HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
I – LÝ THUYẾT
1. Trục và độ dài đại số trên trục
a)Định nghĩa
Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm
gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị

Điểm
gọi là gốc tọa độ.
Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục.
Ta kí hiệu trục đó là



b) Cho
là một điểm tùy ý trên trục
Khi đó có duy nhất một số
sao cho
Ta gọi số
đó là tọa độ của điểm
đối với trục đã cho.
c) Cho hai điểm
và
trên trục
Khi đó có duy nhất số
sao cho
Ta gọi số
là độ dài đại số của vectơ
đối với trục đã cho và kí hiệu

Nhận xét.

Nếu
cùng hướng với
thì
còn nếu
ngược hướng với
thì


Nếu hai điểm
và
trên trục
có tọa độ lần lượt là
và
thì

2. Hệ trục tọa độ
a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ
gồm hai trục
và
vuông góc với nhau. Điểm gốc
chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục
được gọi là trục hoành và kí hiệu là
trục
được gọi là trục tung và kí hiệu là
Các vectơ
và
là các vectơ đơn vị trên
và
và
Hệ trục tọa độ
còn được kí hiệu là

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ
còn được gọi là mặt phẳng tọa độ
hay gọi tắt là mặt phẳng

b) Tọa độ của vectơ
Trong mặt phẳng
cho một vectơ
tùy ý. Vẽ
và gọi
lần lượt là hình chiếu của vuông góc của
lên
và
Ta có
và cặp số duy nhất
để
Như vậy

Cặp số
duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ
đối với hệ tọa độ
và viết
hoặc
Số thứ nhất
gọi là hoành độ, số thứ hai
gọi là tung độ của vectơ

Như vậy


Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
Nếu
và
thì

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.
c) Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ
cho một điểm
tùy ý. Tọa độ của vectơ
đối với hệ trục
được gọi là tọa độ của điểm
đối với hệ trục đó.
Như vậy, cặp số
là tọa độ của điểm
khi và chỉ khi
Khi đó ta viết
hoặc
Số
được gọi là hoành độ, còn số
được gọi là tung độ của điểm
Hoành độ của điểm
còn được kí hiệu là
tung độ của điểm
còn được kí hiệu là





Chú ý rằng, nếu
thì

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm
và
Ta có


3. Tọa độ của các vectơ

Ta có các công thức sau:
Cho

Khi đó:

;

;



Nhận xét. Hai vectơ
với
cùng phương khi và chỉ khi có một số
sao cho
và

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác
a) Cho đoạn thẳng
có
Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm
của đoạn thẳng
là


b) Cho tam giác
có
Khi đó tọa độ của trọng tâm
của tam giác
được tính theo công thức


II – DẠNG TOÁN
1. Dạng 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục

Phương pháp gi ải.
Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:
Trên trục
, điểm
có tọa độ

Trên trục
, vecto
có tọa độ

Vectơ
có độ dài đại số là

Nếu
lần lượt là tọa độ của
thì

Tọa độ trung điểm
của đoạn
là:

Các tính chất:
+

+

+

Trên trục
, cho ba điểm
lần lượt có tọa độ là
. Tìm tọa độ điểm
sao cho
.
A.
. B.
C.
D.

Trên trục
, cho ba điểm
lần lượt có tọa độ là
. Độ dài đại số của
là:
A.
. B.
C.
D.

2. DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm