BÀI TẬP VỀ GÓC NỘI TIẾP
Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại
M. Tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A cắt đường tròn tại N. Chứng minh rằng:
a) Tam giác MBC cân.
b) Ba điểm M, O, N thẳng hàng.
Bài 2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. M là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn (M khác
A và B). Kẻ MH  AB (H AB). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O)
vẽ hai nửa đường tròn tâm O1 đường kính AH và tâm O2 đường kính BH. MA và MB cắt hai
nửa đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại P và Q.
a) Chứng minh MH = PQ.
b) Chứng minh hai tam giác MPQ và MBA đồng dạng.
c) Chứng minh PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2)
Bài 3. Cho ABC đều, đường cao AH. M là điểm bất kỳ trên đáy BC. Kẻ
MP  AB và MQ  AC. Gọi O là trung của AM.
a) Chứng minh năm điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác OPHQ là hình gì ? chứng minh.
c) Xác định vị trí của M trên BC để PQ có độ dài nhỏ nhất.
Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M trên đường tròn (M khác A và B) sao
cho MA < MB. Lấy MA làm cạnh vẽ hình vuông MADE (E thuộc đoạn thẳng MB). Gọi F là
giao điểm của DE và AB.
a) Chứng minh ADF và BMA đồng dạng.
b)Lấy C là điểm chính giữa cung AB (không chứa M). Chứng minh CA = CE = CB
c) Trên đoạn thẳng MC lấy điểm I sao cho CI = CA. Chứng minh I là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác AMB.
Bài 5. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn.
CA cắt nửa đường tròn ở M, CB cắt nửa đường tròn ở N. Gọi H là giao điểm của AN và BM.
a) Chứng minh CH  AB.
b) Gọi I là trung điểm của CH. Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)
c) Giả sử CH =2R. Tính số đo cung
.
Bài 6. Trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý.
Gọi Q là giao điểm của AP và BC
a) Chứng minh BC2= AP. AQ.
b) Trên AP lấy điểm M sao cho PM = PB. Chứng minh BP+PC= AP.
c) Chứng minh

.
-----HẾT----

1

BÀI TẬP VỀ
GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
Bài 1. Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ một tiếp tuyến
MT (T là tiếp điểm) và một cát tuyến MAB của đường tròn đó.
a) Chứng minh: MT2 = MA. MB
b) Trường hợp cát tuyến MAB đi qua tâm O. Cho MT = 20 cm, và cát tuyến dài nhất
cùng xuất phát từ M bằng 50cm. Tính bán kính R của đường tròn (O).
Bài 2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ
tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của
C trên AB.
a) Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc MCH.
b) Giả sử MA =a, MC = 2a. Tính AB và CH theo a.
Bài 3. Cho đường tròn (O1) tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại A. Đường kính AB của
đường tròn (O) cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ hai C khác A. Từ B vẽ tiếp tuyến BP với
đường tròn (O1) cắt đường tròn (O) tại Q.Chứng minh AP là phân giác của góc
Bài 4. Cho hai đường tròn tâm O, O1 tiếp xúc ngoài nhau tại A. Trên đường tròn (O) lấy hai
điểm phân biệt B, C khác A. Các đường thẳng BA, CA cắt đường tròn (O 1) tại P và Q. Chứng
minh PQ  BC.
Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và (AB < AC). Đường tròn (I) đi qua B và
C, tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh rằng: OA  BD.
Bài 6. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây AC và tia tiếp tuyến Bx nằm trên
cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn. Tia phân giác của góc CAB cắt dây BC tại
F, cắt nửa đường tròn tại H, cắt Bx ở D.
a) Chứng minh FB = DB và HF = HD
b) Gọi M là giao điểm của AC và Bx. Chứng minh AC. AM = AH. AD
c) Tính tích AF.AH + BF.BC theo bán kính R của đường tròn (O)
Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Phân giác góc BAC cắt đường tròn (O) ở
M. Tiếp tuyến kẻ từ M với đường tròn cắt các tia AB và AC lần lượt ở D và E. Chứng minh:
a) BC  DE
b) AMB và MCE dồng dạng,AMC và MDB đồng dạng.
c) Nếu AC = CE thì MA2 = MD. ME
Bài 8. Cho hai đường tròn (O) và (O1) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO1 cắt các đường tròn
(O) và (O1) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến tuyến chung
ngoài EF (E  (O), F  (O1)). Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là giao điểm của EB và
FC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.
b) MN  AD
c) ME. MA = MF. MD
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông ở A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính 5cm. Tiếp tuyến
với đường tròn tại C cắt tia phân giác của góc ABC tại K. BK cắt AC tại D và BD =4cm. Tính
độ dài BK.
-----HẾT----

