HƯỚNG DẪN CHẤM MĐ 01
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,0 điểm)
Mỗi câu đúng được 0,25 điểm
Bảng đáp án trắc nghiệm:
1
2
3
4
5
Câu
D
A
B
B
C
Đáp án
PHẦN II. TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Câu
a) 1 điểm
(
)(
)

Đáp án

*) 2x 6 0
x

6
C

*) 3x 5
3

Vậy phương trình có hai nghiệm là x

8
D

Điểm

0
5
3

x

7
B

0,75
3 và x

5
3

0,25

b) 0,5 điểm
1
2

ĐKXĐ: x
Câu 9

(
(

)(

)

(

)
)(

(
)

(

(

)

)
)(

0,25

)

(

)

1
không thỏa mãn.
2

Đối chiếu điều kiện ta thấy x
Vậy phương trình vô nghiệm.

0,25
a) 1 điểm
2x
3x

Câu
10

y
2y

5 (1)
3 (2)

Từ phương trình (1), ta có y 2x 5
Thế y 2x 5 vào phương trình (2) ta được:
3x + 2(2x – 5) = –3
7x
x

0,5

7
1

Thay x = 1 vào phương trình y 2x 5 , ta có:
y

2.1 5

3

0,5

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x ; y) = (1 ; -3).
b) 0,5 điểm
1
x
2
x

1
y
3
y

5 (1)

.
13 (2)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 ta được

3
x
2
x

3
y
3
y

15
13

0,25
1
Trừ hai phương trình ta được
x

Thay

1
x

2

2 vào phương trình (1) ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (

Câu
11

Suy ra x

)

1
y

1
2

3 . Suy ra y

(

1
3

0,25

)

Gọi số tiền mà bác An đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng
lần lượt là x và y (Đ/v: triệu đồng; Đ/k: 0 < x, y < 500).
Bác An có 500 triệu đồng để đầu tư vào hai khoản nên ta có phương trình
x + y = 500 (1)
Lãi suất của trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là 7%/năm
và 6%/năm, mỗi năm nhận được tiền lãi là 32 triệu đồng nên ta có
phương trình
0,07x + 0,06y = 32
Hay 7x + 6y = 3 200 (2)
Giải hệ phương trình (1) và (2) được x = 200 và y = 300.
Vậy số tiền mà bác An đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng
lần lượt là 200 triệu đồng và 300 triệu đồng.

0,25

0,25

0,25
0,25

A

Câu
12

B

K

C

H

Đặt vị trí diều là A, vị trí tay cầm dây là B; chiều cao diều so với mặt đất
là AH; chiều cao tay cầm dây so với mặt đất là BK.

0,5

Từ bài toán ta có  ABC vuông tại C và tứ giác BCHK là hình chữ nhật.
Từ hình vẽ ta có:
AC
AH

0,5

o

AB.sin ABC 60.sin 35
34 (m)
AC CH AC BK 34 1 35 (m)

Vậy chiều cao của diều so với mặt đất là 35 m.
Học sinh có vẽ hình minh họa, không khẳng định tam giác vuông và hình
chữ nhật, giải đúng kết quả cho điểm tối đa.
A

B

E

D

Câu
13

C

F

a)
Xét tam giác ABD và tam giác EAD, ta có:
ADB là góc chung
BAD AED 90o (giả thiết)
EAD (g – g)
Suy ra ABD
b)
 Chứng minh AD2 = DF.DC
EAD
Theo câu a, ta có ABD
Suy ra

AD
ED

BD
. Hay AD2 = ED.BD
AD

0,5
0,5

(1)

0,25

Xét tam giác DEF và tam giác DCB, ta có:
BDC là góc chung
DEF DCB 90o (giả thiết)
DCB (g – g)
Suy ra DEF
Suy ra

DE
DC

DF
. Hay DE.DB = DF.DC
DB

Từ (1) và (2) suy ra AD2 = DF.DC.

