Website: tailieumontoan.com
SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2025 - 2026
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian: 150 phút

Câu 1.
a) Rút gọn biểu thức A = 8 + 2 15 + 7 − 4 3 − 5
b) Cho x, y, z dương thỏa xyz = 1. Tính giá trị của biểu thức
y
x
z
P=
+
+
xy + x + 1
yz + y + 1
xz + z + 1
Câu 2.
 x 2 + (x − 1)(y + 1) = 2y 2 − 1
a) Giải hệ phương trình  2
2
 x + y − 10 = 0
b) Cho a, b, c dương thỏa abc(a + b + c) = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a6
b6
c6
S= 4
+
+
a + 3b 4 b 4 + 3c 4 c 4 + 3a 4
Câu 3.
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BE, CF cắt nhau tại H, AH cắt BC tại D.
Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của AC, AM cắt HN tại G. Đường
thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau
tại K.
a) Chứng minh tứ giác AFDC nội tiếp
GA 2 + 2GB2 + 3GH 2 3 GA.GB.GH
+ .
b) Tính giá trị của biểu thức T =
GM 2 + 2GK 2 + 3GN 2 4 GM.GK.GN
c) Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), AO cắt BC tại P, BO cắt AC tại
Q, CO cắt AB tại T. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = AP + BQ + CT theo
R.
Câu 4.
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình x(x − y − 1) + y(y − 1) = 3
Câu 5.
a) Một hộp đựng 15 chiếc thẻ có kích thước như nhau, trong đó có 6 thẻ màu xanh
đánh số từ 1 đến 6; 5 thẻ màu đỏ đánh số từ 1 đến 5; 4 thẻ màu vàng đánh số từ 1
đến 4. Chọn ngẫu nhiên hai thẻ từ hộp. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn được hai thẻ
vừa khác màu vừa khác số.
b) Một công ty phân bón cần sản xuất ra một loại phân bón chứa 30% potassium.
Họ có hai loại nguyên liệu: loại A chứa 24% potassium và loại B chứa 40%
potassium. Tính khối lượng của mỗi loại nguyên liệu cần sử dụng để được hỗn hợp
500 kg chứa 30% potassium.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

1

Website: tailieumontoan.com

Lời giải đề thi vào 10 môn Toán chuyên tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm học 2025-2026
1 Đề bài
Bài 1:
x +3
x − 3 36
với x  0 và x  9 .
−
−
x −3
x +3 x −9
(2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m dể phương trình x2 − 2 ( m + 1) x + m2 − 2 = 0 có hai nghiệm

(1) Rút gọn biểu thức A =

phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 − 3x1 x2 + 6 = 0 .
Bài 2:
(1) Giải phương trình x 2 + 2 x − 3 = 2 ( x − 1) x + 2 .
2
2
 x + 2 y = 3xy + x − y
(2) Giải hệ phương trình 
.
3 x − 1 = y + 4

Bài 3:
(1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn ( y + 5) x2 + 3 ( x −1) = y .
(2) Xét các số thực dương a, b, c thay dổi và thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 4 . Chứng minh rằng
abc  1 và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=

ab + c
bc + a
ca + b
3
+ 4
+ 4
−
4
4
4
a + b + c b + c + a c + a + b abc
4

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn ( O ), các đường cao AD, BE , CF
của tam giác ABC cắt nhau tại diểm H . Dường tròn dường kính AH cắt ( O ) tại diểm K ( K khác
A) . Các tiếp tuyến tại B, C của ( O ) cắt nhau tại điểm S . Giao điểm của hai đường thẳng SO, BC

là M . Đường thẳng SK cắt ( O ) tại điểm L ( L khác K ) . Chứng minh rằng:
(1) SB 2 = SL  SK
(2) MB là tia phân giác của  KML và  SKB =  MKC
(3) Dường thẳng KD di qua trung diểm của SM
Bài 5: Cho đa giác đều A1 , A2 ,, A2026 . Tại mỗi đỉnh Ak , người ta ghi một số nguyên ak ( k =
1, 2, , 2026) sao cho ai  a j ; i, j 1;2; ;2026, i  j và giá trị tuyệt đối của hiệu hai số ghi trên
hai đỉnh kề nhau là một số không lớn hơn 5 . Tìm giá trị lớn nhất của ai − a j ; i, j  1, 2,, 2026 .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

