Mục Lục
Chủ đề 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Chủ đề 2. Phương trình bất phương trình
Chủ đề 3. Căn bậc hai, căn bậc ba
Chủ đề 4. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Chủ đề 5. Đường tròn
Chủ đề 6. Hàm số bậc hai y = ax2
Chủ đề 7. Xác suất - thống kê
Chủ đề 8. Góc nội tiếp
Chủ đề 9. Hình học không gian

Các chuyên đề có HD giải chi tiết
CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN
DẠNG 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm của phương trình bậc nhất hai
ẩn và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.
PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1. [NB] Phương trình bậc nhất hai ẩn là
A.
.
B.
.
Câu 2. [NB] Phương trình bậc nhất hai ẩn là

C.

.

D. Cả 3 đáp án trên.

A.
.
B.
.
C.
.
D.
Câu 3. [NB] Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Câu 4. [NB] Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

C.

.

B.

Câu 6. [TH] Phương trình
A. Phương trình vô nghiệm..
C. Phương trình có hai nghiệm.

.

C.

.

?

.

D.

Câu 5. [TH] Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình
A.

.
?

.

D. Cả 3 đáp án trên.

có bao nhiêu nghiệm?
B. Phương trình có một nghiệm.
D. Phương trình có vô số nghiệm.

Thầy cô cần File word đầy đủ HD giải thì LH với em qua zalo: 0985. 273. 504
Câu 7. [TH] Công thức nghiệm tổng quát của phương trình

.

là

A.

B.

C.

D.

Câu 8. [TH] Giá trị của

để phương trình

có nghiệm

A.

B.

C.

D.

Câu 9. [VD] Giá trị của

để phương trình

có nghiệm

A.

B.

C.

D.

Câu 10. [VD] Giá trị của

để phương trình
B.

C.

D.
để phương trình
B.

C.

D.

Câu 12. [VD] Tập nghiệm của phương trình
.

là

có nghiệm

A.

A.

là

có nghiệm

A.
Câu 11. [VD] Giá trị của

là

là

là
B.

.

C.
.
D.
.
2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai
Câu 1.
Phương trình nào là phương trình bậc nhất Khẳng định nào sau đây là đúng?
a)

.

b)
c)

.

d)
.
Câu 2. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn? Khẳng định nào sau đây là
đúng?
a)
b)
c)
d)
Câu 3.

Cho phương trình

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là
b) Phương trình luôn vô nghiệm.
c) Phương trình có vô số nghiệm.
d) Phương trình có cùng tập nghiệm với phương trình
Câu 4. Cho phương trình
a) Khi

có một nghiệm là

phương trình có một nghiệm

b) Khi

phương trình có một nghiệm

c) Khi

phương trình vô nghiệm.

d) Khi

phương trình có hai nghiệm.

Câu 5.
đây đúng?

.
. Khẳng định nào sau đây là đúng?

.
.

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình

. Khẳng định nào sau

a)
b)
c)
d)
Câu 6. Nghiệm nguyên của phương trình
a)

với (

. Khẳng định nào sau đây đúng?

).

b)
c)
d)
3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. [NB] Với giá trị nào của

thì phương trình sau vô nghiệm

Câu 2. [NB] Nghiệm tổng quát của phương trình

?

là gì?

Câu 3. [TH] Nghiệm của phương trình

là bao nhiêu?

Câu 4. [VD] Cho phương trình
nghiệm là bao nhiêu với mọi ?

(

là tham số). Hỏi phương trình luôn có

Câu 5. [VDC] Tìm nghiệm nguyên âm lớn nhất của phương trình
.
PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN (GV chép phần bài tập tự luyện trên file đáp án vào)
Phương pháp giải:
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

và

là hệ thức dạng:

Trong đó

và

2. Nếu tại

là các số đã biết (
và

hoặc

ta có

).

là một khẳng định đúng thì cặp số

gọi là một nghiệm của phương trình
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn .
3. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên, ta biểu diễn
theo ) rồi đưa ra kết luận về công thức nghiệm tổng quát.

được

theo

(hoặc

4. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng

có

phương trình
.
Ví dụ 1 [NB]: Trong các hệ thức sau, hệ thức nào là phương trình bậc nhất hai ẩn?

Lời giải
Hệ thức
có
nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. Các hệ thức
còn lại đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 2 [TH]: Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
a)

;

b)

c)

d)
Lời giải

a)
ý
b)

c)

Suy ra

. Vậy phương trình có nghiệm tổng quát

Suy ra

. Vậy phương trình có nghiệm tổng quát

. Phương trình có nghiệm tổng quát

với

d)
. Phương trình có nghiệm tổng quát
Ví dụ 3 [TH]: Tìm trong mỗi trường hợp sau:
a)
b) Điểm
a) Thay

với

là nghiệm của phương trình
thuộc đường thẳng

tuỳ
với

tuỳ ý.

với

tuỳ ý.

