 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

MỤC LỤC
BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ........................................................................................... 4
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ................................................................................................................. 4
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .............................................................................................................. 8
C. CÁC DẠNG TOÁN ........................................................................................................................................... 9
Dạng 1: Xét định đơn điệu của hàm số cho bởi công thức ............................................................................. 9
Dạng 2: Xét tính đơn điệu dựa vào bảng biến thiên, đồ thị............................................................................ 9
Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu ................................................................................................. 10
Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ
bất phương trình .............................................................................................................................................. 11
Dạng 5: Tìm cực trị hàm số cho bởi công thức .............................................................................................. 11
Dạng 6: Tìm cực trị dựa vào bảng biến thiên, đồ thị .................................................................................... 12
Dạng 7: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0 cho trước ................................................................. 13
Dạng 8: Toán thực tế........................................................................................................................................ 14
D. BÀI TÂP TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN ................................................................................................ 14
PHẦN 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.................................................................................................. 14
PHẦN 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ................................................................................................................ 29
E. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI................................................................................................................ 42
F. TRẢ LỜI NGẮN.............................................................................................................................................. 46
BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ .................................................................... 51
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ............................................................................................................... 51
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ............................................................................................................ 53
C. CÁC DẠNG TOÁN ......................................................................................................................................... 53
DẠNG TOÁN 1. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ KHI BIẾT ĐỒ THỊ HOẶC
BẢNG BIẾN THIÊN ........................................................................................................................................... 53
1. BÀI TẬP MẪU ............................................................................................................................................. 53
2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN .................................................................................................................................. 56
DẠNG TOÁN 2. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN .. 68
1. BÀI TẬP MẪU ............................................................................................................................................. 68
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ............................................................................................................................... 69
DẠNG TOÁN 3. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG . 72
1. CÁC VÍ DỤ ................................................................................................................................................... 73
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ............................................................................................................................... 73
DẠNG 4. BÀI TOÁN TỐI ƯU, CÓ YẾU TỐ THỰC TẾ................................................................................. 74
1. CÁC VÍ DỤ ................................................................................................................................................... 74
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ............................................................................................................................... 74
DẠNG 5. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN ..................................................... 75
1. CÁC VÍ DỤ ................................................................................................................................................... 75
Lớp Toán thầy Chung ĐT: 0972.311.481

1

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ............................................................................................................................... 75
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN ................................................................................................ 75
E. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI ........................................................................................................ 85
F. TRẢ LỜI NGẮN.............................................................................................................................................. 97
BÀI 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ........................................................................................... 100
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ............................................................................................................. 100
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .......................................................................................................... 102
C. CÁC DẠNG TOÁN ....................................................................................................................................... 103
Dạng 1: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ ............................................................................... 103
Dạng 2. Tiệm cận hàm vô tỉ ........................................................................................................................... 104
Dạng 3: Một số bài toán tiệm cận có chứa tham số m ................................................................................ 105
Dạng 4: Dựa vào đồ thị và bảng biến thiên xác định các đường tiệm cận ............................................... 107
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN .............................................................................................. 108
E. TRẢ LỜI ĐÚNG SAI .................................................................................................................................... 116
F. TRẢ LỜI NGẮN............................................................................................................................................ 127
BÀI 4: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ MỘT SỐ HÀM SỐ CƠ BẢN ...................................................................... 131
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ............................................................................................................. 131
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .......................................................................................................... 138
C. CÁC DẠNG TOÁN ....................................................................................................................................... 139
Dạng 1: Hàm số bậc ba và một số bài toán liên quan. .................................................................................... 139
1. Các ví dụ ..................................................................................................................................................... 140
2. Bài tập rèn luyện ........................................................................................................................................ 141
Dạng 2: Hàm số nhất biến và các bài toán liên quan ...................................................................................... 142
1. Các ví dụ ..................................................................................................................................................... 144
2. Bài tập rèn luyện ........................................................................................................................................ 145
Dạng 3. Hàm số hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất và một số bài toán liên quan ................................................. 147
1. Các ví dụ ..................................................................................................................................................... 148
2. Bài tập rèn luyện ........................................................................................................................................ 149
Dạng 4: Toán Thực Tế ....................................................................................................................................... 150
D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN ............................................................................................................... 151
E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI ....................................................................................................................... 172
F. TRẢ LỜI NGẮN............................................................................................................................................ 175
CHƯƠNG II: VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ....................................................................... 179
BÀI 1: VECTO VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN ........................................................................ 179
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ............................................................................................................. 179
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .......................................................................................................... 182
C. CÁC DẠNG TOÁN ....................................................................................................................................... 183
DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC VECTƠ .......................................................................... 183

