TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
ĐỀ SỐ 1
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 trường Trần Mai Ninh- Thanh Hóa 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1. (4,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức P =
2. Cho

a2
b2
a 2 b2
−
(a + b)(1 − b) (a + b)(1 + a) (1 + a)(1 − b)

x2
y2
z2
x
y
z
+
+
= 1 Chứng minh rằng:
+
+
=0
y+z z+x x+ y
y+z z+x x+ y

Câu 2. (4,0 điểm)
1. Tìm x biết: x +

x
x
x
+
+ ... +
= 4043
1+ 2 1+ 2 + 3
1 + 2 + 3 + ... + 4043

2. Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x +

2
và x 3 đều là số hữu tỉ. Chứng minh rằng x là số hữu tỉ.
x

Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số nguyên x và y sao cho x4 + y3 = xy3 + 1
2. Cho S là tập hợp các số nguyên dương n có dạng n = x2 + 3 y 2 , trong đó x, y là các số nguyên.
Chứng minh rằng nếu A  S và A là số chẵn thì A chia hết cho 4 và

A
S .
4

Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ NH
vuông góc với CM tại H, HE vuông góc với AB tại E. Trên tia NH lấy điểm K sao cho NK = CM.
a) Chứng minh tứ giác ABKC là hình vuông
b) Chứng minh HM là tia phân giác của góc BHE
c) Giả sử AHC = 1350 . Chứng minh 2 AH 2 = HB2 − HC 2
Câu 5. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc =1. Tìm GTNN của

P=

a 3 + b3
b3 + c 3
c3 + a3
+
+
a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2

ĐỀ SỐ 2
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 huyện Thường Tín- Hà Nội 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức A =

2x − 9
x + 3 2x −1
−
−
(với x  2 và x  3 )
x − 5x + 6 x − 2 3 − x
2

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của biểu thức A khi 2 x − 1 = 3 .

x2 − x + 1
. A nhận giá trị nguyên.
c) Tìm giá trị nguyên của x để P =
x −1
x
x+2
Câu 2: (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
d) Tìm giá trị x để A =

a)

4
1
−5
+ 2
=
x − 4 x + 5 x +6 4
2

(

) (
2

)

2

(

)(

b) x 2 + x + x 2 + 3 = 2 x 2 + 3 x 2 + x

)

Câu 3: (4,0 điểm)
1. Một người đi xe đạp từ A đến B đúng giờ dự định. Sau khi đi được 10km đầu trong 12
phút, anh ta tính ra rằng nếu tiếp tục đi với vận tốc như vậy thì sẽ đến sớm hơn dự định là
24 phút. Còn nếu giảm vận tốc đi 5km/h thì anh ta vẫn đến B sớm hơn 10 phút so với giờ
dự định. Hãy tính khoảng cách AB .
x + m x −3
+
= 2 (1) ( x là ẩn)
2. Cho phương trình
x+3 x−m
a) Giải phương trình (1) với m = 4 .
b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là số âm.
Câu 4: (7,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB . Cho biết tia CN cắt tia DA tại
E , tia CX vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng
EF .
a) Chứng minh CE = CF .
b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng.
c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC .
d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác AEFC có diện tích gấp ba lần diện
tích hình vuông ABCD .
Câu 5: (2,0 điểm)
1. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn

y + z +1 z + x + 2 x + y − 3
1
=
=
=
. Tính giá
x
y
z
x+ y+z

trị biểu thức A = 2022 x + y 2023 + z 2023 .
2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x − y3 = 1 .

