Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.....................................................2
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM................................................................................................................ 2
B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA........................................................................................................................ 2
C. CÁC DẠNG TOÁN.......................................................................................................................................... 3
DẠNG TOÁN 1. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ KHI BIẾT ĐỒ THỊ HOẶC
BẢNG BIẾN THIÊN......................................................................................................................................... 3
1. BÀI TẬP MẪU............................................................................................................................................ 3
2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN................................................................................................................................. 5
DẠNG TOÁN 2. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
............................................................................................................................................................................ 15
1. BÀI TẬP MẪU.......................................................................................................................................... 16
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN............................................................................................................................ 17
DẠNG TOÁN 3. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN
KHOẢNG......................................................................................................................................................... 19
1. CÁC VÍ DỤ............................................................................................................................................... 20
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN............................................................................................................................ 20
DẠNG 4. BÀI TOÁN TỐI ƯU, CÓ YẾU TỐ THỰC TẾ............................................................................20
1. CÁC VÍ DỤ............................................................................................................................................... 21
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN............................................................................................................................ 21
DẠNG 5. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN..............................................21
1. CÁC VÍ DỤ............................................................................................................................................... 21
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN............................................................................................................................ 21
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN............................................................................................... 22
E. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI........................................................................................................ 30
F. TRẢ LỜI NGẮN.............................................................................................................................................. 41

1

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số
- Số
tại

xác định trên tập

được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
sao cho

tại

trên tập

nếu

trên tập

nếu

với mọi

và tồn

.

Kí hiệu
- Số

.

hoặc

.

được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
sao cho

với mọi

và tồn

.

Kí hiệu
Chú ý

hoặc

.

- Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

(mà không nói "trên tập

")

thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của
trên tập xác định của hàm số.
- Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập , ta thường lập bảng biến thiên của hàm số
trên tập
để kết luận.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
trên khoảng
Ví dụ 3. Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
2. CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Giả sử

là hàm số liên tục trên [a ; b] và có đạo hàm trên

, có thể trừ ra tại một số hữu hạn

điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn [a ; b] mà đạo hàm
bằng 0.
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Tìm các điểm

, tại đó

2. Tính

và

3. Tìm số lớn nhất

và số nhỏ nhất

trên đoạn [a ; b] :

bằng 0 hoặc không tồn tại.
.

trong các số trên. Ta có:

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn [0 ; 4].

Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
1.10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

trên đoạn

a)

;

b)

c)
;
d)
1.11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a)

;

b)

trên

.

;

.

;

c)
;
d)
.
1.12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)

trên đoạn

;

c)
trên đoạn
;
1.13. Trong các hình chữ nhật có chu vi là

b)

trên đoạn

d)
trên đoạn [0 ; 1].
, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
2

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

1.14. Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là
hình vuông và diện tích bề mặt bằng
tích của hộp là lớn nhất.

như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể

1.15. Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích
mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/

. Mặt trên và

, trong khi mặt bên của bình được làm

bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng
. Tìm các kích thước của bình để chi phi vật liệu sản xuất mỗi
chiếc bình là nhỏ nhất.
C. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG TOÁN 1. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ KHI BIẾT ĐỒ THỊ
HOẶC BẢNG BIẾN THIÊN
1. BÀI TẬP MẪU
Câu 1:

Cho hàm số

liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn

trị lớn nhất của hàm số

trên đoạn

Câu 2:

xác định và liên tục trên

Cho hàm số

Tìm giá trị của

Cho hàm số

và

liên tục trên

là giá

?

có bảng biến thiên như hình bên. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Câu 3:

như hình. Gọi

Tính tổng

và có bảng biến thiên trên đoạn

?

như hình dưới. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn

Tính giá trị của

?

Câu 4:

Cho hàm số

liên tục trên đoạn

và có đồ thị như hình. Gọi

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn

3

Giá trị của

và

lần lượt là

bằng bao nhiêu?

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 5:

Cho hàm số

vẽ bên dưới. Gọi
bằng:

Câu 6:

xác định, liên tục trên đoạn

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Cho hàm số

xác định và liên tục trên

trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Câu 7:

Cho hàm số

liên tục trên

Cho hàm số

hàm số

Câu 9:

có đồ thị bên dưới. Gọi

Giá trị của

bằng:

Giá trị của

liên tục trên đoạn

Giá trị của

lần lượt là giá

và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi

lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Câu 8:

và có đồ thị là đường cong trong hình

và

lần

bằng bao nhiêu?

và có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của

?

Cho hàm số

của hàm số

liên tục trên đoạn

và có bảng biến thiên bên dưới. Tìm giá trị lớn nhất

?
4

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 10: Cho hàm số

Gọi
Giá trị

và
bằng?

liên tục trên đoạn

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Câu 11: Cho hàm số
vẽ bên dưới.

Gọi

và có đồ thị như hình.

xác định, liên tục trên đoạn

trên đoạn

và có đồ thị là đường cong trong hình

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn

Tính

giá trị của
?
2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hàm số

có đồ thị như hình dưới đây:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Bài 2. Cho hàm số

trên đoạn

?

có đồ thị như hình bên. Hãy tìm giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn

?

5

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Bài 3. Cho hàm số

Bài 4. Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

liên tục trên đoạn

và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Bài 5. Cho hàm số
lớn nhất của hàm số trên đoạn

Bài 6. Cho hàm số

liên tục trên

trên đoạn

. Hãy tính giá trị của

và

?

lần lượt là

?

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Từ đồ thị, hãy tìm giá trị

?

có bảng biến thiên như sau

6

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Cho biết giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Bài 7. Cho hàm số
của hàm số đã cho trên đoạn

Bài 8. Cho hàm số

là bao nhiêu?

có đồ thị như hình vẽ. Gọi
. Hãy tìm giá trị của

có đồ thị như hình vẽ:

,

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
?

y
2
O

x

3
6

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên?
Bài 9. Cho hàm số

xác định trên nửa khoảng

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên:
Bài 10. Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau:

7

và có bảng biến thiên dưới đây:

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
Bài 11. Cho hàm số

Gọi

là bao nhiêu?

liên tục trên đoạn

và có đồ thị như hình bên

là giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn

. Giá trị của

bằng:

.
Bài 12. Hàm số

Gọi

liên tục và có bảng biến thiên trong

là giá trị lớn nhất của hàm số

Bài 13. Cho hàm số

. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên?

có đồ thị hàm số như hình vẽ sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Bài 14. Cho hàm số

trên đoạn

cho bởi hình dưới đây.

bằng bao nhiêu?

có bảng biến thiên như sau
8

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Bài 15. Cho hàm số

trên

liên tục trên đoạn

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
Bài 16. Cho hàm số

?
và có đồ thị như hình vẽ.

?

có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
bằng bao nhiêu?
Bài 17. Một hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên?
Bài 18. Cho đồ thị hàm số

Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn

có đồ thị trên đoạn

tại điểm nào?
9

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Bài 19. Cho hàm số

có đồ thị như hình sau

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Bài 20. Cho hàm số

có đồ thị như hình sau:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
Bài 21. Cho hàm số

?

có đồ thị như hình vẽ bên.

Hãy tìm giá trị lớn nhất của hàm số
.
Bài 22. Cho hàm số

?

trên đoạn

?

có đồ thị như hình bên.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

trên đoạn

?
10

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Bài 23. Cho hàm số

liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Bài 24. Cho hàm số

trên đoạn

Bài 25. Cho hàm số
nhất của hàm số

và có đồ thị như hình vẽ.

trên đoạn

?

có đồ thị như hình vẽ. Gọi
trên đoạn

Hãy tìm giá trị của

?

liên tục trên đoạn

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

như hình vẽ.

và

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

.

  3; 2 và có bảng biến thiên như hình dưới. Gọi
y  f x 
 3; 2
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên 
.

Bài 26. Cho hàm số

y  f x 

liên tục trên

11

M , m lần lượt

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tính M . m ?

Bài 27. Cho hàm số

có bảng xét dấu của đạo hàm

Hàm số đạt giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng
Bài 28. Cho hàm số

Hãy cho biết
Bài 29. Cho hàm số
như hình vẽ dưới đây.

như sau:

tại điểm nào?

có bảng biến thiên sau. Hàm số đạt giá trị lớn nhất là

tại

.

bằng bao nhiêu ?
có đạo hàm

tại mọi

. Đồ thị của hàm số

được cho

y
x
O

Biết rằng

2

5

. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

trên đoạn

?
Bài 30. Cho hàm số

liên tục trên

và có bảng biến thiên như sau:

Tìm điểm cực đại và điểm tiểu của đồ thị hàm số trên?
Bài 31. Cho hàm số
vẽ bên.

xác định và liên tục trên đoạn

Hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn

tại điểm nào?
12

có đồ thị hàm số

như hình

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Bài 32. Cho hàm số

xác định, liên tục trên

Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng
Bài 33. Đồ thị của hàm số

Gọi
Tính

giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tính giá trị

là bao nhiêu?

có dạng đường cong trong hình vẽ bên.

là giá trị lớn nhất,
?

