ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT – AN GIANG
Năm học 2023 – 2024. (thời gian làm bài 120')
Câu 1. (3,0 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a.
b.

.

c.
Câu 2. (2,5 điểm)

.

Cho hai hàm số

và

với

là tham số.

a. Vẽ đồ thị hàm số
trên hệ trục tọa độ
.
b. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn có hai giao điểm.
c. Gọi
là tung độ giao điểm của hai đồ thị. Tìm
Câu 3. (1,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai

(

a. Giải phương trình khi

để

.

là tham số).

.

b. Tìm
để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho tam giác
thẳng qua

vuông góc với

nội tiếp trong đường tròn
cắt

tại

a. Chứng minh rằng tứ giác
b. Tiếp tuyến tại điểm

c. Chứng minh rằng
Câu 5. (1,0 điểm)

, đường

.
nội tiếp.

với đường tròn

. Tính độ dài đoạn

tâm O đường kính

và số đo góc
.

cắt đường thẳng
.

tại điểm

, sao cho

Cây bạch đàn mỗi năm cao thêm 1m, cây phượng mỗi năm cao
thêm 50cm. Lúc mới vào trường học, cây bạch  đàn cao 1m và cây
phượng cao 3m. Giả sử rằng tốc độ tăng trưởng chiều cao của hai loại
cây không đổi qua các  năm. 
a. Viết hàm số biểu diễn chiều cao mỗi loại cây theo  
số năm tính từ lúc mới vào trường. 
b. Sau bao nhiêu năm so với lúc mới vào trường thì cây bạch
đàn sẽ cao hơn cây phượng? 

----------Hết----------ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT – AN GIANG.
Câu

Lược giải

Điểm

0,5

Câu 1a
(1,0 đ)

Vậy nghiệm của phương trình là

0,5

Vậy nghiệm của phương trình là
Giải phương trình
Đặt

Câu 1b
(1,0 đ)

phương trình trở thành

Phương trình có nghiệm kép
Với

0,5

0,5

Vậy phương trình có hai nghiệm
0,5
Câu 1c
(1,0 đ)

0,5

Vậy hệ có nghiệm

Câu 2a
(1,0 đ)

Bảng giá trị
x
4

1

0

1

2

0

1

4

1,0

Vẽ đồ thị như hình bên
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
Câu 2b
(0,75
đ)

0,75
Ta có
Do
với mọi
, nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm, hay đồ thị hai
hàm số luôn có hai giao điểm.
Gọi

là hai nghiệm của phương trình (∗) ta được 

Và

và

Câu2c 
(0,75đ)

0,75 
(Hoặc

Vậy
Câu3a 
(0,5đ)

)

thỏa đề bài
0,5

Với

phương trình trở thành

do
Câu
3b 
(0,5đ
)
Câu4a 
(1,0đ)

nên phương trình có hai nghiệm

Để phương trình

.

có hai nghiệm trái dấu thì

1,0

Ta có
(góc nội
tiếp chắn nửa đường  tròn)
(giả thiết)
tứ giác nội  tiếp

0,5

Vậy

(hình vẽ cho câu a, 0,25đ)

Câu4b 
(1,0đ)

Tam giác

vuông tại

, áp dụng định lý Pitago ta có

0,5

0,5
Mặt khác 
hay
Câu4c 
(0,5đ)

Xét hai tam giác
có 
Góc chung 

và
0,5

(cùng chắn cung) 
Vậy hai tam giác
và
đồng dạng, khi đó
 
và
Nhân hai biểu thức ta được

Câu5a 
(0,5đ)

Gọi

là số năm kể từ khi vào trường (

). 

Chiều cao của cây bạch đàn theo số năm là

 

0,5

Chiều cao của cây phượng theo số năm là
Câu5b 
(0,5đ)

Cây Bạch đàn cao hơn cây phượng khi 
0,5 
 
Vậy sau 4 năm thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng.

Lưu ý: - Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. 
- Điểm tổng toàn bài giữ nguyên không làm tròn.

ĐỀ TOÁN BÀ RỊA VŨNG TÀU 2023-2024

Câu 1 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình

c) Rút gọn biểu thức
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho Parabol

và đường thẳng

a) Vẽ parabol

(với

là tham số).

.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số

để

cắt

tại hai điểm phân biệt có hoành độ

thỏa mãn
Câu 3 (1,5 điểm)
a) Ông A có một mảnh đất hình chữ nhật , chiều dài hơn chiều rộng
. Ông A quyết định bán đi
một phần của mảnh đất đó. Mảnh đất cón lại sau khi bán vẫn là hình chữ nhật, nhưng so với lúc
đầu thì chiều rộng đã giảm
, chiều dài không đổi và diện tích là
chiều rộng của mảnh đất lúc đầu.

