PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ TỰ NHIÊN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. DÃY SỐ TỰ NHIÊN
+ Cho dãy số tự nhiên :
-

: số hạng thứ 1

-

: số hạng thứ 2

- : số hạng thứ 3
…………………………
- : số hạng thứ
- tổng dãy số tự nhiên có số hạng.
2. DÃY SỐ TỰ NHIÊN CÁCH ĐỀU
+ Dãy số tự nhiên cách đều: Hiệu hai số hạng liên tiếp luôn luôn không đổi được gọi
là khoảng cách giữa các số hạng (d) hay gọi là Công sai .
* a2 – a1 = a3 – a2 = …… =
* Liên hệ giữa các số hạng:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d
a4 = a3 + d
………………….
an = an+1 + d

(hằng số).
Ta thấy:

a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 +2d
a4 = a3 + d = a1 +3d
a5 = a4 + d = a1 +4d
………………………………….
an = an+1 + d = a1 +(n-1)d

* Tổng dãy số cách đều:
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều
I. Phương pháp giải
Cần tính tổng:

(1)

- Với
Công sai)
B1: Tìm số số hạng của tổng.

(các số hạng cách đều nhau một giá trị d – gọi là

Số số hạng của tổng là
hạng thứ n.
B1: Tính tổng: S =
* Số hạng thứ

với

n .(a1 +a n)
2

của dãy là

.
1

là số hạng thứ nhất;

là số

* Với tổng n số tự nhiên đần tiên được tính như sau:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ….. + (n-2) + (n-1) + n =

n .(n+1)
2

…………………………………..
II. Bài tập:
Bài 1: Tính tổng
Bài 2: Tính tổng
Bài 3: Tính tổng
Bài 4: Tính tổng các số tự nhiên có hai chữ số?
Bài 5: Tính tổng của 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên?
Bài 6: Tính tổng
Bài 7: Tính tổng
Bài 8: Tính tổng

………………………………………………………

Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số ? Tính tổng của chúng.
Bài 10: Cho dãy số:
Bài 11: Tính tổng

Tìm số hạng thứ 2026 của dãy số trên?
số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2025 ?

Bài 12 Một dãy phố có

nhà. Số nhà của

số nhà của dãy phố đó bằng

nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của

. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào?

Bài 13: Tính tổng A = 2 + 4 + 6 + 8 + ….. + 2024 + 2026
Bài 14: Tính tổng

.

Bài 15: Tính tổng

.

Bài 16: Cho D = 1 + 3 + 5 + 7 + ..... + 2025
a) Tính tổng

trên.

b) Tìm số hạng thứ 333 của tổng trên.
Bài 17: Cho dãy số
a) Nêu quy luật của dãy số trên.
b) Viết tập hợp
năm.

gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy số đó, bắt đầu từ số hạng thứ

c) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số.
Bài 18: Người ta viết liền nhau các số tự nhiên
a) Hỏi các chữ số đơn vị của các số
b) Chữ số viết ở hàng thứ

đứng ở hàng thứ bao nhiêu?

là chữ số nào?
2

Bài 19: Tính tổng

.

…………………………………………………….

………………………………………………………..……………………………………………..

Dạng 2: Tổng có dạng: S = a1a2 + a1a2 + a2a3 + …… + a(n-2)a(n-1) + a(n-1)an
(với k = a2 – a1 = a3 – 21 = a4 – a3 = ….. = an – a(n-1))
I. Phương pháp giải
Bài toán tổng quát:
Bài toán tổng quát: S = a1a2 + a1a2 + a2a3 + …… + a(n-2)a(n-1) + a(n-1)an
(với k = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ….. = an – a(n-1) là khoảng cách giữa các
thừa số của mỗi số hạng)
B1: Nhân với “ba lần khoảng cách” (3k) ta được:
3k.S = 3k[a1a2 + a2a3 + …… + a(n-2)a(n-1) + a(n-1)an]
B2: Phân tích từng số hạng của tổng mới để xuất hiện các số hạng đối nhau: bằng
cách viết 3k = a(n+1) – m (với m ∈N) lần lượt đối với các số hạng.
B3: Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng rồi biến đổi
tổng thành tổng các số đối nhau và tổng cơ bản.
B4: Triệt tiêu các số hạng và tính tổng cơ bản.
……………………………………………………………………………….…………

II. Bài tập:
Bài 1:Tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …. + 99.100
Bài 2: Tính tổng: B = 1.3 + 3.5 + 5.7 + …..+ 99.101
Bài 3: Tính tổng: C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + ….. + 98.100
Áp dụng: Chứng minh rằng C chia hết cho 100
Bài 4: Tính tổng:

………………………………………………………..……………………………

Dạng 3: Tổng có dạng S = a1a2a3 + a1a2a3+ a1a2a3 + …… + a(n-2)a(n-1)an
(với k = a2 – a1 = a3 – a1 = a4 – a3 = ….. = an – a(n-1))
I. Phương pháp giải
- Nhân hai vế với 4k (với k là khoảng cách giữa hai thừa số của mỗi số hạng) rồi tách
4k ở mỗi số hạng trong tổng để số hạng trước và số hạng sau tạo thành những số tự
triệt tiêu nhau.

