Bài toán chứng minh vuông góc
Góc nhìn từ phép lấy đối xứng

Nguyễn Đăng Khoa
THCS – THPT Newton
Hà Nội, 2026

Chuyên đề trình bày cách lấy đối xứng qua một trung điểm để chuyển bài toán
vuông góc thành bài toán về tam giác cân, hình bình hành hoặc đường kính. Hệ thống
22 bài được sắp xếp từ làm quen đến vận dụng và thử sức, có câu hỏi gợi mở, lời giải
hình học và hình vẽ đi kèm. Cảm ơn ChatGPT đã giúp tác giả biên soạn một cách
nhanh chóng và có hình thức đẹp.
Tư tưởng chính. Muốn chứng minh XM ⊥ Y M , hãy lấy X ' đối xứng với X qua M . Khi ấy, đích
mới là Y X = Y X ' : tạo ra một tam giác cân có trung tuyến Y M .

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Mục lục
Mở đầu

3

1 Công cụ cốt lõi

3

2 Tìm hướng giải

3

3 Ba bài khởi động

4

4 Chuyển độ dài và góc

5

5 Hai ví dụ tự sáng tác: góc đặc biệt và tiếp tuyến

13

6 Kết hợp với đường tròn

15

7 Trung điểm ẩn trong bài thi vào chuyên

19

8 Thử sức với cách nhìn mới

22

9 Tự luyện, khai thác và tổ chức bài học

25

Kết luận

26

2 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Mở đầu
Lấy đối xứng qua một trung điểm thường giúp chuyển các độ dài và góc về cùng một tam giác.
Chuyên đề tập trung vào cách chọn điểm phụ ấy, qua các bài từ cơ bản đến thi vào chuyên và
Olympic. Ba mục đầu chỉ nhắc nhanh công cụ; học sinh đã vững kiến thức có thể bắt đầu từ
Bài 4.1.

1 Công cụ cốt lõi
Bổ đề 1.1. Cho M là trung điểm của XX ' , với X 6= X ' và Y 6= M . Khi đó Y M ⊥ XX ' khi
và chỉ khi Y X = Y X ' .

Chứng minh. Đây là tính chất đường trung trực: Y X = Y X ' tương đương với việc Y nằm trên
đường trung trực của XX ' .
YY

VV
X
X

M
M

''
X
X'''

U
U

Nếu M còn là trung điểm của U V , hai đường chéo XX ' , U V có chung trung điểm nên U XV X '
là hình bình hành (khi bốn điểm không thẳng hàng). Nhờ đó, U X ' = V X, V X ' = U X và các
cặp cạnh tương ứng song song.

2 Tìm hướng giải
Với mục tiêu XM ⊥ Y M , hãy thử ba bước:
(a) Lấy X ' đối xứng với X qua M ; đích mới là Y X = Y X ' .
(b) Dùng hình bình hành và đường trung bình để chuyển độ dài, góc đến X ' ; tìm hai tam giác
bằng nhau.
(c) Kết thúc bằng tam giác cân Y XX ' và trung điểm M .
Điểm cần suy nghĩ là lấy đối xứng điểm nào để dùng được dữ kiện. Hai cặp cạnh bằng nhau chưa
\
đủ: phải kiểm tra góc xen giữa và thứ tự đỉnh. Nếu còn biết XY
X ' , đường trung tuyến Y M cũng
là phân giác; ta tính được cả ba góc của tam giác Y M X.

3 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

3 Ba bài khởi động
Bài toán 3.1 (Trung tuyến trong tam giác cân). Cho tam giác ABC có AB = AC, M là trung
điểm BC. Chứng minh AM ⊥ BC.
A
A

Lời giải. Vì AB = AC, điểm A nằm trên đường trung trực
của BC. Do đó AM ⊥ BC.
B
B

C
C

M
M

Bài toán 3.2 (Đường chéo hình thoi). Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại
M . Chứng minh AC ⊥ BD.
B
B

A
A

C
C

M
M

Lời giải. M là trung điểm của AC, còn BA = BC. Áp
dụng Bổ đề 1.1, ta có BM ⊥ AC, tức BD ⊥ AC.

D
D

Bài toán 3.3 (Nhân đôi một trung tuyến). Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC và
AM = BC/2. Chứng minh AB ⊥ AC.
A
A

B
B

M
M

C
C

Lời giải. Lấy D đối xứng với A qua M . Tứ giác ABDC
là hình bình hành có hai đường chéo AD = 2AM = BC,
nên là hình chữ nhật. Vậy AB ⊥ AC.

