ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP 9

Họ và tên:……………………

Câu 1 (2,5 điểm): Rút gọn biểu thức
A=
;
với x>0, x 1
;
Câu 2 (3 điểm): Cho hàm số y = (m – 1)x + 2 – m (với m 1) (1) có đồ thị là (d)
a) Tìm m để hàm số (1) đồng biến.
b) Tìm m để (d) đi qua điểm A(-1; 2).
c) Tìm m để (d) song song với đồ thị hàm số y = 3x – 11
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m?
Câu 3 (1 điểm): Giải hệ phương trình sau
Câu 4 (3 điểm): Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ
hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm tiếp điểm). Gọi H là
giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H
b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt (O) tại E (khác D).
Chứng minh: AE.AD = AH.AO
c) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường BC tại F.
Chứng minh FD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Câu 5 (0,5 điểm): Cho ba số thực a, b, c thoả mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
ĐỀ II
Bài 1. (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức
a)

b)

c)

Bài 2. (2 điểm) Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x để A xác định. Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi x = 3 +
Bài 3. (1,5 điểm) Cho hàm số

c)Tìm x để A < 0
có đồ thị là (d1)

a) Nêu tính chất biến thiên của hàm số
b)Với giá trị nào của m thì (d1) song song với (d2) là đồ thị của hàm số
c) Tìm giao điểm của đường thẳng (d1) với trục hoành và trục tung
Bài 4. (1,5 điểm) Cho ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết AB = 3, AC = 4.
a) Tính độ dài cạnh BC.
b)Tính diện tích tam giác ABH.
Bài 5. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH, O là trung điểm của
AB. Đường thẳng vuông góc với CO tại C cắt AB tại D cắt các tiếp tuyến Ax, By của
đường tròn (O; OC) lần lượt tại E, F.
a) Chứng minh CH2 + AH2 = 2AH.CO
b) Chứng minh EF là tiếp tuyến của (O; OC) từ đó suy ra AE + BF = EF
c) Khi AC

AB = R, tính diện tích tam giác BDF theo R.
ĐỀ III

Câu 1. ( 2 điểm )1) Tính
3)Trục căn thức ở mẫu

.

và

.

.

Câu 2. ( 1,5 điểm ) 1) Tìm các số thực a để
2) Cho số thực

2) So sánh

có nghĩa.

. Rút gọn biểu thức

Câu 3.( 2,5 điểm )Cho hai hàm số: y = 3x có đồ thị là ( p )và y = –2x + 3 có đồ thị là ( q )
1) Vẽ hai đồ thị ( p ) và ( q ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
2) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( p ) và ( q ).
3) Cho hàm số y = ( m2 – 1 )x + m – 2 có đồ thị là ( d ), với m là số thực cho trước.
Tìm các giá trị của m để ( d ) song song với ( p ).
Câu 4. ( 2,0 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết AB = 20a,
AC = 21a, với a là số thực dương. Gọi M là trung điểm cạnh BC.
1) Tính BH theo a.

2) Chứng minh tam giác ABM là tam giác cân. Tính tan

Câu 5. ( 2,0 điểm ) Cho tam giác ABC có đỉnh C nằm bên ngoài đường tròn ( O ), đường
kính AB. Biết cạnh CA cắt đường tròn ( O ) tại điểm D khác A, cạnh CB cắt đường tròn
( O ) tại E khác B. Gọi H là giao điểm của AE và BD.
1) Chứng minh tam giác ABD là tam giác vuông. Chứng minh CH vuông góc với AB.
2) Gọi F là trung điểm đoạn CH. Chứng minh DF là tiếp tuyến của đường tròn ( O ).
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ 1 HỌC KÌ 1 TOÁN 9

TT

Nội dung

A=

Điểm

1

= 2- 3 = - 1

0,5
B=

0,5

Câu 1
(2.5đ)

0,25
0,25
với x>0, x 1
Cho hàm số y = (m – 1)x + 2 - m. (1) có đồ thị là (d)
a) Hàm số (1) đồng biến
Vậy hàm số (1) đồng biến với m> 1
b) (d) đi qua điểm A(-1; 2) 2=(m – 1).(-1) + 2-m
Vậy (d) đi qua điểm A(-1; 2) m = 0,5

0,75
0,25
0,75
0,25

m = 0,5

c) (d) song song với đồ thị hàm số y = 3x

m=4

0,5

Câu 2
(3đ): Vậy (d) song song với đồ thị hàm số y = 3x – 11

m=4
d) Gọi A(
) là điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m
Thì phương trình
= (m-1) +2-m (2) đúng với m
Vì phương trình (2) đúng với m nên
Cho m = 1 ta có:
= 1 (3)
Cho m = 2 ta có =
(4)
Từ (3) và (4) ta có =
= 1. Vậy A(1;1)

Câu 3
(1đ):

0,25

0,25
0,75

PT:

0,25

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là
Câu
4
(3đ):

+ Vẽ hình đúng:
a) Ta có: AB = AC
(tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau)
OB = OC (= bán
kính)
Þ AO là đường
trung trực của đoạn
thẳng BC
Þ OA ^ BC tại H

0.25
B

O
H

A

E
K
D

C
F

b) Ta có DBED nội tiếp đường tròn (O) đường kính BD

0,75

TT

Nội dung

Điểm

Þ DBED vuông tại E; BE ^ AD tại E
Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên AB ^ OB Þ DABO vuông tại B
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABO có AH.AO = AB 2 (1)
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABD có AE.AD = AB2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE.AD = AH.AO
c) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABO có
(3)
Chứng minh DOHF ~ DOKA (g-g) Þ

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

(4)

0,25

Từ (3) và (4) suy ra:
0,25

Mà OD = OB (bán kính) Þ
Chứng minh DOKD ~ DODF (c-g-c)Từ đó suy ra
D
Mà D thuộc (O) ÞFD là tiếp tuyến đường tròn (O)

Þ DF^ OD tại
0,25

Ta có
Vì a 1; b 4; c 9 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho các số dương ta được:
=

=

Dấu ''='' xảy ra

a=2

Dấu ''='' xảy ra

b=8

(2)

c=18

(3)

(1)

Câu 5
(0,5đ)

=

=

=

= Dấu ''='' xảy ra

0,5

Cộng từng vế (1); (2) ; (3) ta có
Vậy giá trị lớn nhất của P =

khi a=2; b= 8; c=18

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ 2 HỌC KÌ 1 TOÁN 9
Bài 1. (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức
a)
b)
c)
Bài 2. (2 điểm) Cho biểu thức:
a) Tìm được điều kiện. Rút gọn:

=

=

= 36

b) Thay x = 3 +
vào biểu thức tính được A = 2
c) Tìm được 0 < x < 1
Bài 3. (1,5 điểm)
a)
. Vậy hàm số:
đồng biến trên R
b) Để
thì:
. Vậy khi m = 2 thì
c) Giao điểm với trục tung: khi x = 0
Vậy A
là giao điểm của (d1) với trục tung
Giao điểm vởi trục hoành:
Khi y = 0
Vậy B

là giao điểm của (d1) với trục hoành.

Bài 4. (1,5 điểm)
a) ĐS: BC = 5
b) Tính được

,

. Từ đó tính được

.

