Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

Chuyên đề 12. SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ
Khoảng biến thiên, kí hiệu là , là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.
Ý nghĩa. Khoảng biến thiên dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số
liệu càng phân tán.
Ví dụ 1: Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 10 A được cho như sau:

a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ có như nhau không?
b) Tính các khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu.
Căn cứ trên chỉ số này, các bạn tổ nào học đồng đều hơn?
Lời giải.a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tồ đều bằng 8.
b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 7 ; 9.
Do đó khoảng biến thiên là:
.
Đối với Tồ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 6; 10.
Do đó khoảng biến thiên là:
.
Do
nên ta nói các bạn Tồ 1 học đều hơn các bạn Tồ 2.
Nhận xét. Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm đơn giản, dễ tính toán song khoảng biến thiên chỉ sử dụng
thông tin giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà bỏ quan thông tin từ tất cả các giá trị khác.
Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.
Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là
, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, tức là:
.
Ý nghĩa. Khoảng tứ phân vị cũng là một số đo độ phân tán của mẫu số liệu.
Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Chú ý. Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ và khoảng tứ phân vị là độ trải giữa
Ví dụ 2: Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày:
Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Lời giải.Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
Mẫu số liệu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa
.
Nửa số liệu bên trái là
gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 8,11.
Do đó,
.
Nửa số liệu bên phải là
gồm 4 giá tri, hai phần tử chính giữa là 19,20.
Do đó,
.
Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là
2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

.

Phương sai là giá trị
Căn bậc hai của phương sai,
, được gọi là độ lệch chuẩn
Chú ý. Người ta còn sử dụng đại lượng để đo độ phân tán của mẫu số liệu:

Ý nghĩa. Nếu số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn.
Ví dụ 3: Mẫu số liệu sau đây cho biết sĩ số của 5 lớp khối 10 tại một trường Trung học:
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.
Lời giải.Số trung bình của mẫu số liệu là:

.

Ta có bảng sau:
1

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Mẫu số liệu gồm 5 giá trị nên

.

Bình phương độ lệch
0
Do đó phương sai là:
.
4
9
Độ lệch chuẩn là:
.
4
9
Tổng
26
3. PHÁT HIỆN SỐ LIỆU BẤT THƯỜNG HOẶC KHÔNG CHÍNH XÁC BẰNG BIỂU ĐỒ HỘP
Trong mẫu số liệu thống kê, có khi gặp những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác.
Những giá trị này được gọi là giá trị bất thường. Chúng xuất hiện trong mẫu số liệu có thể do nhầm lẫn hay
sai sót nào đó. Ta có thể dùng biểu đồ hộp để phát hiện những giá trị bất thường này.

Các giá trị lớn hơn
hoặc bé hơn
Ví dụ 4: Hàm lượng Natri (đơn vị mg) trong

Giá trị̣
43
45
46
41
40

Độ lệch

Tài liệu tự học 2026-2027

được xem là giá trị bất thường.
một số loại ngũ cốc được cho như sau:

Tìm giá trị bất thường trong mẫu số liệu trên bằng cách sử dụng biều đồ hộp.
Lời giải.Từ mẫu số liệu ta tính được
và
. Do đó, khoảng tứ phân vị là:
Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:

Ta có

và
nên trong mẫu số liệu có hai giá trị được xem là bất thường là
(Iớn hơn
) và
(bé hơn
).
B. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Phương sai là đặc trưng dùng để:
A. Đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình.
B. Cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu.
C. Phát hiện số liệu bất thường hoặc không chính xác của mẫu số liệu.
D. Là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.
Câu 2. Cho mẫu số liệu
có số trung bình là . Phương sai được tính theo công thức nào
trong các công thức sau
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 3. Trong các điều khẳng định sau:
(I)Thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lí mẫu số liệu.
(II)Số lần xuất hiện của một giá trị trong dãy giá trị của dấu hiệu được gọi là tần số của giá trị đó.
(III)Giá trị có tần số lớn nhất gọi là mốt của dấu hiệu.
(IV)Độ lệch chuẩn là bình phương của phương sai.
Có bao nhiêu khẳng định đúng:
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 4. Phát biểu nào dưới đây sai?
A.Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu.
2