. Tính chiều dài và

b) Giải phương trình
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác
cắt nhau tại .

có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn

a) Chứng minh tứ giác
b) Đường thẳng
giữa

và

nội tiếp.

cắt tiếp tuyến tại
). So sánh

c) Kẻ đường kính
d) Giả sử

. Các đường cao

với

của đường tròn
gọi

của đường tròn

tại

và chứng minh
cắt

tại

và cắt

tại

nằm

.

. Chứng

lần lượt là giao điểm của hai tia

(

.
với

. Chứng minh rằng

.
Câu 5 (0,5 điểm)
Cho các số thực dương

thảo mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

HƯỚNG DẪN ĐỀ THI TUYỂN SINH 10 TOÁN BÀ RỊA VŨNG TÀU 2023 – 2024
Câu 1 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình

c) Rút gọn biểu thức
Lời giải:
a) Ta có

Vậy phương trình có hai nghiệm
Cách 2: Ta có

và

.

nên phương trình có một nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm

và

và nghiệm

.

.

b) Ta có

Vậy hệ có nghiệm

.

c) Ta có
Vậy
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho Parabol

và đường thẳng

a) Vẽ parabol

(với

là tham số).

.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số

để

cắt

tại hai điểm phân biệt có hoành độ

thỏa mãn
Lời giải:
a) Ta có bảng giá trị sau
x
y

-2
-4

-1
-1

0
0

1
-1

2
-4

Do đó

đi qua các điểm

và

Parabol có bề lõm quay xuống dưới, nhận trục
Vẽ

b) Phương trình hoành độ giao điểm của
Parabol và

và

làm trục đối xứng.

là

, biệt thức

cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

Lúc này các hoành độ giao điểm là

.
.

theo định lý Vi-et ta có

Yêu cầu bài toán
Đối chiếu điều kiện chọn

.

Câu 3 (1,5 điểm)
a) Ông A có một mảnh đất hình chữ nhật , chiều dài hơn chiều rộng
. Ông A quyết định bán đi
một phần của mảnh đất đó. Mảnh đất cón lại sau khi bán vẫn là hình chữ nhật, nhưng so với lúc
đầu thì chiều rộng đã giảm
, chiều dài không đổi và diện tích là
chiều rộng của mảnh đất lúc đầu.

. Tính chiều dài và

b) Giải phương trình
Lời giải:
a) Gọi

là chiều dài và chiều rộng của mảnh đất lúc đầu (

.

Ta có hệ phương trình
Ta có phương trình

, chọn

.
Vậy chiều dài và chiều rộng lúc đầu của mảnh đất là
b) Ta biến đổi

và

.

suy ra

Đặt

,

Với

ta suy ra phương trình

chọn

ta có

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

và

.

Câu 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác
cắt nhau tại .

có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn

a) Chứng minh tứ giác
b) Đường thẳng
giữa

và

nội tiếp.

cắt tiếp tuyến tại
). So sánh

c) Kẻ đường kính
d) Giả sử

. Các đường cao

với

của đường tròn
gọi

của đường tròn

tại

và chứng minh
cắt

tại

Lời giải:

tại

(

nằm

.

. Chứng

lần lượt là giao điểm của hai tia

.

và cắt

.
với

. Chứng minh rằng

a) Xét tứ giác
một đường tròn.

ta có

suy ra

do vậy tứ giác

nội tiếp trong

b) Ta có
Do

là tiếp tuyến nên

Từ hai lập luận trên ta có
Xét hai tam giác

. Vậy
và

ta có

.
và góc

là hai tam giác đồng dạng, do vậy

chung do đó

hay

và

.

c) Theo hình vẽ ta có
(cùng chắn cung

đường tròn

( Hai góc đối đỉnh)
=

(cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc).

Ta lại có

, mà

hay
d) Ta có

suy ra
do vậy

là giao điểm của

là đường trung trực của

ta có

Tương tự

(vì cùng vuông góc với

Xét

(vì cùng vuông góc với

)

là trung điểm của

cùng nằm trên đường tròn đường kính

đồng dạng (g-g-g) theo tỷ số
Hai

và

.

)

là hình bình hành, suy ra

điểm

do vậy

và

Xét tứ giác
Do đo tứ giác

từ đây suy ra

.

, ta có hai tam giác

và

.

có đường cao lần lượt là

và

(cùng ứng với cạnh đáy

) do đó

.
Gọi

là trọng tâm của tam giác

ta có tỷ số

, qua

kẻ đường thẳng song song với

.

Ta có

(1)

Tiếp theo ta sẽ chứng minh
Vì

và

đồng dạng nên

với giả thiết

và

.

cắt

tại

Trong tam giác

ta có

(2)

Mặt khác trong tam giác nhọn
tầm lớp 9!)

thì ta có

Lại từ giả thiết

suy ra

(vượt
, từ đây ta lại có

do đó
hay

(3)

Từ

ta có được

và

(đpcm).