3

.
Tổng quát: S = a1a2a3… an + a2a3… an+1 + a3a4a5… an+2 …… + akak+1ak+2… an+k
(với k = a2 - a1 = a3 – a2 = a4 - a3 = ………….. = an+k – an+k-1)
+ Phương pháp giải
B1: Nhân với “n+1 lần khoảng cách” [(n+1)k) ta được:
(n+1)kS = (n+1)k(a1a2a3… an + a2a3… an+1 + a3a4a5… an+2 …… + akak+1ak+2… an+k)
B2: Phân tích từng số hạng của tổng mới để xuất hiện các số hạng đối nhau: bằng
cách viết (n+1)k = a(n+1) – m (với m ∈N) lần lượt đối với các số hạng.
B3: Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng rồi biến đổi
tổng thành tổng các số đối nhau và tổng cơ bản.
B4: Triệt tiêu các số hạng và tính tổng cơ bản.
II. Bài tập:
Bài 1: Tính tổng A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …. + 98.99.100
Bài 2: Tính tổng A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + 4.5.7.8 + …. + 97.98.99.100.
Bài 3:Tính tổng
.
Bài 4: Tính tổng A = 1.3.5.7 + 3.5.7.9 + 5.7.9.11 + 7.9.11.13 + …. + 95.97.99.101.
……………………………………………………………………………..……

Dạng 4: Tổng có dạng
(cơ số không đổi, số mũ tăng liên tiếp)
I. Phương pháp giải
- TH 1: Nếu
thì
.
- TH 2: Nếu
để tính tổng
B1: Nhân hai vế của
B2: Lấy
II. Bài tập:
Bài 1: Tính tổng
Bài 2: Tính tổng
Bài 3: Tính tổng

trừ

(1)

ta làm như sau

với cơ số

ta được

vế theo vế ta được

Bài 4: Tính tổng
Bài 5: Tính tổng
Bài 6: Tính tổng

………………………………………………………………………………………

4

Dạng 5: Tính tổng có dạng
(cơ số không đổi, số mũ chẵn tăng liên tiếp)
I. Phương pháp giải
B1: Nhân hai vế của đẳng thức với
B2: Lấy

(1)

ta được:
(2)

theo vế ta được:

II. Bài tập:
Bài 1: Tính tổng sau:

(1)

Bài 2: Tính tổng sau:

(1)

Bài 3: Tìm giá trị của

biết:

Bài 4: Tìm giá trị của

biết: 1+ (x-1) + (x-1) + (x-1) + …. + (x-1)
2

4

8

2020

với
Bài 5: Chứng minh rằng:
chia hết cho 26
Bài 6: Chứng minh rằng:
chia hết cho 21
2
4
6
Bài 7: Chứng minh rằng: 1+ 3 + 3 + 3 + … + 398 chia hết cho 82
Bài 8: So sánh:

với

(quy đồng mẫu kết quả cuối)

………………………………………………………………………………………

Dạng 6: Tính tổng
(1), với
(cơ số không đổi, số mũ lẻ tăng liên tiếp)
I. Phương pháp giải
Bước 1: Nhân cả 2 vế của
Bước 2: Lấy

với

ta được:

ta được:

Vậy
II. Bài tập:
Bài 1: Tính tổng
5

2022

17 −1
=
( x−1 )2−1

Bài 2: Tính tổng
Bài 3: Tính tổng
Bài 4: Tính tổng

………………………………………………………………………………………

Dạng 7: Tổng có dạng:
(số mũ không đổi, cơ số tăng liên tiếp)
I. Phương pháp giải
Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng :
Lời giải:

Mà

(Theo dạng bài trước)

Vậy
Do đó, ta có công thức tính dãy số:
II. Bài tập:
Bài 1: Tính tổng sau:
Bài 2: Tính tổng sau:
Bài 3: Tính tổng sau:
Bài 4: Tính tổng sau:
Bài 5: Tính các tổng sau:
Bài 6: Tính tổng sau:

6

………………………………………………………………………………………

Dạng 8: Tính tổng có dạng
với k ∈ N*
(số mũ không đổi, cơ số lẻ tăng liên tiếp)
I. Phương pháp giải
Cách 1: Ta sẽ tính tổng

dựa vào tổng dạng
.

Trước hết ta xét tổng
.

.
Mặt khác

.

Vậy
Cách 2: Ta sẽ tính tổng

dựa vào tổng dạng

và công thức
Ta chứng minh công thức như sau:
(đpcm).
Nhận thấy tổng

có

7

số hạng, từ đó ta có:

.
Cách 3: Ta sẽ tính tổng

dựa vào tổng dạng
và tổng dạng

.

Ta có

.
Đặt

và

.

Ta có:

.
Ta có:
Số số hạng của tổng

.
là:

.
.
.

8

.
Vậy

.

Cách 4: Ta sẽ tính tổng
và tổng dạng
Đặt

dựa vào tổng dạng
.

.
.
.

Đặt
.

.
Đặt
Ta có
Suy ra

Vậy

.
là tổng của n số nguyên dương đầu tiên nên

.

Xét

9

.

Vậy
II. Bài tập:
Bài 1. Tính tổng
Bài 2: Tính tổng

.
.

Bài 3: Tính tổng
Bài 4: Tính tổng
Bài 5: Tính tổng
Bài 6: Tính tổng
Bài 6: Tính tổng
Bài 7: Tính tổng

................................................................................................................................................

Dạng 9: Tổng có dạng:
(k lẻ và k ∈ N)
(số mũ không đổi, cơ số chẵn tăng liên tiếp)
I. Phương pháp giải
Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng :
Ta có:

Suy ra:
Áp dụng tổng

=2.S
Suy ra:

mà

Vậy
Áp dụng tính:
10

Xét:
Suy ra:

.

Nên:
II. Bài tập:
Bài 1: Tính tổng
Bài 2: Tính tổng
Bài 3: Biết
Bài 4: Tính tổng

.

. Tính tổng

………………………………………………………………………………………

, n ∈ N*

Dạng 10: Tổng có dạng
I. Phương pháp giải
- Phân tích công thức của từng số hạng trong tổng thành
quen thuộc:
Cụ thể:
Do đó

Đặt
Khi đó

Tổng quát:

∈

với n N*

II. Bài tập:
11

để thành tổng

Bài 1: Tính tổng
Bài 2:Tính tổng
Bài 3: Tính tổng
Bài 4: Tìm số nguyên x, biết:
Bài 5: Không tính ra kết quả hãy so sánh

và

…………………………………………………….
Dạng 11: Tổng có dạng S = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a2b2 + ……. + an-1bn-1 + anbn
( với a2 - a1 = a3 – a2 = ….. = an – an-1 =1
b2 - b1 = b3 – b2 = ….. = bn – bn-1 =1
b1 - a1 = b2 – a2 = ….. = bn – an = k )
I. Phương pháp giải
B1: Tách mỗi số hạng thành tổng dạng:
a1b1 = a 21 + a1k
a1b1 = a 22 + a2k
………………………………………
a1b1 = a 2n + ank
B2: Tính tổng: S = (a 21 + a 22 + a 23 + ….. + a 2n ) + k(a1 + a2 + a1 + …… + an)
=
an (an +1)(2an +1)/6
+
k.an (an +1)/2
= an (an + 1)(2an + 1+ 3k)/6
II. Bài tập:
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + 5.7 + 6.8 + ….. + 99.101
b) B = 1.5 + 2.6 + 3.7 + 4.8 + 5.9 + 6.10 + …. + 96.100
c) C = 25.28 + 26.29 + 27.30 + 28.31 +… + 150. 153
d) D = 1.6 + 2.7 + 3.8 + 4.9 + 5.10 + …. + 95.100
Bài 2: Tính: N = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7+…+ n(n + 3)
Lời giải
Ta có: 1.4 = 1.(1 + 3) = 12 + 1.3
           2.5 = 2.(2 + 3) = 22 + 2.3
           3. 6 = 3.(3 + 3) = 32 + 3 3
           4.7  = 4.(4 + 3) = 42 + 4.3
          ……………………..
          n(n + 3) = n2 + n.3
Vậy N = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 3)
            = (12 + 22 + 32 + 42 + …. + n2 ) + 3(1 + 2 + ……+ n)
            = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/3
12

= n(n + 1)(n + 5)/3
…………………………………………………………..
1

1

1

1

Dạng 12: Tổng có dạng S = a a + a a + a a +…+ a a
1. 2
2. 3
3. 4
n−1. n
(với k = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ….. = an – an-1)
I. Phương pháp giải
B1: Phân tích mỗi số hạng thành một hiệu.

( )
1
1 1 1
=
−
a a k (a a )
1
1 1 1
=
−
a1. a2 k a1 a2
2.

3

2

3

......................................................
....................................................
1

an−1 an

=

(

1 1
1
−
k an−1 an

)

B2: Cộng vế với vế của các đẳng thức ở trên ta được:

( 1 ) 1( 1 1 )
1 1 1
= k (a −a )
1 1

1

(1

1

S = k a − a + k a − a +…+ k a − a
1
2
2
3
n−1
n
1

)

n

II. Bài tập:
Bài 1: Tính các tổng sau:
1

1

1

1

a) M = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ 99.100
1

1

1

1

1

1

1

b) N = 1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ 99.101
1

c) P = 1.4 + 4.7 + 7.10 +…+ 121.124
1

1

1

1

d) Q = 15.21 + 21.27 + 27.33 +…+ 93.99
Bài 2: Tính các tổng sau:
1

1

1

1

a) E = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4 .5 +…+ 98.99 .100
1

1

1

1

b) F = 1.2.3 .4 + 2.3.4 .5 + 3.4 .5 .6 + …+ 97.98 .99.100
1

1

1

1

c) G = 1.2.3 .4 .5 + 2.3 .4 .5 .6 + 3.4 .5.6 .7 +…+ 96.97 .98 .99 .100
12

12

12

12

d) H = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4 .5 +…+ 98.99 .100
13

……………………………………………………………

14