Bài 34. Cho hàm số

và có bảng biến thiên như sau.

là giá trị nhỏ nhất của hàm số

,

có đồ thị như hình vẽ. Gọi
trên đoạn

trên đoạn

.

lần lượt là giá trị lớn nhất và

.

?

Bài 35. Cho hàm số

liên tục trên

và có bảng biến thiên như hình vẽ bên.

Có bao nhiêu số nguyên
để hàm số
có giá trị nhỏ nhất?
y  f x 
Bài 36. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
  2; 4 .
hàm số trên đoạn

13

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

2
2
Tính giá trị của M  m ?

Bài 37. Cho hàm số

Đặt
Bài 38. Cho hàm số

. Đồ thị hàm số đạo hàm

. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
liên tục trên

như hình vẽ bên.

trên

và có đồ thị của hàm số

?
như hình vẽ bên.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
?
y  f x 
f  x 
Bài 39. Cho hàm số
. Hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

g  x   f 2 x   sin 2 x

trền đoạn [  1;1] ?
Lời giải
g  x  2 f 2 x   2 sin x.cos x 2 f 2 x   sin 2 x
t 2 x  t    2; 2
. Đặt
.
sin t
g t  0  2 f t   sin t 0  f t  
, t    2; 2 
2
.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

14

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Vậy giá trị lớn nhất là

g 0   f 0 

Bài 40. Cho hai hàm số

.

,

có đạo hàm là

,

. Đồ thị hàm số

được cho như hình vẽ bên dưới.

Biết rằng
trên đoạn

. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
?

Bài 41. Cho hàm số

y  f x 

có bảng biến thiên như hình dưới đây.

1
1
g  x   f 4 x  x 2   x 3  3 x 2  8 x 
3
3 trên đoạn 1;3 ?
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
DẠNG TOÁN 2. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN
ĐOẠN


15

và

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số
Phương pháp:

trên đoạn

Bước 1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn
Tính
đạo hàm.

và tìm những điểm

sao cho tại đó có đạo hàm bằng

hoặc liên tục nhưng không có

Bước 2. Tính

Bước 3. Kết luận:
 Lưu ý:
Nếu

đồng biến trên

thì

Nếu
nghịch biến trên
1. BÀI TẬP MẪU

thì

Ví dụ 1. Giá trị nhỏ hàm số
Ví dụ 2. Trên đoạn
Ví dụ 3. Trên đoạn

và
và
trên đoạn

, hàm số

bằng bao nhiêu?

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm ?

, hàm số

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm ?

Ví dụ 4. Giá trị lớn nhất của hàm số
Ví dụ 5.

Cho hàm số

trên đoạn

xác định trên đoạn

bằng ?

và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ?
Ví dụ 6. Giá trị lớn nhất của hàm số
Ví dụ 7.

Cho hàm số

cho trên đoạn
Ví dụ 8.

. Gọi

. Tính giá trị của

trên đoạn

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã
bằng

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 9. Tìm giá trị nhỏ nhất

trên đoạn

của hàm số

Ví dụ 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 11.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 12.

Hàm số

bằng:

bằng bao nhiêu?

trên đoạn
trên đoạn

.
trên đoạn

.

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x bằng bao nhiêu?

Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất
của hàm số
trên tập xác định của nó?
Ví dụ 14. Gọi
và
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
. Khi đó giá trị của biểu thức
16

bằng:

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Ví dụ 15. Tìm tất cả các giá trị của
.
Ví dụ 16. Cho hàm số

để hàm số

(

có giá trị lớn nhất trên đoạn

là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị thực của

Ví dụ 17. Cho hàm số

với

là tham số thực. Nếu

bằng

thỏa mãn

thì

bằng?
Ví dụ 18. Tìm
để giá trị lớn nhất của hàm số
của
thuộc khoảng?
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

trên đoạn

Bài 1.

Giá trị lớn nhất của hàm số

trên đoạn

bằng

Bài 2.

Giá trị lớn nhất của hàm số

trên đoạn

bằng?

Bài 3.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn

bằng?

Bài 4.