Câu 5 (0,5 điểm)
Cho các số thực dương

thảo mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Lời giải:
Ta có

do đó

Ta có
Do

nên

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy

.

khi

.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho

số dương tổng quát ta có

suy ra
Do đó

hay

hay

Dấu bằng xảy ra ở các BĐT trên là

Vậy

và

khi

và

.

.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

BẮC GIANG

NĂM HỌC 2023 - 2024

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 02 trang)

MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 04/6/2023
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Mã đề 101
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)
Câu 1: Đường thẳng
A.

.

và parabol
B.

.

.

có hai nghiệm
B.

Câu 3: Cho

vuông tại

A.

A.

vuông tại

.

vuông tại

A.

, có

.

.

là
D.

C.
có

và
.

.

. Độ dài cạnh

,

bằng
D.

.

. Độ dài đường cao kẻ từ
C.

có tâm
. Biết

bằng

D.

C.

, có

B.

.

. Chu vi đường tròn ngoại tiếp

B.

Câu 6: Cho đường tròn
gọi là trung điểm của

D.

. Giá trị của biểu thức
C.

B.

Câu 5: Cho

A.

.

B.

Câu 4: Cho

có số điểm chung là
C. .

Câu 2: Phương trình
A.

:

của

là

D.

và bán kính
,
là một dây cung của đường tròn
, độ dài đoạn thẳng
bằng

.

C.

.

D.

.

Câu 7: Một người thợ điện cần căng dây điện qua khu vực có một cây cau thẳng
đứng. Để đảm bảo dây điện không vướng vào cây, người đó sử dụng thước ngắm có
góc vuông đo chiều cao của cây như hình bên. Biết khoảng cách từ vị trí gốc cây đến
vị trí chân của người thợ là

và từ vị trí chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt

của người ngắm là
. Với các kích thước trên, người thợ đo được khoảng cách từ
điểm cao nhất của cây đến mặt đất theo phương vuông góc là (làm tròn đến chữ số
hàng đơn vị)
A.

.

B.

.

C.

Câu 8: Giá trị của biểu thức
A.

.

A.

.

C.

, kết quả rút gọn của biểu thức
.

B.

.

Câu 11: Hàm số

B.

.

D.

.

.

nghịch biến khi

.

là

.

Câu 10: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên
A.

D.

là

B.

Câu 9: Với

.

C.

.

D.

C.

.

D.

.

?
.

,

A.

.

B.

Câu 12: Điều kiện của
A.

.

C.

để biểu thức

.

B.

Câu 13: Cho
A.

C.

, giá trị của

B.

.

.

Câu 15: Hệ phương trình

A.

.

A.

A.

.

và điểm
bằng
.

D.

.
kẻ cát tuyến

.

đi qua điểm

nghịch biến trên
B.

.

C.

(

và

.

khi tham số

nhận giá trị

D.

nào dưới đây là nghiệm của phương trình
C.

bằng

với
D.

C.

.

.

D.
. Từ

C.

, đường thẳng

B.

.

.

thỏa mãn

Câu 19: Hàm số
A.

.

. Giá trị của biểu thức
C.

B.

Câu 18: Cặp số

.

D.

có nghiệm là

B.

Câu 17: Trong hệ tọa độ
là

D.

là

C.

B.

Câu 16: Cho đường tròn
là các giao điểm). Tích

.

vô số nghiệm khi
B.

A.

.

C.

Câu 14: Hệ phương trình
A.

D.

có nghĩa là

.

không âm và

.

?

.

D.

.

với giá trị của m thỏa mãn
.

D.

.

Câu 20: Giá tiền điện hàng tháng ở nhà Việt được tính theo 4 mức như sau: mức 1: tính cho 100KW đầu
tiên; mức 2: tính cho số KW điện từ 101KW đến 150KW, mỗi KW ở mức 2 đắt hơn 200 đồng so với mức
1; mức 3: tính cho số KW điện từ 151KW đến 200KW, mỗi KW ở mức 3 đắt hơn 200 đồng so với mức 2;
mức 4: từ KW thứ 201 tính chung 1 giá, mỗi KW ở mức 4 đắt hơn so với mức 3 là 100 đồng. Ngoài ra,
người sử dụng còn phải trả thêm 10% thuế giá trị gia tăng. Biết tháng vừa rồi nhà Việt dùng hết 205KW
điện và phải trả
đồng. Số tiền nhà Việt phải trả cho mỗi KW điện ở mức 1 là (kết quả làm tròn đến
chữ số hàng đơn vị)
A.

đồng.

B.

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm)

đồng.

C.

đồng.

D.

đồng.

Câu 1 (2,5 điểm).

a) Giải hệ phương trình

.

b) Rút gọn biểu thức

với

c) Biết đường thẳng
Tìm các hệ số và

đi qua điểm

.

và song song với đường thẳng

.

?

Câu 2 (1,0 điểm). Cho phương trình
a) Giải phương trình

và

khi

, với

là tham số.

.

b) Tìm
để phương trình
có hai nghiệm phân biệt ,
thỏa mãn
.
Câu 3 (1,0 điểm). Trong dịp Tết trồng cây đầu năm, ban tổ chức dự kiến trồng
cây xanh. Tuy nhiên,
đến ngày tổ chức có người không thể tham gia trồng cây nên mỗi người còn lại phải trồng thêm cây
để hoàn thành công việc. Biết số cây mỗi người trồng được chia đều bằng nhau. Hỏi lúc đầu ban tổ chức
dự kiến có bao nhiêu người tham gia trồng cây?
Câu 4 (2,0 điểm). Cho
cắt nhau tại .
a) Chứng minh tứ giác
b) Kéo dài
. Gọi
c) Kẻ

có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn

của

nội tiếp một đường tròn.

cắt đường tròn
là giao điểm của
vuông góc với

điểm

. Các đường cao

tại điểm thứ hai
và
tại

. Kéo dài

cắt đường tròn

. Chứng minh
.
. Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp

tại điểm thứ hai
. Chứng minh ba

thẳng hàng.

Câu 5 (0,5 điểm). Cho các số thực dương
biểu thức

thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá trị lớn nhất của

.
-------------------------------Hết-------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh: ...........................................................
Cán bộ coi thi 1 (Họ tên và ký): ..........................................................................................................
Cán bộ coi thi 2 (Họ tên và ký): ......................................................................................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ
ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

HDC ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NGÀY THI: 04/06/2023
MÔN THI: TOÁN - PHẦN TỰ LUẬN
(Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

TOAN

101

1 D

11

B

TOAN

101

2 C

12

B

TOAN

101

3 A

13

A

TOAN

101

4 D

14

C

TOAN

101

5 A

15

C

TOAN

101

6 C

16

D

TOAN

101

7 B

17

B

TOAN

101

8 A

18

C

TOAN

101

9 D

19

B

TOAN

101

10 A

20

D

Câu

Hướng dẫn, tóm tắt lời giải

Điểm

Câu
1

2,5 điểm

1,0 điểm

a) Giải hệ phương trình

0,25
0,25

a)

0,25

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

0,25

.

b)

1,0 điểm
b) Rút gọn biểu thức
và

.

với

0,25

0,25

0,25

0,25
Vậy với

và

thì

c) Biết đường thẳng

đi qua điểm

đường thẳng
c)

. Tìm các hệ số

Đường thẳng

và song song với
và

?

song song với đường thẳng

nên ta

có
Đường thẳng

đi qua điểm

0,5 điểm

0,25

nên ta có

(thỏa mãn điều kiện

)

0,25

KL: Vậy
Câu
2

Cho phương trình
c) Giải phương trình
d) Tìm
mãn

a)

, với
khi

để phương trình

.
có hai nghiệm phân biệt

,

thỏa

khi

0,5 điểm

.

0,25

ta có phương trình

0,25

Giải phương trình được nghiệm
b)

b) Tìm

1,0điểm

.

a) Giải phương trình
Với

là tham số.

để phương trình

có hai nghiệm phân biệt

,

thỏa

0,5 điểm

mãn

.

Ta có
0,25
Do đó phương trình
Phương trình

có 2 nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt

,

thỏa mãn
0,25

nên ta có
nghiệm)
KL:

,(

vô

Trong dịp Tết trồng cây đầu năm, ban tổ chức dự kiến trồng
Câu
3

xanh. Tuy nhiên, đến ngày tổ chức có

cây

người không thể tham gia trồng

cây nên mỗi người còn lại phải trồng thêm

cây để hoàn thành công

(1,0 điểm)

việc. Biết số cây mỗi người trồng được chia đều bằng nhau. Hỏi lúc đầu
ban tổ chức dự kiến có bao nhiêu người tham gia trồng cây?
Gọi số người dự kiến tham gia trồng cây ban đầu của ban tổ chức là

(người)
0,25

.

Theo dự định, mỗi người phải trồng số cây là
Sau khi giảm đi

(cây).

người thì mỗi người phải trồng số cây là

0,25
(cây).
0,25

Theo bài ra, ta có phương trình:
Biến đổi được về phương trình

Giải phương trình ta được
Đối chiếu điều kiện của

0,25
, ta được

.

KL:
Câu
4

Cho

có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn

. Các đường cao

(2,0 điểm)

của tam giác cắt nhau tại .
1) Chứng minh tứ giác
nội tiếp một đường tròn.
2) Kéo dài

cắt đường tròn

đường tròn

tại điểm thứ hai

Chứng minh
3) Kẻ

tại điểm thứ hai
. Gọi

. Kéo dài

là giao điểm của

cắt
và

.

.

vuông góc với

tiếp tam giác

tại

. Gọi

là tâm đường tròn ngoại

. Chứng minh ba điểm

thẳng hàng.