D
D

4 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

4 Chuyển độ dài và góc
Bài toán 4.1 (Hai điểm đối xứng trên một cạnh). Cho tam giác ABC có AB > BC. Lấy K, L
trên cạnh AB sao cho KL = BC và AK = LB. Gọi O là trung điểm của AC. Chứng minh
\ = 90◦ .
KOL
Nguồn: Problem 2, Junior O-Level Paper, Spring 2015 - International Mathematics Tournament of the Towns

Mức 2. Chuyển một độ dài qua hai hình bình hành.

Câu hỏi gợi mở. Nếu lấy K ' đối xứng với K qua O, đoạn LK ' có thể bằng đoạn nào đã biết?
K'''''
K

C
C

O
O
O

A
A

K
K
K

L
L
L

B
B

Lời giải. Ta có thể đổi tên K, L nếu cần để thứ tự các điểm là A, K, L, B. Lấy K ' đối xứng với
K qua O. Khi đó AKCK ' là hình bình hành, nên CK ' = AK = LB và CK ' k BL. Vậy BLK ' C
cũng là hình bình hành, suy ra LK ' = BC = LK.
Như vậy LKK ' là tam giác cân, còn O là trung điểm của KK ' . Đường trung tuyến LO vì thế
cũng là đường cao, nên LO ⊥ KO.
Điều cần nhớ. Hai điều kiện độ dài có hai nhiệm vụ khác nhau: AK = LB tạo hình bình hành, còn
KL = BC tạo tam giác cân ở bước cuối.

Cách khác. Dùng đường trung bình: Gọi N là trung điểm AB. Do AK = LB, N là trung
điểm KL; lại có N O = BC/2 = KL/2. Vậy O nằm trên đường tròn đường kính KL, nên
\ = 90◦ .
KOL

5 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Bài toán 4.2 (TP. Hồ Chí Minh 2026–2027, câu III.2). Cho tam giác đều ABC. Lấy D ∈ AB,
E ∈ AC và F thuộc tia đối của tia BA sao cho AD = CE = BF , với 0 < AD < AB. Gọi G
là trung điểm của DE. Chứng minh F G ⊥ CG.

Nguồn: TP. Hồ Chí Minh, tuyển sinh lớp 10 chuyên năm học 2026–2027, ý III.2

Mức 2. Một bài thi vào chuyên có cơ chế khá ngắn.

Câu hỏi gợi mở. Lấy K đối xứng với C qua G thì DK bằng đoạn nào? Vì sao F D = BC?
Ý tưởng. Mục tiêu mới là F K = F C. Hai đoạn DK, F B sẽ bằng nhau; cạnh F D lại bằng cả
cạnh của tam giác đều.
K
K

A
A

D
D
G
G
E
E

B
B

C
C

F
F

Lời giải. Lấy K đối xứng với C qua G. Vì G là trung điểm của DE và CK, tứ giác DCEK là
hình bình hành. Do đó DK = CE = BF .
Trên đường thẳng AB ta có thứ tự A, D, B, F , nên F D = F B + BD = AD + (AB − AD) = AB =
\
\ = 120◦ (do ABC đều). Vì vậy 4F DK ∼
BC. Hơn nữa, F
DK = CBF
= 4CBF theo c.g.c., suy
ra F K = CF .
Tam giác F CK cân tại F và G là trung điểm của CK; do đó F G là đường cao, tức F G ⊥ CG.
Điều cần nhớ. Ở đây AD = BF không ghép trực tiếp hai tam giác; nó được đưa vào phép cộng
đoạn thẳng để có F D = BC. Mỗi giả thiết chỉ nên xuất hiện ở đúng chỗ nó phát huy tác dụng.

6 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

1
Bài toán 4.3 (Ba trung điểm). Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và AM > BC. Trên
2
1
đoạn AM lấy D sao cho AD = BC. Gọi K, L, N lần lượt là trung điểm của AB, DM, AC.
2
Chứng minh KL ⊥ LN .

Nguồn: tác giả Thanos Kalogerakis.

Mức 2. Dùng đường trung bình để chuẩn bị cạnh bằng nhau.