Lớp Toán thầy Chung ĐT: 0972.311.481

2

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
DẠNG 2: PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO CÁC VECTƠ THÀNH PHẦN ....................................... 184
DẠNG 3: GÓC GIỮA HAI VECTƠ. TÍCH VÔ HƯỚNG GIỮA HAI VECTƠ ..................................... 185
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG VECTƠ GIẢI TOÁN THỰC TIỄN ................................ 185
D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN ............................................................................................................... 188
E. TRẢ LỜI ĐÚNG SAI .................................................................................................................................... 194
F. TRẢ LỜI NGẮN............................................................................................................................................ 198
BÀI 2: TOẠ ĐỘ CỦA VECTO TRONG KHÔNG GIAN ...................................................................................... 201
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ............................................................................................................. 201
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .......................................................................................................... 202
BÀI 3: BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO......................................................................... 205
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ............................................................................................................. 205
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .......................................................................................................... 206
C. CÁC DẠNG TOÁN ....................................................................................................................................... 207
DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ ............................................................................................. 207
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ, VÀ ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG ............................. 207
DẠNG 3: XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM ........................................................................................................ 208
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG .................................................................... 208
DẠNG 5: ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN ................................................................... 209
D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN ............................................................................................................... 212
E. TRẢ LỜI ĐÚNG SAI .................................................................................................................................... 217
F. TRẢ LỜI NGẮN............................................................................................................................................ 226
CHƯƠNG III. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM ......... 229
BÀI 1. KHOẢNG BIẾN THIÊN KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM ...................... 229
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ............................................................................................................. 229
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .......................................................................................................... 231
C. CÁC DẠNG TOÁN ....................................................................................................................................... 233
Dạng 1: Tìm khoảng biến thiên..................................................................................................................... 233
Dạng 2. Xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ............................................................. 234
D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN ............................................................................................................... 236
E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI ....................................................................................................................... 240
F. TRẢ LỜI NGẮN............................................................................................................................................ 243
BÀI 2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM ............................................................ 245
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ............................................................................................................. 245
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .......................................................................................................... 247
C. CÁC DẠNG TOÁN ............................................................................................................................................. 248
D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN ............................................................................................................... 250
E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI ....................................................................................................................... 252
F. TRẢ LỜI NGẮN............................................................................................................................................ 257

Lớp Toán thầy Chung ĐT: 0972.311.481

3

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Tính đơn điệu của hàm số
Nhắc lại vể tính đổng biến, nghịch biến của hàm số
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f ( x ) xác định trên K .
Hàm số y  f ( x ) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1 , x2 thuộc K mà x1  x2 thì

f  x1   f  x2  .
Hàm số y  f ( x ) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1 , x2 thuộc K mà x1  x2 thì

f  x1   f  x2  .
Nếu hàm số y  f ( x ) đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình 1a).
Nếu hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình 1 b).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K .
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  f ( x ) có đồ thị cho ở Hình 2.

Lời giải
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2;1) và (5;8) , nghịch biến trên khoảng (1;5) .
Tính đơn điệu của hàm số
Tổng quát, ta có kết quả sau đây:
Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K .
Nếu f ( x )  0 với mọi x thuộc K thì hàm số y  f ( x ) đồng biến trên K .
Nếu f ( x )  0 với mọi x thuộc K thì hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên K .
x
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số g ( x) 
nghịch biến trên khoảng (1;  ) .
x 1
Lời giải
Lớp Toán thầy Chung ĐT: 0972.311.481

4

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Hàm số xác định trên (1;  ) . Ta có g ( x)  

1
 0 với mọi x  (1;  ) .
( x  1)2

Vậy g ( x ) nghịch biến trên khoảng (1;  ) .
Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K , ta hiểu xét tính đơn điệu của hàm số đó
trên tập xác định của nó.
Từ kết quả trên, để xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x ) , ta thực hiện các bước sau:
Buớc 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
Buớc 2. Tính đạo hàm f ( x ) của hàm số. Tìm các điểm x thuộc D mà tại đó đạo hàm f ( x ) bằng 0
hoặc đạo hàm không tồn tại.
Buớc 3. Xét dấu f ( x ) và lập bảng biến thiên.
Buớc 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
1
a) f ( x )   x 3  3 x 2
b) g ( x)  x 
c) h( x)  x 3 .
x
Lời giải
a) Xét hàm số f ( x )   x 3  3 x 2 .
Tập xác định: D   . Ta có f ( x)  3 x 2  6 x; f ( x)  0  x  0 hoặc x  2 .
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số f ( x )   x 3  3 x 2 đồng biến trên khoảng (0; 2) , nghịch biến trên các khoảng ( ;0) và
(2; ) .
1
b) Xét hàm số g ( x )  x  .
x
Tập xác định: D   \ {0} .

