ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ

TOÁN 12
KHẢO SÁT CHƯƠNG HÀM SỐ
Môn thi: TOÁN

LỚP TOÁN THẦY TÙNG

ĐỀ THI THAM KHẢO
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
(Đề thi có 09 trang)
Họ, tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mã đề: 0101

PHẦN I: Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một
phương án.
Câu 1. Từ một tấm bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ
bằng nhau ở bốn góc, rồi gấp phần còn lại thành một chiếc hộp không nắp. Hỏi cạnh của các
hình vuông cắt bỏ đi phải bằng bao nhiêu để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất?
x

x
12 cm
A

2 cm.

B

3 cm.

C

4 cm.

D

1 cm.

Câu 2. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm. Biết rằng tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để
sản xuất x sản phẩm trong một ngày được xác định bởi hàm số C(x) = x3 − 6x2 + 15x + 10
(với x tính bằng trăm sản phẩm). Nếu giá bán của mỗi trăm sản phẩm là 30 triệu đồng và toàn
bộ số sản phẩm sản xuất ra đều được bán hết, thì công ty cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm
mỗi ngày để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
A

300 sản phẩm.

B

500 sản phẩm.

C

400 sản phẩm.

D

600 sản phẩm.

Câu 3. Một nhà máy nằm bên bờ một con sông thẳng rộng 3 km. Bên bờ đối diện, cách nhà
máy 4 km về phía hạ lưu là một trạm điện (như hình vẽ). Người ta cần kéo đường dây điện từ
trạm điện A đến nhà máy C. Chi phí cho mỗi km cáp ngầm dưới nước là 50 triệu đồng, và mỗi
km cáp chạy trên đất liền dọc theo bờ sông là 30 triệu đồng. Hỏi cần chọn vị trí điểm M (nơi
nối cáp ngầm từ nhà máy lên bờ) cách trạm điện A một đoạn bằng bao nhiêu để tổng chi phí
lắp đặt là nhỏ nhất?
C

Bờ chứa nhà máy
Cáp ngầm

3 km
Cáp bộ
B

A
1

1,75 km.

M
4 km
B

Bờ chứa trạm điện

A

2,25 km.

C
≫

2,5 km.

D

2 km.

Biên soạn: Toán Thầy Tùng – „ 0816 457 443

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ

TOÁN 12

Câu 4. Một vật chuyển động theo quy luật s(t) = −t3 + 9t2 − 15t + 10, với t (giây) là khoảng
thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong
khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 5 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc
lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A

12 m/s.

B

15 m/s.

27 m/s.

C

D

9 m/s.

Câu 5. Người ta muốn thiết kế một vỏ lon sữa hình trụ có thể tích V = 16π cm3 . Để tiết kiệm
vật liệu nhất thì bán kính đáy R của vỏ lon phải bằng bao nhiêu (giả sử độ dày vỏ lon không
đáng kể)?
O'

R

h

O
A

R = 4 cm.

B

R=

√
3
2 cm.

R = 2 cm.

C

D

R = 3 cm.

Câu 6. Nồng độ C của một loại thuốc trong máu của bệnh nhân (tính bằng mg/L) sau khi
5t
tiêm t (giờ) được mô hình hóa bởi hàm số C(t) = 2
với t ≥ 0. Đồ thị hàm số thể hiện sự
t +4
biến thiên nồng độ theo thời gian. Hỏi sau bao lâu kể từ khi tiêm thì nồng độ thuốc trong máu
bệnh nhân đạt mức cao nhất?
C(t) (mg/L)
1.25
1
0.5

t (giờ)
2

A

2 giờ.

B

4

1 giờ.

6

C

8

4 giờ.

D

2,5 giờ.

Câu 7. Một cơ sở sản xuất đồ thủ công mỹ nghệ ước tính rằng: nếu sản xuất x sản phẩm mỗi
10000
tháng thì chi phí sản xuất ra mỗi sản phẩm là C(x) = 50 +
(nghìn đồng). Khảo sát thị
x
trường cho thấy, nếu bán với mức giá p(x) = 100 − 0,01x (nghìn đồng) cho mỗi sản phẩm thì sẽ
bán được toàn bộ x sản phẩm đó. Cơ sở đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi tháng để thu
được tổng lợi nhuận lớn nhất?