Câu hỏi gợi mở. Vì sao nên lấy đối xứng của N qua L? Cạnh KN có liên hệ gì với AD?
Ý tưởng. Vì L là trung điểm của DM , phép lấy đối xứng qua L chuyển các đoạn qua D sang các
đoạn qua M . Ta sẽ biến AD thành một cạnh đi qua K.
A
A

K
K

N
N
D
D
L
L

B
B

M
M

C
C

N
N'''''

Lời giải. Lấy N ' đối xứng với N qua L. Hai đường chéo DM và N N ' cắt nhau tại trung điểm,
nên DN M N ' là hình bình hành; đặc biệt M N ' = DN và M N ' k DN .
Trong tam giác ABC, M K k AC, M K = AC/2 = AN . Vì thế 4KM N ' và 4AN D bằng nhau
theo c.g.c., suy ra KN ' = AD. Mà KN = BC/2 = AD, nên KN ' = KN .
Tam giác KN N ' cân tại K; trung tuyến KL ứng với đáy N N ' là đường cao. Do đó KL ⊥ LN .
Điều cần nhớ. Ba trung điểm K, N, M đưa ta đến một cặp đoạn bằng nhau qua định lí đường trung
bình; trung điểm L chỉ xuất hiện ở bước kết thúc, khi tam giác cân đã được tạo ra.

7 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Bài toán 4.4 (Bỏ một giả thiết, tìm được một quỹ tích). Cho tam giác ABC. Gọi M, K, N
lần lượt là trung điểm của BC, AB, AC. Lấy điểm D tùy ý trong mặt phẳng, rồi lấy L là
trung điểm của M D. Giả sử L 6= K, N . Chứng minh
KL ⊥ LN

⇐⇒

1
AD = BC.
2

Mở rộng dành cho lớp 9: tìm quỹ tích L khi D chạy trên đường tròn tâm A, bán kính BC/2.

Nguồn: Khai thác từ Bài 4.3; lời giải cho thấy không cần giả thiết D ∈ AM .

Mức 2+. Tập đọc lại lời giải và chứng minh chiều đảo; phần quỹ tích là tùy chọn.

Câu hỏi gợi mở. Trong lời giải trước, chỗ nào thật sự cần D nằm trên AM ?
A
A

D
D
N
N

K
K
L
L
N'''''
N
B
B

M
M

C
C

Lời giải. Lấy N ' đối xứng với N qua L. Vì L là trung điểm của DM và N N ' , tứ giác DN M N ' là
hình bình hành. Do đó DN ' k N M , DN ' = N M . Mặt khác, N M k AK và N M = AK (đường
trung bình), nên AKN ' D là hình bình hành. Suy ra KN ' = AD.
Ta luôn có KN = BC/2. Bổ đề 1.1 cho KL ⊥ LN ⇐⇒ KN ' = KN ⇐⇒ AD = BC/2. Khi
AD = BC/2, điểm L thuộc đường tròn đường kính KN . Ngược lại, lấy một điểm L bất kì trên
đường tròn ấy, khác K, N , rồi dựng D đối xứng với M qua L. Kết quả vừa chứng minh cho
AD = BC/2. Vì vậy quỹ tích là đường tròn đường kính KN , bỏ hai điểm K, N nếu yêu
cầu hai đường thẳng KL, LN xác định.

Điều cần nhớ. Khi đọc lại một lời giải, hãy thử hỏi: giả thiết nào thật sự được dùng? Ở đây điều
kiện D ∈ AM hoàn toàn không cần thiết; bỏ nó đi lại mở ra ngay một bài toán quỹ tích.

8 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Bài toán 4.5 (Trọng tâm và một tam giác có ba góc xác định). Cho tam giác đều ABC. Lấy
D, E lần lượt nằm trong các cạnh AB, AC sao cho DE k BC. Gọi G là trọng tâm tam giác
ADE, K là trung điểm của BE. Tính các góc của tam giác CGK.
Mức 2+. Dùng trọng tâm của tam giác đều để chuẩn bị góc 30◦ .