1 x2  1
 2 . Vì x 2  0 với mọi x   \{0} nên g ( x) cùng dấu với x 2  1 .
2
x
x
2
Ta có g ( x)  0  x  1  0  x  1 hoặc x  1 .
Bảng biến thiên:
Ta có g ( x)  1 

Vậy hàm số g ( x)  x 

1
đồng biến trên các khoảng ( ; 1) và (1;  ) , nghịch biến trên các khoảng
x

( 1;0) và (0;1) .

c) Xét hàm số h( x)  x 3 .
Tập xác định: D   . Ta có h( x)  3 x 2 ; h( x)  0  x  0 .
Bảng biến thiên:

Lớp Toán thầy Chung ĐT: 0972.311.481

5

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

Vậy hàm số h( x)  x 3 đồng biến trên  .
Chú ý:
a) Nếu hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K , f ( x )  0 với mọi x  K và f ( x )  0 chi tại một số hữu
hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K .
b) Nếu hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K , f ( x )  0 với mọi x  K và f ( x )  0 chi tại một số hữu
hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K .
c) Nếu f ( x )  0 với mọi x  K thì hàm số không đổi trên K .
2. Cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên tập hợp D và x0  D .

- Nếu tồn tại một khoảng ( a; b) chứa điểm x0 và (a; b)  D sao cho f ( x)  f  x0  với mọi

x  (a; b) \  x0  thì x0 được gọi là một điểm cục đại, f  x0  được gọi là giá trị cục đại của hàm số
y  f ( x ) , kí hiệu yCD .

- Nếu tồn tại một khoảng ( a; b) chứa điểm x0 và (a; b)  D sao cho f ( x)  f  x0  với mọi

x  (a; b) \  x0  , thì x0 được gọi là một điểm cưc tiểu, f  x0  được gọi là giá trị cục tiểu của hàm số
y  f ( x ) , kí hiệu yCT .

Chú ý:
a) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị cực đại và giá trị cực
tiểu được gọi chung là giá trị cưc trị (còn gọi là cưc trị) của hàm số.
b) Nếu x0 là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số y  f ( x ) thì ta cũng nói hàm số
y  f ( x ) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại x0 .
c) Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên D .
d) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y  f ( x ) thì điểm M  x0 ; f  x0   là một điểm cực trị của đồ thị

hàm số y  f ( x ) .
Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số y  f ( x ) có đồ thị được cho ở Hình 7.

Lớp Toán thầy Chung ĐT: 0972.311.481

6

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

Lời giải
Hàm số y  f ( x ) có:
- x  1 là điểm cực đại vì f ( x )  f (1) với mọi x  (0; 2) \{1}, yCÐ  f (1)  5 ;
- x  6 là điểm cực đại vì f ( x )  f (6) với mọi x  (5; 7) \ {6}, yCD  f (6)  6 ;
- x  4 là điểm cực tiểu vì f ( x )  f (4) với mọi x  (3;5) \{4}, yCT  f (4)  1 .
Tìm cực trị của hàm số
Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên khoàng ( a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng  a; x0  và

 x0 ; b  . Khi đó:
- Nếu f ( x )  0 với mọi x   a; x0  và f ( x )  0 với mọi x   x0 ; b  thì hàm số y  f ( x ) đạt cực tiểu tại
điểm x0 ;
- Nếu f ( x )  0 với mọi x   a; x0  và f ( x )  0 với mọi x   x0 ; b  thì hàm số y  f ( x ) đạt cực đại tại
điểm x0 .
Ví dụ 5. Tìm cực trị của hàm số f ( x)  2 x3  9 x 2  24 x  1 .
Lời giải
Tập xác định: D   .
Ta có f ( x)  6 x 2  18 x  24 ; f ( x )  0  x  1 hoặc x  4 .
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x  1 , giá trị cực đại là f ( 1)  14 ; hàm số đạt cực tiểu tại x  4 , giá trị cực
tiểu là f (4)  111 .
Nhận xét: Từ kết quả trên, để tìm cực trị của hàm số y  f ( x ) , ta thực hiện các bước sau:
Buớc 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
Buớc 2. Tính đạo hàm f ( x ) của hàm số. Tìm các điểm x thuộc D mà tại đó đạo hàm f ( x ) bằng 0
hoặc đạo hàm không tồn tại.
Buớc 3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 4. Từ bảng biến thiên kết luận về cực trị của hàm số.
Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số f ( x)  x3  3 x 2  3 x  4 .
Lời giải
Tập xác định: D   .
Ta có f ( x)  3 x 2  6 x  3 ; f ( x )  0  x  1.
Bảng biến thiên:
Lớp Toán thầy Chung ĐT: 0972.311.481

7

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

Vậy hàm số không có cực trị.
Chú ý:
a) Nếu f   x0   0 và f ( x ) không đổi dấu khi x qua điểm x0 thì hàm số không có cực trị tại x0 .
b) Nếu f ( x ) không đồi dấu trên khoảng K thì f ( x ) không có cực trị trên khoảng đó.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
1. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.

2. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau:
3

x2  2 x  7
b) y 
.
x4

2

а) y  4 x  3 x  36 x  6 ;
3. Tìm cực trị của các hàm số sau:
3

2

a) y  2 x  3 x  36 x  1 ;

b) y 

x 2  8 x  10
;
x2

c) y   x 2  4 .

2x 1
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
x 3
5. Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ
bằng công thức f ( x)  0, 01x3  0, 04 x 2  0, 25 x  0, 44 (tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến
2017(0  x  7) .
(Theo: https://infographics.vn/interactive-xuat-khau-rau-quadu-bao-bung-no-dat-4-ty-usd-trong-nam2023/116220.vna)
a) Tính đạo hàm của hàm số y  f ( x ) .
b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến
2017.
6. Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định
bởi hàm số x(t )  t 3  6t 2  9t với t  0 . Khi đó x(t ) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t , kí hiệu
v (t ); v(t ) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t , kí hiệu a(t ) .
a) Tìm các hàm v (t ) và a(t ) .
b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất
điểm giảm?
7. Đạo hàm f ( x ) của hàm số y  f ( x ) có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của
hàm số y  f ( x ) .

4. Chứng minh rằng hàm số y 

Lớp Toán thầy Chung ĐT: 0972.311.481

8

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

C. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xét định đơn điệu của hàm số cho bởi công thức
1.1 Phương pháp
Bước 1: Tìm tập xác định D .
Bước 2: Tính đạo hàm y  f ( x) .

Bước 3: Tìm nghiệm của f ( x) hoặc những giá trị x làm cho f ( x) không xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Bước 5: Kết luận.
1.2 Ví dụ minh họa
Câu 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  x3  3 x 2  1 .
Câu 2.

4
2
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  x  2x .

Câu 3.

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  3 x  1 .

Câu 4.
Câu 5.

1 x
 x2  2x  1
Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số: y 
.
x2
2
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  x 4  x .

Dạng 2: Xét tính đơn điệu dựa vào bảng biến thiên, đồ thị
2.1 Phương pháp
Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (H.1.3a).
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.1.3b).

2.2 Ví dụ minh họa
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào
dưới đây?

Lớp Toán thầy Chung ĐT: 0972.311.481

9

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

Câu 2.

a) Từ đồ thị hàm số trên hãy vẽ bảng biến thiên
b) Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến.
Cho hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào

dưới đây?

.
Câu 3.

Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  và có bảng biến thiên

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y  f  2x  1 .

Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu
3.1. Phương pháp
Xét hàm số bậc ba y  f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d .
– Bước 1. Tập xác định: D  .
– Bước 2. Tính đạo hàm y  f ( x)  3ax 2  2bx  c.
a f ( x )  3a  0
+ Để f ( x ) đồng biến trên   y  f ( x)  0, x    
m ?
2


4
b

12
ac

0
 f ( x )
a f ( x )  3a  0
+ Đề f ( x ) nghịch biến trên   y  f ( x)  0, x    
m ?
2
 f ( x )  4b  12ac  0
Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai f ( x)  ax 2  bx  c.
a  0
a  0
 Để f ( x)  0, x    
  f ( x)  0, x    