Bài 5. (3,5 điểm)

F

a) Trong tam giác vuông ACH
AC2 = AH2 +HC2
Trong tam giác vuông ACB
AC2 = AH.AB mà AB = 2CO
(T/c trung tuyến của tam giác vuông)
CH2 + AH2 = 2AH.CO
b) Chứng minh được DE là tiếp tuyến
EA = EC, FB = FC
AE + BF = EF
c) Sin B1= 1/2
Tam giác BCF đều
giải các tam giác vuông ABC, BDF
BC = BF = R
BD = 3R

ĐỀ 3

SBDE = 3

R2 (đvdt)

C

E

D

A

H

O

1

2
B

Câu

Nội dung

Biểu điểm

Tính:
( 0,25điểm )
Câu 1.1
( 0,75 điểm )

( 0,25điểm )
( 0,25điểm )
So sánh:
( 0,25điểm )

Câu 1.2
( 0,75 điểm )

( 0,25điểm )
Vì

nên

>

( 0,25điểm )

Trục căn thức ở mẫu :
( 0,25điểm )

Câu 1.3
( 0,5 điểm )

( 0,25điểm )
Tìm a :
có nghĩa

( 0,25điểm )

Câu 2.1
( 0,5 điểm )
Vậy

có nghĩa

( 0,25điểm )

Rút gọn biểu thức:
( 0,25điểm )
Câu 2.2
( 1,0 điểm )

( 0,25điểm )
( 0,25điểm )
( Vì

)

( 0,25điểm )

Vẽ hai đồ thị:
y = 3x ( p )
Đồ thị ( p ) là đường thẳng đi qua 2 điểm O( 0 ; 0 ) , ( 1; 3 )
y = –2x + 3 ( q )
Đồ thị ( q ) là đường thẳng đi qua 2 điểm O( 0 ; 3 ) , (

;0)

( 0,25điểm )
( 0,25điểm )

Câu 3.1
( 1,0 điểm )
( 0,5điểm )

Tìm tọa độ giao điểm:
Phương trình hoành độ giao điểm của ( p ) và ( q ):
3x = –2x + 3
Câu 3.2
( 0,75 điểm )

5x = 3

x=

( 0,25điểm )
( 0,25điểm )

y=
Vậy tọa độ giao điểm của ( p ) và ( q ) là:

( 0,25điểm )

Tìm m:
y = ( m2 – 1 )x + m – 2 ( d )
Câu 3.3
( 0,75 điểm )

( 0,25điểm )

( d ) // ( p )
m = –2

Câu 4.1

Vậy khi m = –2 thì ( d ) // ( p )
Tính BH:

( 0,25điểm )
( 0,25điểm )

( 0,25điểm )

( 1,25 điểm )

Xét
vuông tại A, đường cao AH có:
2
2
BC = AB + AC2 = (20a)2 + (21a)2 = 841a2
mà AB2 = BH.BC

BC = 29a

( 0,25điểm )
( 0,25điểm )
( 0,25điểm )

nên BH

( 0,25điểm )

Chứng minh
cân:
AM là đường trung tuyến của
AM = BM
cân tại M
Câu 4.2
Tính tan
:
( 0,75 điểm )
Vì
cân tại M nên:
tan

= tan

Câu 5.1
Chứng minh
( 1,25 điểm )

vuông tại A (giả thiết)

=

( 0,25điểm )
( 0,25điểm )
( 0,25điểm )

vuông:

( 0,25điểm )

Vì
kính

nội tiếp đường tròn ( O ) có cạnh AB là đường

vuông tại D.
Chứng minh CH vuông góc với AB:

( 0,5điểm )

Vì
vuông tại D ( cmt ) nên BD AC
Chứng minh tương tự: AE BC
H là trực tâm của
nên CH AB.
Chứng minh DF là tiếp tuyến của đường tròn ( O ):
Gọi K là giao điểm của CH và AB.
Ta có DF là đường trung tuyến của
vuông tại D
FD = FH
cân tại F
mà

Câu 5.2
nên
( 0,75 điểm )
Xét
Vì

( 0,25điểm )
( 0,25điểm )

( 0,25điểm )

( đối đỉnh )
(1)
có OB = OD ( bán kính )
cân tại O
(2)
vuông tại K nên

( 0,25điểm )
(3)

Từ ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) suy ra
DF OD tại điểm D thuộc đường tròn ( O ).
Do đó DF là tiếp tuyến của đường tròn ( O ), tiếp điểm D

( 0,25điểm )