CHUYÊN ĐỀ 11: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Trong những năm gần đây, bài toán cực trị trong các đề thi tuyển sinh đại học đa phần là bài toán khó nhất đề thi. Để giải quyết các bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có nhiều kỹ này quan trọng khi giải các bài toán cực trị. Chuyên đề này đưa ra một số cách tiếp cận bài toán cực trị bằng phương pháp hàm số.
1. Phương pháp khảo sát hàm đặc trưng
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
a)

b)
thỏa mãn x + y + z = 3.

Lời giải:
a) Xét hàm số
. Ta có

và

Ta có bảng biến thiên
x

1


f’(x)
 + 0 -

f(x)




 2



-1 1


Từ bảng biến thiên suy ra
.
b) Áp dụng câu a ta có

Tương tự

Cộng từng vế các BĐT (1), (2) và (3) ta có

(đpcm).
Ví dụ 2. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng
.

Lời giải:
Xét hàm số
trên R. Ta có


và
.

Ta có bảng biến thiên
x

0


f’(x)
 - 0 +

f(x)










0


Suy ra



Ví dụ 3. (Trích đề thi đại học khối D năm 2006)
Chứng minh rằng
.

Lời giải:
Ta có



Xét hàm số
với x > 0. Ta có

,
nên f là hàm nghịch biến trên
. Do đó
(đpcm).
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn
. Chứng minh rằng

.
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi
ta có
.
Bài 3: Chứng minh rằng
.
Tổng quát: Với a, b > 0 và x > y > 0 ta có
.
Bài 4: Cho
. Tìm GTLN của
.




Bài 5: (VMO, 2004) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
.
Bài 6: Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + xyz = 4. CMR:

.

2. Phương pháp dồn dần về một biến
Đối với các bài toán cực trị nhiều biến, ta thường phối hợp với phương pháp chặn các biến bằng cách: sử dụng BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT phụ hoặc sử dụng hàm số,....đưa dần về một biến để khảo sát.

Ví dụ 1. Cho ba số thực dương
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



Lời giải
Nhìn biểu thức của
ta thấy có sự xuất hiện của cả ba biến số
mà ta không thể quy trực tiếp về một biến số ngay nếu chỉ sử dụng giả thiết. Nhưng ta lại thấy
là biểu thức có đối xứng với
, do đó ta dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi hai biến
bằng nhau. Ta chứng minh và sử dụng bất đẳng thức
, đẳng thức xảy ra khi hai biến số
và
bằng nhau. Khi đó ta có
. Bây giờ thì việc giải quyết bài toán khá là dễ dàng bằng cách khảo sát hàm số
trên khoảng
.
Ta có
,
. Lập bảng biến thiên của hàm số
trên khoảng
ta có:

, suy ra
.
Vậy
khi và chỉ khi
.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì

.

Lời giải
Đặt
. Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên không nghịch biến tổng quát ta có thể giả sử
.
Từ a + b + c = 3 và a + b > c suy ra
(2).

Ta biến đổi


Do 2 – 3c > 0 và
, suy ra


Ta có
, nên f(c) đồng biến trên
. Vì vậy,
.
Đồng thời
. Với giả thiết
và a + b + c = 3 và (3) suy ra a = b = 1, tức là tam giác ABC đều.
Ví dụ 3. (Trích đề thi thử ĐH khối B tỉnh Bắc Ninh năm 2013)
Cho hai số thực
với
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Lời giải
Ta có
dấu bằng xảy ra khi



Lấy
. Vì
nên


Dấu bằng xảy ra khi
(với
hoặc
không xảy ra dấu bằng)
Bây giờ ta đi tìm GTNN của

Mà
. Vậy
đạt được khi
.
Ví dụ 4. (Trích đề thi khối A năm 2011)
Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1; 4] và
. Tìm GTNN của biểu thức

.

Lời giải

Trước hết ta chứng minh với mọi a, b dương,
thì

(*)
Thật vậy, ta có
luôn đúng do a, b dương và
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.
Áp dụng (*) với x, y thuộc đoạn [1; 4] và
ta có

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
hoặc
(1)
Đặt
, khi đó
.
Xét hàm
ta có
.
Suy ra,
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
(2)
Do đó

. Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 9, y =1, z = 2.
Ví dụ 5. (Trích đề thi khối A năm 2014)
Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức



Lời giải
Ta có
, dấu bằng xảy ra khi

Ta lại có





Do đó,





Dấu bằng xảy ra khi
hoặc
.
Ví dụ 6. ( Đề thi chọn HSG QG THPT bảng B, 1999)
Xét phương trình
với a, b là các số thực,
,
sao cho các nghiệm đều là số thực dương. Tìm GTNN của
.

Lời giải
Gọi u, v, s là ba nghiệm thực dương của đa thức
. Theo định lý Viete ta có

.
Từ đó suy ra a > 0, b > 0.
Đặt
. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có

.
Mặt khác,
.
Do đó

Từ (1), (2) và (3) ta có


Xét hàm số
với
.
Ta được
. Dấu bằng xảy ra khi
. Suy ra
.
Đẳng thức xảy ra khi
, tức là
. Vậy
.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho các số dương a, b, c với
.Chứng minh rằng

.
Bài 2. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn
. Chứng minh rằng


Bài 3. Cho các số x, y, z thay đổi trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn
. Tìm GTLN và GTNN của
.
Bài 4. (IMO, 1984) Cho x, y , z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng

.
Bài 5. Cho x, y , z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của

.
Bài 6. (Trích đề khối B năm 2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện
và
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 7. Cho các số
thỏa mãn
. Chứng minh rằng

.
Bài 8. Cho ba số thực không âm
thỏa mãn
. Chứng minh rằng

.
Bài 9. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn
. Tìm GTLN của biểu thức

.
Bài 10. Chứng minh rằng nếu
là độ dài các cạnh của một tam giác thì

.