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

B. Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ đến
trong mẫu.
C. Khoảng tứ phân vị bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.
D. Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ hay
quá lớn so với đa số các giá trị trong mẫu.
Câu 5. Để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê so với số trung bình, ta dùng đại lượng nào
sau đây?
A.Số trung bình.
B.Số trung vị.
C.Mốt.
D.Phương sai.
Câu 6. Phát biểu nào sau đây sai?
A. Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu
B. Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa các mẫu số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ Q1
đến Q3 trong mẫu ;
C. Khoảng tứ phân vị bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu;
D. Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ hay
quá lớn so với đa số các giá trị trong mẫu
Câu 7. Nếu đơn vị của số liệu là
thì đơn vị của phương sai là?
A.
B.
C. Không có đơn vị
D.
Câu 8. Độ lệch chuẩn là gì ?
A. Bình phương của phương sai B. Căn bậc ba của phương sai
C. Trị tuyệt đối của phương sai
D. Căn bậc hai của phương sai
Câu 9. Cho dãy số liệu thống kê: ; ; ; ; ; ; . Khoảng biến thiên là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 10. Mẫu số liệu cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn học sinh trong tổ
Khoảng biến thiên
của mẫu số liệu là
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 11. Điểm kiểm tra toán của một tổ cho kết quả như sau: 7; 9; 6; 10; 5; 8; 4. Trung vị của mẫu số liệu
trên là
A.6.
B. 7.
C. 9.
D. 5.
Câu 12. Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống trong một rạp chiếu phim trong ngày như sau:
Hãy tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 13. Cho mẫu số liệu sau:
. Tính phương sai của mẫu số liệu trên.
A.
. B.
.
C.
.
D.
.
Câu 14. Phương sai của dãy số
là
A.
.B.
.
C.
.
D.
Câu 15. Theo dõi thời gian làm một bài toán (tính bằng phút) của
sau:

.
học sinh, giáo viên lập được bảng

Phương sai của mẫu số liệu trên gần với số nào nhất?
A. .
B. .
C.
.
D. .
Câu 16. Số liệu thống kê
học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi toán (thang điểm 20). Kết quả được
thống kê trong bảng sau:

Tính độ lệch chuẩn của bảng số liệu thống kê.
A.
. B.
.
C.
.

D.
3

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

Câu 17. Cho mẫu số liệu thống kê
.Tính (gần đúng) độ lệch chuẩn của mẫu số liệu
trên?
A.
. B.
.
C.
.
D.
.
Câu 18. Sản lượng lúa (đơn vị tấn) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần
số sau đây

Sản lượng 20 21 22 23 24
Tần số
5 8 11 10 6
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên bằng
A.
. B.
.
C.
.
D.
.
Câu 19. Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một số sản phẩm của một số thí sinh ở
bảng sau

Thời gian (phút) 5 6 7 8 25
Số học sinh
2 5 6 3 1
Giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 20. Cho mẫu số liệu như sau:
Giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu này là
A. .
B.
.
C. .
D.
.
Câu 21. Cho mẫu số liệu:
18
28
32
15
16
3
18
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
A.
. B. .
C.
.
D. .
Câu 22. Mẫu số liệu nào dưới đây có khoảng biến thiên là 35?
A.
.
B.
.
C.
.
Câu 23. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu
là
A. .
B. .
C.
.
D. .
Câu 24. Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệucho bởi bảng sau ?

A. .
B. .
C. .
D.
.
Câu 25. Công thức tính phương sai của mẫu số liệu nếu biết độ lệch chuẩn
A. .
B.
.
C. .
D. .
Câu 26. Cho mẫu số liệu

67

74

D.

20

.

của mẫu số liệu là

. Phương sai của mẫu là

A.
. B.
.
C.
.
D.
.
Câu 27. Điểm thi môn Toán lớp 10A2 của một Trường trung học phổ thông được trình bày ở bảng phân bố
tần số sau

Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào gần nhất với phương sai của bảng phân bố tần số trên?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 28. Theo kết quả thống kê điểm thi giữa kỳ 2 môn toán khối 11 của một trường THPT, người ta tính
được phương sai của bảng thống kê đó là
. Độ lệch chuẩn của bảng thống kê đó (làm tròn đến
hàng phần nghìn) bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 29.Cho dãy số liệu thống kê: 1,2,3,4,5,6,7,8. Độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê này (làm tròn đến
hàng phần trăm) là A.
. B.
. C.
. D.
.
Câu 30.Mẫu số liệu cho biết sĩ số của 4 lớp 10 tại một trường trung học:
Tìm độ lệch chuẩn
của mẫu số liệu này A.
B.
C.
D.
4