Câu hỏi gợi mở. Lấy T đối xứng với C qua K. Vì sao ET = AC? Hai tam giác nào có thể cho
GC = GT ?
A
A

G
G
TT

E
E

D
D
K
K

B
B

C
C

[ =
Lời giải. Vì DE k BC và ABC đều nên ADE cũng là tam giác đều. Do đó GA = GE, GAE
◦
◦
[ = 30 và AGE
[ = 120 .
GEA
Lấy T đối xứng với C qua K. Tứ giác BT EC là hình bình hành, nên ET = BC = AC. Vì T, D, E
[ = GAC
[ = 30◦ . Suy ra 4GAC ∼
thẳng hàng, ta có GET
= 4GET theo c.g.c. Vậy GC = GT và
[
[
AGC = EGT .
Vì E ∈ AC, từ các góc vừa có suy ra
[ = EGT
[ − EGC
\ = AGC
[ − EGC
\ = AGE
[ = 120◦ .
CGT
Trong tam giác CGT cân tại G, đường trung tuyến GK đồng thời là đường cao và phân giác. Bởi
vậy
\ = 30◦ ,
\ = 60◦ ,
\ = 90◦ .
GCK
CGK
CKG

Điều cần nhớ. Khi tam giác cân xuất hiện cùng một góc đỉnh 120◦ , các góc còn lại thường đã được
quyết định. Đừng dừng lại ở việc chứng minh hai cạnh bằng nhau.

9 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Bài toán 4.6 (Hai tam giác đều dựng ngoài). Cho tam giác ABC, M, N lần lượt là trung
điểm của AB, AC. Dựng ra ngoài tam giác ABC hai tam giác đều BM X và AN Y . Gọi Z
là trung điểm của XY . Chứng minh M Z ⊥ N Z.

Nguồn: Tạp chí Pi.

Mức 2+. Chuyển góc nhờ các tam giác đều.

Câu hỏi gợi mở. Nếu M ' đối xứng với M qua Z, hai cạnh Y M ' và AM có bằng nhau không?
Ý tưởng. Đích đến là tam giác N M M ' cân tại N . Hai tam giác cần so sánh là Y N M ' và AN M ;
các góc 60◦ giải quyết cặp góc xen giữa.
M'''''
M

YY

A
A
Z
Z

M
M

X
X

B
B

N
N

C
C

Lời giải. Lấy M ' đối xứng với M qua Z. Tứ giác XM Y M ' là hình bình hành, nên Y M ' = XM =
BM = AM , và Y M ' k M X. Lại có Y N = AN .
Hai tam giác đều được dựng về cùng một phía, nên các tia Y N, Y M ' nhận được từ AN, AM bằng
cùng một phép quay 60◦ . Vì vậy
\
N\
Y M' = N
AM .
Suy ra 4Y N M ' = 4AN M theo c.g.c., do đó N M ' = N M . Tam giác N M M ' cân tại N và Z là
trung điểm M M ' , nên N Z ⊥ M Z.
Điều cần nhớ. Hai tam giác đều cùng hướng làm xuất hiện cùng một phép quay 60◦ , nhờ đó góc
giữa các tia được giữ nguyên.

10 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Bài toán 4.7 (Một tam giác đều và một tam giác cân dựng ngoài). Cho tam giác ABC. Dựng
[ = 30◦ .
ra ngoài tam giác ABC tam giác đều ABD và tam giác ACE cân tại E với CAE
Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác DM E.

Nguồn: XIII Sharygin Geometry Olympiad 2017, correspondence round, problem 4 (thực ra là bài cổ điển, có từ rất lâu)

Mức 2+. Chuyển góc 60◦ thành một cặp hướng lệch 120◦ .

Câu hỏi gợi mở. Lấy D' đối xứng với D qua M . Hãy so sánh AD với CD' và hai tam giác
EAD, ECD ' .
A
A
D
D

E
E

B
B

M
M

C
C

D'''''
D

Lời giải. Lấy D' đối xứng với D qua M . Tứ giác BDCD ' là hình bình hành, nên CD' = BD = AD
[ = 120◦ .
và tia CD' cùng hướng với tia BD. Mặt khác, EA = EC và AEC
Vì hai tam giác được dựng ra ngoài, từ tia EA đến EC và từ AD đến CD' đều quay 120◦ theo
\' . Suy ra 4EAD ∼
\ = ECD
cùng chiều. Do đó EAD
= 4ECD' theo c.g.c. Có thể hình dung đây là
◦
phép quay tam giác EAD quanh E một góc 120 : A đi tới C, còn D đi tới D' . Vì thế ED = ED'
\' = 120◦ .
và DED
Tam giác EDD ' cân tại E, có M là trung điểm DD ' . Vì vậy EM vừa là đường cao vừa là phân
giác, cho
\
\
\ = 60◦ .
M
DE = 30◦ ,
DM
E = 90◦ ,
DEM

Điều cần nhớ. Phép đối xứng đưa bài toán về một phép quay 120◦ . Nhờ vậy ta biết không chỉ
ED = ED' mà còn biết chính xác góc ở đỉnh E.