ĐỀ SỐ 3
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 tỉnh Nam Định 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1. (4,0 điểm)
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu
2

2
1
1 
 1
  2 x − 3x − 5
.
−
1
+
.
+
1
:
−1 .
thức: A =  3

 2
 2 
2
4
3
2
  2 x − x − 10 x
 x − 3x + 3x − 1  x  x − 2 x + 1  x
1 1 1 1
2) Cho các số thực x, y, z thoả mãn + + = và x + y + z = 3 . Tính giá trị của biểu thức:
x y z 3

P = ( x2023 + y 2023 ).( y 2023 + z 2023 ).( z 2023 + x 2023 ) .
Câu 2. (4,0 điểm)
1) Biết rằng đa thức f ( x) chia cho x − 2 dư 11, chia cho x + 2 dư ( −1) , chia cho x2 − 4 được
thương là 3x và còn dư. Tính f (2023) + f (−2023) .
2) Tìm tất cả giá trị của số tự nhiên n để biểu thức B = n6 − n4 − 2n3 + 2n2 có giá trị là một số
chính phương.
Câu 3. (3,0 điểm)
1) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x ( x 2 + 2 x + 4 ) = y 3 − 3 .
2
 x+3
 x − 3  63 − 7 x
2) Giải phương trình: 
=0.
 + 6
 + 2
x −4
 x−2
 x+2
Câu 4. (7,0 điểm)
2

2

Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) . Các đường cao AD, BM , CN của tam giác ABC cắt
nhau tại H . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC, E là điểm đối xứng của H qua O . Kẻ CF
vuông góc với đường thẳng BE tại F.
1) Tính số đo FMN .
2) Gọi K , L, R lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ N đến các đường thẳng
AC, AD, BC. Gọi giao điểm của DM và CN là S . Chứng minh rằng:
a) Ba điểm K , L, R thẳng hàng.
b) HN. CS = NC. SH .
3) Tia phân giác của BAC cắt BC tại I , kẻ đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường
thẳng AI tại P, đường thẳng CP cắt đường thẳng AO tại Q . Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng
IQ. Chứng minh đường thẳng PG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC .
Câu 5. (2,0 điểm)
1) Xét x, y là hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện x. y = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức A =

(x

2 ( x3 + y 3 )

4

+ y 2 )( x 2 + y 4 )

.

2) Một chiếc hộp đựng 99 chiếc thẻ màu vàng, 100 chiếc thẻ màu đỏ và 101 chiếc thẻ màu
xanh. Người ta tiến hành trò chơi rút thẻ như sau: mỗi lần rút thẻ người ta lấy ra hai chiếc thẻ khác
màu và thay vào đó bằng hai chiếc thẻ có màu còn lại, quá trình này diễn ra liên tục. Hỏi đến một
lúc nào đó người ta có thể nhận được trong hộp tất cả các thẻ có cùng một màu hay không? Hãy giải
thích vì sao?

ĐỀ SỐ 4
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Hoằng Hóa- Thanh Hóa 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1. (4,0 điểm)

x3 − x 
1
1  x2 + x + 1
.
+
1. Cho biểu thức: A = 2
, với x  1.
−
x + 1  x2 − 2 x + 1 1 − x2 
x3 − 1
Rút gọn biểu thức A. Tính giá trị biểu thức A khi x thỏa mãn: x3 − 2x 2 − 5x + 6 = 0 .
2. Cho a, b, c là ba số đôi một không đối nhau thỏa mãn: ab + bc + ca = 5 .

(a + b) 2 (b + c) 2 (c + a) 2
Tính giá trị của biểu thức: P =
.
(5 + a 2 )(5 + b 2 )(5 + c 2 )
Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: ( x 2 − 1)( x 2 + 4 x + 3) = 192 .
2. Tìm a, b sao cho đa thức f ( x ) = ax 3 + bx 2 + 10x − 4 chia hết cho đa thức g ( x ) = x 2 + x − 2 .

Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm các cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn: x2 + xy = 2022x + 2023 y + 2024 .
2.

Cho x, y là các số nguyên sao cho x2 − 2xy − y và xy − 2 y 2 − x đều chia hết cho 5. Chứng

minh rằng 2x 2 + y 2 + 2x + y cũng chia hết cho 5.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của AB và CD; O là giao điểm của AK
và DE. Hạ DM ⊥ CE .
1. Chứng minh tứ giác ADKE là hình chữ nhật, từ đó suy ra AM ⊥ KM .
2. Gọi N là giao điểm của AK và BM. Chứng minh ADM cân và tính số đo của góc ANB.
3. Phân giác góc DCE cắt cạnh AD tại F. Chứng minh rằng CF  2EF .
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
1 + 3a 1 + 3b 1 + 3c
+
+
 6.
1 + b2 1 + c 2 1 + a 2

ĐỀ SỐ 5
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Thọ Xuân – Thanh Hóa 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1. (4,0 điểm)


 ( x − 1)( x − 3)
x2
x2
+ 2
1. Cho biểu thức P =  2
.
. 4
2
 x − 5 x + 6 x − 3x + 2  x + x + 1
Rút gọn P và tìm giá trị lớn nhất của P .
2. a) Phân tích đa thức x3 + y3 + z 3 − 3xyz thành nhân tử.
b) Cho hai số thực phân biệt a và b khác 0 thỏa mãn điều kiện
2023
1
1
3
+ 3+
= 1 . Tính giá trị của biểu thức T = ( a − 1)( b − 1) 
.
3
ab
a
b
Câu 2. (4,0 điểm)
1
1
1
=
+ .
1. Giải phương trình : 2
2
48
x + 2 x − 3 ( x + 1)
2. Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc 4km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bích
cũng rời nhà mình để đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bích trên đường, rồi cả hai cùng đi về
nhà Bích. An ở nhà Bích chơi một thời gian rồi đi về một mình. Về đến nhà An tính ra quãng đường
mình đã đi dài gấp bốn lần quãng đường Bích đã đi. Tính quãng đường từ nhà An đến nhà Bích (với
giả thiết An và Bích cùng đi trên một quãng đường).
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 − 4 xy + 5 y 2 − 16 = 0 .

2. Giả sử p, q là 2 số nguyên tố thỏa mãn đồng thời các điều kiện p  q  3, p − q = 2 .
Chứng minh rằng p 3 + q 3 chia hết cho 36.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD và điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B và C ). Trên nửa
mặt phẳng bờ BC không chứa hình vuông ABCD dựng hình vuông CHIK. Gọi M là giao điểm
DH và BK ; N là giao điểm KH và BD .
1. Chứng minh DH vuông góc với BK và DN.DB = DC.DK .
BH S BHD + S BHK
BH DH KH
+
+
 6.
=
2. Chứng minh
và
HC HM HN
HC
S DHK
3. Gọi P là giao điểm của CN và DH. Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, BK
lần lượt tại E, Q. Chứng minh E là trung điểm của PQ.
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3.
a
b
c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3
+ 3
+ 3
.
2b + 1 2c + 1 2a + 1

ĐỀ SỐ 6
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 trường Lê Quý Đôn – Bắc Giang 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1: (5,0 điểm)

 ( a − 1)2
1 − 2a 2 + 4a
1  a 3 + 4a
−
+
1) Cho biểu thức M = 
, với a  0; a  1.
:
2
a − 1  4a 2
a3 − 1
 3a + ( a − 1)

a) Rút gọn M .
b) Tìm giá trị của a để M đạt giá trị lớn nhất.
2) Cho các số thực a, b thỏa mãn: a2 + b2 + ab − a + b + 1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức

M = 3a3 − 2b4 + 2022 .
Câu 2: (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: x 6 −3x5 + 6 x4 − 7 x3 + 6 x2 − 3x + 1 = 0
2) Tìm đa thức f ( x ) biết f ( x ) chia cho ( x − 3) dư 2; f ( x ) chia cho ( x + 4 ) dư 9 và f ( x )
chia cho ( x 2 + x − 12 ) được thương là ( x 2 + 3) và còn dư.
Câu 3: (4,0 điểm)
1) Tìm các cặp số tự nhiên ( x, y ) thỏa mãn : x2 + 3y = 3026
2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a2 + a = 3b2 + b . Chứng minh rằng: a − b và
2a + 2b + 1 là các số chính phương.
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE,CF . Gọi H là trực tâm của tam giác

ABC . Chứng minh:
1) ABC đồng dạng với AEF .
2)
3)

HD HE HF
+
+
= 1.
AD BE CF

( AB + BC + CA)

2

AD 2 + BE 2 + CF 2

 4.

Câu 5: (1,0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện y 2 + yz + z 2 = 1011 −

3x 2
.Tìm giá trị lớn nhất
2

và nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y + z .

ĐỀ SỐ 7
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 huyện Lương Tài 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1. (4,0 điểm)
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2023x2 + 2022x + 2023 .

 ( x − 1)2
1   x3 − 1 x3 + 1 
2) Rút gọn Q =  2
+1−  :  2
−
 (với x  0, x  1 ).
x   x − x x2 + x 
 x + x

3) Cho a, b, c  0 và a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Tính giá trị của biểu thức:

T=

a 2022 + b2022 + c 2022

(a + b + c)

.

2022

Bài 2. (4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số x, y nguyên dương, p nguyên tố thỏa mãn: x2 − 3xy + p 2 y 2 = 12 p .
2) Giải phương trình:

(x

2

− 9 ) = 12 x + 1 .
2

Bài 3. (3,0 điểm)
1) Cho đa thức f (x )

ax 2

bx

c với a,b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng

f (0), f (1), f (2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
2) Cho a, b là hai số nguyên phân biệt lớn hơn 1 thỏa mãn a + 2b2 − 2 là lũy thừa của một
số nguyên tố khác 13 và b + 2a2 − 2 chia hết cho a + 2b2 − 2 . Chứng minh 2a + 3 là số chính
phương.
Bài 4. (7,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có B = 2C ; trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC.
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt BC và CD lần lượt tại M và N. Đường vuông góc với
BC tại C cắt AM tại K. Chứng minh rằng:
a) ABM là tam giác cân và ABC = 2AKC ;
b) MA.KN = MN.KA;
c) Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC biết độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp.
2) Cho tứ giác ABCD có BCD = BDC = 500 ; ACD = ADB = 300 . Gọi I là giao điểm của
AC và BD . Chứng minh rằng tam giác ABI cân .
Bài 5. (2,0 điểm)
2

1 
1  25

1) Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 1. Chứng minh:  x +  +  y +  
.
x 
y
2

2

2) Cho một đa giác đều gồm 2019 đỉnh. Người ta tô mỗi đỉnh của đa giác bởi một màu xanh
hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng luôn tìm được ba đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của một tam
giác cân được đánh dấu bởi cùng 1 màu.

ĐỀ SỐ 8
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 tỉnh Phú Thọ 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm).
Chọn phương án trả lời đúng
Câu 1: Cho x2 + x = 1. Giá trị biểu thức Q = x6 + 2 x5 + 2 x4 + 2 x3 + 2 x2 + 2 x + 1 bằng
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 2: Số dư trong phép chia ( x + 3)( x + 5 )( x + 7 )( x + 9 ) + 2038 cho x2 + 12 x + 30 bằng
A. 1.

B. 2038.

C. 0.

D. 2023.

x 2 + ax 2 + a + a 2 + a 2 x 2 + 1
tại x = 20232022 và a = 5 bằng
x 2 − ax 2 − a + a 2 + a 2 x 2 + 1
2019
5
31
B.
.
C.
.
D.
.
5
21
20232022

Câu 3: Giá trị của phân thức A =
5
A. − .
4

Câu 4: Phân thức A =
A. −2 .

−12
có giá trị nhỏ nhất khi giá trị của x bằng:
x − 4x + 6
B . 4.
C. 2 .
D. −2 và 1 .
2

Câu 5: Giá trị biểu thức C =
A. −1 .

a
b
c
+
+
với abc = 1 bằng
1 + a + ab 1 + b + bc 1 + c + ca
C. −2 .

B . 2.

D. 1 .

Câu 6: Tổng các nghiệm của phương trình ( x + 2 )( 3 − 4 x ) + ( x 2 + 4 x + 4 ) = 0 là
1
A. − .
3

B.

1
.
3

C. −

11
.
3

D.

11
.
3

x−m x−5
+
= 2 (ẩn x , tham số m ). Điều kiện của m để phương
x+5 x+m
trình có một nghiệm duy nhất là
A. m = −5 .
B. m  −5 .
C. m  5 .
D. m = 5 .

Câu 7: Cho phương trình

Câu 8: Số nghiệm của phương trình: ( x + 3) − ( x + 1) = 36 là:
3

A. 1 .

B. 4 .

3

C. 2 .

D. 3 .

Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD , dựng AH vuông góc với BD ( H  BD ) biết HD = 9 cm và

HB = 16 cm . Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng
A. 300cm2 .

B. 280cm2 .

C. 302cm2 .

D. 310cm2 .

Câu 10: Cho hình bình hành ABCD , dựng AE vuông góc với CD và AF vuông góc với CB
( E; F thứ tự thuộc các cạnh CD và BC), Biết AC = 25 cm và EF = 24 cm . Khoảng cách từ A đến
trực tâm H của tam giác AEF bằng
A. 5cm .
B. 7cm .

C. 8cm .

D. 1cm .

Câu 11: Cho hình thang ABDC( AB / /CD) có đường trung bình bằng 7cm ; độ dài đáy

AB = 4cm khi đó đáy CD bằng
A. 4cm .

B. 10cm .

C. 7cm .

D. 18cm .

Câu 12: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm . Các đường trung tuyến BD và CE vuông
góc với nhau. Độ dài BC là

3
.
2

A.

B. 2 5 .

C.

5
.
2

D.

5
.
3

Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A ; đường cao AH vuông góc với BC , ( H  BC ) . Biết

HB = 9 cm, HC = 16cm . Độ dài cạnh AB, AC lần lượt là
A. 15cm và 20cm.

B. 12 cm và 23cm. C. 14cm và 21cm.

D. 18cm và 17cm.

Câu 14: Trong tam giác ABC , đường trung tuyến AM ( M  BC ) , K là một điểm nằm trên đoạn
AK 1
= , BK cắt AC ở N . Biết diện tích tam giác ABC bằng 60 cm 2 , khi
KM 2
đó diện tích tam giác AKN là

thẳng AM sao cho

C. 3cm 2 .

B. 30 cm 2 .

A. 20 cm 2 .

D. 2cm2 .

Câu 15. Số bàn thắng ghi được trong mỗi trận đấu (không tính loạt sút luân lưu) của một giải bóng
đá được ghi lại trong bảng sau:
Số bàn thắng

0

1

2

3

4

5

Số trận

4

7

8

9

2

2

Hỏi trong giải đấu đó có thể có nhiều nhất bao nhiêu trận đấu kết thúc với tỉ số hòa (trong 90 phút
thi đấu chính thức)?
A.32.

B.4.

C. 7.

D. 14.

Câu 16: Trong một kì thi Hội khỏe Phù Đổng trường A có 12 học sinh giành được các giải thưởng,
trong đó: 7 học sinh giành được ít nhất 2 giải, 4 học sinh giành được ít nhất 3 giải, 2 học sinh giành
được số giải nhiều nhất, mỗi em 4 giải. Số giải trường A giành được là:
A. 26 .
B. 25 .
C. 24 .
D. 23 .
II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n4 − 27n2 + 121 là số nguyên tố
b) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x2 + 4 x + 1 = y 4 .
c) Biết a; b là các số nguyên dương thỏa mãn a2 − ab + b2 chia hết cho 9, chứng minh rằng cả
a và b đều chia hết cho 3.