2

BÀI TẬP VỀ GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN
GÓC CÓ ĐỈNH BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1. Cho đường tròn tâm O và điểm M ngoài đường tròn đó. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và cát
tuyến MBC đến đường tròn (B nằm giữa M và C). Phân giác của góc
cắt BC ở D, cắt
đường tròn ở E. Chứng minh:
a) MD = MA
b) AD. AE = AC. AB
Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các tia phân giác của các góc A và B cắt
nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng:
a) BDI là tam giác cân.
b) DE là đường trung trực của IC.
c) IF  BC (F là giao điểm của DE và AC).
Bài 3. Cho đường tròn tâm O và điểm S ở ngoài đường tròn. Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SD
và cát tuyến SBC tới đường tròn (B ở giữa S và C).
a) Phân giác của góc
cắt dây cung BC ở M. Chứng minh SA = SM.
b) AM cắt đường tròn ở E. Gọi G là giao điểm của OE và BS; F là giao điểm của AD
với BC. Chứng minh SA2 = SG. SF.
c) Biết SB = a ; Tính SF khi BC =
Bài 4. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (I) kẻ hai tiếp tuyến ME và MF (E và F là hai tiếp điểm).
Kẻ dây EG của đường tròn (I) song song MF. Gọi H là giao điểm của MG với (I) và K là giao
điểm của EH với MF.
a) Chứng minh KF2 = KE. KH.
b) Chứng minh K là trung điểm của MF.
Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kính EF và điểm G nằm trên nằm trên đường tròn (O) sao
cho EG > GF. Trên tia GF lấy điểm H sao cho GH =GE. Vẽ hình vuông EGHI có đường chéo
GI cắt (O) tại K.
a) Chứng minh KFH cân.
b) Tiếp tuyến tại E với đường tròn (O) cắt FK ở M. Chứng minh ba điểm M, I, H thẳng
hàng.
Bài 6. Cho tứ giác ABCD có A, B, C, D nằm trên đường tròn (O). Các tia AB và DC cắt nhau
tại E, các tia CB và DA cắt nhau tại F. Hai phân giác của các góc và
cắt nhau tại K.
0
Chứng minh rằng:
= 90 .
Bài 7. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. điểm D di chuyển trên cung AC. Gọi
E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a)
b) Tích AE. BF không đổi.
Bài 8. Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A,B và C. Gọi M,N và P theo thứ tự là điểm chính
giữa của các cung AB,BC và AC. BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của
AN và BC. Chứng minh rằng:
a) BNI cân.
b) AE.BN = EB.AN.
c)EI  BC