1

Website: tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỂ CHÍNH THỨC
Để gồm (01 trang )

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2025-2026
MÔN THI: ΤΟΛΝ
(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, Tin hoc)
Thời gian làm bài: 150 phát (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

x- 3 x

x + 5 x + 12

(điều kiện x > 0 ). Tìm x để A = 2x .
x+ 3 x
x + 3
2) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a ³ 2025, b ³ 2025 và 2025(a + b) = ab . Tính giá trị của biểu thức
1) Cho biểu thức A =

P =

a - 2025 +

b - 2025 -

+

1
ab .
45

Câu 2. (2,0 điểm)

ìï x 2 + x + y = xy + 2
ï
1) Giải hệ phương trình: ïí
ïï 2x + 3y - 8 + y + 1 = 5
ïî
2) Một sân trường hình chữ nhật A BCD (hình minh họa bên). Nhà trường muốn thiết kế hai nhà vệ sinh
dành cho giáo viên và học sinh ở hai vị trí E và B sao cho AE = 40 m , DE = 10 m, A B = 80 m . Trên
cạnh CD người ta muốn chọn một vị trí F để khoan giếng cấp nước cho hai nhà vệ sinh. Hỏi tổng doạn
đường ống nước ngắn nhất từ giếng khoan đến hai nhà vệ sinh là bao nhiêu mét?

Câu 3. (3,0 điểm)
1) Cho tam giác A BC nhọn, không cân (A B < A C ) nôi tiếp đuờng tròn (O ) . Kẻ các duờng cao
A D, BE ,CF ( D , E , F là chân các đường cao) cắt nhau tai điểm H . Đường thẳng EF cắt đường tròn
(O ) tại P ,Q ( F nằm giữa P và E ), đường thẳng EF cắt BC tại điểm M .
a)Chứng minh: MP .MQ = ME .MF .
b) Gọi N là điểm đối xứng của O qua đường thẳng BC . Chứng minh: N là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác HBC .
c) Đường thẳng đi qua H , song song với A B và cắt A C tại điểm X . Đường thẳng đi qua H , song song
với A C và cắt A B tai điểm Y . Chứng minh: Đường trung trục của đoạn thẳng X Y đi qua điểm O .
2) Một logo như hình vẽ bên . Phần tô đậm là giao của các cặp hình tròn ngoai tiếp các tam giác
VA BG ,VA CG ,VBCG .tính diện tích phần tô đậm ( theo đơn vị cm2 ), biết rằng tam giác A BC đều có
cạnh bång 20 cm,G là trọng tâm của tam giác A BC (lấy p = 3,14 , kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

1

Website: tailieumontoan.com

Câu 4. (2,0 điểm)
1) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 3x 2 - y 2 - 2xy - 2x - 2y + 8 = 0 .
2) Cho số nguyên dương n và biểu thức A = 12 + 22 + ¼ + n 2 . Chứng minh: 3A chia hết cho 2n + 1
24A + 2n + 1
và
là một số chính phương.
2n + 1
Câu 5. (1,0 điểm)
1) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a+b
b+ c
c+a
+ 2
+ 2
2
2
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a 2
2) Cho đa giác đều 2025 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng
minh tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.
------------ HẾT------------------------P =

2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

2

ĐỀ THI TUYỂN SINH 10 TỈNH BẮC NINH
MÔN TOÁN CHUYÊN
Lời giải đề thi vào 10 môn Toán chuyên tỉnh Bắc Ninh
năm học 2025-2026
Lớp Toán thầy Khánh chuyên Sư phạm
1 Đề bài
Câu 1. (2,0 điểm)
(1) Không dùng máy tính, chứng minh rằng biểu thức A =

1
4+2 3

−

1
4−2 3

có giá trị là một số

nguyên.