2

≫

Biên soạn: Toán Thầy Tùng – „ 0816 457 443

Lợi nhuận (nghìn đồng)

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ
·104

TOÁN 12

Max

5.25

0
0

1,000

2,500

4,000

5,000

Số lượng sản phẩm x
A

2000 sản phẩm.

B

2500 sản phẩm.

C

5000 sản phẩm.

D

1000 sản phẩm.

Câu 8. Một bác nông dân có 100 m lưới thép gai và muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật
để trồng rau. Do mảnh vườn nằm sát dọc theo một bờ sông thẳng nên bác chỉ cần rào 3 mặt
(mặt dọc theo bờ sông không cần rào). Hỏi diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác nông dân
có thể rào được là bao nhiêu?

Bờ sông
x

y
A

2500 m2 .

B

1250 m2 .

C

625 m2 .

D

5000 m2 .

1
Câu 9. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t3 − 3t2 + 8t + 1, trong đó thời
3
gian t tính bằng giây và quãng đường s tính bằng mét. Trong khoảng thời gian 5 giây đầu tiên
kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc nhỏ nhất của chất điểm bằng bao nhiêu?
A

−1 m/s.

B

0 m/s.

C

3 m/s.

D

8 m/s.

Câu 10. Một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm. Người ta gấp hai mép của tấm
nhôm (mỗi mép gấp lên một đoạn x cm) để tạo thành một chiếc máng dẫn nước có mặt cắt
ngang là một hình chữ nhật không nắp (như hình vẽ). Để máng có thể dẫn được lượng nước lớn
nhất (tức là diện tích mặt cắt ngang lớn nhất) thì giá trị của x phải bằng bao nhiêu?

x

3

x

≫

Biên soạn: Toán Thầy Tùng – „ 0816 457 443

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ
A

x = 10 cm.

B

TOÁN 12

x = 5 cm.

x = 7,5 cm.

C

D

x = 15 cm.

Câu 11. Trong một phòng thí nghiệm sinh học, sự phát triển của một quần thể vi khuẩn trong
một môi trường nuôi cấy được mô hình hóa bởi hàm số N (t) = −t3 + 30t2 + 300t + 100, trong
đó N (t) là số lượng vi khuẩn và t là thời gian tính bằng giờ (0 ≤ t ≤ 30). Vào thời điểm nào thì
tốc độ phát triển của quần thể vi khuẩn này là lớn nhất?
A

t = 10 (giờ).

B

t = 20 (giờ).

t = 30 (giờ).

C

D

t = 0 (giờ).

Câu 12. Một công ty sản xuất bao bì cần chế tạo một thùng chứa dạng hình hộp chữ nhật
không nắp, có đáy là hình vuông và thể tích chứa là 32 m3 . Hỏi chiều cao h của thùng phải
bằng bao nhiêu để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (tức là tổng diện tích các mặt của thùng là
nhỏ nhất)?

h
x
x
A

h = 2 m.

B

h = 4 m.

h = 8 m.

C

D

h = 6 m.

PHẦN II: Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu,
thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Một xe tải chở hàng cần di chuyển quãng đường 500 km trên đường cao tốc. Gọi
v (km/h) là vận tốc trung bình của xe (0 < v ≤ 100). Biết rằng chi phí nhiên liệu để xe vận
1 3
v (USD/giờ), và tiền lương phải
hành trong mỗi giờ được tính theo công thức Cf (v) =
1000
trả cho tài xế mỗi giờ là 54 (USD/giờ). Các chi phí bảo bãi, cầu đường được bỏ qua. Xét bài
toán tối ưu hóa tổng chi phí của chuyến đi.
a) Hàm tổng chi phí C(v) cho toàn bộ chuyến đi có dạng là tổng của một hàm số bậc hai và
một phân thức.
b) Nếu xe duy trì vận tốc 50 km/h, chi phí nhiên liệu sẽ tốn kém hơn tiền lương trả cho tài xế.
c) Vận tốc tối ưu để tổng chi phí của chuyến đi đạt giá trị nhỏ nhất là 30 km/h.

Tổng chi phí C(v)

d) Tổng chi phí thấp nhất để hoàn thành chuyến đi là 1500 USD.

