Lời giải bài hình số 4 – IMO 2024 bằng kiến thức THCS:
Đề bài: Cho tam giác ABC (AB < AC < BC). Gọi (I) là đường tròn nội tiếp. Điểm X trên BC khác C
sao cho đường thẳng kẻ qua X song song với AC tiếp xúc với (I). Điểm Y trên BC khác B sao cho
đường thẳng kẻ qua Y song song với AB tiếp xúc với (I). Đường thẳng AI cắt lại đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC tại P khác A. Gọi K, L thứ tự là trung điểm AB, AC. Chứng minh rằng tổng các
góc KIL và XPY bằng 1800.
Một hướng giải:
A

E
L

K

G

D
I
H
N
M
B

X

Y

C

S

P

Các đường thẳng kẻ qua X, Y tiếp xúc với (I) tại M, N tương ứng; cắt nhau tại S; cắt AB, AC tại H, G
tương ứng. (I) tiếp xúc AB, AC tại D, E.
Dễ dàng có được các két quả sau:
-

I là trung điểm ME, ND.
AHSG là hình thoi suy ra A, I, S, P thẳng hàng.
KI, LI thứ tự là đường trung bình của tam giác ABS, ACS, suy ra KI//BS; LI//CS, góc KIL =
BSC.
Góc XBP = YCP = XSA = YSA, suy ra các tứ giác BXSP; CYSP nội tiếp, suy ra góc XPS =
XBS và góc YCS = YPS.
Cuối cùng góc XPY + KIL = XPS + YPS + BSC = XBS + YCS + BSC = 180 0.