(2) Tính giá trị của biểu thức ( x3 + 4 x 2 − 23x + 2 )

2026

khi x = 3 3 − 2 .

Câu 2. (2,0 điểm)
(1) Giải phương trình

x − 3 − 2x − 7 = 2x − 8 .
 x 2 + xy + y 2 = 7

(2) Giải hệ phương trình  y 2 + yz + z 2 = 19 .
 z 2 + zx + x 2 = 13


Câu 3. (3,0 điểm)
(1) Cho tam giác nhọn MAB nội tiếp đường tròn ( O ) , đường cao MH . Gọi E và F lần lượt là hình chiến
vuông góc của H trên MA, MB . Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF và cắt AB tại D.
(a) Chứng minh rằng EMD = BHF và ba điểm M , O, D thẳng hàng.
MA
AH AD
.
=

MB
BH BD
(2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) và có các đường cao AD, BE , CF . Tìm mối liên hệ giữa

(b) Chứng minh rằng

các cạnh của tam giác ABC để biển thức

AB + BC + CA
đạt giá trị nhỏ nhất,
AD + BE + CF

(3) Bạn Nga dùng một dây vải màu để buộc một gói quà có dạng hình trụ (như hình vẽ). Hình trụ có bán
kính đáy 5 cm và diện tích xung quanh 376,8 cm 2 . Biết rằng cần 10 cm dây vải dùng để thắt nơ, giao
điểm của hai vòng dây vải là tâm các đường tròn đáy của gói quà. Hỏi bạn Nga cần phải chọn dây vải có
chiều dài ít nhất là bao nhiêu (lấy   3,14 )?

Câu 4. ( 1,5 điểm)
(1) Cho p là số nguyên tố khác 2, hai số tự nhiên a , b thoả mản a + b chia hết cho p , và a − b chia hết
cho p − 1 . Chứng minh rằng a b + b a chia hết cho 2 p .

(2) Cho các số thực a , b lớn hơn

1
1
1
và thoả mãn 2
+ 2
 3 ab . Chứng minh rằng
3
a ( 3b − 1) b ( 3a − 1)

1 + a + b  3ab .

Câu 5. (1,5 điểm)
(1) Hai bạn Minh và Huy chơi một trò chơi như sau: Minh chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp
7;8;9;10;12 ; Huy chọn ngẩu nhiên một số trong tập hợp 5;6;8;9;13;14 . Bạn nào chọn dược số lớn hơn
thì sẽ là ngırời thắng cuộc. Nếu hai số chọn được bằng nhau thì kết quả là hoà. Tính xác suất để bạn Minh
không thua cuộc.
ˆ

(2) Cho hình thoi ABCD có A = 60 và AC = 6 cm . Chứng minh rằng, với 25 điểm bất kì trong hình thoi
này thì luôn tồn tại hai điểm có khoảng cách không vượt quá 1 cm .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2025-2026
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
(Dành cho thí sinh thi vào Trường
THPT chuyên Lê Quý Đôn)

Bài 1:


2
3 x
11 x + 4   x − 2 −2 x + 4 
+
−
+
 : 
 với x  0, x  4
x
+
1
x
+
2
x
+
3
x
+
2
x
x
+
2
x

 


Cho biểu thức P = 

Rút gọn biểu thức P và tìm tất cả các giá trị của x để P là số nguyên
Bài 2: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, cho Parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng (d):
y = kx – k + 5
a) Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định M và cắt (P) tại hai điểm
phân biệt A, B với mọi giá trị của tham số k.
b) Cho điểm C(1; 2), tìm tất cả giá trị của k để các tam giác MAC và MBC có diện
tích bằng nhau.
Bài 3:
a) Giải phương trình 8 x 2 + 16 x − 7 = (8 x + 3) 5 x − 1
2
2