11 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Bài toán 4.8 (Hai góc vuông và một đoạn song song). Cho tam giác ABC, M, N là trung
điểm của AB, AC. Dựng ra ngoài tam giác ABC các hình thoi M BXX ' và N AY Y ' sao cho
\
\
M
BX = N
AY = 60◦ . Gọi Z, Z ' lần lượt là trung điểm của XY, X ' Y ' . Chứng minh
M Z ⊥ N Z,

M Z ' ⊥ N Z ',

1
ZZ ' = BC.
4

ZZ ' k BC,

Nguồn: tác giả Nguyễn Đăng Khoa

Mức 2+. Nhận ra hai bản sao của cùng một bài toán.

Câu hỏi gợi mở. Ngoài các tam giác đều BM X, AN Y , em còn nhận được hai tam giác đều nào?
YY
A
A

''
X
X'''

Z'''''
Z

Z
Z

YY '''''
M
M

X
X

B
B

U
U

N
N

C
C

Lời giải. Một hình thoi có góc 60◦ là hai tam giác đều ghép lại, nên BM X và AN Y đều. Bài 4.6
lập tức cho M Z ⊥ N Z.
Mặt khác, AM X ' và CN Y ' cũng là các tam giác đều dựng ngoài ABC (chẳng hạn M X ' = AM
\
và AM
X ' = 60◦ ). Áp dụng Bài 4.6 sau khi đổi vai B, C và M, N , ta được M Z ' ⊥ N Z ' .
Để xét ZZ ' , gọi U là trung điểm của XY ' . Đường trung bình trong các tam giác XY Y ' và XX ' Y '
cho
1
1
U Z k Y ' Y k N A, U Z = AN ;
U Z ' k XX ' k M A, U Z ' = AM.
2
2
Các hướng U Z, U Z ' lần lượt trùng với N A, M A. Bởi vậy U ZZ ' là bản thu nhỏ tỉ số 1/2 của
tam giác có hai cạnh tương ứng N A, M A; suy ra ZZ ' k N M và ZZ ' = N M /2. Vì M N k BC,
M N = BC/2, ta được các kết luận còn lại.
Điều cần nhớ. Hai góc vuông đến từ hai tam giác đều; còn ZZ ' k BC và ZZ ' = BC/4 chỉ là hệ quả
của các đường trung bình. Tách hai phần ấy ra, lời giải sáng hơn hẳn.

12 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

5 Hai ví dụ tự sáng tác: góc đặc biệt và tiếp tuyến
\ = 120◦ . Trên
Bài toán 5.1 (Ba đoạn bằng nhau và góc 120◦ ). Cho tam giác ABC có BAC
các tia BA, CA, lần lượt lấy K, L sao cho A nằm giữa B, K, A nằm giữa C, L và
BK = CL = BC.
Gọi N là trung điểm của KL. Chứng minh rằng
\
BN
C = 90◦ .
Nguồn: tác giả Nguyễn Đăng Khoa

Mức 2+. Dùng góc 120◦ để tạo một tam giác đều sau phép đối xứng.

Câu hỏi gợi mở. Vì N là trung điểm của KL, nên đối xứng điểm nào qua N để chuyển ba đoạn
bằng nhau về cùng một tam giác?
C
C

K
K

A
A

B
B

N
N
B'''''
B

L
L

Đoạn tím là phép đối xứng B 7→ B ' qua N .

Lời giải. Lấy B ' đối xứng với B qua N . Vì N là trung điểm của KL và của BB ' , tứ giác KBLB '
là hình bình hành; do đó LB ' = KB = BC.
Lại có CL = BC. Do A nằm giữa C, L và B, K, hai tia LC, LB ' lần lượt cùng hướng với AC, BA,
\' = 180◦ − BAC
\ = 60◦ . Vậy CLB ' là tam giác đều, suy ra CB ' = BC.
nên CLB
Vậy tam giác CBB ' cân tại C. Đường CN là trung tuyến ứng với đáy BB ' nên đồng thời là
đường cao. Vì B, N, B ' thẳng hàng, ta được
\
BN
C = 90◦ .

Điều cần nhớ. Góc 120◦ trở thành 60◦ khi ta nhìn theo hai tia đối. Tìm được tam giác đều thì tam
giác cân và góc vuông thường đã ở ngay phía sau.