Chỉ ra được

0,25

(1,0 Chỉ ra được
điểm)
Suy ra tứ giác
vị trí đối diện nhau

0,25

a)

Kết luận tứ giác

có

và

,

là hai góc ở

nội tiếp được trong một đường tròn.

0,25
0,25

b)
(0,5
điểm)

Ta có

(cùng bằng

Chỉ ra tứ giác

)

nội tiếp (Tổng hai góc đối bằng

)

0,25

.
Suy ra
Chỉ ra hai tam giác

và

đồng dạng theo trường hợp góc – góc

0,25

(đpcm)
Chỉ ra
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
tròn ngoại tiếp tứ giác
.

cũng là tâm đường

Chỉ ra

.

là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Mà hai tứ giác

và

0,25

có hai điểm chung là

nên

đi qua

trung điểm của
Gọi

là hình chiếu của

trên

. Xét

vuông tại

, có

là đường

cao nên

c)
(0,5
điểm)

Theo b) ta có

nên

Suy ra hai tam giác

đồng dạng (chung góc

. Mà

và tỉ số bằng nhau)

(góc nội tiếp cùng chắn cung

)
0,25

Do tứ giác

nội tiếp nên

(Cùng bù với góc

)

Suy ra
Chỉ ra

(Tương ứng phụ với hai góc bằng nhau

Do đó
Từ

hay
và

)

là trung điểm của

suy ra ba điểm

Câu
5

thẳng hàng.
(0,5 điểm)

(0,5 Với điều kiện
điểm)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có

ta có

0,25
Tương tự ta có

0,25
Suy ra

Dấu bằng xảy ra khi

.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức

bằng

khi

.

Tổng

7,0 điểm

Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp lôgic. Nếu học
sinh trình bày cách làm đúng khác thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
- Với Câu 1 ý a nếu học sinh dùng MTCT bấm và cho được kết quả đúng thì cho 0,5 điểm
- Với Câu 4, nếu học sinh không vẽ hình tương ứng yêu cầu từng câu thì không chấm điểm câu đó.
- Điểm toàn bài không được làm tròn.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

BẮC NINH

NĂM HỌC 2023-2024

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: Toán

(Đề thi có 04 trang)

Thời gian làm bài: 50 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ và tên thí sinh: …………………………………..…. Số báo danh: ……………………
PHẦN TRẮC NGHIỆM (4,0 điểm)
(gồm có 32 câu)
Câu 1.

Trong hình vẽ dưới đây cho

Số đo
A.

;

là tiếp tuyến của

tại

.

bằng
.

B.

.

C.

.

D.

.

Mã đề 135

Câu 2.

Hệ phương trình
A.

Câu 3.

.
vuông tại

B.

Căn bậc hai số học của
;

.

C.

vuông tại

,

.

,

B.

.

B.

B.

Hàm số

(với
.

B.
vuông tại

A.

.

vuông tại
.

.

D.

.

?

.

.

. Độ dài cạnh

bằng

C.

.

D.

.

C.

.

D.

.

C.

.

D.

là tham số) đồng biến trên
.

, đường cao

C.

.

D.

.

. Hệ thức nào sau đây sai?
.

D.

.

, đường cao

,

. Độ dài cạnh

B.

C.

.

.

khi và chỉ khi

B.

.

Câu 11. Cho
A.

.

.

C.

.

bằng

.

Câu 10. Cho

D.

có điều kiện xác định là

.

A.

.

D.

Kết quả của phép tính
A.

.

B.

.

A.

Câu 9.

.

.

Biểu thức

D.
bằng

C.

Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số

A.

Câu 8.

. Số đo của

.

B.

Cho

.

là

C.

Câu 7.

C.

,

A.

Câu 6.

.

,

.

A.
Câu 5.

B.

Cho
A.

Câu 4.

có nghiệm là

.

D.

bằng
.

Câu 12. Khi
A.

biểu thức
.

có giá trị bằng
B.

.

C.

.

Câu 13. Hộp sữa có dạng hình trụ với đường kính đáy là
tích của hộp sữa bằng
A.

.

B.

Câu 14. Hệ phương trình
A.

.

(với

.

B.

D.

, chiều cao của hộp sữa là
C.

.

C.

A.

.

B.

.

A.

.

B.

D.

khi
.

?
C.

Câu 16. Hệ số góc của đường thẳng

.

thỏa mãn

.

Câu 15. Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình

. Thể

D.

là tham số) có nghiệm
.

.

.

D.

.

là
.

C.

.

D.

.

Câu 17. Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?
A.

.

Câu 18. Biết parabol
(
A.

B.

.

cắt đường thẳng

.

B.

A.

Câu 20. Cho
cho

D.

.

.

.

C. 1 .
và

.

B.

vuông tại

, đường cao

B.

.

(với

B.

,

bằng

.

D.

.

là
C.

.

. Cho biết

D.

và

.

. Độ dài đường

bằng

Câu 21. Cho hàm số

A.