 x( x − xy + 10 y ) = y (− x + 9 x + 10 y )
b) Giải hệ phương trình  3

 2 x − 16 y + 6 y − 1 = 4 xy (3 − 2 x) 2 − 2 x

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường
phân giác của tam giác cắt nhau tại I. Đường thẳng vuông góc với AI tại I lần lượt
cắt các đường thẳng BC, AB, AC tại các điểm D, E, F. Đường tròn (O) cắt tia AI tại
điểm N (khác A) và cắt đoạn thẳng DN tại điểm K (khác N).
a) Chứng minh rằng tứ giác BEIK nội tiếp
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) tại điểm P (khác A).
Chứng minh rằng các đường thẳng PN, BC, IK đồng quy.
Bài 5: Trên tia phân giác của góc nhọn xAy lấy điểm O (khác A) và vẽ đường tròn
(O) tiếp xúc với các tia Ax, Ay lần lượt tại B, C. Trên các tia Ax, Ay lần lượt lấy
các điểm D, E sao cho AB < AD < AE. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Các đoạn thẳng AM, BC cắt nhau tại N. Chứng minh rằng ON vuông góc với DE.
Bài 6:
a) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab + 1  2 b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức T =

ab
2009a
+
2024a + 2025b
b

b) Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn
x 2 − kxy + y 2 + 1 = 0

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2025 - 2026
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể
thời gian phát đề

Câu 1. (2,0 điểm)
a) Cho các số thực a, b ( a  −2,b  −2 ), thỏa mãn ab + a + b = 0.
(a + 1) 2
(b + 1) 2
+
Tính giá trị biểu thức A = 2
a + 2a + b + 2 b 2 + 2ab + a + 2
b) Thầy giáo có 12 câu hỏi khác nhau dùng để kiểm tra vấn đáp, trong đó có 5 câu
hỏi ở mức độ nhận biết, 4 câu hỏi ở mức độ thông hiểu và 3 câu hỏi ở mức độ vận
dụng. Một học sinh được chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 câu hỏi trong số 12 câu hỏi
trên để thực hiện kiểm tra. Tính xác suất để 2 câu hỏi học sinh đó chọn được thuộc
hai mức độ khác nhau.
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình x 2 + x x 2 − 5x − 2 = −1
2
2
3
2

 xy + x − y − yx + y + x = 0
b) Giải hệ phương trình 
2

 8x − y = 3y − 2x − 6
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên x,y thoả mãn y3 + 3y2 + 3y + x 2 − 6x = 23
b) Tìm các số nguyên tố p, q với p < q thoả mãn số A = 2(p2 + 1)(5q 2 + 29) có thể
viết được dưới dạng tích của từ hai số nguyên liên tiếp trở lên.
Câu 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính BC (điểm O là tâm của đường
tròn). Điểm A thay đổi thuộc đường tròn (O) sao cho AB  AC và A khác B.
Điểm H là hình chiếu vuông góc của Á trên đường thẳng BC. Điểm D là điểm đối
xứng với H qua C, điểm E là điểm đối xứng với H qua A. Tiếp tuyến tại A của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt các đường thẳng EB, ED lần lượt tại M và
N.
a) Chứng minh A là trực tâm tam giác BED.
b) Chứng minh M thuộc đường tròn (O).
c) Khi điểm A thay đổi và thỏa mãn các giả thiết của bài toán, tìm vị trí điểm A để
AM.AN lớn nhất.
Câu 5. (0,5 điểm) Bạn Bình có 18 thẻ gỗ, mỗi thẻ được đánh một số bất kì từ 1 đến
2526 (mỗi số trên mỗi thẻ là một số tự nhiên). Chứng minh rằng bạn Bình có thể
chọn ra 3 thẻ sao cho ba số trên 3 thẻ đó là độ dài ba cạnh của một tam giác.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