Câu 2. (4,0 điểm)

1
1
2
+ 2
=
,
a + 1 b + 1 1 + ab
1
1
+ 2023
Tính giá trị của biểu thức: M = 2023
.
a
+1 b
+1

a) Cho hai số thực khác nhau a, b thóa mãn:

2

2
2
2
 x+3
 x − 3  7 ( x − 9)
b) Giải phương trình 
= 0.
 + 6
 − 2
x −4
 x−2
 x+2

c) Tìm a, b để f ( x ) = ax 3 + bx 2 + 10 x − 4 chia hết cho đa thức g ( x ) = x 2 + x − 2 .
Câu 3. (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H.
a) Chứng minh: ABD ACE

b) Chứng minh: CH .CE = CD.CA
c) Kẻ EK ⊥ AC tại K; DI ⊥ EC tại I. Chứng minh AH / / IK
d) Chứng minh SEIK 

1
SABC
4

Câu 4 (1 điểm). Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y  6. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức M = 3x + 2 y +

6 8
+ 
x y

ĐỀ SỐ 9
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Quảng Xương – Thanh Hóa 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Bài 1 (4,0 điểm).

x
x  x2 −1 x2 + x + 1

Câu 1 (2 điểm): Cho biểu thức: A =  2
, với x  1 .
− 2 . 2
− 3
x −1
 x − 2x + 1 x −1  x + 1
Rút gọn biểu thức A.
Câu 2 (2 điểm): a/ Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 0 .
Chứng minh: x3 + y3 + z 3 = 3xyz .
b/ Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn 2ab + bc + 2ca = 0 . Hãy tính giá trị
của biểu thức: A =

bc ca ab
+ +
.
8a 2 b 2 c 2

Bài 2 (4,0 điểm).
Câu 1( 2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của x biết : ( 6 x + 6 )( 6 x + 7 )

2

( 6 x + 8 ) = 12 .

Câu 2( 2 điểm). Tìm tất cả các cặp giá trị ( x, y ) thỏa mãn đồng thời cả hai đẳng thức sau:

x2 − 3xy + 2 y 2 = 0 và

1
+ x + 2y = 4
x − 2y

Bài 3 (4,0 điểm).
Câu 1 (2 điểm). Tìm tất cả các cặp ( x, y ) nguyên thỏa mãn: x2 − 4 x = y 2 − 1 .
Câu 2 (2 điểm) Cho hai số nguyên dương x, y thoả mãn x 2 − 4 y + 1 chia hết cho

( x − 2 y )( 2 y − 1) . Chứng minh

x − 2 y là số chính phương.

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tứ giác ABCD . Gọi E, I lần lượt là trung điểm của AC và BC ; M là điểm
đối xứng với I qua E .
a. Chứng minh tứ giác ABIM là hình bình hành.
b. Gọi N , F lần lượt là trung điểm của AD và BD ; K là điểm đối xứng với I qua F .
Chứng minh: ba đường thẳng IN ; MF ; KE đồng quy.
c. Gọi O là giao hai đường chéo AC và BD . Kí hiệu: S ; S1; S2 lần lượt là diện tích tứ giác

ABCD , tam giác AOB và tam giác COD . Biết S1 = a 2 ; S 2 = b 2 với a, b là các số dương cho trước.
Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để S = ( a + b )

2

Bài 5 (2,0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2xy = x + y

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =

x
y
.
+
2
1 + 2x 1 + 2 y2

ĐỀ SỐ 10
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Nông Cống – Thanh Hóa 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 (4,0 điểm).
1. Cho biểu thức P =

 x +1
x2 + x
1
2 − x2 
:
+
+

 với x ≠ 0; x ≠ ±1
x − 1 x2 − x 
x2 − 2 x + 1  x

Rút gọn và chứng minh P ≥ 4 với mọi x > 1.
2. Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn a3 + b3 + c3 = 3abc và abc ≠ 0.
Tính giá trị của biểu thức B =

8(a + b) 3(b + c) 2034(c + a)
+
−
c
a
b

Câu 2 (4,0 điểm).
1. Giải phương trình ( x − 7)( x − 5)( x − 4)( x − 2) = 72
2. Cho x, y là các số hữu tỉ khác 1 thoả mãn:

2x − 1 2 y − 1
+
= 1 . Chứng minh:
x −1
y −1

M = x2 + y 2 − xy là bình phương của một số hữu tỉ.
Câu 3 (4,0 điểm).
1. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn y 2 + 2 xy − 3x − 2 = 0
2. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho a + b2 chia hết cho a 2 b − 1 .
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là
AB vẽ hai tia Ax; By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm D bất kì (D khác A). Qua O kẻ
đường vuông góc với OD tại O, cắt By tại C. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD.
1. Chứng minh ADH đồng dạng BOH và AHB vuông.
2. Gọi I là giao điểm của AC và BD; E là giao điểm của AH và DO; F là giao điểm của BH và
CO. Chứng minh E; I; F thẳng hàng.
3. Tìm vị trí của D trên Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
a
b
c
+ 4
+ 4
thức T = 4
4
4
b + c + a a + c + b a + b4 + c

ĐỀ SỐ 11
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 huyện Thanh Sơn 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu 1. Cho x + y = 9, xy = 14. Giá trị của biểu thức x3 + y3 là

A. 513

B. 531

C. 315

D. 351

Câu 2. Cho a + b = 1 , biểu thức C = 2 ( a 3 + b3 ) − 3 ( a 2 + b 2 ) có giá trị là
A. 1

B. -1

C. 2

D. -2

Câu 3. Phân tích đa thức 3x 2 + 8x + 4 thành nhân tử được kết quả là
B. ( x + 2 )( 3 x − 2 )

A. ( x − 2 )( 3 x + 2 )

C. ( x + 2 )( 3 x + 2 )

D. ( x − 2 )( 3 x − 2 )

Câu 4. Đa thức a3 + 4a2 − 29a + 24 được viết dưới dạng nhân tử là
A. ( a − 1)( a − 3)( a − 8 )

B. ( a − 1)( a + 3)( a + 8 )

C. ( a + 1)( a − 3)( a + 8 )

D. ( a − 1)( a − 3)( a + 8 )

Câu 5. Cho 9 x 2 + 4 y 2 = 20 xy ( 2 y  3x  0 ) , biểu thức A =
A. −

1
2

B. −

2
9

C.

3x − 2 y
có giá trị là
3x + 2 y

2
9

D.

1
2

Câu 6. Giá trị biểu thức A = 1002 − 992 + 982 − 972 + ... + 22 − 12 là
A. 5050

B. 5005

Câu 7. Bất phương trình

C. 4950

D. 4590

x − 2021
 1 có tập nghiệm là
x − 2022

A. S =  x | x  2022

B. S =  x | x  2022

C. S =  x | x  2021

D. S =  x | x  2021

Câu 8. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức B( x) = x4 − 10 x3 + 26 x2 − 10 x + 30 là
A. 0

B. 5

Câu 9. Cho abc = 2022, giá trị biểu thức A =
A. 1

B. 3

C. 10

D. 20

2022a
b
c
+
+
là
ab + 2022a + 2022 bc + b + 2022 ac + c + 1

C. 2022

D. 2

Câu 10. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c  0 , giá trị biểu thức N =

A. 1

B.

1
3

C. 2

Câu 11. Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho
cho
A.

a 2 + b2 + c 2

(a + b + c)
D.

2

là

1
2

BD 3
= , điểm E trên đoạn AD sao
BC 4

AK
AE 1
= . Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tỉ số
là
KC
AD 3
2
3

B.

5
8

C.

3
5

D.

Câu 12. Cho hình bình hành ABCD có điểm G thuộc cạnh CD sao cho DG =
điểm của AG và BD. Tỉ số

DE
là
DB

3
8
1
DC. Gọi E là giao
4

A.

3
5

B.

2
5

C.

1
5

D.

1
4

Câu 13. Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 15cm, BC = 18cm. Trên cạnh AB, lấy điểm M sao
cho AM = 10cm, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 8cm. Độ dài đoạn MN là
A. 10cm

B. 12cm

C. 14cm

D. 16cm

Câu 14. Cho hình vuông ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm
của DF và CE. Tỉ số
A.

1
2

SCIF
SCBE
B.

là
1
3

C.

1
4

D.