;
.
Lời giải

vào phương trình ta có

.

b) Thay
vào phương trình đường thẳng, ta có
.
Ví dụ 4 [TH]: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của phương trình
trên mặt phẳng tọa độ.
Lời giải
Ta có :

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình là đường thẳng
+ Tại
+ Tại thì

thì

.

⇒ Đường thẳng đi qua điểm
⇒ Đường thẳng đi qua điểm (

Vậy đường thẳng

).

là đường thẳng đi qua hai điểm

và (

).

Ví dụ 5 [TH]: Xét phương trình
a) Hãy chỉ ra ba nghiệm của phương trình.
b) Viết tập nghiệm của phương trình.
Lời giải
a) Ba cặp số

là ba nghiệm của phương trình.

b) Ta có:

⇔

.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

.

Ví dụ 6 [VD]: Giả sử
là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
a) Hoàn thành bảng sau đây:
?
?

?

?

Từ đó suy ra 5 nghiệm của phương trình đã cho.
b) Tính theo . Từ đó cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm.
Lời giải
a) Ta có:

Vậy 5 nghiệm của phương trình đã cho là:

;

?

b) Ta có:
. Với mỗi giá trị tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị
Do đó phương trình đã cho vô số nghiệm.

tương ứng.

Ví dụ 7 [VD]: Xác định để phương trình
có nghiệm:
Viết công thức nghiệm và biểu diễn tập nghiệm với tìm được trên mặt phẳng tọa độ.
Lời giải
Phương trình

có nghiệm

Vậy khi
Với

thì phương trình
có

có nghiệm

=>

Công thức nghiệm của phương trình
Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.
+ Tại

thì

+ Tại

thì 

⇒ Đường thẳng đi qua điểm

.

⇒ Đường thẳng đi qua điểm

Vậy đường thẳng

là đường thẳng đi qua hai điểm

và

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [NB] Kiểm tra cặp số sau có phải là nghiệm của phương trình
a)

;

b)

Bài 2. [NB] Trong các cặp số

,

,

.

hay không?
c)

cặp số nào là nghiệm của phương trình

.
Bài 3. [TH] Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau
trên mặt phẳng tọa độ:
a)
Bài 4. [VD] Tìm

b)
nghiệm của phương trình

c)
.

Bài 5. [VD] Tìm

nghiệm của phương trình

Bài 6. [VD] Xác định a để phương trình

.
có nghiệm

.

Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng
trước
PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Cho đường thẳng
song song với trục hoành.

tham số

B.

C.

.

D.

để

.

có phương trình

. Tìm các giá trị của

song song với trục hoành.
.

B.

.

C.

.

D.

.

có phương trình

. Tìm các giá trị của tham

song song với trục hoành.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Bài 4. Cho đường thẳng
để
A.

.

. Tìm các giá trị của
B.

.

.

D.

Bài 5. Cho đường thẳng
để

có phương trình

trùng với trục hoành.

C.

số

để

.

A.

để

tham số

. Tìm các giá trị của tham số

.

Bài 3. Cho đường thẳng
số

có phương trình

A.

Bài 2. Cho đường thẳng

thỏa mãn điều kiện cho

.

có phương trình

. Tìm các giá trị của tham

song song với trục tung.
A.
C.

.
.

B.

.

D.

.

Bài 6. Cho đường thẳng
có phương trình
tham số để song song với trục tung.

. Tìm các giá trị của

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Bài 7. Cho đường thẳng
số

để
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

để

có phương trình

.

C.

.

Bài 9. Cho đường thẳng

.

Bài 10. Cho đường thẳng
tham số

để

đi qua điểm

D.

.
. Tìm các giá trị của tham số

B.

.

D.

.

có phương trình

. Tìm các giá trị của

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Bài 11. Cho đường thẳng
tham số

.

.

.

C.

B.
có phương trình

đi qua điểm
A.

. Tìm các giá trị của

đi qua gốc tọa độ.

A.

để

. Tìm các giá trị của tham

song song với trục tung.

Bài 8. Cho đường thẳng
tham số

có phương trình

để
A.

đi qua điểm
.

có phương trình

. Tìm các giá trị của

.
B.

.

C.
.
D.
.
Bài 12. Chọn khẳng định đúng. Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của phương trình nào?

A.

.
B.

.