Đề chính thức

NĂM HỌC 2025-2026
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề

I-PHẦN GHI KẾT QUẢ
Câu 1. Tìm m để phương trình x2 − 2 ( m + 1) x − 3 = 0 có hai nghiệm là các số nguyên.
Câu 2. Cho các số a , b thỏa mãn a + b = 2 . Tính S = a 3 + b3 + 6ab .
Câu 3. Cho 7 − 4 3 + 9 − 4 5 = a − b với a, b  N* . Tính P = a 2 + b 2 .
Câu 4. Thống kê điểm một bài kiểm tra môn Toán của 40 học sinh lớp 9A được ghi lại theo bảng tần
số sau:
Điểm
Tần số

5

6
m

7
n

8
n+3

9
m +1

10
2m

n −1

Biết điểm trung bình của 40 bài kiểm tra trên là 7,6 . Tìm m, n .
Câu 5. Cho đa thức P ( x ) = x3 + ax2 + bx + 1 . Biết P ( x ) chia cho x 2 − 1 dư 2 x + 5 . Tìm a , b .
Câu 6. Cho  là góc nhọn thoả mãn cot = 2 . Tính Q = cos2 + 4sin cos + 3 .
Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết diện tích các tam giác ABH và ACH lần
lượt là 19, 44 cm 2 và 34,56 cm 2 . Tính độ dài AH .
Câu 8. Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = 2 x + m tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng

3
4

.
Câu 9. Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = ( m + 2) x − m cắt parabol ( P ) : y = 2 x2 tại hai điểm phân biệt A, B
khác gốc toạ độ O sao cho OA vuông góc với OB .
Câu 10. Cho đường tròn ( O ) bán kính R . Hai điểm A, B nằm trên đường tròn ( O ) sao cho AOB = 30 .
Biết diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB bằng

3
cm 2 .
2

Tính bán kính của đường tròn ( O ) (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

Câu 11. Một hình nón có thể tích V = 96 dm3 . Biết tỷ số giữa đường cao và đường sinh của hình nón là
4
. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
5
Câu 12. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chũ số đôi một khác nhau. Bạn An chọn ngẫu nhiên một
số trong tập hợp A . Tính xác suất bạn An chọn được số chẵn.

II- PHẦN TỰ LUẬN
Câu 13 (2 điểm).
a) Giải phương trình x2 + 8x + 13 + x + 1 = 3 x2 − 2 x + 3
2 x + 2 y + ( 2 x − 1)( 2 − y ) = 5

b) Giải hệ phương trình 
.
 x 2 + x − 6 + 3 x − 1 = y 2 − x 2 − 3 y + 19
Câu 14 (1 điểm). Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho p + q và p + 4q đều là các số chính phương.
Câu 15 (2 điểm). Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) . Gọi I là tâm đường

tròn nội tiếp tam giác ABC . Đường thẳng AI cắt đường tròn ( O ) tại D (khác A ), đường thẳng qua I
vuông góc với AD cắt đường thẳng BC tại S . Gọi J là điểm đối xứng của I qua O .

a) Chứng minh D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC và SDJ là tam giác vuông.
b) Gọi P là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng OI . Gọi M là trung điểm BC và Q là giao
điểm (khác M ) của MI với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMS . Chứng minh ba điểm A, P , Q thẳng
hàng.
Câu 16 (1 điểm). Cho các số x, y, z thoả mãn 0  x, y, z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

(

4

x +2 y

)(

x +2 y

)

+ 3 ( x − 1)( y − 1)( z − 1)