Trên đoạn

, hàm số

Bài 5.

Trên đoạn

, hàm số

Bài 6.

Gọi

đoạn

. Tính tổng

Bài 7.

Tìm giá trị nhỏ nhất

Bài 8.

Giá trị lớn nhất của hàm số

Bài 9.

và

đạt giá trị lớn nhất tại điểm?
đạt giá trị lớn nhất tại điểm

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên

?
của hàm số

trên đoạn

Tìm tham số

Bài 10.
Cho hàm số
trị thực của tham số ?

(

.

trên đoạn

Cho hàm số

Bài 11.

là nhỏ nhất. Giá trị

bằng?

sao cho

là tham số thực) thoả mãn

Cho hàm số

với

. Tìm tất cả các giá

là tham số thực. Nếu

thì

bằng?
Bài 12.

Giá trị lớn nhất của hàm số

trên đoạn

Bài 13.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 14.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

lần lượt là?

Bài 15.

Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

lần lượt là

biểu thức

trên đoạn

bằng

và

. Giá trị của

tương ứng bằng?

Bài 16.

Cho hàm số

Bài 17.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Bài 18.

bằng

Cho hàm số
. Tính giá trị của biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên?

, gọi

là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
?
17

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Bài 19.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 20.

Giá trị lớn nhất của hàm số

Bài 21.

trên

là?

trên

Cho hàm số

là?

với

là tham số thực. Nếu

thì

bằng?
Bài 22.

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

xét trên đoạn

số m để M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tất cả các giá trị của
?
Bài 23.
Gọi là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số
trên đoạn
Bài 24.

không vượt quá

, m0 là giá trị của tham

sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
Tổng các phần tử của

bằng?

2

Tìm m để hàm số y  x  4  x  m có giá trị lớn nhất bằng 3 2 .

Bài 25.
Cho hàm số
thị như hình vẽ.

có đạo hàm

. Hàm số

liên tục trên tập số thực và có đồ

y

4
2

-1 O

Biết

1

2

. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên

bằng bao nhiêu?
Bài 26.

Cho hàm số

Biết
Bài 27. Cho hàm số
g  x   f  f  x .

có đạo hàm

. Đồ thị

Giá trị lớn nhất của

y  f x 

được cho như hình vẽ bên dưới.

trên

là?

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết rằng

18

f x  

ax  b
cx  d và

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

g x 
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
.
DẠNG TOÁN 3. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN
KHOẢNG
Bài toán: Tìm GTLN & GTNN của hàm số
Phương pháp:
Bước 1. Tìm tập xác định. Tính

trên khoảng

Cho

tìm nghiệm.

Bước 2. Xét dấu biểu thức
và lập bảng biến thiên (có tính giới hạn).
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để kết luận GTLN (GTNN nếu có).
Lưu ý: Trong một số trường hợp, có thể giải nhanh bằng bất đẳng thức:
 Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):
ta luôn có:
Dấu

xảy ra khi và chỉ khi
thì ta có:

Dấu

xảy ra khi và chỉ khi

thì ta có:
Một số kỹ năng cơ bản về ghép Cauchy:

Dấu

(khi

cần dự đoán tại điểm biên

(Kỹ thuật tách cặp nghịch đảo là kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số để sau khi áp dụng bất đẳng thức
Cauhcy, biến số triệt tiêu, chỉ còn lại hằng số, dựa vào điểm rơi của bài toán).

 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz
ta có:

19

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Dấu

xảy ra khi và chỉ khi
ta có:

Dấu

xảy ra khi

1. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên khoảng

.

trên nửa khoảng

?

Ta có
Vẽ bảng biến thiên ta tính được :

.
1
y x 
x trên 0;3 bằng bao nhiêu ?
Giá trị lớn nhất của hàm số

Ví dụ 3.

Ví dụ 4. Cho hàm số
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1.

. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Điều kiện

bằng?
Lời giải

.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, có
Dấu

.

xảy ra khi và chỉ khi

.

Bài 2.

(Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 4.
Cho hàm số
nhất của hàm số trên ?
Bài 5.

bằng?