.

tại hai điểm phân biệt có hoành độ là

). Giá trị của biểu thức

Câu 19. Giao điểm của đồ thị hai hàm số

A.

C.

.

C.

là tham số). Điểm

.

C.

.

D.

.

thuộc đồ thị hàm số khi

.

D.

.

Câu 22. Đường thẳng nào dưới đây song song với đường thẳng
A.

.

Câu 23. Biết
A.

B.

.

?

C.

.

là nghiệm của hệ phương trình
.

B.

Câu 24. Thể tích

.

.

(với

.

B.

Câu 26. Biểu thức

bằng

A.

.

B.

Câu 27. Đường thẳng
A.

D.

C.

.

.

C.

.

C.

.

(với

phương trình đã cho có nghiệm

.

B.

.

D.

.

,

.

.

D.

và

D.

.

là tham số). Với giá trị nào của

.

(với

C.

.

A.

C.

B.

Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ
,

.

.

, đồ thị hàm số

để diện tích
C.

.

,

thì hệ

.

để hệ

là
D.

(với

. Có bao nhiêu giá trị của
B. .

D.

là tham số). Số các giá trị nguyên của
thỏa mãn

.

,

?

phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

.

D.

.

C.

.

Câu 29. Cho hệ phương trình

A.

là

là tham số) vô nghiệm khi

B.

Câu 28. Cho hệ phương trình

lần lượt tại

.

đi qua điểm nào sau đây?

.

A.

.

bằng

và chiều cao

.

Câu 25. Hệ phương trình
A.

C.

B.

.

. Giá trị của biểu thức

của một hình nón có diện tích đáy

A.

D.

.

là tham số) cắt các trục
bằng
D.

?
.

,

Câu 31. Cho ba đường thẳng đôi một phân biệt
(với
A.

là tham số). Giá trị của
.

Câu 32. Hệ phương trình
A. .

;

;

để ba đường thẳng nói trên cùng đi qua một điểm là

B.

.

B.

có nghiệm
thì
C.
.
--------------Hết--------------

.

C.

.

D.

bằng
D.

.

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
BẢNG ĐÁP ÁN
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án

1
B
11
D
21
A
31
C

2
D
12
D
22
B
32
A

3
D
13
A
23
A

4
B
14
B
24
B

5
A
15
C
25
B

6
D
16
C
26
A

7
D
17
C
27
D

8
A
18
A
28
D

9
B
19
C
29
C

10
A
20
D
30
C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Trong hình vẽ dưới đây cho

Số đo

;

là tiếp tuyến của

tại

.

bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Ta có:

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn

Câu 2.

Hệ phương trình
A.

.

.

có nghiệm là
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D

Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Câu 3.

Cho

vuông tại

A.

.

,

.

,

B.

. Số đo của

.

bằng

C.
Lời giải

.

D.

.

D.

.

Chọn D

vuông tại
Câu 4.

. Ta có:

Căn bậc hai số học của
A.

;

.

là

.

B.

.

C.
Lời giải

.

Chọn B
Căn bậc hai số học của
Câu 5.

là

.

Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số

A.

?

.

C.

B.

.

.

D.
Lời giải

.

Chọn A
Hàm số
Với

là một parabol có bề lõm quay lên phía trên vì
thì

nên đồ thị hàm số đi qua

Vậy đồ thị hàm số là parabol có bề lõm quay lên phía trên và đi qua
Câu 6.

Cho

vuông tại

,

,

. Độ dài cạnh

bằng

.

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

D.

.

Chọn D

vuông tại

. Ta có:

.
Câu 7.

Biểu thức
A.

có điều kiện xác định là

.

B.

.

C.
Lời giải

.

Chọn D
Ta có:

xác định

Vậy biểu thức
Câu 8.

có điều kiện xác định là

Kết quả của phép tính
A.

.

bằng

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn A
Ta có:
Câu 9.

.

Hàm số
A.

(với
.

B.

là tham số) đồng biến trên
.

C.
Lời giải

khi và chỉ khi

.

D.

Chọn B
Hàm số
Câu 10. Cho

đồng biến trên
vuông tại

A.
C.
Chọn A

, đường cao
.

.

.
. Hệ thức nào sau đây sai?
B.
D.
Lời giải

.
.

.

Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với chiều cao tương
ứng:

Vậy hệ thức sai là

Câu 11. Cho

vuông tại

A.

.

, đường cao
B.

.
,

.

. Độ dài cạnh

C.
Lời giải

.

bằng

D.

.

Chọn D

vuông tại

, đường cao

. Ta có:

.
Câu 12. Khi
A.

biểu thức
.

có giá trị bằng
B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn D

Thay

vào biểu thức

Vậy khi

thì biểu thức

ta được:
có giá trị bằng

.

Câu 13. Hộp sữa có dạng hình trụ với đường kính đáy là
tích của hộp sữa bằng
A.

.

B.

.

, chiều cao của hộp sữa là

C.
Lời giải

.