Câu 17 (1 điểm).
a) Với mỗi số nguyên dương n , đặt tổng Sn = 1 + 4 + 7 +. + (3n − 2) . Chứng minh trong các số
Sn ; Sn + 1; Sn + 2;; Sn+1 có ít nhất một số chính phương.
b) Một giải cờ vua có n vận động viên tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn tỉnh điểm. Hai vận
động viên bất kỳ phải thi đấu với nhau đúng một ván. Nếu ván đấu có phân định thẳng - thua thì người
thắng được 2 điểm, người thua không có điểm, nếu ván đấu hòa thì mỗi người được 1 điểm. Sau khi thi
đấu xong tất cả các ván đấu, các vận động viên được xếp hạng theo thứ tự số điểm từ cao xuống thấp,
nếu có từ hai người trở lên cùng điểm thì sẽ dùng tiêu chí phụ để xếp hạng. Kết quả người xếp thứ nhất
được 8 điểm, người xếp thứ hai được 6 điểm, người xếp thứ ba được 5 điểm và các vận động viên còn
lại có số điểm khác nhau từng cặp. Tìm n và số điểm của các vận động viên.
---------------Hết-------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH KHÁNH HÒA
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
NĂM HỌC: 2025-2026
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Ngày thi 04/05/2025
Thời gian làm bài: 𝟏𝟓𝟎 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (2,00 điểm)
a) Giải phương trình ( x + 2)2 − x − 6 = x 2 + 3x
b) Cho x, y  R thȯa y 25 − y 2 + x 25 − x 2 = 2 xy (0  x, y  5) . Chứng minh x 2 + y 2 = 25 .
Bài 2. (2,00 điểm)

1 
1
 x +   y +  = 5
x 
y

1. Giải hệ phương trình 
 xy + 1   y + x  = 25



xy   x y  4

2. Biết phương trình x 2 + 2 x − m − m2 = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m .
Gọi (1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , (3 , 3 ) ,, ( 25 , 25 ) tương ứng là 2 nghiệm của phương trình (1) khi m

nhận các giá trị lần lượt là 1; 2;3;; 25 . Tính T =

1

1

+

1

1

+

1

2

+

1

2

+

1

 25

+

1

 25

.

Bài 3. (1,50 điểm)
1. Cho p, q ( p  q  5) là 2 số nguyên tố. Chứng minh p8 − q 4 chia hết cho 240 .
2. Tìm tất cả số nguyên dương n và số nguyên tố p thoả n2044 + 4n + p 2 chia hết cho np .
Bài 4. (1,50 điểm)
1
2
 x +  luôn đúng với mọi x, y  0 .
k
y
1 1 1
2. Cho a, b, c, x, y, z  0 thoả mãn x + y + z = 2  + +  = 4 .
a b c
x
y
z
Chứng minh:
+
+
1
ax + 2 by + 2 cz + 2

1. Tìm tất cả số thực k  0 sao cho

x

xy + 2

Bài 5. (2,50 điểm)
Cho A, B là hai điểm cố định trên đường tròn ( O, R ) ,C là điểm chính giữa cung AB và M là
điểm di động trên dây cung AB ( M  A, M  B) . Tia CM cắt ( O, R ) tại D ( D  C) .
a) Chứng minh AC2 = CM.CD và AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM .
b) Cho R = 5 cm, AB = 6 cm , tính R1 + R2 , với R1 , R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác ADM và tam giác BDM
Bài 6. (0,50 điểm)
Cho đa giác A1 A2  A2024 là đa giác đều 2024 đỉnh, trong đó đỉnh A2009 được tô đỏ, các đỉnh còn
lại được tô xanh.
Đổi màu các đỉnh của đa giác theo quy tắc:
Mỗi lần chọn 4 đỉnh của 1 hình chữ nhật rồi đổi màu đồng thời 4 đỉnh ấy (đỏ thành xanh và
xanh thành đỏ).
Hỏi sau một số hữu hạn lần đổi màu như vậy, có thể thu được kết quả đỉnh A2009 và A997 cùng
màu hay không ? Vi sao ?
------------------HẾT---------------------

LỜI GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2025 - 2026
Kì thi tuyển sinh vào 10 thành phố Hà Nội
Môn thi: Toán (vòng 2)
Câu 1.
1. Giải bơi của một trường Trung học cơ sở ban đầu chỉ có học sinh khối 6,7 và 8 đăng kí
tham gia với số liệu học sinh được cho như trong biểu đồ cột kép ở hình bên. Ngay trước
khi giải đấu diễn ra, có thêm 6 học sinh nam khối 9 và một số học sinh nũ khối 9 đăng kí
bổ sung. Biết rằng tỉ lệ học sinh nữ so với tổng số học sinh đăng kí tham gia giải trước
và sau khi các học sinh khối 9 đăng kí bổ sung là không thay đổi. Tìm số học sinh nữ
khối 9 đã đăng kí thi đấu.