C.
.
D.
2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai
Câu 1.
là đúng?

Cho đường thẳng

a)

khi đường thẳng

có phương trình

khi đường thẳng

song song với trục tung.

c)

khi đường thẳng

song song với trục tung..

d)

khi đường thẳng

song song với trục hoành..

a)
b)

có phương trình

khi đường thẳng
khi đường thẳng

song song với trục tung.

khi đường thẳng

song song với trục tung..

d)

khi đường thẳng

song song với trục hoành..

Câu 3.
Cho đường thẳng
đây là đúng?

có phương trình

a)

đi qua gốc tọa độ.

khi đường thẳng

b)

khi đường thẳng

đi qua gốc tọa độ.

c)

khi đường thẳng

đi qua gốc tọa độ.

khi đường thẳng

. Khẳng định nào sau đây là

song song với trục hoành..

c)

d)

. Khẳng định nào sau đây

song song với trục hoành..

b)

Câu 2. Cho đường thẳng
đúng?

.

. Khẳng định nào sau

đi qua gốc tọa độ.

Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng? Đường thẳng

biểu diễn tập nghiệm của phương trình

là:
a) Đường thẳng song song với trục hoành.
b) Đường thẳng song song với trục tung.
c) Đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
d) Đường thẳng song song với trục hoành đi qua điểm
.
Câu 5.
Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của phương trình nào?. Khẳng định nào sau
đây đúng?

x
a)
b)
c)
d)
Câu 6. Đường thẳng
định nào sau đây đúng?

cắt trục

tại hai điểm phân biệt khi nào? Khẳng

a)
b)
c)
d)
3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. [NB] Phương trình đường thẳng
bao nhiêu?
Câu 2. [TH] Đường thẳng
,

:

đi qua điểm cố định

có tọa độ là

đi qua điểm nào trong các điểm sau:
,

Câu 3. [VD] Cho đường thẳng

,

?

:

và

:

. Tìm

để

Câu 4. [VDC] Tìm để đường thẳng
cắt trục
tại hai điểm phân biệt.
PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Phương pháp giải:
Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:
1. Nếu

và

Khi đó

song song hoặc trùng với

2. Nếu

và

thì phương trình đường thẳng
.

thì phương trình đường thẳng có dạng

có dạng

Khi đó

song song hoặc trùng với

3. Đường thẳng

đi qua điểm

khi và chỉ khi

Ví dụ 1 [NB]: Cho phương trình
đi qua điểm

. Hãy chọn hệ số

để đường thẳng

).
Lời giải

Đường thẳng
Vậy

đi qua điểm

thì đường thẳng

đi qua điểm

.

Ví dụ 2 [TH]: Cho đường thẳng
có phương trình
Tìm các giá trị của tham số để:
a)

song song với trục hoành;

b)

song song với trục tung.

.

Lời giải
a) Đường thẳng

có phương trình

song song với trục hoành

Suy ra
Vậy

thì đường thẳng

b) Đường thẳng

Suy ra

song song với trục hoành

có phương trình song song với trục tung

Suy ra

Vậy không có giá trị nào của m để đường thẳng

song song với trục tung.

Ví dụ 3 [TH]: Cho đường thẳng có phương trình:
Tìm các giá trị của tham số để:
a) song song với trục hoành;
b) song song với trục tung.
Lời giải

a) Đường thẳng

có phương trình

song song với trục hoành

Vậy không có giá trị nào của m để đường thẳng
b) Đường thẳng

Vậy

song song với trục hoành.

có phương trình

thì đường thẳng

Ví dụ 4 [VD]: Xác định

song song với trục tung

song song với trục tung.
và

để đồ thị hàm số

đi qua hai điểm

và

Lời giải
Đồ thị hàm số

đi qua điểm

Đồ thị hàm số đi qua điểm
Thay

vào

Suy ra

Suy ra

suy ra

(1)

(2)

ta có:

Vậy
và
thì đồ thị hàm số đi qua 2 điểm
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [NB] Cho phương trình
điểm

.

. Hãy chọn hệ số b để đường thẳng

đi qua

Bài 2. [NB] Cho phương trình
qua điểm .
Bài 3. [NB] Cho phương trình

. Hãy chọn hệ số b để đường thẳng
. Hãy chọn hệ số b để đường thẳng

đi qua điểm

.
Bài 4. [TH] Cho đường thẳng
có phương trình
Tìm các giá trị của tham số m để:
a)

song song với trục hoành;

b)

song song với trục tung.

.

Bài 5. [TH] Cho đường thẳng
có phương trình
Tìm các giá trị của tham số m để:
a) đi qua gốc tọa độ;
b)

đi qua điểm

Bài 6. [VD] Tìm và

biết đồ thị hàm số

đi qua các điểm

đi

và

CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT 2 ẨN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình
còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai
phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:
Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn
chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý: Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng
nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương
trình với một số thích hợp (khác 0).
B. BÀI TẬP
DẠNG 1: GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ
PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1. [NB] Nghiệm của hệ phương trình
A.