Chọn A
Bán kính đáy là
Diện tích hình tròn đáy là
Thể tích của hộp sữa là

.

D.

. Thể
.

Câu 14. Hệ phương trình
A.

.

(với
B.

là tham số) có nghiệm
.

C.
Lời giải

thỏa mãn

.

D.

khi
.

Chọn B
Thay

vào hệ phương trình đã cho, ta được:

Vậy khi

thì hệ phương trình đã cho có nghiệm

thỏa mãn

Câu 15. Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

.

?

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C
Khi

thì

nên

không là nghiệm của phương trình.

Khi
thì
phương trình.
Khi
trình.

nên

thì

nên

Khi
thì
phương trình.

.

là nghiệm của phương

nên

Câu 16. Hệ số góc của đường thẳng

A.

không là nghiệm của

B.

là

.

C.

.

Lời giải
Chọn C
Đường thẳng

với

không là nghiệm của

thì

được gọi là hệ số góc.

D.

.

Vậy hệ số góc của đường thẳng

là

.

Câu 17. Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn

trình bậc nhất hai ẩn

Vậy hệ

A.

. Khi đó, ta có hệ hai phương

.

là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Câu 18. Biết parabol
(

và

cắt đường thẳng

tại hai điểm phân biệt có hoành độ là

). Giá trị của biểu thức
.

B.

bằng

.

C. 1 .

D.

.

Lời giải
Chọn A
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
Vì
Do

nên phương trình có nghiệm
nên

;

. Vậy

.

Câu 19. Giao điểm của đồ thị hai hàm số
A.

.

;

B.

và
.

là
C.

.

Lời giải
Chọn C
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

D.

.

,

Vậy giao điểm của đồ thị hai hàm số là
Câu 20. Cho
cho

vuông tại
bằng

A.

.

, đường cao
B.

.

.
. Cho biết

và

C.
Lời giải

. Độ dài đường

.

D.

.

Chọn D

Do
vuông tại

nên

vuông tại

nên

Câu 21. Cho hàm số
A.

.

(với

.

là tham số). Điểm

B.

.

C.
Lời giải

thuộc đồ thị hàm số khi
.

D.

.

Chọn A
Điểm

thuộc đồ thị hàm số

Vậy khi

thì đồ thị hàm số

đi qua điểm

.

Câu 22. Đường thẳng nào dưới đây song song với đường thẳng
A.

.

B.

.
C.
Lời giải

?
.

D.

.

Chọn B
Đường thẳng

Đường thẳng

(

) và

Do đó, đường thẳng song song với đường thẳng

(

) song song với nhau
là đường thẳng

.

Câu 23. Biết
A.

là nghiệm của hệ phương trình
.

B.

.

. Giá trị của biểu thức
C.

.

D.

bằng

.

Lời giải
Chọn A

Hệ phương trình

. Tức là

Vậy

.

Câu 24. Thể tích

của một hình nón có diện tích đáy

A.

.

B.

.

và chiều cao

C.
Lời giải

.

là
D.

.

Chọn B
Thể tích của hình nón là

.

Câu 25. Hệ phương trình
A.

.

(với
B.

là tham số) vô nghiệm khi

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn B

Hệ phương trình vô nghiệm
Vậy khi
thì hệ phương trình vô nghiệm.
Câu 26. Biểu thức
A.

bằng
.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

và

D.

.

Chọn A
Ta có:

.

Câu 27. Đường thẳng
A.

đi qua điểm nào sau đây?

.

B.

Chọn D
Khi
và

thì
.

.

C.
Lời giải

.

nên đồ thị hàm số không đi qua các điểm

.

Khi

thì

nên đồ thị hàm số đi qua

Câu 28. Cho hệ phương trình

(với

phương trình đã cho có nghiệm

A.

.

B.

,

và không đi qua

là tham số). Với giá trị nào của

,

.
thì hệ

?

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D
Hệ phương trình đã cho có nghiệm

Vậy khi

thì hệ phương trình đã cho có nghiệm

Câu 29. Cho hệ phương trình

(với

là tham số). Số các giá trị nguyên của

phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

thỏa mãn

A.

C.

.

B.

.

.

.

,

là
D.

.

Lời giải
Chọn C

Hệ phương trình
Phương trình
Vì
Khi đó:

Do đó:

với mọi

nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi

để hệ

Mà

nguyên nên

Vậy số các giá trị nguyên của
Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ
lần lượt tại
A.

,

là

.

, đồ thị hàm số

(với

. Có bao nhiêu giá trị của

.

B. .

là tham số) cắt các trục

để diện tích
C.

bằng

.

D.

?
.

Lời giải
Chọn C

Với

thì

Với

thì

vuông tại

(do

) nên

nên

nên diện tích

là

Do đó, diện tích

bằng

Vậy có

để diện tích

giá trị của

(thỏa mãn)
bằng

.