Cho hàm số

bằng?

với

thuộc

có bảng biến thiên trên

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
như sau

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nữa khoảng
?
DẠNG 4. BÀI TOÁN TỐI ƯU, CÓ YẾU TỐ THỰC TẾ
Phương pháp
Đưa yêu cầu bài toán về mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ
nhất của hàm số với điều kiện ràng buộc cho trước.
20

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Chú ý:
Ta cũng có thể sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
1. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được
giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong giờ
được tính theo công thức
. Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của
bệnh nhân cao nhất?
Ví dụ 2. Một công ty sữa cần sản xuất các hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông,
chứa được thể tích thực là
. Chiều cao của hình hộp bằng bao nhiêu để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là
ít nhất?
Ví dụ 3. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày
xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ là
. Nếu xem
là tốc độ truyền bệnh
(người/ngày) tại thời điểm . Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ bao nhiêu?
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1.
Một vật chuyển động theo quy luật
với (giây) là khoảng thời gian tính từ
lúc bắt đầu chuyển động và (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong
khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc nhỏ nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
Bài 2.

Một vật chuyển động theo quy luật

, với

là khoảng thời gian tính từ lúc vật

bắt đầu chuyển động và
là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời
gian
giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng:
Bài 3.

Gọi

là tập tất cả giá trị của tham số

sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn
bằng . Tính tổng các phần tử của
Bài 4.
Một cửa hàng bán lẻ bán
cái tivi mỗi năm. Để bán được số tivi đó, cửa hàng đặt hàng từ
Nhà máy sản xuất thành nhiều lần trong năm, số tivi đặt cho nhà máy là như nhau cho các lần đặt hàng. Mỗi
lần lấy hàng từ nhà máy về cửa hàng chỉ để trưng bày được một nửa, một nửa số hàng còn lại phải lưu kho.
Chi phí gửi trong kho là
một cái. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là
cộng thêm
mỗi cái. Cửa hàng đặt bao nhiêu lần trong một năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí mà cửa hàng phải trả
là nhỏ nhất?
DẠNG 5. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
1. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho
là?

là hai số không âm thỏa mãn

Ví dụ 2. Cho

. Giá trị nhỏ nhất của

thỏa mãn

. Gọi

nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 3. Cho

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị
. Tính

là hai số không âm thỏa mãn

?

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1.

Cho

của biểu thức

,

,

là các số thực dương thỏa mãn
.

21

. Giá trị lớn nhất

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Bài 2.

Cho các số thực không âm

thỏa mãn

m của biểu thức
Bài 3.

Cho hai số thực

Hãy tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất

?
thay đổi và thỏa mãn

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

bằng bao nhiêu?
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN
Câu 1:

Cho đồ thị hàm số y, tìm GTNN của hàm số trên
y

8

(P)

x= 1

7
6

4

3

I(1; 3)

2

O

A.

.

Câu 2:

B.

1

.

x5

3

C.

.

D.

.

D.

.

D.

.

Cho đồ thị hàm số y, tìm GTLN của hàm số trên
y

8

(P)

x= 1

7
6

4

3

I(1; 3)

2

O

A.

.

Câu 3:

B.

1

.

x5

3

C.

.

Cho đồ thị hàm số y, tìm GTLN của hàm số trên
y

8

(P)

x= 1

7
6

4

3

I(1; 3)

2

O

A.

.

Câu 4:

B.

1

.

x5

3

C.

.

Cho bảng biến thiên của hàm số y, tìm GTNN của hàm số trên
22

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A. .

B.

Câu 5:

A.

B.

A.

.

.

.

D.

.

C.

.

D. .

trên đoạn

B.

.

C.

.

D. .

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn

B.

.

C.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

A. .

.

B.

A. .

.

.

C.

.

D.

.

D.

.

trên đoạn

B.

.

C.

Câu 11: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
.

D.

trên đoạn

Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

A.

D.

trên đoạn

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

A. .
Câu 9:

.

C.

B.

.

Câu 8:

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

.

Câu 7:

C.

Cho bảng biến thiên của hàm số y, tìm GTLN của hàm số trên

A. .
Câu 6:

.

trên đoạn

B.

.

Câu 12: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
A. .
B. .
Câu 13: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
A.
.
B.

.

C.

.

D.

trên đoạn
C. .

D.

C.

trên nửa khoảng
.
D.

Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
A.
.
B.
.

C.

trên nửa khoảng
.
D.

Câu 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. .
B.
.

trên nửa khoảng
C. .

Câu 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

.

trên nửa khoảng
23

D.

.
.
.

.
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

.

B. .

C.

.

D.

.

Câu 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.
.
B.
.

trên khoảng
C.
.

D.

.

Câu 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.
.
B.
.

trên khoảng
C.
.