.

B.

.

là
C.

Câu 2. [NB] Nghiệm của hệ phương trình
A.

.

B.

.

Câu 3. [NB] Hệ phương trình
A.

.

B.

Câu 4. [NB] Hệ phương trình

.

D.

.

là
C.

.

D.

.

có nghiệm là
.

C.

có nghiệm là

.

D.

.

A.

.

B.

.

C.

Câu 5. [TH] Số nghiệm của hệ phương trình
A. .
B. Vô số nghiệm.
Câu 6. [TH] Cặp số
A.

.

Câu 7. [TH] Cặp số
A.

.

.

B.

C. .

D.

.

B.

.

C.

.

C.

D.

.

.

C.

Câu 12. [VDC] Biết hệ phương trình
của
bằng
A. .
B. .

.

D.

có nghiệm duy nhất
C.
.

có nghiệm là

.

C.

thì
D.

.

bằng
.

thì
D.

bằng
.

thì giá trị của

.

D.

C.

.

D.

(I) và

(II)

và

lần

.

có nghiệm là

2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI:
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai

Cho hai hệ phương trình

.

D.

có nghiệm duy nhất
C. .

Câu 11. [VD] Hệ phương trình
lượt bằng
B.

.

có nghiệm là

Câu 10. [VD] Biết hệ phương trình
A. .
B. .

Câu 1.

.

không là nghiệm của hệ phương trình nào dưới đây?

B.

.

.

là nghiệm của hệ phương trình

Câu 9. [VD] Biết hệ phương trình
A. .
B. .

A.

D.

là

Câu 8. [TH] Hệ phương trình
A.

.

thì giá trị
.

a) Hệ (I) có vô số nghiệm.
b) Hệ (II) vô nghiệm.
c) Cả hệ (I) và hệ (II) có nghiệm duy nhất.
d) Chỉ có hệ (I) có nghiệm duy nhất.

Câu 2.

Biết hệ phương trình

a)

.

.

b)

.

c)
d)

có nghiệm duy nhất

.
.

Câu 3. Cho hệ phương trình
a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

có nghiệm duy nhất

.

Câu 4. Cho hệ phương trình
a) Hệ phương trình vô nghiệm.
b) Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.

c) Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt

và

thỏa mãn tính chất

d) Hệ phương trình có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn tính chất nếu
phương trình thì
cũng là nghiệm của hệ.
3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. [NB] Hệ phương trình

có nghiệm là:

là ngiệm của hệ

.

Câu 2. [NB] Hệ phương trình

có nghiệm là:

Câu 3. [TH] Số nghiệm của hệ phương trình

Câu 4. [TH] Hệ phương trình

là

có nghiệm là:

Câu 5. [VD] Biết hệ phương trình

có nghiệm duy nhất

Câu 6. [VDC] Hệ phương trình
PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN

có số nghiệm là .

Ví dụ 1 [NB]: Giải các hệ phương trình sau:

a)

b)

Ví dụ 2 [TH]: Giải các hệ phương trình sau:

a)

b)

Ví dụ 3 [TH]: Giải hệ phương trình

Ví dụ 4 [VD]: Giải hệ phương trình
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [NB] Giải các hệ phương trình sau:

a)

thì

b)

c)

bằng .

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Bài 2. [NB] Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a)

b)

d)

c)

e)

f)

Bài 3. [NB] Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 4. [NB] Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a)

d)

b)

c)

e)

f)

Bài 5. [TH] Giải các hệ phương trình sau:

a)
Bài 6. [TH] Giải các hệ phương trình sau:

b)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 7. [VD] Giải các hệ phương trình sau:

a)

b)

Bài 8. [VDC] Giải các hệ phương trình sau:

a)

c)

b)

d)

DẠNG 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁ TRỊ TYỆT ĐỐI
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Các bước giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bước 1. Tìm ĐKXĐ của hệ phương trình.
Bước 2. Đặt ẩn phụ và diều kiện cho ẩn phụ (nếu có): Đặt ẩn phụ là lựa chọn các biểu thức
f(x,y); g(x,y) trong hệ phương trình để đặt thành các ẩn phụ mới làm cho đơn giản cấu trúc của hệ
PT. Qua đó tạo thành hệ PT mới đơn giản hơn.
Bước 3. Giải hệ phương trình với ẩn phụ.
Bước 4. Thay trả lại ẩn ban đầu và tìm giá trị của ẩn ban đầu.
Bước 5. Đối chiếu ĐKXĐ rồi kết luận.
B. BÀI TẬP
PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN

Câu 1. [NB] Điều kiện xác định của hệ phương trình
A.