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

Câu 31.Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là 25, tứ phân vị thứ ba là 46. Có bao nhiêu giá trị bất
thường trong các giá trị sau:
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 32.Cho mẫu số liệu sau: 1506003505002506501200300450400. Giá trị bất thường của mẫu số liệu trên
là: A.
.
B.
và
.
C.
.
D. Không có giá trị bất thường.
Câu 33. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
A.Có
giá trị của mẫu số liệu nằm giữa
và .
B. Có
giá trị của mẫu số liệu nằm giữa
và .
C. Có
giá trị của mẫu số liệu nằm giữa
và .
D. Có
giá trị của mẫu số liệu nằm giữa
và .
Câu 34. Từ mẫu số liệu về số quần áo bán được của 23 cửa hàng tại một thành phố trong một tháng, người
ta tính được tứ phân vị của mẫu số liệu là
. Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu
trên. A.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 35.Điều tra số km chạy bộ của 10 học sinh trong một tháng ta có các số liệu bên dưới. Hãy tìm khoảng
biến thiên của mẫu số liệu.
A.
B. .
C. .
D. .
Câu 36. Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu thông kê sau:
A. . B. .
C. .
D. .
Câu 37. Độ tuổi của 11 cầu thủ ở đội hình xuất phát của một đội bóng đá được ghi lại ở bảng sau:
Giá trị bất thường trong mỗi mẫu số liệu trên là:
A.
B.
C.
D. Không có giá trị bất thường
Câu 38. Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu thông kê sau:
22
24
33
17
11
4
18
87
72
30
A. . B. .
C. .
D. 87.
Câu 39.Số ôtô đi qua một cây cầu mỗi ngày trong một tuần đếm được như sau: 83 ; 74 ; 71 ; 79 ; 83; 69; 92.
Phương sai và độ lệch chuẩn lần lượt là
A.78,71 và 8,87.
B. 52,99 và 7,28.
C. 61,82 và 7,86.
D. 55,63 và 7,46.
Câu 40.Điểm thi môn Toán lớp
của một
Điểm thi
Trường trung học phổ thông được trình bày ở
Tần số
bảng phân bố tần số sau
Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào gần nhất với phương sai của bảng phân bố tần số trên?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 41.Cho mẫu số liệu sau:
7 8 22 20 15 18 19 13 11
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là A.10.
B.16.
C.20.
D.13.
Câu 42.Từ mẫu số liệu về số quần áo bán được của 25 cửa hàng tại một thành phố trong một năm,
người ta tính được: Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là
. Tìm khoảng tứ phân
vị của mẫu số liệu trên. A.10.
B.5.
C.20.
D.15.
Câu 43.Điểm thi môn Toán của học sinh một lớp được cho trong bảng
Điểm 0 5 6 7 10
sau:
Tần số 1 10 20 10 1
Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên? A.10.
B.5.
C.6.
D.15.
Câu 44. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu 6; 7; 9; 4; 7; 5; 6; 6; 7; 9; 5; 6 là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 45. Xét Số ôtô đi qua một cây cầu mỗi ngày trong một tuần đếm được như sau: 83 ; 74 ; 71 ; 79 ; 83;
69; 92. Phương sai của mẫu số liệu trên gần với giá trị nào nhất
A. 78,71.
B. 55,63
C. 61,82
D. 52,99.
Câu 46. Theo kết quả thống kê điểm thi học kỳ 1 môn toán khối 10 của một trường THPT, người ta tính
được phương sai của bảng thống kê đó là
. Độ lệch chuẩn của bảng thống kê đó gần nhất với số
nào sau đây. A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 47. Điểm kiểm tra môn Toán của 20 học sinh được cho bởi bảng sau
5

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

Trong mẫu số liệu trên có bao nhiêu giá trị bất thường?
A. .
B. .
C. .
Câu 48.Cho biểu đồ tăng trưởng GDP Việt Nam
giai đoạn 2011 – 2022.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bằng
A.
. B.
. C.
. D.
.
Câu 49.Để khảo sát kết quả thi tuyển sinh môn
Toán trong kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua
của trường A, người điều tra chọn một mẫu gồm
100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó. Điểm
môn Toán (thang điểm 10) của các học sinh này
được cho ở bảng phân bố tần số sau đây. Phương
sai gần với giá trị nào sau đây?