(2)
0,25

̂
 Chứng minh
.
Xét tam giác DEC và tam giác DFB, ta có:
DE DF
(cmt).
DC DB
BDC là góc chung
DFB (c – g – c)
Suy ra DEC
DE EC
Suy ra
. (3)
DF FB

0,25

Mặt khác, DEF vuông tại E nên

sin EFD

sin AFD . (4)

EC
.
FB

Từ (3) và (4) suy ra sin AFD

Câu
14

DE
DF

1)
Gọi n là số lần giảm giá để lợi nhuận của cửa hàng là lớn nhất (n N*).
Giá bán mỗi áo sau n lần giảm giá là: 300 – 15.n (nghìn đồng)
Số lượng áo bán được sau n lần giảm giá là: 10.n (áo)
Chi phí mua vào 10.n áo là 180.10.n = 1 800.n (nghìn đồng)
Lợi nhuận của cửa hàng sau n lần giảm giá là:
L = (300 – 15n).10n – 1 800n
L = 1 200n – 150n2 = -150(n2 – 8n) = -150(n – 4)2 + 2 400
L 2 400
LMax = 2 400 khi n = 4.
Lợi nhuận lớn nhất của cửa hàng là 2 400 nghìn đồng (2 400 000 đồng)
tương ứng với mức giảm giá là 4.15 = 60 nghìn đồng.
Giá bán áo để lợi nhuận lớn nhất là 240 nghìn đồng.
2)
Ta có
P = 2x2 + 5y2 – 4xy – 12x + 24y + 2 055
P = (x2 – 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) + (x2 + 4y2 + 25 – 4xy – 10x + 20y) + 2 025
P = (x – 1)2 + (y + 2)2 + (x – 2y – 5)2 + 2 025
P 2 025
x 1 0
PMin = 2 025 khi y 2 0
x 2y 5

Hay x = 1, y = -2.
0

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 025.
Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa.

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

HƯỚNG DẪN CHẤM MĐ 02
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,0 điểm)
Mỗi câu đúng được 0,25 điểm
Bảng đáp án trắc nghiệm:
1
2
3
4
5
Câu
B
C
C
D
B
Đáp án
PHẦN II. TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Câu
a) 1 điểm
(
)(
)

Đáp án

*) 3x 6 0
x

6
A

*) 2x 5
2

Vậy phương trình có hai nghiệm là x

8
C

Điểm

0
5
2

x

7
D

0,75
2 và x

5
2

0,25

b) 0,5 điểm
1
3

ĐKXĐ: x
Câu 9

(
(

)(

)

(

)
)(

(
)

(

(

)

)
)(

)

(

)

0,25

1
thỏa mãn.
2
1
Vậy phương trình có nghiệm là x
.
2

Đối chiếu điều kiện ta thấy x

0,25
a) 1 điểm
2x y
3x 2y

Câu
10

5 (1)
11 (2)

Từ phương trình (1), ta có y 5 2x
Thế y 5 2x vào phương trình (2) ta được:
(

)
7x
x

21
3

0,5

Thay x = 3 vào phương trình y 5 2x , ta có:
y

5 2.3

1

0,5

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x ; y) = (3 ; -1).
b) 0,5 điểm
1
x
3
x

1
y
2
y

5 (1)

.
13 (2)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 ta được

1
Trừ hai phương trình ta được
y

Thay

1
y

2

2 vào phương trình (1) ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (

Câu
11

Suy ra y

)

1
x

3
x
3
x

3
y
2
y

15
13

0,25

1
2

3 . Suy ra x

(

1
3

0,25

)