.

B.

.

là

C.

.

D.

Câu 2. [NB] Điều kiện xác định của hệ phương trình
A.

.

B.

.

.

là

C.

.

D.

Câu 3. [NB] Cho hệ phương trình
Đặt

thì ta có hệ phương trình:

A.

.

B.

.

C.

.

Câu 4. [NB] Cho hệ phương trình
kiện của a, b là
A.

, nếu đặt

.
.

B.
D.

.

D.

thì điều
C.

Câu 5. [TH] Hệ phương trình
A.

.

có nghiệm là

B.

.

Câu 6. [TH] Hệ phương trình
A.

.

B.

C.

.

C.

.

D.

B.

C.

.

Câu 8. [TH] Hệ phương trình
B.

.

.

D.

.

.

có nghiệm là

.

A.

D.

có nghiệm là

Câu 7. [TH] Hệ phương trình
A.

.

.

có nghiệm là
.

C.

.

D.

.

Câu 9. [VD] Hệ phương trình
A.

.

B.

có nghiệm là
.

C.

Câu 10. [VD] Hệ phương trình
A.

B.
.

D.

Câu 11. [VD] Hệ phương trình

D.

.

có nghiệm là

.

C.

.

.

có nghiệm là

.

A.
C.

.

B.
.

.

D.

.

Câu 12. [VDC] Hệ phương trình
A.

có nghiệm là

.

B.

.

C.
.
D.
.
2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai

Câu 1. Cho hệ phương trình

(I)

a) Điều kiện xác định của hệ (I) là

b) Đặt

.

. Hệ phương trình (I) trở thành:

(II)

c) Giải hệ phương trình II ta được
d) Hệ phương trình (I ) có nghiệm duy nhất

Câu 2. Cho hệ phương trình

(I)

a) Điều kiện xác định của hệ phương trình (I) là
b) Đặt 

Hệ phương trình (I) trở thành:

c) Giải hệ phương trình (II) ta được

(II)

.

d) Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất

.

Câu 3. Cho hệ phương trình

(I)

a) Điều kiện xác định của hệ phương trình (I) là

b) Đặt

. Hệ phương trình (I) trở thành:

(II)

c) Giải hệ phương trình (II) ta được
d) Hệ phương trình (I )có nghiệm duy nhất

.

Câu 4. Cho hệ phương trình

(I)

a) Điều kiện xác định của hệ phương trình (I) là
b) Đặt

.

Hệ phương trình (I) trở thành:

(II)

c) Giải hệ phương trình (II) ta được
d) Hệ phương trình (I ) nghiệm

.

3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. [NB] Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình

Câu 2. [NB] Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình

Câu 3. [TH] Tìm nghiệm của hệ phương trình

Câu 4. [TH] Tìm nghiệm của hệ phương trình

Câu 5. [VD] Tìm nghiệm của hệ phương trình
Câu 6. [VDC] Tìm nghiệm của hệ phương trình
PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Phương pháp giải:
☑Tìm ĐKXĐ của hệ phương trình.
☑ Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn phụ (nếu có).
☑Giải hệ PT với ẩn phụ.
☑ Thay trả lại ẩn ban đầu và tìm giá trị của ẩn ban đầu.
☑ Đối chiếu ĐKXĐ rồi kết luận.

Ví dụ 1 [NB]: Giải hệ phương trình

(I)

Ví dụ 2 [TH]: Giải hệ phương trình

Ví dụ 3 [TH]: Giải hệ phương trình

Ví dụ 4 [VD]: Giải hệ phương trình
✔BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [NB] Giải hệ phương trình sau:

(I)

Bài 2. [TH] Giải hệ phương trình sau:

Bài 3. [VD] Giải hệ phương trình sau:

Bài 4 [VD] Giải các hệ phương trình sau:

DẠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Bài toán thường gặp: Cho hệ

chứa tham số

.

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1 Dùng phương pháp thế, cộng, trừ để đưa hệ đã cho về phương trình bậc nhất một ẩn
Bước 2: Lập luận: Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình

có nghiệm duy nhất khi và

chỉ khi
Bước 3: Giải nghiệm
Chú ý:

theo

và xử lý điều kiện của bài toán.

* Hệ vô nghiệm khi phương trình

vô nghiệm khi và chỉ khi

* Hệ vô số nghiệm khi phương trình

* Đối với hệ:

vô số nghiệm khi và chỉ khi

(các hệ số

khác

) thì ta có các điều kiện sau:

+) Hệ có nghiệm duy nhất khi
+) Hệ vô nghiệm
+) Hệ vô số nghiệm
PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1. [NB] Hệ phương trình
A.

.

B.

(các hệ số
.

C.