13 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Bài toán 5.2 (Tiếp tuyến, dây cung và trung điểm). Cho đường tròn ω và ba điểm phân biệt
A, C, D ∈ ω sao cho DC < DA. Gọi τ là tiếp tuyến của ω tại A. Chọn K 6= A trên τ sao
cho AK = AC và K, C nằm ở hai phía khác nhau đối với đường thẳng AD. Lấy L ∈ AD sao
cho DL = DC. Gọi N là trung điểm của KL. Chứng minh rằng
\
DN
A = 90◦ .
Nguồn: Đặc biệt hóa bài 6.1.

Mức 3. Phối hợp tiếp tuyến–dây cung với phép phản xạ qua trung điểm.

Câu hỏi gợi mở. Sau khi phản xạ A qua N , hãy dùng định lí góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
để so sánh hai tam giác có chung đỉnh D.
A
A
A
K
K
N
N
N
C
C
L
L
A'''''
A
A
A

D
D
Đường cam là tiếp tuyến tại A; đoạn tím nối hai điểm đối xứng qua N , còn đoạn xanh là cặp cạnh dùng
trong bước SAS.

Lời giải. Lấy A' đối xứng với A qua N . Khi đó N là trung điểm của AA' và của KL, nên tứ giác
KALA' là hình bình hành. Suy ra
LA' = KA = AC,

LA' k AK k τ.

Vì L ∈ AD, tia LD nằm trên đường thẳng AD. Theo định lí góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung,
cùng với điều kiện K, C nằm khác phía đối với AD,
\' = DCA.
\
DLA
Kết hợp DL = DC và LA' = AC, suy ra 4DLA' ∼
= 4DCA theo c.g.c., nên DA' = DA.
Tam giác DAA' cân tại D, còn N là trung điểm của AA' . Vì thế DN là đường trung trực của
AA' , tức là DN ⊥ AA' . Do A, N, A' thẳng hàng,
\
DN
A = 90◦ .

Điều cần nhớ. Tiếp tuyến cho góc, phép đối xứng cho hình bình hành. Ghép hai điều ấy lại, ta chỉ
còn phải nhận ra một đường trung trực.

14 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

6 Kết hợp với đường tròn
Bài toán 6.1 (Góc đối của tứ giác nội tiếp). Cho tứ giác lồi ABDC nội tiếp một đường tròn,
các đỉnh được viết theo thứ tự trên đường tròn. Lấy E, F lần lượt ở bên trong các cạnh
AB, AC sao cho BE = BD và CF = CD. Gọi G là trung điểm của EF . Chứng minh
BG ⊥ CG.
Nguồn: MYTS 2017.

Mức 3. Dùng tứ giác nội tiếp để tạo góc xen giữa.

Câu hỏi gợi mở. Lấy B ' đối xứng với B qua G thì F B ' bằng đoạn nào của tứ giác?
Ý tưởng. Hai cặp cạnh CF = CD và F B ' = BD gợi ý so sánh 4CF B ' với 4CDB.
''
B
B'''

A
A
E
E

G
G

F
F

B
B
C
C

D
D

Lời giải. Lấy B ' đối xứng với B qua G. Tứ giác EBF B ' là hình bình hành, nên F B ' = EB = BD
và F B ' k BE. Vì F ∈ AC, E ∈ AB,
\
\ = BDC,
\
CF
B ' = 180◦ − BAC
trong đó đẳng thức cuối dùng tứ giác nội tiếp ABDC. Kết hợp với CF = CD, ta có 4CF B ' ∼
=
4CDB theo c.g.c. Suy ra CB ' = CB. Vì G là trung điểm của BB ' , đường CG là đường trung
trực của BB ' , nên CG ⊥ BG.
Điều cần nhớ. Phép đối xứng lo phần độ dài; tứ giác nội tiếp lo phần góc. Khi hai phần gặp nhau
trong một tam giác c.g.c., vuông góc đến rất tự nhiên.

15 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Bài toán 6.2 (Chuyển hai cạnh của tứ giác). Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp một đường tròn.
Lấy P, Q lần lượt trên các tia AD, CD sao cho AP = BC, CQ = AB. Gọi I là trung điểm
của P Q. Chứng minh AI ⊥ CI.

Nguồn: Internet, bản chất giống bài 6.1.

Mức 3. Phải để ý đúng hướng của các tia.