Câu 31. Cho ba đường thẳng đôi một phân biệt
(với
A.

là tham số). Giá trị của
.

B.

.

;

;

để ba đường thẳng nói trên cùng đi qua một điểm là
C.
Lời giải

.

Chọn C

Tọa độ giao điểm của

và

là nghiệm của hệ phương trình

Ba đường thẳng cùng đi qua một điểm khi và chỉ khi

đi qua

D.

.

,

Vì
Với

nên phương trình có nghiệm
thì

:

trùng

Với

thì

Vậy

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 32. Hệ phương trình
A. .

;

:

khác

B.

.

có nghiệm
C.
Lời giải

loại
và

khác

thì
.

Chọn A

Hệ phương trình xác định

Khi đó, hệ phương trình đã cho

(thỏa mãn điều kiện xác định)

Tức là

. Vậy

.
--------------Hết------------

thỏa mãn

bằng
D.

.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

BẮC NINH

NĂM HỌC 2023-2024

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: Toán

(Đề thi có 01 trang)

Thời gian làm bài: 70 phút (không kể thời gian giao đề)

PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm)
Câu 1.

(1,0 điểm)
Rút gọn biểu thức

Câu 2.

với

.

(1,5 điểm)
Cho phương trình

(

1) Giải phương trình
2) Tìm giá trị của

Câu 3.

;

khi

là tham số).

.

để phương trình

có hai nghiệm đối nhau.

(1,0 điểm)
Một phòng họp có

ghế ngồi được xếp thành các hàng, mỗi hàng có số ghế bằng nhau.

Trong một buổi họp có
người đến dự họp, do đó ban tổ chức đã kê thêm hàng ghế và
mỗi hàng ghế phải xếp nhiều hơn quy định ghế mới đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có
bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế?

Câu 4.

(2,0 điểm)
Cho đường tròn tâm
và
với

) và lấy điểm
(

. Trên đường tròn đã cho lấy điểm

thay đổi trên cung nhỏ
). Hai đường thẳng

(

và

1) Chứng minh rằng tứ giác

là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh rằng

.

3) Lấy điểm
ngoại tiếp

Câu 5.

thuộc

đường kính

(0,5 điểm)

trên đoạn thẳng

sao cho

khác

và

cắt nhau tại

). Kẻ

cố định (

khác

vuông góc

.

. Chứng minh rằng tâm đường tròn

luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi

thay đổi trên cung nhỏ

.

Cho các số thực không âm
Chứng minh rằng

,

,

thỏa mãn điều kiện
.
======Hết======

Họ và tên thí sinh: ………………………………………………….Số báo danh:
………………..

.

HƯỚNG DẪN CHẤM (tham khảo)
Câu
1.

Đáp án
Với

;

Điểm
1,0

. Ta có:
0,25

0,25
0,25
Vậy với

;

thì

0,25

.

2.a

0,75
Thay
Vì

vào phương trình

ta được phương trình:

nên phương trình có nghiệm

;

0,25
0,25

Câu

Đáp án
Vậy khi

thì phương trình có nghiệm

Điểm
;

0,25

.

2.b

0,75
Ta có:
Phương trình có hai nghiệm

nghiệm đúng với mọi

Phương trình luôn có hai nghiệm

;

0,25

với mọi
0,25

Theo định lí Vi-et, ta có:
Hai nghiệm

,

đối nhau

Vậy khi

thì phương trình

0,25
có hai nghiệm đối nhau.

3.

1,0
Gọi số hàng ghế lúc đầu trong phòng họp là

(

nguyên dương)

0,25

Số ghế trong một hàng lúc đầu là
0,25

Số hàng ghế trong phòng họp khi họp là
Số ghế trong một hàng khi họp là
Theo đề bài, ta có phương trình

0,25

Biến đổi phương trình ta được:
Giải phương trình, ta được:
Vậy lúc đầu phòng họp có

(thỏa mãn);
hàng ghế và mỗi hàng có

(loại)
ghế.

4.a

0,25
1,0

Học sinh vẽ đúng hình để làm được ý a)

Vì

nên

0,25

0,25

Câu

Đáp án

Điểm

là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên
0,25

Ta có:
Vậy tứ giác

0,25

nội tiếp.

4.b

0,5

Ta có:
vuông tại

0,25

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Từ

;

và

Xét

và

có:

chung;
0,25

(g-g)
4.c

0,5

Do

, mà

Xét

nên

và

có:

0,25

chung;

(c-g-c)
là tiếp tuyến tại

của đường tròn ngoại tiếp

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp
Do ;
định

;

cố định nên

cố định và đường thẳng vuông góc với

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp
thay đổi trên cung nhỏ
5.

thuộc đường thẳng vuông góc với
tại

tại
cố
0,25

luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi

.
0,5

Câu

Đáp án
Từ

Điểm
0,25

hay
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

Do đó:
hay

Dấu
xảy ra khi
hoặc
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

0,25