BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON

Ở lớp 8, khi học về hằng đẳng thức, ta đã biết khai triển:

Quan sát các đơn thức ở vế phải của các đẳng thức trên, hãy nhận xét về quy luật số mũ của và . Có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong khai triển khi không?


Ví dụ 1: Khai triển .
Lời giải
Thay và trong công thức khai triển của , ta được:

Ví dụ 2: Khai triển .
Lời giải
Thay và trong công thức khai triển của , ta được:


Ví dụ 3: Khai triển
Lời giải
Thay và trong công thức khai triển của , ta được:
.
Ví dụ 4: Khai triển
Lời giải


Ví dụ 5:
a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của để tính giá trị gần đúng của .
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a
Lời giải
a)
b) Cách bấm: 1.05^4=
Hiển thị

Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a là 0,01550625.



Câu 1. Khai triển các đa thức:
a) ; b) ;
c) ; d)
Lời giải
a)

b)

c)


d)

Câu 2. Tìm hệ số của trong khai triển của
Lời giải
Số hạng thứ 4 của khai triển là . Vậy hệ số của trong khai triển là .
Câu 3. Biểu diễn dưới dạng với là các số nguyên.
Lời giải
Nhận xét:



Do đó
Câu 4. a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của để tính giá trị gần đúng của .
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.
Lời giải
a)
b) Cách bấm máy: C1.02^5=
Hiển thị:

Sai số tuyệt đối:
Câu 5. Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là
a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là (nghìn người).
b) Với , dùng hai số hạng đầu trong khai triển của , hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).
Lời giải
Số dân của tính đó sau 1 năm là (nghìn người)
Số dân của tính đó sau 2 năm là (nghìn người).
Lập luận hoàn toàn tương tự ta có số dân của tỉnh đó sau 5 năm là (nghìn người)
b) Số dân của tỉnh đó ước tính sau 5 năm nữa là
(nghìn người)

TỔNG QUÁT VỀ CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN
1. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
Khai triển được cho bởi công thức sau:
Với là các số thực và là sô nguyên dương, ta có

Quy ước
Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).
Trong biểu thức ở VP của công thức (1)
a) Số các hạng tử là .
b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
d) Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) của khai triển là: .
2. HỆ QUẢ
Với thì ta có .
Với , ta có
3. CÁC DẠNG KHAI TRIỂN CƠ BẢN NHỊ THỨC NEWTON
•
•
◦
◦
◦
◦
◦



Dạng 1. Khai triển biểu thức dạng

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton với ta có
.

Câu 1. (NB) Khi khai triển nhị thức Newton ta thu được bao nhiêu hạng tử.
Lời giải
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta được
Vì không có hạng tử nào có phần biến giống nhau để thu gọn nên có tất cả 5 hạng tử.
Câu 2. (NB) Khai triển nhị thức Newton .
Lời giải
Ta có .
Câu 3. (NB) Khai triển nhị thức Newton .
Lời giải
Ta có .
Câu 4. (NB) Khai triển nhị thức Newton .
Lời giải
Ta có .
Câu 5. (TH) Khai triển nhị thức Newton .
Lời giải
Ta có
.
Câu 6. (TH) Khai triển nhị thức Newton .
Lời giải
Ta có
.
Câu 7. (TH) Khai triển nhị thức Newton .
Lời giải
Ta có
.
Câu 8. (TH) Khai triển nhị thức Newton .
Lời giải
Ta có
.


Câu 9. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của có bao nhiêu số hạng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của có số hạng.
Câu 10. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của có bao nhiêu số hạng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của có số hạng.
Câu 11. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của , số hạng tổng quát của khai triển là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Số hạng tổng quát của khai triển là .
Câu 12. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của , số hạng tổng quát của khai triển là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Số hạng tổng quát của khai triển là .
Câu 13. Tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của chính là giá trị của biểu thức tại .
Vậy .
Câu 14. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của , số hạng thứ theo số mũ tăng dần của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Do đó số hạng thứ theo số mũ tăng dần của ứng với , tức là .
Câu 15. Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Niu-tơn của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Số hạng chứa trong khai triển trên ứng với .
Vậy hệ số của trong khai triển của là .
Câu 16. Tìm số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niu-tơn của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Số hạng chứa (ứng với ) trong khai triển là .
Câu 17. Gọi là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Niu-tơn của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
ĐK: .