2. Cho a, b, c là các số thực khác 0 , thỏa mãn a + b + c  0 và ab + bc + ca =
của biểu thức P =

0 . Tính giá trị

1
1
1
+ 2
+ 2
.
a − bc b − ca c − ab
2

Câu 2.
1. Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn 3a 2 − bc,3b2 − ca,3c 2 − ab đều chia hết cho 4 .
Chứng minh abc chia hết cho 8 .
2. Tìm tất cả cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn
2 ( 2 x − y ) ( y − x)2 = 15x − 7 y + 7

Câu 3. Với các số thực a, b, c thỏa mãn a 2b + b 2c + c 2 a + 16 = ab 2 + bc 2 + ca 2 :
1. Với các số thực a, b, c thỏa mãn a 2b + b 2c + c 2 a + 16 = ab 2 + bc 2 + ca 2 .
a) Chứng minh ( a − b )(b − c )( c − a ) = 16 .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 .
2. Tìm các số hữu tỉ dương m, n sao cho m + n + mn,

1 1 1
m
+ +
và
đều là các số
m n mn
n

nguyên.
Câu 4.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB  AC ) , nội tiếp đường tròn ( O ) . Hai đường cao AD, CF
của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Tia MH cắt
đường tròn ( O ) tại điểm T . Kẻ đường kính AK của đường tròn ( O ) .
1. Chứng minh ba điểm T , H , K thẳng hàng.

2. Đường thẳng qua B và vuông góc với đường thẳng AM tại điểm E , cắt đường thẳng
AD tại điểm G . Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDG cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác ADC tại hai điểm D và N . Chứng minh đường thẳng NE song song với đường
thẳng BF .
3. Kẻ dây cung AX của đường tròn ( O ) sao cho đường thẳng AX song song với đường
thẳng BC . Chứng minh ba đường thẳng MX , TD và AN dồng quy.
Câu 5.
Hai trường trung học cơ sở A và B tổ chức chung một buổi liên hoan cho các học sinh tiêu
biểu. Biết rằng trong buổi liên hoan này:
(i) Mỗi học sinh trường A quen với đúng 5 học sinh khác cũng của trường A ;
(ii) Mỗi học sinh trường A quen với đúng 4 học sinh trường B ;
(iii) Mỗi học sinh trường B quen với đúng 3 học sinh trường A ;
(iv) Tổng số học sinh của hai trường tham dự không vượt quá 80 .
1. Số học sinh trường A tham dự buổi liên hoan có thể là 25 học sinh được không? Vì
sao?
2. Tổng số học sinh của hai trường tham dự buổi liên hoan có thể nhiều nhất là bao nhiêu?
Vì sao?

UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2025-2026
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề

ĐỀ
Câu I. (2,0 điểm)
1. Xét các số thực dương 𝑎, 𝑏 thoả mãn 3𝑎2 + 5𝑎𝑏 − 2𝑏2 = 0. Tính giá trị của 𝑃 =

3𝑎−2𝑏
2𝑎+𝑏

2. Cho đa thức 𝑄(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, với 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các số nguyên. Biết 𝑄(𝑥) có một nghiêm
là 𝑥0 = √3 và 𝑄(1) = 4, tính giá trị 𝑄(−2)
Câu II (2,0 điểm)
1. Một công ty 𝑋 áp dụng chính sách trả lương cho nhân viên theo hai mức: ngày làm việc bình
thường và ngày làm việc đặc biệt (làm vào ngày được nghỉ), biết rằng tiền lương của một ngày
làm việc đặc biệt nhiều hơn tiền lương của một ngày làm việc bình thường là 225 nghìn đồng.
Trong một tháng, anh Bình là nhân viên của công ty 𝑋 làm việc 24 ngày, trong đó có một số
ngày làm việc đặc biệt. Bình nhận được 9 triệu đồng cho những ngày làm việc bình thường và
2,7 triệu đồng cho những ngày làm việc đặc biệt. Hỏi anh Bình được nhận bao nhiêu nghìn đồng
cho mỗi ngày làm việc đặc biệt?
2. Giải phương trình (√2𝑥 + 5 − 2)(11 − √5 − 2𝑥) = 4𝑥 + 2.
−1