Câu 2. [NB] Hệ phương trình
A.

.

B.

(các hệ số
.

C.

khác
.

khác
.

) có nghiệm duy nhất khi
D.

.

) vô số nghiệm khi
D.

.

Câu 3. [NB] Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
A.

.

B.

(có hệ số khác

.

Câu 4. [NB] Hệ phương trình
đúng.
A. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

C.

.

) vô nghiệm khi
D.

có các hệ số khác 0 và

.

. Chọn câu

B. Hệ phương trình vô nghiệm.

C. Hệ phương trình vô số nghiệm.

D. Chưa kết luận được về nghiệm của hệ.

Câu 5. [TH] Không giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ
A. Vô số nghiệm.
B. Vô nghiệm.
C. Có nghiệm duy nhất.

.

D. Có hai nghiệm phân biệt.

Câu 6. [TH] Không giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ
A. Vô số nghiệm.
B. Vô nghiệm.
C. Có nghiệm duy nhất.

D. Có hai nghiệm phân biệt.

Câu 7. [TH] Xác định giá trị của tham số
A.

.

B.

.

B.

.
C.

C.

.

C.

D.

D.

.

vô nghiệm.

.

D.

để hệ phương trình
B.

.

vô nghiệm.

để hệ phương trình

.

Câu 9. [VD] Xác định giá trị của tham số
nghiệm duy nhất
A.

để hệ phương trình

.

Câu 8. [TH] Xác định giá trị của tham số
A.

.

.
.

.

có

Câu 10. [VD] Cho hệ phương trình
phương trình nhận cặp
A.
.

. Tìm các giá trị của tham số

làm nghiệm
B.
.

C.

Câu 11. [VD] Cho hệ phương trình
trình có nghiệm duy nhất
A.

(

thỏa mãn

D.

là tham số). Tìm

.

để hệ phương

.

.

B.

.

D.

.

C.

.

Câu 12. [VDC] Cho hệ phương trình

. Có bao nhiêu giá trị của

hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn:
A.

.

để hệ

để

.

.

B. .
C.

.

D. .

2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai

Câu 1.
Cho hệ
định nào đúng, khẳng định nào sai?

và hệ

. Trong các khẳng định sau, khẳng

a) Hai hệ đã cho đều vô nghiệm
b) Hai hệ đã cho đều có nghiệm duy nhất
c) Hệ (I) vô nghiệm, hệ (II) có nghiệm duy nhất
d) Hệ (I) và hệ (II) đều có vô số nghiệm
e) Nghiệm của hệ (I) có thể không là nghiệm của hệ (II)

Câu 2. Cho hệ phương trình
khẳng định nào sai?
a) Hệ có nghiệm duy nhất khi
b) Hệ có vô số nghiệm khi

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng,

c) Hệ vô nghiệm
d) Hệ luôn có nghiệm

Câu 3. Cho hệ phương trình
đúng, khẳng định nào sai?
a) Hệ thức liên hệ giữa
b) Với

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
không phụ thuộc vào

là

.

thì hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.

c) Hệ phương trình đã cho luôn có vô số nghiệm.
d) Với
thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm
3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN ( soạn khoảng 6 câu)
Câu 1.

[NB] Không giải hệ phương trình, hãy cho biết số nghiệm của hệ phương trình

Câu 2. [TH] Biết hệ phương trình

có nghiệm

, khi đó giá trị biểu thức

bằng bao nhiêu?
Câu 3. [TH] Cho hệ phương trình
trình khi
là bao nhiêu?

(

Câu 4. [VD] Cho hệ phương trình
nghiệm duy nhất

thỏa mãn

(

là tham số). Nghiệm của hệ phương

là tham số). Tìm

để hệ có

.

Câu 5. [VDC] Cho hệ phương trình
có nghiệm
. Tìm
để biểu thức
đạt giá trị lớn nhất.
PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Ví dụ 1 [NB]: Không giải hệ phương trình, hãy cho biết số nghiệm của các hệ sau:

Ví dụ 2 [TH]: Cho hệ phương trình sau:

.

a) Tìm

để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b) Tìm

để

c) Tìm

để

d) Tìm

để

.
.

e) Tìm các giá trị nguyên của

để

là các số nguyên.

Ví dụ 3 [TH]: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình
b) Tìm

để hệ

(

khi

có nghiệm duy nhất

1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

thỏa mãn

b) Cả

với

.

là tham số.

và tìm nghiệm duy nhất đó.

là nghiệm duy nhất ở trên, hãy tìm

a)

là tham số) .

.

Ví dụ 4 [VD]: Cho hệ phương trình:

2. Với

.