  0
  0
Lớp Toán thầy Chung ĐT: 0972.311.481

10

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Xét hàm số nhất biến y  f ( x) 

ax  b

cx  d

 d
– Bước 1. Tập xác định: D   \   
 c
a.d  b.c

– Bước 2. Tính đạo hàm y  f ( x) 
(cx  d )2
+ Để f ( x ) đồng biến trên D  y  f ( x)  0, x  D  a.d  b.c  0  m ?
+ Để f ( x ) nghịch biến trên D  y  f ( x)  0, x  D  a.d  b.c  0  m ?
Cô lập tham số m , tức là biến đổi f ( x, m)  0( 0)  g ( x)  m( m) .
Bước 1. Xác định tham số để hàm số f xác định trên khoảng đã cho.
Bước 2. Tính f ( x, m) .
Bước 3. Để giải bài toán dạng này, ta thường sử dụng các tính chất sau.
Nếu hàm số đồng biến trên (a; b) thì
f ( x)  0, x  [a; b]  g ( x)  h(m), x  [a; b]  min[ a;b ] g ( x)  h(m) .
Nếu hàm số đồng biến trên (a; b) thì
f ( x)  0, x  [a; b]  g ( x)  h(m), x  [a; b]  min[ a;b ] g ( x)  h(m) .
3.2. Ví dụ minh họa
Câu 1. Tìm m để hàm số y  x 3   m  1 x 2  3 x  2 đồng biến trên  .
Câu 2.





Tìm điều kiện của m để hàm số y  m2  1 x3   m  1 x 2  x  4 nghịch biến trên khoảng

 ;   .
 1 
m    ;1
 2 
Câu 3.

Cho hàm số y 

mx  4m
với m là tham số. Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng
xm

xác định.
Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương
trình, hệ bất phương trình
4.1. Phương pháp
1. Nếu hàm số y  f ( x) liên tục và đơn điệu trên D thì f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm.
2. Nếu hàm số f ( x), g ( x) liên tục và đơn điệu trên D thì f ( x)  g ( x) có ít nhất một nghiệm.
3. Nếu f ( x ) liên tục và đơn điệu trên D và u, v  D thì phương trình f (u )  f (v)  u  v .
4.2. Ví dụ minh họa
Câu 1. Giải phương trình x 2017  x 3  6 x 2  13 x  9  0 .
5

5

2 x  1  5 x  2   5 x  2    2 x  1 .

Câu 2.

Giải phương trình sau

Câu 3.

3
2
Giải phương trình x  3x  4 x  2   4 x  6 4 x  5 .

Dạng 5: Tìm cực trị hàm số cho bởi công thức
5.1. Phương pháp
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f   x  . Tìm các điểm tại đó f   x  bằng 0 hoặc f   x  không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
5.2. Ví dụ minh họa
Lớp Toán thầy Chung ĐT: 0972.311.481

11

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Câu 1.

3
2
Tìm cực trị của hàm số y  x  3x  9x 1 .

Câu 2.

3
2
Tìm cực trị của hàm số y  2x  3x  6x  1 .

Câu 3.

4
2
Tìm cực trị của hàm số y  x  4x 1 .

Câu 4.

Tìm cực trị của hàm số y  1  x   3x  8 .

3

2

Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x 3  x  1 x  2  , x   . Số điểm cực trị của hàm số

Câu 5.
đã cho là.

Dạng 6: Tìm cực trị dựa vào bảng biến thiên, đồ thị
6.1. Phương pháp
- Nếu f   x  đổi dấu qua x0  D thì x0 là cực trị. Cụ thể:
+Nếu f   x  đổi dấu từ + sang – thì x0 là điểm cực đại.
+Nếu f   x  đổi dấu từ - sang + thì x0 là điểm cực tiểu.
- Chú ý:
+ Hàm số đạt cực trị tại: x 
+ Điểm cực trị của hàm số là: x 
+ Giá trị cực trị của hàm số là: y 
+ Cực trị của hàm số là: y 
+ Điểm cực trị của đồ thị hàm số: ( x; y)
6.2. Ví dụ minh họa
Câu 1. Cho hàm f  x  có bảng biến thiên như sau:

a) Giá trị cực tiểu của hàm số.
b) Điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Câu 2:

Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  với bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 3:

Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu

điểm cực trị?

Lớp Toán thầy Chung ĐT: 0972.311.481

12

 BÀI GIẢNG TOÁN 12-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
y

-1

1

O

x

-1

-2

Câu 4:

Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên đoạn  2;2 và có đồ thị là đường cong trong

hình vẽ bên. Hàm số f  x  đạt cực đại tại điểm nào dưới đâ...