Gọi số tiền mà bác Toàn đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng
lần lượt là x và y (Đ/v: triệu đồng; Đ/k: 0 < x, y < 700).
Bác Toàn có 700 triệu đồng để đầu tư vào hai khoản nên ta có phương
trình
x + y = 700 (1)
Lãi suất của trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là 6%/năm
và 7%/năm, mỗi năm nhận được tiền lãi là 45 triệu đồng nên ta có
phương trình
0,06x + 0,07y = 45
Hay 6x + 7y = 4 500 (2)
Giải hệ phương trình (1) và (2) được x = 400 và y = 300.
Vậy số tiền mà bác Toàn đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng
lần lượt là 400 triệu đồng và 300 triệu đồng.
A

Câu
12

B

K

C

H

Đặt vị trí diều là A, vị trí tay cầm dây là B; chiều cao diều so với mặt đất

0,25

0,25

0,25
0,25

là AH; chiều cao tay cầm dây so với mặt đất là BK.
Từ bài toán ta có  ABC vuông tại C và tứ giác BCHK là hình chữ nhật.
Từ hình vẽ ta có:
AC
AH

0,5

0,5

AB.sin ABC 50.sin 35o 29 (m)
AC CH AC BK 29 1 30 (m)

Vậy chiều cao của diều so với mặt đất là 30 m.
Học sinh có vẽ hình minh họa, không khẳng định tam giác vuông và hình
chữ nhật, giải đúng kết quả cho điểm tối đa.
A

B

H

D

Câu
13

C

K

a)
Xét tam giác ABD và tam giác HAD, ta có:
ADB là góc chung
BAD AHD 90o (giả thiết)
HAD (g – g)
Suy ra ABD
b)
 Chứng minh AD2 = DK.DC
HAD
Theo câu a, ta có ABD
Suy ra

AD
HD

BD
. Hay AD2 = HD.BD
AD

0,5
0,5

(1)

0,25

Xét tam giác DHK và tam giác DCB, ta có:
BDC là góc chung
DHK DCB 90o (giả thiết)
DCB (g – g)
Suy ra DHK
Suy ra

DH
DC

DK
. Hay DH.DB = DK.DC
DB

Từ (1) và (2) suy ra AD2 = DK.DC.

(2)
0,25

̂
 Chứng minh
.
Xét tam giác DHC và tam giác DKB, ta có:
DH DK
(cmt).
DC DB
BDC là góc chung

0,25

DKB (c – g – c)

Suy ra DHC
DH
Suy ra
DK

HC
.
KB

(3)

Mặt khác, DHK vuông tại H nên

sin HKD

sin AKD . (4)

1)
Gọi n là số lần giảm giá để lợi nhuận của cửa hàng là lớn nhất (n N*).
Giá bán mỗi áo sau n lần giảm giá là: 300 – 20.n (nghìn đồng)
Số lượng áo bán được sau n lần giảm giá là: 15.n (áo)
Chi phí mua vào 15.n áo là 180.15.n = 2 700.n (nghìn đồng)
Lợi nhuận của cửa hàng sau n lần giảm giá là:
L = (300 – 20n).15n – 2 700n
L = 1 800n – 300n2 = -300(n2 – 6n) = -300(n – 3)2 + 2 700
L 2 700
LMax = 2 700 khi n = 3.
Lợi nhuận lớn nhất của cửa hàng là 2 700 nghìn đồng (2 700 000 đồng)
tương ứng với mức giảm giá là 3.20 = 60 nghìn đồng.
Giá bán áo để lợi nhuận lớn nhất là 240 nghìn đồng.
2)
Ta có
P = 2a2 + 5b2 – 4ab – 12a + 24b + 2 055
P = (a2 – 2a + 1) + (b2 + 4b + 4) + (a2 + 4b2 + 25 – 4ab – 10a + 20b) + 2 025
P = (a – 1)2 + (b + 2)2 + (a – 2b – 5)2 + 2 025
P 2 025
a 1 0
PMin = 2 025 khi b 2 0
a 2b 5

0,25

HC
.
KB

Từ (3) và (4) suy ra sin AKD

Câu
14

DH
DK

Hay a = 1, b = -2.
0

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 025.
Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa.

0,25

0,25

0,25

0,25