D.

.

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 50. Sĩ số học sinh của 5 lớp khối 10 là: 40; 43; 45; 41; 46. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên gần
nhất với số nào trong các đáp án sau? A.
.
B.
.
C.
. D.
.
Câu 51. Mẫu số liệu sau cho biết size giày của các bạn nữ trong 1tổ của 1 lớp học:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên làA.
B.
C.
Câu 52. Chiều cao của 5 học sinh lớp 10 đo được là:
(đơn vị: cm).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên làA.
B.
C.
Câu 53. Mẫu số liệu sau cho biết size giày của các bạn nữ trong 1 tổ của 1 lớp học:

D.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu làA.
Câu 54. Chiều cao của 9 học sinh lớp 10 đo được là:

D.

B.

C.

D.

(đơn vị: cm).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu làA.
B.
C.
D.
Câu 55.Mẫu số liệu cho biết số tiền ủng hộ đồng bào bị ảnh hưởng bới lũ lụt năm 2024 của các bạn trong 1
tổ:
(đơn vị: nghìn đồng).
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên(kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
A.
B.
C.
D.
Câu 56.Mẫu số liệu sau cho biết số lượng xe của các đội trong 1 công ti taxi là:
(đơn vị: xe).
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (kết quả làm tròn đến hai chữa số thập phân)
A.
B.
C.
D.
Câu 57.Mẫu số liệu sau cho biết điểm kiểm tra 15 phút của một nhóm đối tượng:

Giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên là
A.Không có giá trị bất thường
B.
C.
D.
Câu 58.Bảng 3 cho biết tổng diện tích rừng từ năm 2008 đến năm 2019 ở nước ta.
Năm
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
Tổng diện tích rừng 13,1 13,2 13,4 13,5 13,9 14,0 13,8 14,1 14,4 14,4 14,5 14,6
So với năm 2008, tỉ lệ tổng diện tích rừng của nước ta năm 2019 tăng lên được
A.
. B.
.
C.
.
D.
.
6

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

Câu 59. Hai mẫu số liệu sau đây cho biết số lượng trường Trung học phổ thông ở mỗi tỉnh thuộc Đồng
bằng Bắc Bộ?Đồng bằng sông Hồng:
A.
. B.
.
C.
.
D.
.
Câu 60. Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:

Giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên là
A.
. B.
.
C.
.
D. Không có giá trị nào bất thường.
Câu 61. Điểm kiểm tra môn Toán cuối năm của một nhóm gồm 9 học sinh lớp 10 lần lượt là 5; 5; 6; 6; 7;
8; 8; 9; 10. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu này là?A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 62.Sản lượng lúa (tạ/ha) của 10 tỉnh cho bởi số liệu sau:
50; 51; 50; 55; 60; 58; 65; 55; 68; 67. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu này là?
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 63.Mẫu số liệu về chiều cao của 11 học sinh trong 10A1:
(cm)
Mẫu số liệu về chiều cao của 11 học sinh trong 10A2:
(cm)
Căn cứ vào chỉ số khoảng biến thiên. Chọn đáp án đúng?
A.Chiều cao của 11 học sinh lớp 10A1 đồng đều hơn. B.Chiều cao của 11 học sinh lớp 10A2 đồng đều hơn..
C.Chưa khẳng định được học sinh lớp nào có chiều cao đồng đều hơn.
D.Khoảng biến thiên ở mẫu số liệu lớp 10A1 lớn hơn khoảng biến thiên ở mẫu số liệu lớp 10A2.
Câu 64.Sản phẩm bình quân trong một giờ của công nhân trong 10 ngày liên tiếp của công ty A được thống
kê bởi dãy số liệu: ; ; ; ; ; ; ; ;
; . Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên
A. 7
B. 5
C. 6
D. 8
Câu 65. Mẫu số liệu sau đây cho biết sĩ số của 9 lớp ở một trường trung học như sau
. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 66. Cho dãy số liệu thống kê
Độ lệch chuẩn của mẫu là?
A.
B.
C.
D.
Câu 67.Cho dãy số liệu thống kê
Độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê gần bằng?
A.
B.
C.
D.
Câu 68.Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là 32 và tứ phân vị thứ ba là 50. Giá trị nào dưới đây là giá
trị bất thường của mẫu số liệu? A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 69.Kết quả điều tra lương hàng tháng của 20 công nhân một nhà máy A được cho ở mẫu số liệu sau
(đơn vị: triệu đồng):