(thỏa).
Ta có .
Hệ số của trong khai triển trên ứng với .
Vậy hệ số của trong khai triển là .
Câu 18. Tìm số hạng không chứa trong khai triển nhị thức Niu-tơn của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có .
Số hạng không chứa trong khai triển trên ứng với .
Vậy số hạng không chứa trong khai triển là .
Dạng 2. Khai triển biểu thức dạng .

Sử dụng công thức:


Câu 1: Khai triển biểu thức .
Lời giải

Ta có: .
Câu 2: Khai triển biểu thức .
Lời giải

Ta có: .
Câu 3: Khai triển biểu thức .
Lời giải

Ta có: .
Câu 4: Khai triển biểu thức .
Lời giải

Ta có: .
Câu 5: Khai triển biểu thức .
Lời giải

Ta có: .
Câu 6: Khai triển biểu thức .
Lời giải

Ta có: .
Câu 7: Khai triển biểu thức .
Lời giải

Ta có: .
Câu 8: Khai triển biểu thức .
Lời giải

Ta có: .

Câu 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức newton .
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn A
.
Câu 2: Viết khai triển theo công thức nhị thức newton .
A.
B.
C.
D. .
Lời giải
Chọn A
.
Câu 3: Khai triển của nhị thức .
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn C
.
Câu 4: Khai triển của nhị thức là
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn D
.
Câu 5: Khai triển của nhị thức là
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn C
.
Câu 6: Đa thức là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Nhận thấy có dấu đan xen nên loại đáp án B.
Hệ số của bằng nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là )
Câu 7: Khai triển nhị thức . Ta được kết quả là
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn B
.
Câu 8: Đa thức là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Nhận thấy có dấu đan xen nên loại đáp án B.
Hệ số của bằng 1 nên loại đáp án C và còn lại hai đáp án A và D thì chỉ có A phù hợp (vì khai triển số hạng cuối của đáp án A là ).
Câu 9: Khai triển của nhị thức là
A. .
B. .
C. .
D.
Lời giải
Chọn B
.
Câu 10: Khai triển của nhị thức là
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn A
.
Dạng 3. Xác định một hệ số hay một số hạng trong khai triển của bậc 4 hay bậc 5:
Câu 1: Tìm số hạng chứa trong khai triển .
Lời giải
Ta xét khai triển có số hạng tổng quát là

Số hạng chứa trong khai triển ứng với giá trị thỏa mãn :.
Vậy số hạng chứa trong khai triển là: .
Câu 2: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển .
Lời giải
Ta xét khai triển có số hạng tổng quát là
.
Số hạng chứa trong khai triển ứng với giá trị thỏa mãn :.
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển là: .
Câu 3: Tìm số hạng chứa trong khai triển .
Ta xét khai triển có số hạng tổng quát là
.
Số hạng chứa trong khai triển ứng với giá trị thỏa mãn :.
Vậy số hạng chứa trong khai triển là: .
Câu 4: Tính tổng các hệ số trong khai triển .
Lời giải
Đặt .
Cho ta có tổng các hệ số .
Câu 5: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển ( với ).
Lời giải
Ta xét khai triển ( với ) có số hạng tổng quát là .
Số hạng chứa tương ứng với giá trị thỏa mãn: .
Vậy hệ số của số hạng chứa là .
Câu 6: Tìm hệ số của số hạng không chứa trong khai triển với .
Lời giải
Ta xét khai triển ( với ) có số hạng tổng quát là
.
Số hạng không chứa trong khai triển tương ứng với giá trị thỏa mãn: .
Vậy hệ số của số hạng không chứa trong khai triển là .
Câu 7: Tìm số hạng không chứa trong khai triển với .
Lời giải
Ta xét khai triển ( với ) có số hạng tổng quát là

Số hạng không chứa trong khai triển tương ứng với giá trị thỏa mãn: .
Vậy số hạng không chứa trong khai triển là .
Câu 8: Tìm số hạng chứa trong khai triển , .
Lời giải
Ta xét khai triển ( với ) có số hạng tổng quát là
.
Số hạng chứa trong khai triển tương ứng với giá trị thỏa mãn: .
Vậy số hạng chứa trong khai triển là .
Câu 9: (VD). Tìm số hạng không chứa trong khai triển
Lời giải
Xét số hạng tổng quát (với ).
Số hạng không chứa ứng với .
Vậy số hạng không chứa là .
Câu 10: (VD). Cho là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm số hạng không chứa trong khai triển
Lời giải
Điều kiện: (1)

Khi đó,
Số hạng không chứa tương ứng
Suy ra số hạng không chứa là:
Câu 11: (VD). Cho khai triển thỏa mãn . Tìm giá trị của số nguyên dương
Lời giải
Ta có: . Suy ra: . Thay , , vào giả thiết ta có:
.
Do là số nguyên dương nên .
Câu 12: (VDC). Tìm hệ số của trong khải triển thành đa thức của
Lời giải
Ta có
Xét khai triển
Số hạng chứa tương ứng với thỏa mãn
Kết hợp với điều kiện, ta có hệ :

Vậy hệ số của bằng tổng các thỏa mãn
Câu 13: (VDC). Tìm số hạng có hệ số nguyên trong khai triển thành đa thức của biết là số nguyên dương thỏa mãn:
Lời giải
Ta có
Thay vào ta được
Thay vào ta được
Lấy vế theo vế ta được
Theo đề
Số hạng tổng quát của khai triển là

Ta có bảng sau

0
1
2
3
4
5







Vậy số hạng có hệ số nguyên là

Câu 14: (VDC) Tìm số hạng chứa trong khai triển của biểu thức với n là số nguyên dương thỏa mãn
Lời giải
Xét (Điều kiện : ).

Với thì

Theo đề bài số hạng chứa thỏa mãn với
Vậy số hạng chứa là .

Câu 15: Khai triển theo công thức nhị thức Newton .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A

Câu 16: Đa thức là khai triển của nhị thức nào?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Vì hệ số của là và dấu trong khai triển đan xen nên chọn đáp án C.
Câu 17: Trong khai triển , hệ số của số hạng thứ bằng:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B

Câu 18: Tìm hệ số của đơn thức trong khai triển nhị thức .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có

Suy ra hệ số của trong khai triển trên là: .
Câu 19: Số hạng chính giữa trong khai triển là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D

Suy ra hệ số chính giữa trong khai triển trên là: .
Câu 20: Biết . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có
.
Suy ra .
Câu 21: Số hạng chứa trong khai triển là số hạng thứ mấy ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

Ta có:
.
Số hạng chứa trong khai triển trên ứng với số hạng thứ .
Câu 22: Tìm số hạng không chứa trong khai triển của nhị thức .
Lời giải
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có:
.
Số hạng không chứa trong khai triển là .
Câu 23: Cho là một số thực bất kì. Rút gọn
.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Câu 24: Giả sử có khai triển . Tìm biết
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có
Vậy ; ; .
Theo bài ra nên ta có:
.
Từ đó ta có .
Câu 25: Biết hệ số của trong khai triển của là . Khi đó ta có bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Số hạng tổng quát khai triển của là .
hệ số của trong khai triển của ứng với .
Khi đó
Câu 26: Tìm hệ số của trong khai triển : , với , biết: .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có : .
Số hạng tổng quát của khai triển là .
Số hạng chứa trong khai triển ứng với số mũ của là: .
Vậy hệ số của trong khai triển là: .
Câu 27: Tìm hệ số của trong khai triển : , với , biết tổng ba hệ số đầu của trong khai triển bằng 33.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có :
Số hạng tổng quát của khai triển là .
Số hạng chứa trong khai triển ứng với số mũ của là: .
Vậy hệ số của trong khai triển là : .
Câu 28: Tìm hệ số của trong khai triển : , với , biết tổng ba hệ số đầu của trong khai triển bằng 33.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có :
Số hạng tổng quát của khai triển là .
Số hạng chứa trong khai triển ứng với số mũ của là: .
Vậy hệ số của trong khai triển là : .
Câu 29: Cho khai triển: . Tính tổng .
Biết : .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A