Câu hỏi gợi mở. Khi lấy A' đối xứng với A qua I, đoạn QA' bằng cạnh nào của tứ giác? Góc
CQA' liên quan thế nào tới góc ADC?
B
B

A
A
C
C

P
P

II

Q
Q

D
D

A'''''
A

Lời giải. Lấy A' đối xứng với A qua I. Tứ giác AP A' Q là hình bình hành, do đó QA' = AP = BC
và QA' cùng hướng với AP . Vì QC cùng hướng với DC, còn QA' ngược hướng với DA, ta có
\' = 180◦ − ADC
\ = ABC.
\
CQA
Đẳng thức cuối dùng tính chất hai góc đối của tứ giác nội tiếp. Kết hợp CQ = AB và QA' = BC,
suy ra 4CQA' ∼
= 4ABC theo c.g.c. Vì thế CA' = AC. Tam giác CAA' cân tại C, và I là trung
'
điểm AA , nên CI ⊥ AI.
Điều cần nhớ. Với góc tạo bởi các tia trên những đường thẳng khác nhau, hướng của tia rất quan
trọng. Chỉ một câu “cùng hướng” hay “ngược hướng” đúng chỗ sẽ làm bước góc rõ ràng.

16 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Bài toán 6.3 (Thay độ dài bằng một tỉ số chung). Trong tứ giác nội tiếp ABCD của Bài 6.2,
cho số t > 0. Lấy P ∈ tia AD, Q ∈ tia CD sao cho
AP = t BC,

CQ = t AB.

Gọi I, V lần lượt là trung điểm của P Q, AC. Chứng minh V I =
kết quả AI ⊥ CI.

t
AC. Với t = 1, suy ra lại
2

Nguồn: Bài khai thác biên soạn từ Bài 6.2; thay hai tam giác bằng nhau bởi hai tam giác đồng dạng.

Mức 3. Một bước mở rộng vừa sức sau bài gốc.

Câu hỏi gợi mở. Nếu hai cặp cạnh không còn bằng nhau mà có cùng tỉ số t, kết luận bằng nhau
của hai tam giác nên được thay bằng điều gì?
B
B

A
A

VV
C
C

P
P

II

D
D

Q
Q

R
R

Lời giải. Lấy R đối xứng với A qua I. Hình bình hành AP RQ cho QR = AP = t BC. Hơn nữa,
\ = ABC.
\ Vì thế
lập luận về hướng các tia giống Bài 6.2 cho CQR
4CQR ∼ 4ABC,

CR = t AC.

Trong tam giác ACR, hai điểm V, I là trung điểm của AC, AR. Do đó V I = CR/2 = t AC/2.
[ =
Khi t = 1, ta có V I = V A = V C. Vậy I nằm trên đường tròn đường kính AC, suy ra AIC
◦
90 .
Điều cần nhớ. Giữ nguyên cấu hình và thay các độ dài bằng nhau bởi cùng một tỉ số là một cách
mở rộng tự nhiên. Lời giải khi ấy thường đổi từ bằng nhau sang đồng dạng, còn ý tưởng đối xứng vẫn
giữ nguyên.

17 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Bài toán 6.4 (Tiếp tuyến, dây song song và trung điểm). Cho điểm A nằm ngoài đường tròn
(O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O), với B, C là các tiếp điểm. Kẻ các dây BE k AC
và BV k AO, trong đó E, V 6= B. Lấy G, F lần lượt ở bên trong các đoạn BE, BV sao cho
GF k EV . Gọi K là trung điểm của GE. Chứng minh F K ⊥ CK.

Nguồn: Internet.

Mức 3+. Chuẩn bị độ dài trước khi dùng điểm đối xứng.

Câu hỏi gợi mở. Vì sao CV là đường kính? Muốn so sánh CF với cạnh qua điểm đối xứng của
F , cần hai đẳng thức độ dài nào?
F
F

VV

B
B

G
G
K
K

A
A

O
O
E
E
L
L
C
C

Lời giải. Trước hết, vì AB = AC và OB = OC, đường thẳng AO là đường trung trực của BC.
\ = 90◦ , nên CV là đường kính.
Do BV k AO, ta có BV ⊥ BC. Suy ra CBV
Góc giữa dây CE và tiếp tuyến CA bằng góc nội tiếp chắn dây CE. Kết hợp BE k AC, ta được
\ = BEC,
\ nên CB = CE. Hai tam giác vuông CBV và CEV có chung cạnh huyền CV , và
CBE
CB = CE, do đó BV = EV . Từ GF k EV suy ra 4BF G ∼ 4BV E, nên BF = F G.
Bây giờ lấy L đối xứng với F qua K. Hình bình hành GF EL cho EL = GF và EL k GF k EV ;
vì vậy V, E, L thẳng hàng. Ta có
CB = CE,

BF = EL,

\ = CEL
[ = 90◦ .
CBF

Suy ra 4CBF ∼
= 4CEL theo c.g.c., nên CF = CL. Vì K là trung điểm F L, ta được CK ⊥
F K.
Điều cần nhớ. Tiếp tuyến chưa phải lúc nào cũng là tín hiệu để dựng điểm phụ ngay. Ở đây cần
chuẩn bị trước hai đẳng thức CB = CE và BF = F G; lúc ấy phép đối xứng mới thật sự có ích.

18 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

7 Trung điểm ẩn trong bài thi vào chuyên
\ > 90◦ , trực tâm H, nội
Bài toán 7.1 (Trung điểm và trực tâm). Cho tam giác ABC có BAC
tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại S. Gọi M, I lần lượt
là trung điểm của BC, AH. Chứng minh I là trực tâm của tam giác SAM .

Nguồn: Bắc Ninh, tuyển sinh lớp 10 chuyên năm học 2026–2027, câu 4.1a.

Mức 4. Dựng điểm đối xứng để làm xuất hiện một đường kính.

Câu hỏi gợi mở. Đã có sẵn đường cao nào của tam giác SAM ? Nếu lấy E đối xứng với H qua
M , đường trung bình trong tam giác AHE cho điều gì?
H
H
II
A
A

SS

B
B

M
M
M

C
C
O
O

E
E

Lời giải. Vì A, I, H thẳng hàng và AH ⊥ BC, nên AI ⊥ SM đã có sẵn; chỉ còn phải chứng minh
M I ⊥ SA.
Lấy E đối xứng với H qua M . Tứ giác BHCE là hình bình hành, nên BE k HC và CE k HB.
Do HC ⊥ AB, HB ⊥ AC, suy ra
\ = ACE
[ = 90◦ .
ABE
Vậy đường tròn đường kính AE đi qua A, B, C, nên AE là một đường kính của (O). Tiếp tuyến
SA tại A vuông góc với AE.
Trong tam giác AHE, I, M là trung điểm của AH, HE, nên IM k AE. Suy ra IM ⊥ SA. Hai
đường cao AI, M I cắt nhau tại I, nên I là trực tâm tam giác SAM .

Điều cần nhớ. Có những bài phép đối xứng không tạo tam giác cân ngay. Nó có thể tạo một đường
kính; từ đường kính ấy, đường trung bình đưa ta đến đúng đường vuông góc cần chứng minh.

19 / 26

Nguyễn Đăng Khoa

Bài toán chứng minh vuông góc

Bài toán 7.2. Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC, nội tiếp đường tròn (O). Tia phân
giác trong của góc BAC cắt đường trung trực của BC tại D.
(a) Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
(b) Gọi M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh đường tròn tâm
M , bán kính M D tiếp xúc với đường tròn đường kính AH.

Nguồn: TP. Hồ Chí Minh 2026–2027, câu III.1, tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2026–2027.

Mức 4. Khai thác tiếp điểm đối xứng tạo ra đường kính.

Câu hỏi gợi mở. Bài 7.1 đã cho cách biến ảnh của H qua M thành đầu mút một đường kính.
Đường trung bình nào giúp tính khoảng cách giữa hai tâm?
A
A
II
H
H
O
O
B
B

C
C

M
M

A'''''
A
D
D

Lời giải. a) Giao điểm thứ hai của tia phân giác AD với (O) là trung điểm cung BC không chứa
A, nên nằm trên đường trung trực BC. Điểm ấy chính là D, do đó A, B, C, D đồng viên.
b) Gọi I là trung điểm AH và lấy A' đối xứng với H qua M . Tứ giác BHCA' là hình bình hành,
nên BA' k CH và CA' k BH. Suy ra AB ⊥ BA' và AC ⊥ CA' ; bởi vậy AA' là đường kính của
(O).
Đặt R = OA. Trong tam giác AHA' , đoạn nối hai trung điểm I, M cho IM = AA' /2 = R. Tương
tự, trong tam giác A' AH, OM = AH/2 = IA.
Tam giác ABC nhọn nên O cùng phía với A đối với BC, còn D ở phía kia. Vì O, M, D thẳng
hàng, R = OD = OM + M D. Do đó IM = IA + M D: khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán
kính. Hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài.

Điều c