ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8
NĂM HỌC 2024.2025
Thời gian làm bài: 120 phút
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi).
Câu 1: Tìm số nguyên y sao cho giá trị của đa thức H= -56 y6 +36 y4 +12 y2 -6y+ 2025 là số lẻ tại

các giá trị y đó

Câu 2: Tìm số nguyên a để a4 + 4a3 + 5a2 + 2a + 4 là số chính phương
Câu 3: Tìm a,b sao cho
chia hết cho đa thức
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 5: Cho a+b+c=0 và a2 + b2 +c2 =14 Tính giá trị của biểu thức B = a4+b4+c4
Câu 6: Giá trị lớn nhất của biểu thức: D= -36x2 + 12xy - y2 +2025
Câu 7: Cho hình vuông ABCD có độ dài các cạnh bằng 8cm. Tính độ dài đường chéo AC
Câu 8: Tìm số tự nhiên n để n3 - n2 + n -1 là số nguyên tố.
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh bằng 192 cm2 và độ dài trung đoạn bằng 8cm.
Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều đó.
Câu 10: Một tam giác có AB=AC=3cm.Từ điểm M thuộc cạnh BC, kẻ MD song song với AC và ME
song song với AB( điểm D,E lần lượt thuộc cạnh AB,AC). Tính chu vi tứ giác ADME
II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11:
Cho biểu thức:
1. Rút gọn P.
2. Tính giá trị của P với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức:
3. Giải phương trình:
.
Câu 12: Cho hình vuông ABCD. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của AB và CD; O là giao điểm

của AK và DE. Kẻ DM vuông góc với CE tại M.
a) Chứng minh rằng tam giác AKM vuông.
b) Gọi N là giao điểm của AK và BM. Chứng minh
c) Tia phân giác của

cân và tính

cắt AD tại F. Chứng minh rằng:

Câu 13:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

.

(x >1, y >1)

------------------Hết------------------(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Số báo danh:. . . . . . . . . . .

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8

I. PHẦN GHI KẾT QUẢ . (10đ) (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi).
Câu 1: Tìm số nguyên y sao cho giá trị của đa thức H= -56 y6 +36 y4 +12 y2 -6y+ 2025 là số lẻ tại

các giá trị y đó.

Đáp số: mọi số nguyên y
Câu 2: Tìm số nguyên a để a4 + 4a3 + 5a2 + 2a + 4 là số chính phương
Đáp số: tìm được a =0, a = 1, a=-3, a = -2
Câu 3: Tìm a,b sao cho
chia hết cho đa thức
Đáp số: a = 3 và b = -4
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Đáp số:
Câu 5: Cho a+b+c=0 và a2 + b2 +c2 =14 Tính giá trị của biểu thức B = a4+b4+c4
Đáp số: B=98
Câu 6: Giá trị lớn nhất của biểu thức: D= -36x2 + 12xy - y2 +2025
Đáp số: C= 2025
Câu 7: Cho hình vuông ABCD có độ dài các cạnh bằng 8cm. Tính độ dài đường chéo AC
Đáp số: 8
Câu 8: Tìm số tự nhiên n để n3 - n2 + n -1 là số nguyên tố.
Đáp số:n=2
Câu 9: : Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh bằng 192 cm2 và độ dài trung đoạn bằng
8cm. Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều đó.
Đáp số: 12 cm
Câu 10: Một tam giác có AB=AC=3cm.Từ điểm M thuộc cạnh BC, kẻ MD song song với AC( điểm
D,E lần lượt thuộc cạnh AB,AC). Tính chu vi tứ giác AEME.
Đáp số: 6 cm
II. PHẦN TỰ LUẬN . (10đ) (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
BÀI

NỘI DUNG
ĐKXĐ:
Khi đó:

ĐIỂ
M
0,25
0,25
0,25
0,25

Câu 11
(4điểm)

Vì
5

0,2

0,25
0,25
0,25

3.
Ta có

0,5
0,5

Đặt

. Ta có PT

0,5
0,5

-Xét các trường hợp của t ta tìm được x=0 ; x=

A

; x= ; x=

E

B

F
O

Câu 12
(4điểm)

0,5
điểm

M

H

Q

D

C

K
N

a) Chứng minh được tứ giác
là hình chữ nhật.
Khi đó O là trung điểm của DE.
vuông tại M có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh DE

0,5
điểm

nên

0,5
điểm

mà DE = AK (tứ giác

là hình chữ nhật)

nên
có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh AK và
Suy ra

vuông tại M.

b) Gọi H là giao điểm của AK và DM.
Chứng minh được tứ giác AECK là hình bình hành
nên
mà
. Suy ra
tại H.
Xét

0,5
điểm

vuông tại M có MK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

DC nên
Khi đó
DM.

cân tại K có

nên AK là đường trung trực của

0,5

Do AK là đường trung trực của DM nên AD = AM.
Khi đó
cân tại A.
mà AD = AM và AM = AB nên
Do

cân tại A nên

Do

cân tại A nên

điểm

cân tại A.
0,5
điểm

Suy ra

Khi đó

nên

vuông cân tại M

Vậy
.
c) Qua E kẻ đường vuông góc với CF cắt CD tại Q.
Do tứ giác
là hình chữ nhật nên
Câu c
(1 điểm)

nên

vuông cân tại K.

Xét

và

0,25
điểm

có:
;

;

Suy ra

(cùng phụ

)

(cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

0,25
điểm

nên
có CF vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên

cân tại C. 0,25
điểm

Suy ra:
Xét

và

có:

;

0,25
điểm

; FC chung

Nên

(c-g-c)

Khi đó:
nên
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
mà
Câu 13
(2 điểm)

x

3

 y   x  y
3

2

2

nên

  x ( x  1)  y ( y  1) 

x2
y2

( x  1)( y  1)
( x  1)( y  1)
y 1 x 1
Đặt x  1 a và y  1 b, do x  1 và y  1 nên a  0 và b  0 đồng thời
P

2

.

2

a  1
P

2

x a  1 và y b  1 . Khi ấy

b

b  1


2

a

1
2
x

2
x

y

4
xy

x
Áp dụng bất đẳng thức 
và
(với x >0) ta có:
4a 4b
a b
2
2
P 
4    8
a  1 4a; b 1 4b; Nên
b
a
b a

Vậy

hay

2đ

Lưu ý : Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa