BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DUNG
I. Kiến thức cơ bản :

Tính chất :
1) a > b và b> c
a > c
2) a > b
a + c > b + c
3) a > b và c > d
a + c > b + d
4) a > b và c > 0
a.c > b.c , a > b và c < 0
a.c < b.c
5) a > b
0

, a > b


Nếu a > 0 và b > 0 thì a > b
a2 > b2











Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối :
1)

a với mọi a thuộc R
2)
với mọi a dương
3)
với mọi a dương
4)
với mọi a , b thuộc R









Bất đẳng thức Cô-si:
1)Cho hai số không âm a , b . Ta có : a + b

Dấu “ = ” xãy ra khi và chỉ khi a = b
2) Cho ba số không âm a , b , c . Ta có : a + b + c

Dấu “ = ” xãy ra khi và chỉ khi a = b= c
Hệ quả :
Nếu hai(ba) số dương có tổng không đổi thì tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi hai (ba) số đó bằng nhau
Nếu hai(ba) số dương có tích không đổi thì tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi hai (ba) số đó bằng nhau













II . Các phương pháp giải:
A. Chứng minh bất đẳng thức bằng cách dùng định nghĩa :
Sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa về bất đẳng thức đúng đã biết. Các bất đẳng thức đúng đã biết : a2
0 , a2 + b2
0 …
Ví dụ 1: Cho ba số thực a , b , c . Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2
ab +bc + ca , từ đó suy ra
( ab + bc + ca)2
3abc(a+b+c)
Giải : Ta có :
a2 + b2 + c2
ab +bc + ca

2( a2 + b2 + c2 )
2(ab +bc + ca)

( a2 – 2ab + b2 ) + ( b2 – 2bc + c2 )+ ( c2 – 2ca + a2 )
0

( a – b)2 + (b – c )2 + ( c – c )2
0 , Bất đẳng thức nầy đúng , bài toán chứng minh xong
Do ( ab + bc + ca)2 = (ab)2 +(bc)2 +(ca)2 + 2abc(a + b + c )
ab.bc +bc.ca + ca.ab +2abc(a+b+c)
= 3abc(a+b+c)
Ví dụ 2 :Cho hai số a , b , c thỏa a
1 . b
1 .Chứng minh rằng :


Giải :


(2+a2 + b2)(1+ab)
2(1+a2)(1+b2)

2+a2 + b2 +2ab +ab(a2 + b2 )
2(1 +a2+b2 +a2b2)

2ab – a2 – b2 + ab(a2+b2) – 2a2b2
0

ab(a – b)2 – (a – b)2
0

( a – b)2 ( ab – 1)
0 . Bất đẳng thức nầy đúng do ab
1 .
Ví dụ 3 : Cho hai số a , b thỏa : a + b
2 . Chứng minh rằng : a4 + b4
a3 + b3
Giải : a4 + b4
a3 + b3

a4 – a3 + b4 – b3
0

a3(a -1) + b3( b – 1)
0

(a3 – 1)( a – 1) + (b3 – 1)(b – 1) + a + b – 2
0

( a – 1)2(a2+a +1) +(b – 1)2(b2+b+1) a + b – 2
0 . Bất đẳng thức nầy đúng
Nhận xét : Sử dụng cách làm trên thường ta cần phát hiện , phân tích thành các hằng đẳng thức .
B . Dùng các bất đẳng thức đã biết :( bất đẳng thức Cô-Si , Bất đẳng thức trị tuyệt đối )
Ví dụ 1 :Cho a , b , c