Ta có : .
Ta có :
Tổng là:

.
Câu 30: Với là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm để .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
,
Yêu cầu .
Câu 31: Cho khai triển: , biết thỏa mãn . Tìm hệ số lớn nhất của khai triển.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
.
Nên .
Suy ra ta có khai triển : Hệ số của khai triển là: .
Ta có: là hệ số lớn nhất .
Vậy hệ số lớn nhất của khai triển là : .

Dạng 4. Tính tổng của các tổ hợp và ứng dụng (nếu có).

Câu 1: (NB) Tính tổng sau .
Lời giải
Xét khai triển .
Ta chọn , thu được .
Vậy .
Câu 2: (NB) Tính tổng sau .
Lời giải
Xét khai triển .
Ta chọn , thu được .
Do đó .
Vậy .
Câu 3: (NB) Tính tổng sau .
Lời giải
Xét khai triển .
Ta chọn , thu được .
Vậy .


Câu 4: (NB) Tính tổng sau .
Lời giải
Xét khai triển .
Ta chọn , thu được .
Vậy .
Câu 5: (TH) Cho là số tự nhiên thỏa mãn . Tính tổng .
Lời giải
Ta có
Do nên . Khi đó .
Xét khai triển .
Ta chọn , thu được .
Vậy .
Câu 6: (TH) Cho đa thức . Tính tổng các hệ số của đa thức .
Lời giải
Ta có . Khi đó tổng các hệ số của đa thức là
.
Xét khai triển .
Ta chọn , thu được .
Vậy tổng các hệ số của đa thức bằng 0.
Câu 7: (TH) Tính tổng sau .
Lời giải
Ta có .
Xét khai triển .
Ta chọn , thu được .
Do đó .
Vậy .
Câu 8: (TH) Tính tổng sau .
Lời giải
Xét khai triển .
Chọn , ta thu được .
Chọn , ta thu được .
Cộng theo vế hai phương trình ta được


.
Câu 9: Tính tổng:
Lời giải
Xét
Ta chọn , khi đó
.
Câu 10: Tính tổng:
Lời giải

Ta chọn , khi đó
Câu 11: Cho , tính tổng .
Lời giải
Ta có: .
Xét khai triển Newton

Tại ta có
Vậy
Câu 12: Cho là số tự nhiên. Hãy tính tổng sau:
Lời giải


Ta có (tính chất tổ hợp).


Xét khai triển
Khi .
Câu 13: Cho là số tự nhiên. Thu gọn biểu thức theo .
Lời giải
Ta có .
.
Xét khai triển .
Khi .
Mặt khác ta lại có:
Do đó:
Tương tự xét khai triển
Khi .
Vậy .
Câu 14: Rút gọn biểu thức
Lời giải
Ta có
Xét nhị thức
Cho .
Vậy: .

Câu 1: (NB) Tổng bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Theo khai triển nhị thức Niuton
Với , ta có
Câu 2: (NB) Với , tổng bằng
A. B. C. D. .
Lời giải
Chọn B
Theo khai triển nhị thức Niuton
Với , ta có
Với , ta có
Lấy
Vậy .
Câu 3: (NB) Tổng bằng
A. B. C. D. .
Lời giải
Chọn D
Theo khai triển nhị thức Niuton
Với , ta có
Câu 4: (NB) Với , tổng bằng
A. B. C. D. .
Lời giải
Chọn D
Theo khai triển nhị thức Niuton
Với , ta có
Với , ta có
Lấy
Vậy .
Câu 5: (NB) Biểu thức bằng
A. B. C. D. .
Lời giải
Chọn C
Áp dụng
Câu 6: (TH) Cho là số nguyên dương thỏa mãn. Giá trị của số n bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện : .
Áp dụng
Ta có
.
Câu 7: (TH) Cho là số nguyên dương thỏa mãn .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện : .
Ta có