1
5

Câu 15. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Lấy M, N trên BC sao cho BM =
MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE. Biết BC = 10cm thì
độ dài IK là
A. 3,5cm

B. 3cm

C. 2,5cm

D. 2cm

Câu 16. Để lập đội tuyển năng khiếu bóng rổ nhà trường đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi
bạn dự tuyển sẽ được ném 10 quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng 4 điểm; quả bóng ném ra
ngoài thì bị trừ 2 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 22 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển.
Một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì số quả bóng phải ném vào rổ ít nhất là
A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,5 điểm).
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 − y 2 − x + 2 y = 1
b) Cho số nguyên dương n và các số A = 444...4 và B = 888...8 . Chứng minh rằng:
2n

n

A + 2B + 4 là số chính phương.
Câu 2 (3,5 điểm).

a) Tính giá trị biểu thức A =

ab
bc
ac
+ 2
+ 2
2
2
2
2
a +b −c
b +c −a
c + a 2 − b2
2

biết a + b + c = 0 và a, b, c  0 .
b) Giải phương trình: 2 x ( 8 x − 1) ( 4 x − 1) = 9.
2

Câu 3 (4,0 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Qua B kẻ đường thẳng song
song với CF cắt tia AH tại M, AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh BD2 = AD.DM .
b) Kẻ AK vuông góc với EF tại K. Chứng minh  AEK đồng dạng  AHF.
c) Chứng minh: AB.AC = BE.CF + AE.AF.
Câu 4 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1 1
biểu thức P = a + b + c + 2  + +  .
a b c

ĐỀ SỐ 12

(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 quận Hà Đông 2022-2023)
Thời gian làm bài : 90 phút
Bài 1. (5,0 điểm)


 ( x − 1)( x − 3)
x2
x2
+ 2
Cho biểu thức A =  2
với x  1; x  2; x  3
. 4
2
 x − 5 x + 6 x − 3x + 2  x + x + 1
1) Rút gọn A
2) Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 2. (4,0 điểm)
1) Giải phương trình sau: ( 2 x 2 + x − 13) + 4 ( x 2 − 5 x − 12 ) = 4 ( 2 x 2 + x − 13)( x 2 − 5 x − 12 )
2

2

2) Tìm các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x2 + xy − 2020 x − 2021y − 2022 = 0
Bài 3. (3,0 điểm)
1) Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp
Chứng minh rằng : ab − a − b + 1 chia hết cho 48
2) Với ba số thực x, y, z thỏa mãn x2 + y 2 + z 2  8 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T = 507 xz − xy − yz
Bài 4. (7,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC
( M  B và C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
1) Chứng minh OEM vuông cân;
2) Chứng minh: EM // BN;
3) Từ C kẻ CH ⊥ BN ( H  BN ) . Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng;
4) Cho độ dài đoạn thẳng AB = a và P, Q lần lượt thuộc cạnh AB, AD sao cho PCQ = 450 .
Chứng minh tam giác APQ có chu vi bằng 2a.
Bài 5. (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để 52n

2

−6n + 2

− 12 là số nguyên tố

ĐỀ SỐ 13
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1:

(4.0 điểm)
2
5 − x  1− 2x
 1
Cho biểu thức: A = 
+
−
: 2
2 
 1− x x +1 1− x  x −1

1) Rút gọn biểu thức A ;
2)Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 2:

(4.0 điểm)
1) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x 2 + y 2 + z 2 +
Tính giá trị của biểu thức P = x2021 + y 2022 + z 2023 .

1
1
1
+ 2 + 2 =6.
2
x
y
z

Câu 3:

x 2 + 4 x + 6 x 2 + 16 x + 72 x 2 + 8 x + 20 x 2 + 12 x + 42
+
=
+
2) Giải phương trình:
.
x+2
x +8
x+4
x+6
(4.0 điểm)
1) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 + b5 + c5 − ( a + b + c ) chia hết cho
30.
2) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 + xy − 2021x − 2022 y − 2023 = 0 .

Câu 4:

(6.0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có B = D = 90 và AB  AD , lấy điểm M trên cạnh AB sao ch