Giá trị bất thường của mẫu số liệu là:A.
B. .
C. .
D. Không có.
D. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1.Cách mệnh đề sau đúng hay sai
a) Phương sai bằng căn bậc hai của độ lệch chuẩn
b) Nếu đơn vị của số liệu là
thì đơn vị của phương sai là
c) Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai
d) Số liệu bất thường trong bảng thống kê chỉ tồn tại duy nhất một giá trị
Câu 2.Mỗi khẳng định dưới đây là đúng hay sai?
a) Có
giá trị của mẫu số liệu nằm giữa
và
b) Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu.
c)Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ
hay quá lớn so với đa số các giá trị trong mẫu.
d) Khoảng tứ phân vị bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu số liệu.
Câu 3.Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh tổ 1 lớp 10A:
163

159

172

167

165
7

168

170

161

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là .
b) Chiều cao trung bình của các học sinh tổ 1 là
cm.
c) Nếu trừ mỗi giá trị của mẫu số liệu với thì khoảng biến thiên tăng lên đơn vị.
d) Nếu cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với thì khoảng biến thiên tăng lên đơn vị.
Câu 4.Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày ( đơn vị
) tại hai thành phố Bắc Ninh và Sơn La
được cho như sau:
Bắc Ninh:
Sơn La:
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giá trị trung vị nhiệt độ Tp Sơn Lalà
b) Khoảng biến thiên nhiệt độ của Tp Bắc Ninh bé hơn khoảng biến thiên nhiệt độ của Tp Sơn La.
c) Nhiệt độ Tp Bắc Ninh ổn định hơn Tp Sơn La.
d) Dùng Mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu dữ liệu Tp Bắc Ninh tốt hơn Tp Sơn La.
Câu 5. Kết quả điểm kiểm tra môn Toán của các học sinh tổ 1 và tổ 2 lớp 10A được cho như sau:
Điểm Toán tổ 1:
Điểm Toán tổ 2:
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)Điểm trung bình của học sinh tổ 1 là
b)Phương sai học sinh tổ 1:
.
c)Độ lệch chuẩn học sinh tổ 2:
.
d)Tổ 1 học Toán đồng đều hơn tổ 2.
Câu 6. Tiền lương hàng tháng của 15 nhân viên trong một công ty được cho trong bảng số liệu sau:
Tiền lương (triệu đồng)
Số nhân viên
1
1
2
2
3
1
5
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là
;
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho là
;
c)Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là
;
d) Nếu công ty nhận thêm một nhân viên mới với mức lương
triệu đồng một tháng thì phương saicủa
mẫu số liệu mới (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là
.
Câu 7.Một cửa hàng vật liêu xây dựng thống kê số bao xi măng bán ra trong tháng 1/2025 được kết quả như
sau:
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ;
;
;
; ;
;
; ; ; ;
a)Mẫu số trên có 31 giá trị.
b)Khoảng biến thiên của mẫu số trên bằng 16.
c)Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên bằng 17. d)Phương sai của mẫu số liệu trên lớn hơn 127.
Câu 8.Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất
Hà Nội:
Điện Biên:
trong ngày (đơn vị
) tại hai thành phố Hà
Nội và Điện Biên như sau:
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a)Khoảng biến thiên nhiệt độ cao nhất trong ngày của Hà Nội và Điện Biên là giống nhau.
b) Nếu bỏ đi giá trị 16 thì khoảng biến thiên của Điện Biên chỉ bằng 4.
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu Hà Nội là:
. d) Khoảng tứ phân vị của mẫu Điện Biên là:
Câu 9.Khảo sát thời gian tự học trong một ngàycủa các học sinh lớp 10A và 10B của một Trường THPT M, ta được
bảng sau:

Thời gian tự học (giờ)

2
3
4
5
6
Lớp 10A
Số học sinh
Lớp 10B
Số học sinh
Xác định tính đúng sai của cácmệnh đề sau:
a)Trung bình số giờ tự học của học sinh lớp 10A là 5 giờ.
b)Trung bình số giờ tự học học của học sinh lớp 10A nhiều hơn số giờ tự học của học sinh lớp 10B.
c)Độ lệch chuẩn số giờ tự học của học sinh lớp 10A là
giờ.
d)Độ phân tán của số giờ tự học của Lớp 10B ít hơn độ phân tán số giờ tự học của lớp 10A.
Câu 10.Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống của một rạp chiếu phim trong 11 ngày
0 7 8 22 20 15 18 19 13 11 39
8