D.

.

Câu 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.
.
B.
.

trên khoảng
C.
.

D.

.

Câu 20: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
A.

.

B.

trên nửa khoảng

.

C.

Câu 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.
.
B.

.

.

D.

C.

trên đoạn
D.

.

Câu 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.

.

B.

.
.

trên đoạn

.

C.

Câu 23: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

.

D.
trên

.

, a là hằng số khác 0

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 24: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của
mặt hồ có
con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng
. Hỏi phải thả bao
nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích để trọng lương cá sau một vụ thu được nhiều nhất?

A. .
B.
.
C.
Câu 25: Một của hàng buôn giày nhập một đôi với giá là
được bán với giá đôla thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua
bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất?

24

.
D. .
đôla. Cửa hàng ước tính rằng nếu đôi giày
đôi. Hỏi của hàng bán một đôi giày giá

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A. USD.
B.
USD.
C.
USD.
D.
USD.
Câu 26: Một miếng nhôm có bề ngang 32 cm được uốn cong tạo thành máng dẫn nước bằng chia tấm
nhôm thành 3 phần rồi gấp 2 bên lại theo một góc vuông như hình vẽ dưới. Hỏi bằng bao nhiêu để tạo ra
máng có có diện tích mặt ngang lớn nhất để có thể cho nước đi qua nhiều nhất?

A.

cm.

B.

cm.

C.

Câu 27: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng
A.

.

B.

cm.

D.

cm.

thì diện tích của nó lớn nhất là:

.

C.

.

D.
.
G  x  0, 035 x 2 15  x 

Câu 28: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức
, trong đó
x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm
(đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 29: Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau t phút, số vi
khuẩn được xác định theo công thức:
với
. Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi
khuẩn lớn nhất?
A.
phút.
B.
phút.
C.
phút.
D.
phút.
Câu 30: Mỗi chuyến xe buýt có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Một chuyến xe buýt chở x hành khách
x 

3

40 
thì giá tiền cho mỗi hành khách là 

2

USD  . Khẳng định nào sau đây đúng.

USD  .
A. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng 160
B. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 45 hành khách.
C. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách.
USD  .
D. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng 135

25

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 31: Sức chứa tối đa mỗi phòng học là 200 em HS. Nếu một phòng học có x HS thì học phí cho mỗi
2

x 

9

40  (nghìn đồng). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
HS là 

A. Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất khi có 200 HS.
B. Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất bằng 4.320 (nghìn đồng).
C. Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất khi có 360 HS.
D. Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất bằng 3.200 (nghìn đồng).
Câu 32: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất?

A.

cm.

B.

cm.

C.

cm.

D.

cm.

Câu 33: Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là
bán kính đáy
và chiều cao của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất?

. Hỏi

A.
m,
m.
B.
m,
m. C.
m,
m. D.
m,
m.
Câu 34: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình mẫu. Hộp có đáy là một hình
vuông cạnh
, chiều cao
và có thể tích là
cho chiếc hộp được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.

A.

cm.

B.

cm.

. Hãy tìm độ dài cạnh của hình vuông sao

C.

26

cm.

D.

cm.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 35: Người ta muốn xây một chiếc bể chứa nước có hình dạng là một khối hộp chữ nhật không nắp có
thể tích bằng
là
đồng/
công?

. Biết đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và giá thuê thợ xây
. Tìm kích thước của hồ để chi phí thuê nhân công ít nhất. Khi đó chi phí thuê nhân

A.
triệu đồng.
B.
triệu đồng.
C.
triệu đồng.
D.
triệu đồng.
Câu 36: Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá
đồng một chiếc và mỗi
tháng cơ sở bán được trung bình
chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi
nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá
đồng mà cứ
tăng giá thêm
đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn
chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không
thay đổi là
. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.

A.
đồng.
B.
đồng.
C.
đồng.
D.
đồng.
Câu 37: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được
giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong giờ
được tính theo công thức
nhân cao nhất?

. Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh

A. giờ.
B. giờ.
C. giờ.
D. giờ.
32
Câu 38: Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận
lít và 72 lít xăng trong một
tháng. Biết rằng, trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số ngày ít nhất để hai tài
xế sử dụng hết số xăng được khoán là

A. 15 ngày.

C. 10 ngày.

D. 20 ngày.
3
Câu 39: Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60cm , thể tích 96000cm . Người
thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 VNĐ/m2 và loạ...