3. Phương pháp khảo sát hàm số theo từng biến
Đối với bài toán cực trị nhiều biến, ta có thể chọn một biến là biến số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán đưa về việc khảo sát hàm một biến.
Ví dụ 1. Cho ba số thực
, chứng minh rằng:



Lời giải
Bài toán hoàn toàn đối xứng với ba biến số, nên không mất tính tổng quát, ta giả sử
, coi
là biến số và coi
là tham số trong hàm số


Ta có

và
với mọi
và
.
Điều đó chứng tỏ
là hàm số đồng biến, suy ra

( do
).
Đến đây ta suy ra
là hàm số đồng biến, như vậy
.

Vậy bài toán đã chứng minh xong!
Ví dụ 2. Cho
. Tìm GTLN của biểu thức
.

Lời giải
Đặt
. Xét hai trường hợp sau:
* TH1:
. Ta có


Suy ra,
.
Mặt khác,

Suy ra,

Ta có,


Bảng biến thiên
b

1 3




+ -










Từ bảng biến thiên suy ra
.
* TH2:
. Từ TH1 ta có
. Mặt khác

.
Suy ra ,
.



Vậy
, đạt được khi và chỉ khi
.
Ví dụ 3. Cho
. Tìm GTLN của biểu thức
.

Lời giải
Đặt
. Ta có



và
liên tục trên

Nên f’(c) nghịch biến trên [0; 1]. Suy ra


Suy ra, f(c) đồng biến trên [0; 1]. Do đó

.
Ta có


Nên g’(a) nghịch biến trên [0; 1]. Suy ra,


Suy ra g(a) đồng biến trên [0; 1]. Do đó,
.
Ta có
.
Suy ra h(b) đồng biến trên [0; 1], nên
.
Với a = b = c = 1 thì
.
Ví dụ 4. (Đề thi VMO bảng A 1999)
Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + c = b. Tìm GTLN của biểu thức

.

Lời giải
Biến đổi giả thiết thành a + c = b(1 - ac) > 0. suy ra


Thay (1) vào biểu thức P và biến đổi được

Xét hàm số
với 0 < x <
và coi c là tham số (c > 0).
Ta có

Trên
thì
có nghiệm duy nhất là
(3) với
. Qua
thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm nên f(x) đạt cực đại tại
nên

Từ đó theo (2) ta có
.
Xét hàm số g(c) với c > 0. Ta có
.
Với c > 0, thì g’(c) = 0 tại
va qua
thì g’(c) đổi dấu từ dương sang âm nên g(
) là giá trị cực đại, suy ra
.
Giá trị
đạt được khi
theo (1) và (3).
Ví dụ 5. (Đề thi VMO năm 2001) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện


Hãy tìm GTLN của biểu thức
.

Lời giải
Từ điều kiện (1) và (2) suy ra
(4)
a) Xét hàm số
với x > 0 và tham số
. Xét hai trường hợp
* Nếu
thì
theo (4) nên
(5)
* Nếu
thì
theo (4) nên
.
Xét hàm số g(z) với
. Ta có
.


Do đó g(z) là hàm nghịch biến và
(6)
So sánh (5) và (6) ta có
và
(7)
b) Xét hàm số
với tham số

Từ điều kiện (1) và (3) suy ra
(8)
Lập luận tương tự phần a) ta được
* Nếu
thì
(9)
* Nếu
thì
(10)
So sánh (9) và (10) ta có
và
(11)
So sánh kết quả phần a) và b) ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy maxP = 13.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng nếu
thì
.

Lời giải
Ta coi một trong ba số
là một biến số của hàm số, chẳng hạn là
, khi đó ta đặt
và ta đi xét hàm số
,
Đặt
.
Khi đó
,
.
Ta có

Như vậy, ta luôn có
,
trong đó
và
.
Ta xét tiếp
trên đoạn
có
,


trong đó
và có

Như vậy,

Xét lần nữa
và
trên đoạn
có
, từ đó suy ra
với mọi
.
Xét tương tự đối với
trên đoạn
ta cũng có

.
Vậy
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Chứng minh rằng
.
Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

.
Bài 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác (có thể suy biến). Đặt

.
Tìm maxT và chứng minh rằng
.
Bài 4: (Bảng A, 2001) Cho hàm số
trên miền

.
Bài 5: ( Bảng A, 2001) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện


Hãy tìm GTLN của biểu thức
.
Bài 6: (Đề thi chọn ĐTQG, 2001) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac
. Tìm GTNN của biểu thức
.
4. Phương pháp đổi biến
Ví dụ 1. (Trích đề thi khối D năm 2012)
Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ( 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).

Lời giải
Ta có








A =
=

A

Đặt t = x + y (
), xét f(t) =

f’(t) =

f’(t) = 0 khi t =
; f(0) = 6, f(8) = 398, f(
) =

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(t) là
xảy ra khi t =

A
f(t)

. Dấu bằng xảy ra khi x = y và x + y =
hay x = y =

Ví dụ 2. (Trích đề thi khối B năm 2011)
Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
.

Lời giải
Theo giả thiết ta có
. Từ đây suy ra:

hay

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Đặt t =
, ta suy ra: 2t + 1 (
( 4t2