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

a)
.
b) Khoảng tứ phân vị
.
c)Giá trị bất thường của mẫu số liệu trên bằng .
d) Giả sử trong 10 ngày của rạp chiếu phim không có giá trị bất thường và số ghế trống nhiều nhất là 34
ghế, tứ phân vị thứ ba là 19. Khi đó
.
Câu 11.Thống kê số bao xi măng được bán ra tại một cửa hàng vật liệu xây dựng trong
tháng cho kết
quả như sau:

Khi đó:a) Mỗi tháng cửa hàng bán trung bình
bao.
b) Số trung vị là
.
c) Sai khác giữa số trung bình và số trung vị là
.
d) Khoảng cách từ
đến
là .
Câu 12.Mẫu số liệu sau ghi rõ chiều cao của 10 cầu thủ đăng ký khóa học của một học viện bóng đá (đơn
vị:: cm):
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Tứ phân vị thứ hai là
.
b) Tứ phân vị thứ nhất là:
.
c)Khoảng biến thiên là:
.
d) Khoảng tứ phân vị là:
.
Câu 13. Kết quả đo chiều cao của nhóm gồm 20 học sinh được ghi lại như sau:
150

152

153

154

156

157

159

160

161

162

164

165

167

168

170

172

174

177

178

181

Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 31.
b) Trung vị của mẫu số liệu là 163.
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là 14,5. d) Giá trị 181 là giá trị bất thường của mẫu số liệu.
Câu 14. Bạn Hưng và bạn Thịnh thống kê kết quả chiều cao (đơn vị: xăng-ti-mét) của 5 cây nguyệt quế
mà mỗi người trồng sau một thời gian như sau:
Cây của bạn Hưng
35
36
38
36
37
Cây của bạn Thịhh
30
35
38
41
33
Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai:
a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu cây của bạn Hưng là:
b) Số trung bình cộng của mẫu số liệu cây của bạn Thịnh là:
c) Phương sai của mẫu số liệu cây của bạn Hưng lớn hơn phương sai của mẫu số liệu cây của bạn Thịnh
d) Các cây nguyệt quế của bạn Hưng phát triển chiều cao đồng đều hơn
Câu 15. Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng như sau
Tháng
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Số khách 430 550 430 520 550 515 550 110 520 430 550 880
Khi đó
a) Số lượng khách trung bình đến địa điểm du lịch mỗi tháng là
.
b) Số trung vị là
.
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu là
.
d) Mẫu có giá trị ngoại lệ.
Câu 16. Dưới đây là điểm kiểm tra giữa kì I của hai bạn An và Bình:
Toán Lý
Hóa Sinh Anh Văn Sử
Địa
CD
Tin
CN
An
8
7,4
7,8
8,4
9
7
8
8,2
9
8
8,3
Bình
8
9,5
9,5
8,5
9,5
5
5,6
6
10
9
8,5
a)Khoảng biến thiên của mẫu số liệu điểm kiểm tra của Bình là .
b) Điểm kiểm tra trung bình của An nhỏ hơn điểm kiểm tra trung bình của Bình.
c)Mốt của điểm số của mỗi bạn An và Bình lần lượt là
và
.
d)Bạn An học đều hơn bạn Bình.
Câu 17.Hàm lượng Canxi (đơn vị
) trong
của một số loại sữa được cho như sau:
.Các mệnh đề sau đúng hay sai
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 40.
b) Giá trị trung bình của mẫu số liệu là 110
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là
.d) Mẫu số liệu không có giá trị bất thường.
Câu 18. Số điểm mà các vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:
.Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 12.
b) Số trung bình của mẫu số liệu là 13,5.
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là 6.
d) Mẫu số liệu có giá trị bất thường.
Câu 19. Mẫu số liệu thống kê số học sinh của 8 lớp khối 12 là:
9

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Lớp
12A
12B
12C
12D
12E
12I
Số học sinh
50
46
40
46
40
48
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)Lớp 12A có số học sinh nhiều nhất khối 12.
b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 13 học sinh.
c) Tứ phân vị thứ nhất có giá trị lớn hơn tứ phân vị t