để:

.
và

là các số nguyên.

c) Biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất.

d) Biểu thức

đạt giá trị lớn nhất.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [NB] Không giải hệ phương trình, hãy cho biết số nghiệm của các hệ sau:

Bài 2. [TH] Tìm

biết hệ phương trình:

có nghiệm

;

Bài 3. [VD] Cho hệ phương trình :
a) Giải hệ phương trình với
b) Tìm

để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 4. [VD] Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi

(

là tham số)

.

b) Giải và biện luận hệ phương trình.
c) Tìm các số nguyên
d) Tìm

để hệ phương trình có nghiệm nguyên

để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn

Bài 5. [VD] Cho hệ phương trình
1. Tìm

với

để hệ có nghiệm duy nhất

d) Tìm

để biểu thức
để biểu thức

là tham số.

và tìm nghiệm duy nhất đó.

2. Với
là nghiệm duy nhất ở trên:
a) Tìm một hệ thức liên hệ giữa và không phụ thuộc vào
b) Tìm
nguyên để cả và là các số nguyên.
c) Tìm

đạt GTNN.

.

đạt giá trị nhỏ nhất.
đạt giá trị lớn nhất.

Bài 6. [VD] Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình với

.

b) Tìm

để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

trong đó

c) Tìm

để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

thỏa mãn

trái dấu.
.

DẠNG 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
I- HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1. [NB] Cho các hệ phương trình sau hệ phương trình nào là hệ phương trình đối xứng loại 1

A.

.

B.

.

Câu 2. [NB]Để hệ phương trình
A.

B.

[NB]Hệ phương trình đối xứng

C.

.

D.

.

có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là:
.

C.

.

D.

.

với

Câu 3.
Có tối đa là mấy nghiệm
A.

B. .

Câu 4. [NB] Hệ phương trình
A. .
B. .

Câu 5. [TH] Hệ phương trình
A. .

C. .

D. .

có bao nhiêu nghiệm
C. .

có nghiệm là

B. .

C. .

Câu 6. [TH] Hệ phương trình
hệ phương trình là:
A. .
B. .

có nghiệm là
C. .

. Khi đó

D. .

bằng
D. .

với

. Khi đó số nghiệm của
D. .

Câu 7. [TH] Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 8. [TH] Hệ phương trình
A. .

B.

.

có nghiệm

thỏa mãn

.

D. .

C.

. Tính

Câu 9. [VD] Hãy chỉ ra các cặp nghiệm đúng của hệ phương trình
A.

và

. B.

và

C.

và

Câu 10. [VD]Hệ phương trình sau :
hệ
A.

và

. B.

.

D. cả A và B

đâu không phải nghiệm đúng của

và

C.

.

D.

Câu 11. [VD] Biết cặp số
là nghiệm của hệ phương trình
của
để hệ phương trình có nghiệm
A.

. B.

C.

Câu 12. [VDC] Biết cặp số
của
để
A.

. Tìm giá trị
. D.

hoặc

là nghiệm của hệ phương trình

. Tìm giá trị

đạt giá trị nhỏ nhất
.

B.

C.

.

D.

2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai

Câu 1.

Cho hệ phương trình

a) Hệ phương trình luôn có nghiệm
b) Hệ phương trình có nghiệm khi
c) Hệ phương trình có nghiệm khi
d) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 2. Cho hệ sau

có các khẳng định sau

a) Hệ phương trình có

nghiệm

b) Cặp số

là nghiệm của hệ phương trình

và

c) Cặp số
là một nghiệm của hệ phương trình
d) Cả a) và b) đều đúng

Câu 3. . Cho hệ sau hệ phương trình:
a) Hệ phương trình có nghiệm
b) Hệ phương trình có vô số nghiệm
c) Cặp số
là một nghiệm của hệ phương trình
d) Cả a) và b) đều đúng

Câu 4. Cho hệ sau hệ phương trình:
a) Hệ phương trình có

nghiệm

b) Hệ phương trình có

nghiệm

c) Cặp số
là một nghiệm của hệ phương trình
d) Cả b) và c) đều đúng
3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. [NB]Cho hệ phương trình
có nghiệm.
[NB] Cho hệ phương trình

. Với giá trị nào của

thì hệ phương trình

. Với giá trị nào của

thì hệ phương trình có

với cặp số

là nghiệm của hệ. Với

Câu 2.
nghiệm.

[TH] Cho hệ phương trình
Câu 3.
giá trị nào của

thì

đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4. [TH] Cho hệ phương trình
nghiệm là

. Tính tổng

biết hệ có

nghiệm

nếu

Câu 5. [VD] Cho hệ phương trình sau
vô nghiệm

. Với giá trị nào của

Câu 6. [VDC] Cho hệ phương trình sau
đạt giá trị lớn nhất
PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN

. Với giá trị nào của

Giải hệ phương trình
Ví dụ 1 [NB]:

Ví dụ 2 [TH]: Giải hệ phương trình

trong đó có

.

Ví dụ 3 [TH]: Giải hệ phương trình

Ví dụ 4 [VD]: Giải hệ phương trình
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. [NB] Giải hệ phương trình
Bài 2. [TH] Giải hệ phương trình

Bài 3. [VD] Giải hệ phương trình

Bài 4. [VD] Giải hệ phương trình
II- HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

.

thì hệ phương trình

thì hệ phương trình

PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1. [NB] Cho các hệ phương trình sau hệ phương trình nào là hệ phương trình đối xứng loại 1
Cho các hệ phương trình sau hệ phương trình nào là hệ phương trình đối xứng loại

A.

.

B.

.

Câu 2. [NB] Hệ phương trình
A. .
B. .

.

D.

có bao nhiêu nghiệm
C. vô nghiệm.

Câu 3. [NB] Hệ phương trình
A.

C.

.

D. .

có nghiệm là:

B.

.

[NB] ] Hãy chỉ ra cặp nghiệm khác

C.

.

D.

.

của hệ phương trình sau

Câu 4.
A.

B.

.

Câu 5. [TH] Hệ phương trình
A. .

B.

.

Câu 6. [TH] Hệ phương trình
A. .

B. .

.

có nghiệm là
C.
.

D.

khác

B. .

Câu 8. [TH Hệ phương trình sau

.

. Khi đó
D.

bằng
.

có bao nhiêu nghiệm
C. .

Câu 7. [TH] Hệ phương trình
A. .

C.

D. .

có bao nhiêu nghiệm nguyên
C. .

có nghiệm

D. .

thỏa mãn

. Tính

A. .

B.

.

C.

.

D.

.

D. cả

và

Câu 9. [VD] Hãy chỉ ra các cặp nghiệm đúng của hệ phương trình
A.

. B.

và

và

C.

Câu 10. [VD] Hệ phương trình sau :
của hệ phương trình thỏa mãn
A.

.

B.

Câu 11. [VD] Hệ phương trình
A.
.
và
C.

.

và

. Hãy tính

với

C.

D.

.

là nghiệm

. Điều kiện để hệ phương trình có nghĩa là:
B.
và

hoặc

D.

Câu 12. [VDC] Hệ phương trình
A. .
B. .

C.

và

.có mấy nghiệm
.
D. .

2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai

Câu 1.

Cho hệ phương trình

có các khẳng định sau

a) Hệ phương trình có vô số nghiệm
b) Hệ phương trình có

nghiệm

c) Hệ phương trình có nghiệm
d) Hệ phương trình có vô nghiệm

Câu 2. Cho hệ sau
a) Hệ phương trình có nghĩa khi

và

b) Hệ phương trình có nghiệm

với

;

c) Cặp số
là một nghiệm của hệ phương trình
d) Cả a) và b) đều đúng

Câu 3. . Cho hệ sau
a) Hệ phương trình có
b) Cặp số

nghiệm

là một nghiệm của hệ phương trình

c) Hệ phương trình có nghiệm
d) Cả a) và b) đều đúng

Câu 4. Cho hệ sau
a) Hệ phương trình vô nghiệm
b) Hệ phương trình có nghĩa khi
và
c) Tất cả các nghiệm của hệ phương trình đều là số âm
d) Cả b và c đều đúng
3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN ( soạn khoảng 6 câu)

Câu 1. [NB] Cho hệ phương trình
trình có nghĩa.

Câu 2. [NB] Cho hệ phương trình
nghĩa.

Câu 3. [TH] Cho hệ phương trình

. Tìm điều kiện

. Tìm điều kiện

để hệ phương

để hệ phương trình có

hệ phương trình có mấy nghiệm

Câu 4. [TH] Cho hệ sau
trình và
và

. tính

biết

Câu 5. [VD] Cho hệ phương trình

. hệ phương trình trên có mấy nghiệm

Câu 6. [VDC] Cho hệ phương trình sau
trình có nghiệm duy nhất
PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN

. Với giá trị nào của

Giải hệ phương trình
Ví dụ 1 [NB]:

Ví dụ 2 [TH]: Giải hệ phương trình

Ví dụ 3 [TH]: Giải hệ phương trình

Ví dụ 4 [VD]: Giải hệ phương trình
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. [NB] Giải hệ phương trình
Bài 2. [TH] Giải hệ phương trình

Bài 3. [VD] Giải hệ phương trình

Bài 4. [VD] Giải hệ phương trình

là nghiệm của hệ phương

.

.

thì hệ phương

CHUYÊN ĐỀ 3: GI...