Câu I. (1,5 điểm) Cho biểu thức

với

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm tất cả các giá trị của

để biểu thức

nhận giá trị nguyên.

Câu II. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ
và đường thẳng
các số hữu tỉ

cho parabol

có phương trình

để đường thẳng

(với

cắt parabol

có phương trình
là các tham số). Tìm

tại hai điểm phân biệt sao cho

hoành độ một điểm là
Câu III. (1,5 điểm)
1. Giải phương trình

2. Giải hệ phương trình
Câu IV. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên
phương và
là số nguyên tố.
Câu V. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn

sao cho

và

là các số chính

nội tiếp đường tròn

. Các đường cao

của tam giác
cắt nhau tại
1. Chứng minh
là tia phân giác của góc
2. Chứng minh
là giao điểm của tia
với đường tròn
. Gọi
3. Gọi
đường tròn ngoại tiếp tam giác
và tam giác
Chứng minh
. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác

lần lượt là tâm

để biểu thức

4
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VI. (1,0 điểm) Cho
trị lớn nhất của biểu thức

là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá

.

--- HẾT--Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi không có chức năng soạn thảo văn bản và không có thẻ nhớ.

Họ và tên thí sinh:.................................................Số báo danh:............................................
Cán bộ coi thi số 1..........................................Cán bộ coi thi số 2.........................................
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2024 - 2025
Môn: TOÁN (Đề chuyên)

2
ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2024 - 2025

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (ĐỀ DỰ BỊ CHUYÊN)
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
Lưu ý:
- Thí sinh có thể làm bài theo cách khác so với đáp án nhưng đảm bảo đúng kiến thức, vẫn cho
điểm tối đa.
- Không làm tròn điểm.
Nội dung
Điểm
Câu I (1,5 điểm)
Cho biểu thức
1.(1,0 điểm) Rút gọn biểu thức

với

0,25

0,25
0,25
0,25
2.(0,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của

để

nhận giá trị nguyên.
0,25

Theo BĐT Côsi, ta có
Để
thì
Câu II (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ
trình

(với

0,25

(thỏa mãn). Vậy
cho parabol

có phương trình

là các tham số). Tìm các số hữu tỉ

tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độ một điểm là

và đường thẳng
để đường thẳng

có phương

cắt parabol

.
0,25

=
Phương trình hoành độ giao điểm của

và

là:

(*)

0,25

3

Điều kiện để đường thẳng
(*)

có nghiệm

Vì

cắt parabol

tại hai điểm phân biệt:

nên
0,25

nên

Nếu

thì

(vô lí)

Suy ra
Câu III (1,5 điểm)

0,25

(thỏa mãn)

1. (0,75 điểm) Giải phương trình
Điều kiện:

.
0,25

Đặt
:
Phương trình đã cho trở thành

Với

0,25

ta được

Với

ta được

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

(thỏa mãn phương trình)
(vô nghiệm).

0,25

và

2. (0,75 điểm) Giải hệ phương trình
Điều kiện:
Từ

:

Từ

:

Thế

0,25

(1) vào (2) ta được:
0,25

4
0,25
(thỏa mãn). Vậy hệ phương trình có nghiệm
.
Câu III. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên
sao cho
và
là các số chính phương và
là số nguyên tố.
Vì
là số nguyên tố và
nên
0,25
Ta có
và
là các số chính phương nên
;
với
(3)
Ta

có

(4)

Vì

là số nguyên tố, mà

Thay

nên từ (4) ta có

0,25

0,25

vào (3) ta được
(loại)
thì

và

(thỏa mãn). Vậy

Câu IV. (4 điểm) Cho tam giác nhọn

của tam giác

là giá trị cần tìm.

nội tiếp đường tròn

0,25

. Các đường cao

cắt nhau tại
A

E
F
M

O

H
P
B

1. (1,0 điểm) Chứng minh

D

là tia phân giác của góc
nên

Tương tự,

C

Q

là tứ giác nội tiếp

0,25

là tứ giác nội tiếp

0,25

là tứ giác nội tiếp
Suy ra

nên

2. (1,0 điểm) Chứng minh

0,25

là tia phân giác của góc

.

0,25

.
0,25

Ta có:
0,25

5
0,25
0,25
3. (1,0 điểm) Gọi

là giao điểm của tia

tròn ngoại tiếp tam giác
Ta có :

với đường tròn

và tam giác

(do tứ giác

. Gọi

lần lượt là tâm đường

Chứng minh

nội tiếp)

(góc nội tiếp cùng chắn

của đường tròn

∽

0,25

)

của đường tròn

nên

là

0,25

tiếp tuyến của
Theo trên

, mà

của đường tròn

của đường tròn
Vì

và

nên

nên ba điểm

0,25

là tiếp tuyến của

thẳng hàng. Suy ra

4.(1,0 điểm) Tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác

đạt giá trị nhỏ nhất.

0,25

.

để biểu thức

A
x

E
F

N

O
H

Vẽ

. Gọi

C

D

B

là điểm đối xứng của

Vì

qua

0,25

. Ta luôn có
vuông tại

nên:

0,25

(5)
Tương tự:

và
0,25

Suy ra

hay

Đẳng thức (5) xảy ra khi
thẳng hàng
Vì vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ nhất khi
Câu V. (1,0 điểm) Cho

0,25

.
hay

là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện

là tam giác đều.
. Tìm giá trị lớn nhất của

6

biểu thức

.
0,25

, ta luôn có
0,25

, đẳng thức xảy ra khi
Suy ra
Ta sẽ chứng minh

0,25

Thật vậy,
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Mặt khác
Vậy

khi

nên (6) đúng, suy ra
.

---HẾT---

.

0,25