.
Câu 8: (TH) Cho là số nguyên dương thỏa mãn. Giá trị của n bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có
Mà nên suy ra

Câu 9: (TH) Tổng bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có
Áp dụng hệ thức trên, ta có .
Câu 10: (TH) Cho . Tính biểu thức thì bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có
Áp dụng
Do đó
Câu 11: Tính tổng ta được kết quả là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Xét khai triển: .
Chọn ta được :
Câu 12: Tính tổng ta được kết quả là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Xét khai triển: .
Chọn ta được :
Câu 13: Tính tổng ta được kết quả là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Xét khai triển: .
Chọn ta được : (1)
Chọn ta được : (2)
Từ (1) và (2) suy ra : .
Câu 14: Xét khai triểm . Tổng là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Xét khai triển: .
Chọn ta được .
Câu 15: Tính tổng ta được kết quả là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Xét khai triển: ta có: ( hệ số chứa ở cả hai vế).
Áp dụng với khai triển ta có hệ số chứa bằng nhau nên:

Câu 16: Tính tổng ta được kết quả là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có:

Câu 17: Tính tổng ta được kết quả là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Suy ra:


Dạng 5. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của , để tính gần đúng và ứng dụng (nếu có).

Câu 18: Viết khai triển lũy thừa
Lời giải
Ta có:
Câu 19: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa để tính gần đúng số Lời giải
Ta có:

Vậy: .
Câu 20: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa để tính gần đúng số
Lời giải
Ta có:

Vậy: .
Câu 21: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa để tính gần đúng số
Lời giải
Ta có:

Vậy:
Câu 22: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa để tính gần đúng số
Lời giải
Ta có:

Vậy:
Câu 23: Tìm giá trị gần đúng của , biết khi ta dùng 2 số hạng đầu tiên trong khai triển .
Lời giải
Ta có:

Vậy
Câu 24: Một người có triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất năm. Với giả thiết sau mỗi tháng người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu. Đây được gọi là hình thức lãi kép. Biết số tiền cả vốn lẫn lãi T sau tháng được tính bởi công thức , trong đó là số tiền gởi lúc đầu và là lãi suất của một tháng. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn, tính gần đúng số tiền người đó nhận được (cả gốc lẫn lãi) sau tháng
Lời giải
Lãi suất của một tháng tháng.
Ta có: .
Suy ra: đồng
Vậy: sau tháng người đó nhận được hơn đồng.
Câu 25: Một người có triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất năm. Với giả thiết sau mỗi năm người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu. Đây được gọi là hình thức lãi kép. Biết số tiền cả vốn lẫn lãi T sau năm được tính bởi công thức , trong đó là số tiền gởi lúc đầu và là lãi suất của một năm. Sau 4 năm người đó nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi số tiền đồng khi dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn. Tính gần đúng số tiền người đó đã gởi lúc đầu.
Lời giải
Ta có: .
Suy ra: đồng
Vậy lúc đầu người đó gởi vào khoảng 300 000 000 đồng
Câu 26: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa để so sánh và .Lời giải
Ta có:
Vậy: .
Câu 27: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa để ước lượng giá trị gần đúng của (làm tròn sau dấy phẩy hai chữ số), biết
Lời giải
Ta có:

Khi đó: .
Vậy: .
Câu 28: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa để ước lượng giá trị gần đúng của theo .
Lời giải
Ta có:

Vậy:
Câu 29: Một người có triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất năm. Với giả thiết sau mỗi năm người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn, tính số tiền người đó thu được (cả gốc lẫn lãi) sau năm.
Lời giải
Gọi là số tiền ban đầu người đó gửi vào, là lãi suất, là số tiền nhận được sau năm.
Khi đó: .
Theo giả thiết:
(đồng)
Vậy: sau năm người đó nhận được hơn đồng.
Câu 30: Số dân ở thời điểm hiện tại của một tỉnh là triệu người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh đó là . Sử dụng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa , hỏi sau bao nhiêu năm thì số dân của tỉnh đó là triệu người?
Lời giải
Gọi là số dân ban đầu, là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, là số dân của tỉnh đó sau năm.
Khi đó: .
Theo giả thiết:
(năm)
Vậy: Sau khoảng 4 năm thì số dân của tỉnh đó là triệu người.
Câu 31: Ông có triệu đồng và ông có triệu đồng gửi hai ngân hàng khác nhau với lãi suất lần lượt là năm và năm. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn, ước lượng sau bao nhiêu năm thì số tiền của hai ông thu được là bằng nhau và mỗi người nhận được bao nhiêu tiền?
Lời giải
Gọi là số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng, là lãi suất, lần lượt là số tiền nhận được sau năm.
Khi đó: .
Theo giả thiết: (đồng)
Vậy: Sau hơn 17 năm mỗi người nhận được hơn đồng.


Câu 1: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển để tính gần đúng số .Tìm số đó?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
.
Khi đó: .
Câu 2: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển để tính gần đúng số . Tìm số đó?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
.
Khi đó:
Câu 3: Dùng ba số hạng đầu tiên trong khai triển để tính gần đúng số . Tìm số đó?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
.
Khi đó: .
Câu 4: Dùng ba số hạng đầu tiên trong khai triển để tính gần đúng số . Tìm số đó?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
.
Khi đó:
Câu 5: Dùng bốn số hạng đầu tiên trong khai triển để tính gần đúng số . Tìm số đó?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
.
Khi đó:
Câu 6: Dùng bốn số hạng đầu tiên trong khai triển để tính gần đúng số . Tìm số đó?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
.
Khi đó: .
Câu 7: Dùng ba số hạng đầu tiên trong khai triển để tính gần đúng số . Tìm số đó?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

.
Khi đó: .
Câu 8: Dùng bốn số hạng đầu tiên trong khai triển để tính gần đúng số . Tìm số đó?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

.
Khi đó: .

Câu 9: Tính giá trị của
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
.
Chọn , ta được
Câu 10: Tính giá trị của .
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn D.
.
Chọn ,ta được
Câu 11: Trong khai triển biểu thức số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có số hạng tổng quát
Ta thấy bậc hai của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố, do đó để là một số nguyên thì
Vậy trong khai triển có giá trị lớn nhất là số hạng nguyên là .
Câu 12: Nếu một người gửi số tiền A vào ngân hàng theo thể thức lãi kép (đến kỳ hạn mà người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kỳ kế tiếp) với lãi suất r mỗi kì thì sau N kì, số tiền người ấy thu được cả vốn lẫn lãi là C = A(1 + r)N (triệu đồng). Ông An gửi 20 triệu đồng vào ngân hàng X theo thể thức lãi kép với lãi suất 8,65% một quý. Hãy dùng ba số hạng đầu trong khai triểntính sau 5 quý (vẫn tính lãi suất kì hạn theo quý), ông An sẽ thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu (giả sử lãi suất hằng năm của ngân hàng X là không đổi) ?
A. triệu đồng. B. triệu đồng.
C. triệu đồng. D. triệu đồng.
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức với triệu

=
Vậy số tiền thu được sau 5 quý là: triệu đồng.

Câu 13: Để dự báo dân số của một quốc gia người ta sử dụng công thức , trong đó là
dân số của năm lấy làm mốc, là dân số sau năm, là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, . Năm dân số của một quốc gia là người. Dùng ba số hạng đầu trong khai triển ta ước tính được số dân của quốc gia đó vào năm gần số nào sau đây nhất ?
A. nghìn người. B. nghìn người .
C. nghìn người. D. nghìn người.

Lời giải
Chọn A

Lấy năm làm mốc và tính dân số năm thì
Áp dụng công thức với, .

Ước tính dân số của quốc gia đó vào năm là: .
Vậy dân số quốc gia đó là nghìn người.