d)
-----HẾT----

3

BÀI TẬP VỀ CUNG CHỨA GÓC
Bài 1. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc
cung AN). Các tia AM và BN cắt nhau ở I. Các dây AN và BM cắt nhau ở K.
a)Tính
và
.
b)Tìm quỹ tích điểm I và quỹ tích điểm K khi dây MN thay đổi vị trí.
c) Chứng minh I là trực tâm của tam giác KAB.
d)AB và IK cắt nhau tại H. Chứng minh HA.HB = HI.HK.
e)Với vị trí nào của dây MN thì tam giác IAB có diện tích lớn nhất ? Tính giá trị diện
tích lớn nhất đó theo R.
Bài 2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm chính giữa của cung AB. M là một
điểm chuyển động trên cung CB. Gọi H là hình chiếu của C trên AM. Các tia OH và BM cắt
nhau tại I. Tìm quỹ tích các điểm I.
Bài 3. Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định. Một điểm C chạy trên đường tròn. Kẻ
CD vuông góc với AB. Trên OC đặt một đoạn OM = CD. Tìm quỹ tích các điểm M.
Bài 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, M là một điểm chuyển động trên nửa đường
tròn đó.Vẽ hình vuông BMDC ở ngoài tam giác AMB.Tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn cắt
CD ở E.
a) Chứng minh AB = BE.
b) Tìm quỹ tích các điểm C.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác. M,N là các tiếp
điểm trên các cạnh AC, BC. Gọi H là giao điểm của AI và MN. Chứng minh rằng điểm H
thuộc đường tròn đường kính BI.
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc D cắt các đường thẳng AB, BC theo
thứ tự ở I, K. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK. Chứng minh rằng:
a) OB  IK
b) Điểm O nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 7. Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy trên
đường tròn (O).
-----HẾT----

4

ÔN TẬP THI KỲ II
MÔN TOÁN- PHẦN HÌNH HỌC 9
A. Lý thuyết: (xem lại tổng kết các chương ở SGK tập I & II)
B. Phần bài tập:
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường
tròn kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc xAC cắt nửa đường tròn tại D,
các tia AD và BC cắt nhau tại E.
a) Chứng minh ABE cân.
b) Đường thẳng BD cắt AC tại K, cắt tia Ax tại F. Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
c) Cho
. Chứng minh AK = 2CK.
Bài 2. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến AMN không
đi qua tâm O. Gọi I là trung điểm MN.
a) Chứng minh AB2 = AM. AN
b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp.
c) Gọi D là giao điểm của BC và AI. Chứng minh
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác trong của
cắt BC tại D và
cắt đường tròn tại M. Phân giác ngoài tại Acắt đường thẳng BC tại E và cắt đường tròn tại N.
Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh:
a) MN vuông góc với BC tại trung điểm của BC.
b)
c) AK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 4. Cho ba điểm A, B,C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O) đi qua
B và C. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và MN.
a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB. AC
b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh IN // AB
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên
một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Điểm C nằm trên (O) mà AC > BC. Kẻ CD
 AB (D  AB). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BC tại E. Tiếp tuyến tại C của đường
tròn (O) cắt AE tại M. OM cắt AC tại I. MB cắt CD tại K.
a) Chứng minh M là trung điểm AE.
b) Chứng minh IK // AB.
c) Cho OM = AB. Tính diện tích tam giác MIK theo R.
Bài 6. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần
lượt tại E và F ; BF cắt EC tại H. Tia AH cắt đường thẳng BC tại N.
a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp.
b) Chứng minh FB là phân giác của
.
c) Giả sử AH = BC. Tính số đo góc
của ABC.
(Trích đề thi tốt nghiệp và xét tuyển vào lớp 10- năm học 1999- 2000)
Bài 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia AB lấy điểm D nằm ngoài đoạn AB và kẻ
tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ A
xuống đường thẳng CD và F là chân đường vuông góc hạ từ D xuống đường thẳng AC. Chứng
minh:
a) Tứ giác EFDA nội tiếp.
b) AF là phân giác của
.
c) Tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng.

5

d) Các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích.
(Trích đề thi tốt nghiệp và xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001)
Bài 8. Cho tam giác ABC (
) nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O đường kính AB.
Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến tiếp
tuyến đó. AH cắt đường tròn (O) tại M (M  A). Đường vuông góc với AC kẻ từ M cắt AC tại
K và AB tại P.
a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp.
b) Chứng minh MAP cân.
c) Tìm điều kiện của ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng.
(Trích đề thi tốt nghiệp và xét tuyển vào lớp 10- năm học 2001- 2002)
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt
các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N (A M&N). Gọi I, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn
thẳng OH, BH, và CH. Chứng minh:
a)
b) Tứ giác BMNC nội tiếp.
c) Điểm I là trực tâm tam giác APQ.
(Trích đề thi tốt nghiệp và xét tuyển vào lớp 10- năm học 2002- 2003)
Bài 10. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C là điểm bất kỳ thuộc đường
tròn đó (C A&B). M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ
AC và BC. Các đường thẳng BN và AC cắt nhau tại I, các dây cung AN và
BC cắt nhau ở P. Chứng minh:
a)Tứ giác ICPN nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
b) KN là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
c)Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O;R) thì đường thẳng MN luôn tiếp
xúc với một đường tròn cố định.
(Trích đề thi tốt nghiệp và xét tuyển vào lớp 10- năm học 2003- 2004)
Bài 11. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là
các tiếp điểm). Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm giữa A và E, dây DE
không qua tâm O). Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K.
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh HA là tia phân giác của
c) Chứng minh:

.

(Trích đề thi tốt nghiệp khoá ngày 25/26/5/2005)
Bài 12. Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Trên đường tròn (O;R) lấy điểm M sao cho
. Vẽ đường tròn (B;BM) cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là N.
a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B;BM).
b) Kẻ các đường kính MOI của đường tròn (O;R) và MBJ của đường tròn (B;BM).
Chứng minh N, I, J thẳng hàng và JI. JN = 6R2
c) Tính phần diện tích của hình tròn (B;BM) nằm bên ngoài đường tròn (O;R) theo R.
(Trích đề thi vào lớp 10 năm học 2005)
Bài 13. Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Trên tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn này
lấy điểm C sao cho AC = AB. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD của đường tròn (O;R), với D là
tiếp điểm.
a) Chứng minh rằng ACDO là một tứ giác nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của AD và OC.Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AH ; AD
c) Đường thẳng BC cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai M.Chứng minh

6

d) Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB. Tính diện tích phần của hình tròn này
nằm ngoài đường tròn (O;R).
(Trích đề thi vào lớp 10 năm học 2007- 2008)
Bài 14. Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 6cm. Gọi H làđiểm nằm giữa A và B sao cho
AH = 1cm. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại
C và D. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với đường
thẳng AB (N thuộc thẳng AB).
a) Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp.
b) Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tg
.
c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua
trung điểm của đoạn thẳng CH.
(Trích đề thi vào lớp 10 năm học 2008- 2009)
Bài 15. Trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý.
Gọi là giao điểm của AP và BC.
a) Chứng minh BC2= AP. AQ.
b) Trên AP lấy điểm M sao cho PM = PB. Chứng minh BP+PC= AP.
c) Chứng minh

.

Bài 16. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn.
CA cắt nửa đường tròn ở M, CB cắt nửa đường tròn ở N. Gọi H là giao điểm của AN và BM.
a) Chứng minh CH  AB.
b) Gọi I là trung điểm của CH. Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)
c) Giả sử CH =2R. Tính số đo cung
.
Bài 17. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và dây MN có độ dài bằng bán kính (M
thuộc cung AN). Các tia AM và BN cắt nhau ở I. Các dây AN và BM cắt nhau ở K.
a)Tính
và
.
b)Tìm quỹ tích điểm I và quỹ tích điểm K khi dây MN thay đổi vị trí.
c) Chứng minh I là trực tâm của tam giác KAB.
d)AB và IK cắt nhau tại H. Chứng minh HA.HB = HI.HK.
e)Với vị trí nào của dây MN thì tam giác IAB có diện tích lớn nhất ? Tính giá trị diện
tích lớn nhất đó theo R.
Bài 18. Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A,B và C. Gọi M,N và P theo thứ tự là điểm chính
giữa của các cung AB,BC và AC. BP cắt AN tại I,NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của
AN và BC. Chứng minh rằng:
a) BNI cân.
b) AE.BN = EB.AN.
c)EI  BC

d)

Bài 19. Cho hai đường tròn (O) và (O1) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO1 cắt các đường tròn
(O) và (O1) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến tuyến chung
ngoài EF (E  (O), F  (O1)). Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là giao điểm của EB và
FC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.
b) MN  AD
c) ME. MA = MF. MD
-----HẾT----

7