Tối ưu

1,350

0

30

50

v (km/h)

4

≫

Biên soạn: Toán Thầy Tùng – „ 0816 457 443

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ

TOÁN 12

Câu 2. Phản ứng củacơ thể người
bệnh đối với một loại thuốc điều trị được mô hình hóa

15
x
bởi hàm số R(x) = x2
−
, trong đó x (mg) là liều lượng thuốc tiêm vào (0 ≤ x ≤ 20),
2
3
và R(x) biểu diễn mức độ giảm huyết áp. Để đánh giá sự thay đổi mức độ phản ứng, y học
định nghĩa "Độ nhạy cảm của cơ thể với thuốc"là đạo hàm của hàm phản ứng, kí hiệu là
S(x) = R' (x).
a) Độ nhạy cảm S(x) của cơ thể là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol quay bề lõm
xuống dưới.
b) Liều lượng thuốc làm cho phản ứng của cơ thể (mức giảm huyết áp) đạt giá trị lớn nhất là
15 mg.
c) Khi liều lượng thuốc tiêm vào vượt quá 7,5 mg, độ nhạy cảm của cơ thể với thuốc bắt đầu
R(x)
giảm dần.

Mức độ

d) Khi độ nhạy cảm của cơ thể đạt mức cực đại thì phản ứng giảm huyết áp cũng đồng thời
đạt mức cực đại.

S(x)
0

7.5

15

20

Liều lượng x (mg)
Câu 3. Một kỹ sư cần thiết kế một tháp chứa ngũ cốc (silo) có hình dạng gồm một hình trụ
thẳng đứng và một mái vòm hình bán cầu úp lên trên cùng (có cùng bán kính đáy với hình trụ).
Thể tích sức chứa của toàn bộ tháp được ấn định phải đạt đúng 99π m3 . Theo báo giá của nhà
2
thầu, chi phí để xây dựng phần mái vòm bán cầu là 2 triệu đồng/m , chi phí xây dựng mặt xung
2
2
quanh của hình trụ là 1 triệu đồng/m , và chi phí đổ bê tông mặt sàn đáy là 1 triệu đồng/m .
Xét bài toán tối ưu hóa kích thước của tháp chứa để tổng chi phí xây dựng là nhỏ nhất. (Giả sử
độ dày các lớp vỏ không đáng kể).

O'

R

h

O
a) Gọi R là bán kính đáy, hàm biểu diễn tổng chi phí xây dựng theo R có dạng C(R) = aR2 +

b
R

(với a, b > 0).
5

≫

Biên soạn: Toán Thầy Tùng – „ 0816 457 443

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ

TOÁN 12

b) Để tiết kiệm chi phí nhất, tỷ lệ thiết kế chiều cao phần thân hình trụ phải bằng 3 lần bán
kính đáy.
c) Bán kính đáy tối ưu để tiết kiệm chi phí là R = 4 m.
d) Tại phương án thiết kế tối ưu, thể tích chứa của phần hình trụ gấp 4,5 lần thể tích chứa
của phần mái vòm bán cầu.
Câu 4. Từ một tấm bìa hình tròn có bán kính R = 12 cm, một học sinh cắt bỏ đi một hình
quạt tròn (phần tô trắng như hình vẽ), sau đó dán hai mép cắt lại với nhau để tạo thành một
chiếc phễu hình nón (không có đáy). Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối
nón tạo thành. Học sinh này muốn tính toán để góc cắt bỏ sao cho chiếc phễu thu được có thể
tích chứa lớn nhất.

r

Cắt bỏ
Gấp & dán

R

=

12

h

O

R = 12

π
a) Hàm số biểu diễn thể tích chiếc phễu theo biến chiều cao h là V (h) = (144h − h3 ) với
3
0 < h < 12.
√
b) Khi thể tích chiếc phễu đạt giá trị lớn nhất, bán kính đáy r của phễu bằng 4 3 cm.
c) Tại phương
√ án thiết kế cho thể tích lớn nhất, tỉ số giữa đường sinh và bán kính đáy của
6
phễu là
.
2
√
d) Thể tích chứa tối đa của chiếc phễu là 128π 3 cm3 .
PHẦN III: Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Một bức tranh cao 1,4 m được treo thẳng đứng trên một bức tường. Mép dưới của bức
tranh cách tầm mắt của một người quan sát một khoảng 1,8 m (theo phương thẳng đứng). Biết
rằng người quan sát đứng cách tường một khoảng x (m) và góc nhìn bức tranh của người đó là
α (được tạo bởi các tia nhìn từ mắt đến mép trên và mép dưới của bức tranh). Để góc nhìn bức
tranh α đạt giá trị lớn nhất (giúp quan sát rõ nhất), người quan sát cần đứng cách tường bao
nhiêu mét?

