Một số vấn đề liên quan đến Đường tròn
I. Phương trình đường tròn
Đường tròn (C) tâm I(a; b) và bán kính R. Phương trình có dạng:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)
Nếu ta khai triển hằng đẳng thức (1) và chuyển R2 về vế trái ta được dạng :
x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 (2)
II. Viết phương trình đường tròn
Để viết phương trình đường tròn ta cần tâm I(a; b) và bán kính R sau đó thay vào (1) ta được
phương trình đường tròn
Cách xác định tâm I và bán kính R
1) Viết phương trình đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R ( Ta biết tâm I và bán kính R)
2) Viết phương trình đường tròn tâm I(a; b) và đi qua điểm M(x0; y0)
Tâm I(a; b) đã cho
Bán kính
(Tìm tọa độ vecto
sau đó độ dài
=
)
3) Viết phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính ( A, B có cho tọa độ)
Tâm I(a; b) là trung điểm của AB (Tìm tọa độ trung điểm I của AB)
Bán kính R =
(Tìm tọa độ vecto
sau đó tính độ dài AB

)
4) Viết phương trình đường tròn tâm I(a; b) và tiếp xúc với đường thẳng
(hay
là tiếp tuyến)
Tâm I(a; b) đã cho
Bán kính R = d(I;
) (Tìm khoảng cách từ I đến
)
5) Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C ( với A, B, C có tọa độ)
Sử dụng phương trình đường tròn dạng (2): x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0
Thay lần lượt tọa độ các điểm A, B, C vào (2) ta được hệ 3 phương trình 3 ẩn a, b, c
Giải hệ ta được a, b, c và thay a, b, c vào (2) ta được pt cần tìm
III. Cho phương trình dạng: x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0
Xem phương trình trên có phải là phương trình đường tròn không?. Nếu là đường tròn hãy xác định
tâm và bán kính
Tìm a = hệ số đứng trước x chia cho - 2 (lấy cả dấu)
b = hệ số đứng trước y chia cho - 2 (lấy cả dấu)
c = hằng số không chứa x, y
Nếu a2 + b2 – c > 0. ta kết luận phương trình trên là phương trình đường tròn
Khi đó tâm I(a; b) và bán kính R =

Chú ý:
+ Đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với đường thẳng

+ Cho đường tròn
tâm
bán kính


tiếp xúc với Ox


tiếp xúc với Oy

IV. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn
Ta biết tiếp tuyến với đường tròn là một đường thẳng
: ax + by + c = 0
1) Viết phương trình tiếp tuyến
với đường tròn (C) tại điểm M(x0; y0)
( M
(C) và (C) có thể cho dạng (1) hoặc dạng (2))
Từ (C) xác định tâm I
Khi đó
:



2) Viết phương trình tiếp tuyến
với đường tròn (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(x0; y0)
( M
(C) và (C) có thể cho dạng (1) hoặc dạng (2))
Từ (C) xác định tâm I và bán kính R
Lập phương trình đường thẳng
đi qua M theo hệ số gốc k
: y = k(x – x0) + y0

kx – y – kx0 + y0 = 0 (*)
Điều kiện để
là tiếp tuyến của (C) là khoảng cách từ I dến
bằng bán kính
Tính d(I;
) sau đó cho d(I;
) = R giải tìm k, thay k vào (*) ta được phương trình cần tìm
BÀI TẬP
Bài tập 1: Viết pt đường tròn
trong mỗi trường hợp sau:
a)
có tâm
; bán kính

b)
có tâm
và đi qua điểm

c)
có tâm
và tiếp xúc với đường thẳng

d)
có đường kính là
với

e)
đi qua 3 điểm

f)
có tâm nằm trên đường thẳng
và tiếp xúc với hai trục tọa độ
g)
đi qua điểm
và tiếp xúc