Câu III (1,0 điểm) Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho parabol (𝑃) có phương trình 𝑦 = 𝑥 2 . Xét hai điểm
2
𝐴, 𝐵 thay đổi thuộc (𝑃) có hoành độ lần lượt là 𝑥1 , 𝑥2 sao cho 𝑥1 𝑥2 = −4. Tính diện tích nhỏ nhất của
tam giác 𝑂𝐴𝐵.
Câu IV ( 𝟏, 0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương 𝑥, 𝑦 thoả mãn (𝑥 2 − 𝑥 + 1)(𝑦 2 − 𝑥𝑦 − 5) =
2𝑥 + 5
Câu V (3,0 điểm) Cho đường tròn (𝑂), đường kính 𝐴𝐵. Xét dây cung 𝐶𝐷 không đi qua 𝑂, không
vuông góc với 𝐴𝐵 và 𝐶𝐷 cắt 𝐴𝐵 tại 𝐼. Gọi 𝐻, 𝐾 lần lượt là hình chiếu vuông góc của 𝐼 lên 𝐴𝐶 và 𝐴𝐷.
1. Chứng minh hai tam giác 𝐼𝐻𝐾 và 𝐵𝐶𝐷 đồng dạng
2. Chứng minh 𝑆△𝐴𝐶𝐷 > 4𝑆△𝐻𝐼𝐾
3. Tiếp tuyến tại điểm A của (𝑂) cắt 𝐶𝐷 tại 𝑇. Hai đường thẳng 𝐵𝐶 và 𝐵𝐷 cắt tia 𝑇𝑂 lần lượt tại 𝐸
và 𝐹, 𝐴𝐹 cắt (𝑂) tại 𝑃, 𝐴𝐸 cắt (𝑂) tại 𝑄. Chứng minh tứ giác 𝐶𝐷𝑃𝑄 là hình chữ nhật.
Câu VI (1,0 điểm) Cho tập hợp 𝑆 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
1. Bạn Hà chọn ngẫu nhiên một số 𝑎 thuộc 𝑆 và nhỏ hơn 8 , bạn Nam chọn ngẫu nhiên một số 𝑏
thuộc 𝑆 và lớn hơn 7 . Sau đó các bạn Hà, Nam ghép hai số đã chọn thành số 𝑎𝑏. Tính xác suất
𝑎𝑏 chia hết cho 3 .
2. Tìm số nguyên dương 𝑘 nhỏ nhất sao cho với mọi cách lấy 𝑘 số thuộc 𝑆 luôn tồn tại hai số 𝑥, 𝑦
với 𝑥 > 𝑦 trong 𝑘 số đã lấy sao cho 𝑥 + 𝑦 chia hết cho 𝑥 − 𝑦.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
Câu 1. (2,0 điểm)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN
TRÃI
NĂM HỌC 2025-2026
Môn: Toán (Chuyên)
Ngày thi: 03/06/2025
Thời gian làm bài: 150 phút, không tính thời gian phát đề

(

)(

)

 2x −1 + x 2x x + x − x  x − x 1 − x
1
+
− 1 , vơi x  0, x  1, x  .

4
x x +1 
2 x −1
 1− x
−1
Tìm các giá trị của x sao cho A  .
7
2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + 2 abc = 1 . Tính giá trị biểu thức

1. Cho biểu thức A = 

P = a (1 − b )(1 − c ) + b (1