6

≫

Biên soạn: Toán Thầy Tùng – „ 0816 457 443

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ

TOÁN 12
Tường
B
Tranh (1,4 m)
A
1,8 m

α
Mắt (O)

H

x

Câu 2. Một khu công nghiệp có hai tuyến đường giao thông cắt nhau vuông góc tại trạm điều
hành I. Trong bản đồ quy hoạch với hệ trục toạ độ Oxy (đơn vị: km), hai tuyến đường này
4x + 10
nằm dọc theo hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C) : y =
(với x > 2). Một đoạn
x−2
kênh dẫn nước được thiết kế chảy uốn lượn theo đúng nhánh đường cong (C) này. Người ta cần
xây dựng một tuyến ống ngầm thẳng nối hai tuyến đường giao thông (cắt tuyến thứ nhất tại A,
tuyến thứ hai tại B) sao cho đoạn ống này tiếp xúc với đoạn kênh (C) tại một điểm M . Hỏi
chiều dài ngắn nhất của đoạn ống AB là bao nhiêu kilomet?

y

x=2
A
M
Tu
yế
n

Kênh (C)

ốn

gA

y=4

B

4

I

B
x (km)
2

Câu 3. Một hệ thống lọc nước công nghiệp được thiết kế với một lớp vỏ màng lọc có dạng hình
nón úp ngược, bao khít (ngoại tiếp) một lõi cầu khử khuẩn có bán kính R = 30 cm. Quả cầu
này tiếp xúc với mặt xung quanh và mặt đáy của hình nón (như hình vẽ mặt cắt). Để tiết kiệm
chi phí vật liệu làm màng lọc, kỹ sư cần tính toán kích thước sao cho thể tích của khối nón là
nhỏ nhất. Hãy tính thể tích nhỏ nhất đó theo đơn vị lít (biết 1 lít = 1000 cm3 , lấy π ≈ 3,14159
và làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân).

7

≫

Biên soạn: Toán Thầy Tùng – „ 0816 457 443

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ

TOÁN 12
r

O
R
I
T

R

h

S
Câu 4. Một hồ nước có dạng nửa hình tròn đường kính AB bằng 300 mét. Người ta dự định
thiết kế một đường đi từ vị trí A qua vị trí M và đến vị trí B gồm hai phần (như hình minh
họa): Phần I: Cầu gỗ nối thẳng từ vị trí A đến vị trí M . Phần II: Lối đi ven bờ hồ theo cung
tròn từ vị trí M đến vị trí B. Nhà thầu nhận thi công trọn gói với giá 900 triệu đồng. Biết giá
thi công Phần I là 2 triệu đồng/m, Phần II là 1 triệu đồng/m. Lợi√nhuận tối thiểu mà nhà thầu
có thể nhận được là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm, 3 ≈ 1, 73 và π ≈ 3, 14).
M

Phần II

Phần I

A

O

B

Câu 5. Số lượng tế bào của một quần thể nấm men được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm tại
24
thời điểm t được mô hình hóa bằng công thức f (t) =
(đơn vị: nghìn tế bào), với
1 + 3e−0,5t
t ≥ 0 (đơn vị: giờ). Biết rằng hàm số y = f ' (t) biểu thị tốc độ sinh trưởng của quần thể tại thời
điểm t. Tại thời điểm tốc độ sinh trưởng của quần thể lớn nhất, quần thể có bao nhiêu nghìn tế
bào?
Câu 6. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, cạnh AB = 8 và AD = 6. Xét điểm M di động
trên đường tròn tâm O bán kính bằng 2 (như hình vẽ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T = 2M A + 5M C.

8

≫

Biên soạn: Toán Thầy Tùng – „ 0816 457 443

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ
B

TOÁN 12
8

A

M

O

C

6

D
HẾT

9

≫

Biên soạn: Toán Thầy Tùng – „ 0816 457 443